高等数学_证明题(提纲)
《高等数学》考试大纲
《高等数学》考试大纲一、考试目标及要求要求考生了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握上述各部分的基本方法。
应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；有运用基本方法准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
二、考试内容及要求（一）函数、极限、连续1.考试内容(1)函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数的概念、基本初等函数的性质及其图形。
(2)数列极限与函数极限的概念、无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较、极限的四则运算、两个重要极限：0sin lim 1x x x→=，()10lim 11x x x →+=。
(3)函数连续的概念、 函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质2.考试要求(1)理解函数概念，知道函数的表示法；会求函数的定义域及函数值。
(2)掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
(3)理解复合函数与反函数的定义。
(4)掌握基本初等函数的性质与图像，了解初等函数的概念。
(5)理解极限概念及性质，掌握极限的运算法则。
(6)理解无穷小量与无穷大量的概念及两者的关系，掌握无穷小量的性质和无穷小量的比较。
(7)掌握两个重要极限：0sin lim 1x x x→=，()10lim 11x x x →+=。
(8)理解函数连续与间断的定义，理解函数间断点的分类，会利用连续性求极限，会判别函数间断点的类型。
(9)理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理，并会用上述定理推证一些简单命题。
(二)一元函数微分学1.考试内容导数的概念、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、基本初等函数的导数、导数的四则运算、复合函数、反函数、隐函数的导数的求法、高阶导数的概念和计算、微分的概念、函数可微与可导的关系、微分的运算法则及函数微分的求法、微分中值定理、洛必达（L’Hospital）法则、函数单调性、函数图形的凹凸性和拐点、函数的极值、函数最值。
大一高数证明题知识点
大一高数证明题知识点在大一的高等数学课程中，证明题是一个重要的部分。
证明题要求学生通过逻辑推理和严密的推导，从已知条件出发，得出所要证明的结论。
它不仅可以锻炼学生的思维能力和逻辑思维，还可以帮助学生更好地理解和掌握数学概念和定理。
本文将重点介绍大一高数中常见的证明题知识点。
一、数列的极限证明在高等数学中，数列的极限是一个重要的概念。
对于一个数列{an}，如果存在实数A，使得当n趋于无穷大时，数列的每一项都无限接近于A，我们就说该数列的极限为A。
在证明数列极限的过程中，一般有三种常见的方法：数列趋向证明法、柯西收敛准则和单调有界数列极限定理。
数列趋向证明法是指根据数列的定义，从数列的每一项与所要证明的极限之间的关系入手，一步步推导得出结论。
柯西收敛准则是指对于任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当m、n都大于N时，数列的第m项和第n项之差的绝对值小于ε。
单调有界数列极限定理是指如果有一个单调递增（递减）且有界的数列，那么这个数列必定收敛。
二、函数的连续性证明函数的连续性是数学中关于函数性质的重要概念之一。
对于一个函数f(x)，如果它在某点a的左右极限存在且相等，并且与函数在该点的函数值相等，我们就说该函数在点a处连续。
在证明函数连续性的过程中，常用的方法有三种：ε-δ定义证明法、组合函数连续性定理和闭区间上连续函数的性质。
ε-δ定义证明法是指根据连续性的定义，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。
组合函数连续性定理是指如果函数f(x)在点a处连续，函数g(x)在点a处连续，并且g(a)=b，则复合函数f(g(x))在点a处连续。
闭区间上连续函数的性质是指如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该闭区间上必定有界、达到上确界和下确界。
三、导数的存在性证明导数是微积分的重要概念之一，表示函数在某点的切线斜率。
高数第一部分5_一元微积分证明题
( ) f '( x) = 4 + 4 ln3 x − 4 = 4 ln3 x − 1 + x x xx
⎧< 0,
f
'(
x
)
⎪ ⎨
=
0,
⎪⎩> 0,
0< x<1 x =1 1< x
由于 lim f ( x)= lim f ( x)=+∞，因此f ( x)无最大值
x→0
x → +∞
f ( x)的最小值为f (1) = 4 − k
定理：若函数f ( x)在[a, b]上连续，在
(a, b)内可导，则存在ξ ∈ (a, b)，使得
f (b) − f (a) = f '(ξ )(b − a);
(II)证明：若函数f ( x)在x = 0处连续，
在(0,δ )(δ > 0)内可导，且 lim f '( x) = A， x → 0+
f ( x)的图形为U型，故其在(0, +∞)零点有三种情形： (1) f ( x)的最小值大于零，即k < 4 ⇒ 无零点 (2) f ( x)的最小值小于零，即k > 4 ⇒ 2零点 (3) f ( x)的最小值等于零，即k = 4 ⇒ 1零点
⎧(1) k < 4时无交点 ⇒ ⎨⎪(2) k > 4时两个交点
2
π
−
0 > k > m ⇒ 2零点
k = m ⇒ 1零点
π2
4
⎞ − 1 ⎟⎟⎠ 或k
>
0
⇒
无零点
(03年数二，12分) 讨论曲线y = 4 ln x + k 与y = 4 x + ln4 x的交点个数.
