数字信号处理试题选讲A

1+ z −1
1 + 2 z −1 + z −2 (4 + 6 ) − 4 z −1 + (4 − 6 ) z − 2
=
0.155 + 0.310 z −1 + 0.155 z −2 1 − 0.62 z −1 + 0.24 z − 2
。
数字信号处理选讲 A
一、 填空题（每题 2 分，共 10 题） 1、 2、 ３ 已知 x(n) = R5 (n) × R4 (n) ，则 x(6) = 2。
X (Z ) = − 15Z 4Z − 17 Z + 4
2
⎡ 1 ⎤ Z > 4 ，则原序列 X (n) = ⎢( ) n − 4 n ⎥u (n) 。 ⎣ 4 ⎦
、
1 − j πk 8
x(n) = R3 (n)
sin( 3π k) 16
，
变
换
区
间
N = 16
，
则
X (k ) = e
sin(
π
16
k)
k = 0,1, L15 。
４、对于序列 R8 (n) ，只有当频域采样点数 N ≥ 8 时，可以由频 域采样 X (k ) 恢复原序列 x(n) ，否则产生时域混叠现象。 ５、 WN 具有_________, 性） ６、直接进行离散傅立叶变换的困难是（运算量大） ７ 、 线 性 相 位 FIR 滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应 应 满 足 ： （ h( n ) = ± h( N − 1 − n ) ） ８、设计第一类线性相位 FIR 高通滤波器，采用哈明窗，要 。 求过渡带宽 Δω = π / 16 ，则窗长 N 应为（129） ９、一线性时不变系统的流图如下：
⑥采用双线性变换法将模拟高通 H a (s) 转换成数字高通
H ( z ) = H a ( s ) s = 2 1− z −1
T 1+ z −1
。
四、 画图题（每题 8 分，共 2 题）
１、 已知系统 y(n) = 5 y(n − 1) − 1 y(n − 2) + x(n) ， 用并联型结构实现。
2
设 T = 2s ，数字滤波器 3dB 截止频率 ωc = π
3
rad ，
用双线性变换法将 H a (s) 转换为数字滤波器系统函数 H ( z) 。 解： H a (s) =
Ωc 2 2 s + 2Ω c s + Ω c
2
，其中 Ωc = 2 tan(ωc ) =
T 2
1 3
，
H ( z ) = H a ( s ) s = 1− z −1 =
A. ω = 0
B. ω = π
C. ω = π
2
D. ω = π
4
三、 分析问答题（每题 5 分，共 2 题） 1、 在时域采样恢复的过程中，零阶保持器和平滑滤波器
分别起什么作用？ 答：零阶保持器是一个低通滤波器，作用是将前一个取样 值保持到下一个取样时刻，相当于常数内插，从而将采样 信号恢复成模拟信号。平滑滤波器是一个模拟低通滤波 器，因为零阶保持器有较多的高频分量通过，使恢复信号 的波形不够平滑，有阶跃点，通过平滑滤波器滤除不必要 的高频分量，对波形起平滑作用。 2、 利用数字域频率变换设计数字高通滤波器的主要步
N 2 N
：
−1
N
−1
= ∑ x(2r ) − ∑ x(2r + 1) = ∑ x( N − 1 − 2r ) − ∑ x(2r + 1)
r =0 r =0 r =0 r =0
−1
N 2
−1
N 2
−1
N 2
−1
0 2 令 N − 1 − 2r = 2k + 1 ，则 X ( N ) = ∑ x(2k + 1) − ∑ x(2r + 1) = 0 2 r =0 −1 k= N 2
骤？ 答： ①确定数字高通滤波器的技术指标； ②将数字高通滤波器技术指标转换成模拟高通滤波器 技术指标，转换公式为 Ω = 2 tan ω ；
7 2
③将模拟高通滤波器技术指标转换成模拟低通滤波 器； ④设计模拟低通滤波器 G(s) ； ⑤将模拟低通通过频率变换转换成模拟高通
1 H a ( s) = G ( ) ； s
H (ω )
d
ω
0
0.15π
π
1.85π
2π
1) 求出它的单位脉冲响应 h(n)。 2) 画出直接型结构图。
解： 1)
h( n ) = IDFT [ H d ( k )] = =
j (n −7) −j (n −7) 1 (1 + e 15 ) + e 15 15 2π 2π
1 2π [1 + 2 cos( (n − 7 )] 15 15
结束
五、 计算证明题（每题 9 分，共 4 题） 1、
x(n) 长度为Ｎ， DFT[ x(n)] = X (k ) ，
证明：当Ｎ为偶数时，如果满足 x(n) = x( N − 1 − n) ，则
N X ( ) = 0。 2
证
N −1 N −1 2 2 N X ( ) = ∑ x(n)e jkπ = ∑ x(n)(−1) n = ∑ x(2r )(−1) 2 r + ∑ x(2r + 1)(−1) 2 r +1 2 n=0 n =0 r =0 r =0
N
−1
2、
每次复加 若通用计算机的速度为平均每次复乘需 5 μs ，
需要 1 μs ，用 FFT 对长度为 1024 的信号进行快速卷积处 理时，估算可实时处理的信号最高频率。 解 计算一次 FFT 需要