求解高等数学常见的几何证明题
求解高等数学常见的几何证明题高等数学中的几何证明题是许多学生头痛的问题。
虽然它看似简单，但是却需要我们有一定的几何思维能力和逻辑思维能力。
在本文中，我将向大家介绍一些常见的几何证明题目，并且为学生们提供一些解题技巧和经验。
一、圆的相关证明题在高等数学中，关于圆的证明题目是最为常见的。
因为圆是我们学习几何学中最基础的几何图形之一。
下面我们将介绍一些常见的圆的证明题目。
1.弦的中点与圆心和弦垂直的证明：设弦AB的中点为M，圆心为O，则要证明AM与OB垂直。
我们可以通过连接OM和MB两条线段构造出三角形OMB和三角形OMA，这两个三角形均为直角三角形。
由于直角三角形中垂线的性质，我们可以得出AM与OB垂直的结论。
2.垂直平分线和圆的相关证明：设AB为弦，CD为垂直平分线，圆心为O，则要证明CD经过O点。
我们可以通过连接OC和OD两条线段构造出三角形COD和三角形COA，这两个三角形均为直角三角形。
由于直角三角形中垂线的性质，我们可以得出CD经过O点的结论。
二、角的相关证明题除了圆的证明题目外，角的证明题目也是常见的几何证明题目。
下面我们将介绍一些常见的角的证明题目。
1.同位角和内错角的证明：在平行四边形中，同位角相等，内错角和为180度。
可以通过画出示意图，或者利用平行四边形的性质，通过平行线、对顶角及其他角的性质来证明。
2.正交线的相关证明：在直角三角形中，设两直角边分别为AB和AC，BC为斜边。
则可以通过使用三角函数的性质，证明直线AE与直线BD正交。
三、三角形的相关证明题三角形证明题目属于难度较高的证明题目之一。
下面我们将介绍一些常见的三角形证明题目。
1.判断三角形是否为等边三角形：在三角形中，若三条边相等，则该三角形为等边三角形。
2.判断三角形是否为等腰三角形：在三角形中，如果两边相等，那么这个三角形就是一个等腰三角形。
可以尝试通过构造、分析等方法来证明。
总结：通过以上的介绍，我们可以发现几何证明题目中最为关键的是构造好示意图以及运用优美的几何定理来进行证明。
高等数学,用数列极限定义证明题目
高等数学,用数列极限定义证明题目《高等数学，用数列极限定义证明题目》高等数学课程是任何一个面向未来的学生都需要掌握的基本知识，像求导、积分以及级数等等数学运算方法都属于高等数学的一部分。
本文尝试从数列极限的角度出发，来阐述定义证明题目。
首先，让我们先回顾一下数列极限的概念。
数列极限是一种描述某个数列在有限步长迭代时间内极限值的函数。
极限值也就是指数列可以趋近于某一个常数。
一般来说，当某个数列的迭代时间越大，那么这个数列的极限值也就越接近于某一个常数。
例如，设有一个数列${a_n}_{n=1}^{infty}$，其中$a_n$依次为$1,2,3,4,5,6,7,8,dotsb$。
令此数列的极限为$L$，那么$L$即为$limlimits_{ntoinfty}a_n$，即$L = limlimits_{ntoinfty}a_n = infty$。
此外，假定有一个数列${b_n}_{n=1}^{infty}$，其中$b_n$依次为$1,2,3,3,3,3,3,3,dotsb$，那么此数列的极限就是$L =limlimits_{ntoinfty}b_n = 3$。
定义证明题目要求学生利用数列极限的概念，来证明给定的一些数学表达式或函数是否可以接近某个数列的极限值。
例如，给定函数$y = f(x)$，问$limlimits_{xtoinfty}f(x)$是否可以接近某个常数。
这时候，学生就需要根据函数的性质和参数，以及数列极限的定义，推导出这个函数对应的极限值。
此外，我们也要注意一些特殊情况，当某个数列被定义为无限时，其和或积通常也是无限的。
例如，设有一个数列${a_n}_{n=1}^{infty}$，其中$a_n$依次为$1,2,3,4,5,6,7,8,dotsb$，此时数列的和为$S =sumlimits_{n=1}^{infty}a_n = infty$，因此此时数列的极限也是无限的，即$L = limlimits_{ntoinfty}a_n = infty$。
高等数学提纲
高数笔记一、函数1.求定义域和值域求定义域，注意函数自身性质，例如arcsinx (1x 1≤≤-)求值域，注意函数自身性质如1sinx ≤，还可以运用均值定理求值域 2.反函数定义域值域求解求定义域，尤其是分段函数，要根据原函数的值域更改定义域 求值域，要注意将利用原函数的定义域求反函数的值域 3.求抽象函数的解析式主要是换元和赋值，例如，令 t = x - 1 、令y = -y 、令x = a形如)()(f lim x g x an →=，求间断点极限时候可以变换不同的g(x)变式4.映射单射：当x21x ≠时，y21y ≠，例如单调或者间断单调性质：单射才有逆映射5.函数连续性连续函数×连续函数=连续函数二、极限1.定义证明极限：任意0>ε，要使ε<-A x )(f ，即21x ε<-，可令2εδ=，当δ<-<10x 时，则有ε<-A x f )(，即A x f a=→)(lim x2.利用公式求极限特别注意：x2、 -∞→x 、0x -→一定不能少了负号（1）等价无穷小公式，()[]abx x b~1a 1-+、xx x 221~1cos ~cos ln - （2）∞→x 时候，带有x1，可以考虑换元成等价无穷小，若为多项式可以考虑抓大头 （3）当多项式相乘还带指数根号形式，可以考虑取对数 （4）幂指函数形式，首先考虑e =∞1重要极限，再考虑取对数（5）洛必达法则，注意数列不能求导，可以代数时候停止求导，如2tan a π=∞rc 是需要停止的（6）分子有理化，平方差公式（7）数列无穷项，夹逼或者拆分为减法（8）带绝对值的求解，需要分情况求左右极限来确定 （9）三角函数求极限①可以考虑加上πn ,再利用有理化 ②洛必达③和积化差公式2cos 2sin2sin sin b a b a b a ++=+ 2cos2-sin 2sin -sin ba b a b a +=2cos 2cos 2cos cos b a b a b a -+=+ 2sin2sin 2-cos -cos ba b a b a +-= 3.函数连续性（1）间断点，寻找间断点：①函数自身性质：定义域 值域 ②分母不能为零 ③等价无穷小要分开讨论an →lim 注意其中的a 的值（2）渐近线，判断间断点类型后后直接写 4.函数极限存在性（1）证明极限不存在：找出两列子列（2）证明极限存在：①有界性，常用数学归纳法，还可以用均值定理 ②单调性，利用定义xx nn 1+、xx nn -+1判断5.由一个极限值求另一个极限值利用等式α+=⇒=→A ))((())((g lim x f g A x f an 带入式子中解出f(x)三、导数1.复合函数求导特别注意：不要漏了对复合函数中的x 1和x21 2.参数方程求导极坐标方程可以根据x y x sin ,cos x ρρ==换成参数方程后再求 3.高阶导（1）对数函数，拆分为加减法（2）尼布莱茨公式，不要掉了c、2616c（3）相关变化率写出关系式，对被除的自变量进行求导 （4）求函数的单调性可以运用在求根的个数上（5）二阶导，一阶导后可以代入原来关系式简化运算 4.导数定义式的利用：注意其中的x ∆前的符号要相对应x x f x x f x f ∆-∆+=→∆)()()(lim 0x 时常等价于0)0()(lim 0x --→x f x f涉及复合抽象函数的求导时候，可以根据定义式来拆分子得出多个导数5.反函数求导[]()y f x ''11)(f=-6.求导公式xx 2'11)sin (arc +=[]xx 2'11arcsin +-=7.极值问题当在某一点函数的导数没有定义时，而它的左右导数分别大于零，小于零，那么这一点是极大值8.求导问题偶函数的导数必定是奇函数，奇函数的原函数必定是偶函数。
武汉大学《高等数学》复习提纲
高数上册复习考试2013年1月1日第一章 函数与极限一、函数1．认识一些常用函数和初等函数。
2．求函数的自然定义域。
二、极限1．极限的计算（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则 （2）常用的计算方法 （a ）常用极限0lim =∞→n a n ，)1(0lim <=∞→q q n n ，1lim =∞→n n n ，)0(1lim >=∞→a a n n ，e n f n f n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→)()(11lim（∞→)(n f ），[]e n g n g n =+∞→)(1)(1lim （0)(→n g ）， )()(sin limn f n f n ∞→ = 1 （0)(→n f ）。
（b ）一些常用的处理方法(i)分子分母都除以n 的最高次幂。
例如：3562366742n n n n n n −+++ = 343116117142n n n n −+++，3562346742n n n n n n −+++ = 34321161171412nn n n n −+++ 43432523nn n n n ++++ =433215121131nn n n ++++(ii)根号差的消除。
例如：)(n f －)(n g =)()()()(n g n f n g n f +−，3)()()(n g n f n h − =()()()()()()()()[][]235343332233345)()()()()()()()()()()()()(n g n f n g n g n f n g n f n g n f n g n f n f n h −⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++(iii)指数函数的极限。
)()(lim n v n n u ∞→ = [])(lim )(lim n v n n n u ∞→∞→ (都存在）)(lim ,0)(lim n v n u n n ∞→∞→>。
(iv)利用指数函数的极限。
(完整版)高等数学-微分方程证明题
17、验证 是初值问题 的解。
18、验证 是方程 的通解，并确定积分常数 ，使积分曲线经过点 。
19、验证 是方程 的通解。
20、设 试证明 是初始值问题
的解。
21、验证：当 时，曲线族 为方程 在 上的解；而当 时，该曲线族是上述方程在 上的解。
22、证明：若 和 是全微分方程 的两个解，则它们只差一个常数。
（2）（6分）
由（1），（2）消去 得
故知已知函数是微分方程的解，且是通解。（10分）
1Байду номын сангаас、
（2分）
（6分）
将 代入原方程，得
故 为初始问题的解。（10分）
11、
对已知隐函数方程两边关于 求导得
即 （8分）
此外， 含有任意常数 ，故它是方程的通解。（10分）
12、
（4分）
（6分）
即 （8分）
此外， 含有一任意常数 ，所以它是方程的通解。