TF = 5 × 10− 6 ×
N N N log 2 + 10− 6 * N log 2 2 1024 1024 = 5 × 10− 6 × log 2 + 10− 6 * 1024 log1024 2 2 = 35.84ms
N −1⎞ A 若 h(n) = h( N − 1 − n) ，则相位响应θ (ω ) = −ω ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
B 若 h(n) = h( N − 1 − n) ，则相位响应θ (ω ) = − π
⎛ N −1⎞ − ω⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
N −1⎞ C 若 h(n) = −h( N − 1 − n) ，则相位响应θ (ω ) = −ω ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
⎧ x ( n) ⎩ 0 n1 ≤ n ≤ n2 ，且 n1 < 0 n2 > 0 ，则 X (Z ) 的收敛 其他
域为A。 A. 0 < Z
<∞
B. 0 < Z
≤∞
C. 0 ≤ Z
<∞
D. 0 ≤ Z
≤∞
２、以下为各系统系统函数 H ( z) 的零极点分布，其中 B 是因
Im[z] Im[z]
果稳定系统。 A
z-1 z-1 ３ z-1 ４ z-1 －２ z-1 １
kn
源自文库___________。
（对称性，周期
x(n)
１
－１
y(n)
该系统的单位取样响应为 h(n) ，则 h(3) = 3 。 １０、 双线性变换法中将s平面的左半部分映射到z平面的 单 位圆内 。
二、 选择题（每题 3 分，共 6 题） 1、 序列 x(n) = ⎨
6 6
x(n)
-2 z １/3 3 z １/2
-1 -1
y(n)
解： H ( z ) = −12 −1 + 3 1− 3 z 1− 1 z −1 2
２、 设 x(n) 是长度为 2N 的有限长实序列，X (k ) 为 x(n) 的 2N 点 DFT。试设计用一次 N 点 FFT 完成 X (k ) 的图形。
快速卷积时，要计算一次 N 点 FFT，一次 N 点 IFFT 和 N 次频域复数乘法 所以计算一次 1024 点快速卷积的计算时间约为 Tc=2TF+1024 次复数乘法时间＝76.8ms 每秒处理的采样点数 fs<1024/Tc=132.8 次/秒 fmax<fs/2＝66. 4Hz ３、用频率采样法设计第一类线性相位低通滤波器，采样点 数为 15，要求逼近的滤波器的幅度特性曲线如图所示。
0
× ×
Re[z]
×
o
B
0
×
o
Re[z]
Im[z]
Im[z]
C
0
D
o
×
0
×
Re[z]
o
Re[z]
×
３、 x1 (n)
(0 ≤ n ≤ 7) ， x2 (n) (0 ≤ n ≤ 9) ， y1 (n) 是 x1 ( n) 和 x2 (n) 的线性
卷积， y2 (n) 是 x1 (n) 和 x2 (n) 的N点循环卷积，当循环卷积长度N 为 D 时有 y1 (4) = y2 (4) 。 A.8 B.10 C.15 D.17
n = 0,1,2,L,14
2) 直接型结构图
x(n)
z−1 z−1 z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
h(0)
h(1)
h(2)
h(3)
h(4)
h(5)
h(6)
h(7)
y(n)
４、二阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器的传输函数为
H a (s) = 1 ， s + 2s + 1
４、 x∗ (n) 是 x(n) 的复共轭序列，长度为N， X (k ) = DFT[ x(n)] ，则
DFT [ x∗ (n)] =
C
0 ≤ k ≤ N −1。
A. X ∗ (k )
B. X ( N − k )
C. X ∗ ( N − k )
D. X (k )
５、下面关于线性相位 FIR 滤波器的说法正确的是（AD）
开始
x1(n)=x(2n) x2(n)=x(2n+1) n=0,1,…,N-1
y(n)=x1(n)+jx2(n)
Y(k)=FFT[y(n)]
X1(k)=[Y(k) +Y*(N-k) ]/2 X2(k)= [Y(k) -Y*(N-k) ]/（2 j）
X(k)= X1(k)+ X2(k) X(k+N)= X1(k)-X2(k) k=0,1, …,N-1
D 若 h(n) = −h( N − 1 − n) ，则相位响应θ (ω ) = − π ６、某模拟滤波器
z −1
⎛ N −1⎞ − ω⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
H a ( s)
是一个低通滤波器，已知 B。
H ( z ) = H a ( s ) s = z +1 ，数字滤波器 H ( Z ) 的通带中心位于