故 是方程的通解。（10分）
6、
对已知隐函数两边微分得
（5分）
即 （8分）
故已知隐函数为方程的通解。（10分）
7、
（3分）
（7分）
即
所以 是方程的通解。（10分）
8、
因
（4分）
（8分）
故 是初值问题的解。（10分）
9、
对已知隐函数方程两边关于 求导得：
（2分）
上式再对 求导得
（1）（4分）
（1）式关于x求导得
23、设 是方程 的两个互异的解，求证：对于该方程中的任何一个解 ，恒等式 永远成立，其中 为常数。
24、证明： 为方程 的解的充分必要条件是， 可微且满足方程 。
高等数学下证明题提示与解答
2
D 1
1. 若 f ( x ) 在[a , b]上连续且恒大于零，试证： b b 1 2 f ( x ) dx dx ( b a ) a a f ( x ) b b 1 f ( x) 证 : 左边 f ( x )dx dy d (1) a a f ( y) f ( y) D b b 1 f ( y) 左边 f ( y )dy dx d ( 2) a a f ( x) f ( x) D 其中 D : a x b, a y b 1 f ( x) f ( y) f ( x) f ( y) 左边 [ ]d d 2 D f ( y) f ( x) f ( y) f ( x) D
n 1 n
2
2
)
注 : sin( ) sin cos cos sin
11
若 lim nan 0, 且 [( n 1)an nan 1 ]收敛于 a， 试证
n n 1
明 an 收敛。
n 1
证 : Sn a1 a2 an
n0 n0
10
证明数项级数 sin( n 2 1) 条件收敛。
n 1
证 : un sin( n2 1) sin[( n2 1 n ) n ]
( 1)n sin ( n2 1 n)
( 1) sin
n
n 1 n
2
(0
x
显然： O 0,0,0满足上方程。
2 Fx
Fx
y
2 Fy
Fy
z
2 Fz
Fz
3
高等数学教学大纲(2024年版)
高等数学教学大纲（2024年版）1. 引言本教学大纲旨在为高等数学课程提供清晰、详细的指导，确保教学内容的系统性和连贯性，帮助学生掌握高等数学的核心概念和方法，培养其分析和解决问题的能力。
本大纲适用于我国高等教育阶段理科、工科、经济管理类等专业的本科生。
2. 教学目标通过本课程的研究，学生应达到以下目标：1. 掌握高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 能够运用高等数学知识解决实际问题。
3. 培养逻辑思维、创新能力和团队合作精神。
4. 提高数学素养，为后续专业课程和研究生阶段的研究打下坚实基础。
3. 教学内容高等数学教学内容主要包括以下几个部分：3.1 极限与连续1. 极限的概念与性质2. 极限的计算方法3. 无穷小与无穷大4. 函数的连续性5. 极限与连续在实际问题中的应用3.2 导数与微分1. 导数的概念与性质2. 导数的计算方法3. 高阶导数4. 隐函数求导与参数方程求导5. 微分学在实际问题中的应用3.3 积分与面积1. 不定积分与定积分的概念与性质2. 积分计算方法3. 换元积分与分部积分4. 定积分的应用5. 面积与体积的计算3.4 微分方程1. 微分方程的基本概念与分类2. 一阶微分方程的解法3. 高阶微分方程的解法4. 常微分方程的应用5. 线性微分方程与非线性微分方程3.5 级数1. 数项级数的概念与性质2. 收敛性与发散性判断3. 幂级数与泰勒公式4. 傅里叶级数5. 级数在实际问题中的应用3.6 向量与空间解析几何1. 向量的概念与运算2. 空间解析几何的基本概念3. 线性空间与线性变换4. 向量空间的应用5. 坐标变换与几何变换3.7 线性代数1. 矩阵的概念与运算2. 线性方程组3. 特征值与特征向量4. 二次型5. 线性代数在实际问题中的应用4. 教学方法与手段1. 采用讲授、讨论、自学相结合的教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2. 使用多媒体课件、板书等多种教学手段，提高教学效果和学生的研究兴趣。
高等数学,用数列极限定义证明题目
高等数学,用数列极限定义证明题目高等数学中的极限定义是一种非常重要的技术，它可以用来解决各种问题。
极限定义是指当某个变量的值逐渐接近某一值时，可以把这个值定义为极限。
也就是说，极限定义是指当变量的值在一定范围内时，可以确定一个极限值。
二、极限定义的应用1.限定义可以用来解决微积分问题。
例如，使用极限定义可以解决复杂的积分问题，例如求无限积分的极限，以及高阶多项式的积分问题。
2.限定义可以用来解决各种函数的求值问题。
比如，求函数的导数，或者求解某一特定函数的极限值，或求幂的极限值等，都可以使用极限定义。
3.限定义还可以用来处理复杂的几何问题，例如计算圆柱体或椭圆体的体积。
4.限定义可以用来求解高阶多项式方程，例如合并多项式，求解多项式根，求解高次方程，以及求解多元方程组等问题。
三、用数列极限定义证明题目1.定义数列：设a_{n}为数列，n=1,2,3,...，则当n→∞时，若存在极限L，则数列a_{n}收敛于L，即满足：lima_{n}=L。
2.明题目：设f(x)为单调递增函数，数列a_{n}的极限为L，则f(L)也是单调递增函数。
证明：由数列极限定义可知，当n→∞时，若存在极限L，则数列a_{n}收敛于L，即满足：lima_{n}=L。
根据单调函数的定义，可知：当x的值逐渐接近L，即x→L时，由于f(x)是单调函数，故f(x)是单调递增的，即f(x)的值也逐渐接近f(L)，即f(x)→f(L)，即当x的值收敛于L，故f(L)也是单调递增的。
综上所述，当x的值逐渐接近L，即x→L时，由于f(x)是单调函数，故f(x)是单调递增的，即f(x)的值也逐渐接近f(L)，即f(x)→f(L)，即当x的值收敛于L，故f(L)也是单调递增的，从而证明了用数列极限定义证明题目。
四、结论通过本文可以得出，极限定义是一种重要的技术，它可以用来解决各种复杂的数学问题。
另外，用数列极限定义也可以用来证明某些问题，上述例子也可以证明这一点。
大学高等数学试题及答案
大学高等数学试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间(-∞, -3)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 微分方程y''+y=0的通解为：A. y=C1*cos(x)+C2*sin(x)B. y=C1*e^x+C2*e^(-x)C. y=C1*x+C2D. y=C1*ln(x)+C24. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为：A. 1B. -1C. 3D. -35. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点为______。
7. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。
8. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率为______。
9. 函数f(x)=sin(x)的周期为______。
10. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)。
12. 计算定积分∫(0 to 1) (2x+1) dx。
13. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的二阶导数。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是增函数。
15. 证明极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e。
答案：一、单项选择题1. B2. B3. A4. B5. A二、填空题6. x=-17. e^x+C8. 09. 2π10. 0三、计算题11. 412. 3/213. f''(x)=6x-12四、证明题14. 证明略15. 证明略结束语：本试题涵盖了高等数学的多个重要知识点，包括极限、导数、积分等，旨在检验学生对高等数学基本概念和计算方法的掌握程度。
高等数学数列极限证明题
高等数学数列极限证明题设数列$\{a_n\}$满足以下条件：1. $a_1>0$2. $a_{n+1}=a_n-\frac{3}{2}(a_n)^2$证明：$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。
证明：首先，我们可以猜测数列递归式的解为$a_n=\frac{2}{3n}$，这是因为当$n=1$时，上述递归式右侧等于$a_1-\frac{3}{2}(a_1)^2>0$，与我们的条件$a_1>0$相符，因此初步猜测成立。
接下来，我们利用数学归纳法证明$a_n=\frac{2}{3n}$是递归式的解。
首先，当$n=1$时，$a_1=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}=\frac{2}{3}$，与我们的条件$a_1>0$相符。
然后，我们假设当$n=k$时，$a_k=\frac{2}{3k}$成立。
那么当$n=k+1$时，根据递归式：$a_{k+1}=a_k-\frac{3}{2}(a_k)^2=\frac{2}{3k}-\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3k}\right)^2=\frac{2}{3k}-\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{9k^2}=\frac{2k-6}{3k^2}$我们需要证明$a_{k+1}=\frac{2k-6}{3k^2}=\frac{2}{3(k+1)}$。
将$\frac{2}{3(k+1)}$化简得：$\frac{2}{3(k+1)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{k+1}=\frac{2}{3k+ 3}=\frac{2(2k-6)}{3(2k-6)+3}=\frac{2k-6}{3k^2}$由此可见，当$n=k+1$时，$a_{k+1}=\frac{2}{3(k+1)}$成立。
根据数学归纳法原理，我们已经证明了$a_n=\frac{2}{3n}$是递归式的解。
接下来，我们推导数列$\{a_n\}$的极限。
高等数学(2) 证明题
证明由已知条件可得 xFx + yFy + zFz = kF
l m1
所以已知两直线异面，取公垂线的方向向量
i jk s = s1 × s2 = 1 1 1 = (1− m,l −1, m − l) .
lm1 公垂线的点 P(x, y, z) 满足的方程为混合积
x 即1
1− m
[ p1 p, s1, s ] = 0 ,[ p2 p, s2 , s ] = 0 ,
∂u ∂a
=
fx (x0 , y0 , z0 )
l a
+
m f y (x0 , y0 , z0 ) a
+
fz (x0 , y0 , z0 )
n a
= 1 n⋅a=0 a
12.试证明曲面 x + y + z = a 上任何点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和等
于a.
证明曲面 x + y + z = a 上点 (x0 , y0 , z0 ) 处的法向量
10.函数 z = z(x, y) 由方程 F(x + z , y + z ) = 0 所确定，其中 F 有连续的一阶偏导数， yx
求证:
x ∂z + y ∂z = z ∂x ∂y
证明
∂z
=
−
−
1 x2
( yF1
高等数学,用数列极限定义证明题目
高等数学,用数列极限定义证明题目数列极限是高等数学中一种重要概念，它是指当一系列数字（即数列）的元素趋近于某一数字时，此数据可以被认为是该数列的极限。
这个概念可以用多种方法来定义，但最典型的定义是通过限制级数概念来定义的。
限制级数（limit sequence）又称累加级数，是指在自然数序列中，每一项所对应的值是前面所有项的值的总和。
此外，限制级数中的每一项和都可以用概率理论来证明。
第二部分数列极限定义极限在数学中，极限的概念可以用限制级数的概念来定义。
如果存在一个无穷累加序列，其元素趋近于某一数，那么此数就可以被定义为极限。
一般来说，当大量数列的元素趋近于一个常数时，此常数就可以被称为数列的极限。
第三部分明题目首先，假设我们有一个无限累加序列（a1, a2, a3,），累加和构成这个累加序列的每一项都是由概率原理来证明的。
假设存在一个某一数字L，它是这个累加序列的极限，即a1+a2+a3+…+an→L，n→∞时，累加序列的总和趋近于L.那么，使存在一个无穷累加序列，n→∞时，我们可以证明它的极限的存在。
为了证明这一命题，我们可以把n表示为an+an+1的差值，那么根据概率原理，当n趋近无尽大时，n的值趋于0，即：n→0，当n趋于无穷大时。
此外，由于累加序列的极限是L，因此，当n→∞时，我们有： a1+a2+a3+…+an→L以上均可以用概率原理证明。
因此，可以确定当数列元素趋近于某一数字L时，此数就可以被定义为数列的极限。
结论通过以上分析，可以得出结论：当一系列数字的元素趋近于某一数字时，此数可以被认为是该数列的极限。
该极限可以通过限制级数的概念来定义，并可以用概率原理证明。
高等数学复习题
高等数学复习题一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下关于极限的描述中，正确的是：A. 极限存在则函数一定连续B. 函数在某点连续则该点的极限存在C. 函数在某点的极限存在则该点的函数值等于极限值D. 函数在某点的极限不存在则该点的函数值一定无定义2. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处一定连续B. f(x)在点x=a处的导数等于f(x)在该点的极限C. f(x)在点x=a处的导数是f(x)在该点的瞬时变化率D. f(x)在点x=a处的导数是f(x)在该点的切线斜率3. 以下关于定积分的描述中，错误的是：A. 定积分表示曲线与x轴之间的有向面积B. 定积分的值与积分区间的选择无关C. 定积分的值与积分变量无关D. 定积分的值是积分区间上函数的平均值与区间长度的乘积4. 以下关于无穷级数的描述中，正确的是：A. 所有正项级数都收敛B. 收敛级数的项趋于0C. 收敛级数的和一定存在D. 级数的收敛性与项的符号无关二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，则f'(x)=______。
2. 函数f(x)=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的切线斜率为______。
3. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为______。
4. 级数∑(1 to ∞) 1/n^2的和为______。
三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的导数。
2. 计算定积分∫(0 to 2) (2x+1) dx。
3. 判断级数∑(1 to ∞) (-1)^n/n的收敛性。
4. 证明函数f(x)=x^2在(-∞, +∞)上是凸函数。
5. 求函数f(x)=e^x的原函数。
6. 讨论函数f(x)=ln(x)在x=1处的连续性及其导数。
四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫(a to b) f(x) dx存在。
高等数学-微分方程证明题
高等数学一、证明题（共 52 小题，）1、验证322131t t C C x ++=是方程tx x t ¢¢-¢=2的通解。
的通解。
2、证明：由参数方程x t t y t t C =+=+++ìíïïîïï31321413332()所确定的函数y y x C =(,)是方程是方程x y xy 3330+¢-¢=的通解。
的通解。
3、证明：()x C y C ++=2221（C C12,为任意常数）是方程102+¢¢+¢=yy y 的通解。
的通解。
4、证明：y e x x =-2333212sin 是初值问题ïîïïíì===++==1d d ,00d d d d 0022x x xy y y x y x y 的解。
的解。
5、证明：方程¢+=y ky kq x ()的通解是y e C kq u e u kxkux=+æèçöø÷-ò()d 0，其中，其中 C 为任意常数。
为任意常数。
6、验证：x x y y C 42242++=（C 为任意常数）是方程()d x xy x 32+++=()d x y y y 230的通解。
的通解。
7、验证：y x e x x C x =+æèçöø÷òd 是微分方程xy y xe x¢-=的通解。
的通解。
8、验证x t t =-223(sin sin )是初值问题是初值问题d d sin d d 2200410302x t x t x xt t t +===-ìíïïîïï==的解。
(完整word版)高等数学证明题
1。
证明:函数)4)(3)(2()(---=x x x x f 在区间)4,2(内至少存在一点ξ,使0)(=''ξf 。
证明：)(x f 在]3,2[上连续，在)3,2(内可导，且0)3()2(==f f ，由罗尔定理，至少存在一点)3,2(1∈ξ,使0)(1='ξf ，同理,至少存在一点)4,3(2∈ξ，使得0)(2='ξf ；)(x f '在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点)4,2(),(21⊂∈ξξξ,使得0)(=''ξf 。
2。
设f 为[,]a b 上的二阶可导函数，()()0f a f b ==, 并存在一点(,)c a b ∈，使得()0f c >. 证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得''()0f ξ>。
（10分)证明：考虑区间[,]a c ,则f 在[,]a c 满足Lagrange 中值定理的条件，则存在1(,)a c ξ∈，使得1()()'()0f c f a f c aξ-=>-。
(3分)同理可证存在2(,)c b ξ∈， 使得2()()'()0f b f c f b cξ-=<-. （5分）再考虑区间12[,]ξξ， 由条件可知导函数'()f x 在12[,]ξξ上满足Lagrange 中值定理的条件，则存在12(,)ξξξ∈， 使得2121()()''()0f f f ξξξξξ-=>-。
得证.3. 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可导，且0)(≤'x f ⎰-=xadt t f a x x F )(1)(证明在],[b a 内有0)(≤'x F 证明在],[b a 内有0)(≤'x F])()()[()(1)(2⎰---='x a dt t f x f a x a x x F (2分） =)]()()()[()(12ξf a x x f a x a x ---- ]),[],[(b a x a ⊂∈ξ(2分） =)(ηξf ax x '-- ]),[),((b a x ⊂∈ξη0)(≤'∴x F (2分）4。
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复习提纲（证明题）一、极限存在准则1． 准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: （1）),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; （2）,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→ 思路提示：1）利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求.2）一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项（右边取分母最小，左边取分母最大） 例题1 证明222111lim ()112n n n n n n→∞⋅+++=+++解：因为2222222111()121n n n n n n n n n n ≤⋅+++≤+++++， 而2222lim lim 11n n n n n n n →∞→∞==∴++222111lim ()112n n n n n n→∞⋅+++=+++。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例题2 计算.12111lim 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n21n⎛⎫≤++≤+，而1n n ==，所以21lim 1n n →∞⎛⎫+=+。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例题3 计算.)(1)1(11lim 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→n n n n n 解：由于22222111()(1)()n nn n n n n n n⎛⎫≤+++≤ ⎪+++⎝⎭，而22limlim 0()n n n n n n n →∞→∞==+，于是222111lim 0(1)()nn n n n →∞⎛⎫+++= ⎪++⎝⎭。
例题4 证明211nn →∞++=+21n ≤+≤+，而lim1,1n n →∞==,所以211n n →∞++=+.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------例题5 计算22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++ ⎪++++++⎝⎭解：由于22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫≤++≤ ⎪++++++++++⎝⎭， 而222211(1)(1)12112122lim lim ,lim lim 2112n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞++++++++===++++++++， 所以222121lim 122n n n n n n n n n →∞⎛⎫++= ⎪++++++⎝⎭。
--------------------------------------------------------------------------例题6 计算222111lim()(1)(2)n nn n →∞++++解：因为22222111111(2)(1)(2)n n n n n n n n⋅≤+++≤⋅=+ 而2211lim 0,lim 0(2)n n n n n n →∞→∞⋅=⋅=，根据极限存在准则， 222111lim()0(1)(2)n n n n →∞+++=+。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------例题7 证明01lim []1x x x+→⋅= 解：由于111[]x x x -≤≤，(1)1111[](1)[]1x x x x x x x x x-⇒≤≤⇒-≤⋅≤⋅=，而001lim(1)1,lim 1x x x x x ++→→-=⋅=，所以01lim []1x x x+→⋅=。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例题8 证明211lim(1)nn e nn→∞++= 解：由于2111111(1)(1)(1)[1](1)1n n n n nnn n n n n +≤++≤++=+--， 而111111lim(1)lim(1)(1)111n n n n e n n n -+-→∞→∞+=++=---，1lim(1)n n e n →∞+= 所以211lim(1)n n e n n→∞++=。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例题9 计算.)321(lim/1n n n n ++∞→ 解：由于111111(3)(003)(123)(333)(33)33n n nnn nnn n nn n n n n=++≤++<++=⋅=⋅而11lim(3)lim333n nn n n →∞→∞=⋅=，所以 1lim(123)3nnn nn →∞++=。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题10设12,,...,ma a a 为正数，求证{}11212lim(...)max ,,...,n nn nm m n a a a a a a →∞+++=。
解：不妨设112max{,,}n a a a a =，此时有1113211211111()[1()()()]()n nnn n n m nnn m a a aa a a a a a m a a a ≤+++≤+++≤， 由于m 是一个正的常数，而1lim1nn m →∞=，所以{}112112lim(...)max ,,...,n nn nm m n a a a a a a a →∞+++==。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2． 准则II （单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 思路提示：1）直接对通项进行分析或用数学归纲法验证数列{}n x 单调有界；2）设{}n x 的极限存在，记为lim n n x a →∞=，代入给定的n x 的表达式中，则该式变为a 的代数方程，解之即得该数列的极限。
例题11 设11)n x x n N ++==∈，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限。
解：显然1n n x x ->，设12x <，若12,2k k x x +<=<=，所以对一切n ，有2n x <。
因此它是单调递增且有上界！因此极限lim n n x →∞存在。
设lim n n x A →∞=，对1n x +=，两边求极限，有A =，12(2)(1)02,1A A A A -+=⇒==-，由于0A >，所以极限为2 。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例题12 已知数列{}n x 中的每一项都是正的，并且11(1)()4n n x x n N ++->∈，证明数列{}n x是单调的，并证明1lim 2n n x →∞=。
解：由题意11111,144n n n n x x x x ++->->-，所以11111104n n n n x x x x +++->+-≥=，即{}n x 单调上升；又11111(1)044n n n n n x x x x x +++-<-⇒-<-<，10,1{}n n n x x x +>∴<∴有界。
所以lim n n x →∞存在。
设lim n n x A →∞=，因为11(1)4n n x x +->，两边取极限2211()042A A A -≥⇒-≤，显然只能11022A A -=⇒=。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题13 若序列{}n a的项满足：1a a >为正的常数），且11()2n n naa a a +=+，（1,2,n =）试证：{}n a 有极限，并求出它。
解：由1a >21211111()22a a a a a a a +=+=>=下面用数学归纳法证k a >211()22k k k k k ka a aa a a a ++=+=>=又211()022n n n n n na a aa a a a a +--=-=>，故{}n a 单调且有下界，从而其极限存在，令其为A 由11111()lim lim()()222n n n n n n n n a a aa a a a A A a a A ++→∞→∞=+⇒=+⇒=+，即20)A a A A =⇒=>，所以lim n n a →∞=---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题14设110,1,2,3,n x a x n +=>==，求lim n n x →∞。