2019年湖北襄阳中考数学试题(解析版)_最新修正版
2019年湖北省襄阳市中考数学试题(Word版,含解析)
湖北省襄阳市2019年中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答1．（3分）计算|﹣3|的结果是（）A．3 B．C．﹣3 D．±32．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a2）﹣3＝a﹣63．（3分）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（）A．青B．来C．斗D．奋5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（）A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形8．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得9．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝D．＝10．（3分）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上11．（3分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为．12．（3分）定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．13．（3分）从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y＝2x上的概率是．14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．15．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h ＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
湖北省襄阳市2019年中考[数学]考试真题和参考答案
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湖北省襄阳市2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．﹣2的绝对值是（ ）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【知识考点】绝对值．【思路分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解题过程】解：|﹣2|＝2．故选：B．【总结归纳】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（ ）A．132° B．128° C．122° D．112°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故选：C．【总结归纳】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．3．下列运算一定正确的是（ ）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【思路分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解题过程】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；C．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；D．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．下列说法正确的是（ ）A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定【知识考点】算术平均数；方差；随机事件；概率的意义；概率公式．【思路分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解题过程】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；故选：D．【总结归纳】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．5．如图所示的三视图表示的几何体是（ ）A．B．C．D．【知识考点】由三视图判断几何体．【思路分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解题过程】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：A．【总结归纳】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．6．不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】根据不等式组可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．【解题过程】解：由不等式组得﹣2≤x＜1，该不等式组的解集在数轴表示如下：故选：A．【总结归纳】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【知识考点】作图—基本作图．【思路分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC ＝∠BAC即可．【解题过程】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D．【总结归纳】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ）A．B．C．D．【知识考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解题过程】解：根据题意可得：，故选：C．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【知识考点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【思路分析】根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解题过程】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．【总结归纳】本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【知识考点】二次函数图象与系数的关系．【思路分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【解题过程】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．【总结归纳】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．函数y＝中自变量x的取值范围是 ．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解题过程】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．【总结归纳】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ °．【知识考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【思路分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．【解题过程】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，∴∠B＝＝＝80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，∵AD＝DC，∴∠C＝＝＝40°．【总结归纳】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．13．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为 ．【知识考点】概率公式．【思路分析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，由概率公式即可得出答案．【解题过程】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，∴这一卦中恰有2根和1根的概率为＝；故答案为：．【总结归纳】本题考查了概率公式、古典概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t ﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒．【知识考点】二次函数在给定区间上的最值．【思路分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【解题过程】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．故答案为：1.25．【总结归纳】考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．15．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 °．【知识考点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；圆周角定理．【思路分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．【解题过程】解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60°或120°．【总结归纳】本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．16．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为 ．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【思路分析】由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF＝，设BF＝x，BE ＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB＝BF，则可得出答案．【解题过程】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，∴EF＝＝3x，∴AE＝3x，∴AB＝5x，∴AB＝BF．∴S矩形ABCD＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．故答案为：15．【总结归纳】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解题过程】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2＝6xy，当x＝，y＝﹣1时，原式＝6××（﹣1）＝6﹣6．【总结归纳】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD ＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】求出∠E的度数，再在Rt△BDE 中，依据三角函数进行计算即可．【解题过程】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，∴∠E＝140°﹣50°＝90°，在Rt△BDE中，DE＝BD•cos∠D＝560×cos50°≈560×0.64＝358.4（米）．答：点E与点D间的距离是358.4米．【总结归纳】考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．19．（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解题过程】解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴x＝8．答：现在每天用水量是8吨．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（6分）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为 人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；中位数；众数．【思路分析】（1）计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（3）样本估计总体，样本中80分以上的占，因此估计总体1500人的是80分以上的人数．【解题过程】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78，因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）1500×＝720（人），故答案为：720．【总结归纳】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．21．（7分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝ ，n＝ ；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 ．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．【解题过程】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM＝|m|＝＝2，故答案为2．【总结归纳】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．【知识考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．【思路分析】（1）连接OC，根据＝，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O 的切线；（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD＝，根据勾股定理得到AE＝＝＝2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解题过程】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵＝，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD＝，∴BE＝2，∴AE＝＝＝2，∴AE＝AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵＝，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．【总结归纳】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．【知识考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a 的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．（3）根据（2）的结论分情况讨论．【解题过程】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，解得k＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k1x+b，根据题意得，，解得，∴y＝24x+3000．∴y＝，（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，∴40≤a≤60，当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．当a＝40 时．w min＝2700 元，当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．当a＝60时，w min＝2740 元，∵2740＞2700，∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．（3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克当时，即0≤a≤125，则甲种水果的进货价为30元/千克，（40﹣30）×a+（36﹣25）×≥1650，解得a≥，与0≤a≤125矛盾，故舍去；当时，即a＞125，则甲种水果的进货价为24元/千克，≥1650，解得x≥150，∴a的最小值为150．【总结归纳】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．24．（11分）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝ °；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论．②利用四点共圆的性质解决问题即可．（2）结论不变．利用四点共圆证明即可．（3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．【解题过程】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②结论：∠ACE＝90°．理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案为90．（2）结论：∠ACE＝90°．理由：如图2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴＝＝，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a﹣，∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a﹣，∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a﹣）2＝（）2+a2，解得a＝4或0（舍弃），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝＝＝4，∴DP＝PA＝PE＝AE＝2，EF＝AE＝，∴PF＝PE＝2，∵∠DPF＝90°，∴DF＝＝＝4．【总结归纳】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（12分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）令x＝0，由y＝﹣x+2，得A点坐标，令y＝0，由y＝﹣x+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y＝0，便可求得B点坐标；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，），则N（a，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；（3）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m 的最大和最小值便可．【解题过程】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，设M（a，），则N（a，），∴＝，∵，∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）；（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣3，当点O′（m，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．。
2019年湖北省襄阳市中考数学试卷(含解析)完美打印版
2019年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答1．（3分）计算|﹣3|的结果是（）A．3B．C．﹣3D．±32．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a2）﹣3＝a﹣63．（3分）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（）A．青B．来C．斗D．奋5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（）A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形8．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是1 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得9．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．＝D．＝10．（3分）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上11．（3分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为．12．（3分）定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．13．（3分）从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y＝2x上的概率是．14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．15．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h ＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
2019年湖北省襄阳中考数学试卷-答案
湖北省襄阳市2019年初中毕业生学业水平考试数学答案解析一、选择题1.【答案】A 【解析】解：33-=.故选：A .根据绝对值的性质进行计算.【考点】绝对值的性质2.【答案】D【解析】解：A .32a a -，无法计算，故此选项错误；B .235a a a ⋅=，故此选项错误；C .624a a a ÷=，故此选项错误；D .()326a a --=，正确.故选：D .直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案.【考点】合并同类项，同底数幂的乘除运算3.【答案】B【解析】解：∵CD AB ⊥于点D ，40BCD =︒∠，∴90CDB =︒∠.∴90BCD DBC +=︒∠∠，即4090BCD +︒=︒∠.∴50DBC =︒∠.∵直线BC AE ∥，∴150DBC ==︒∠∠.故选：B .先在直角CBD △中可求得DBC ∠的度数，然后平行线的性质可求得1∠的度数.【考点】平行线的性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质4.【答案】D【解析】解：由：“Z ”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋；故选：D .正方体展开图的“Z ”字型找对面的方法即可求解；【考点】正方体的展开图5.【答案】B【解析】解：A .是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B .是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C .不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D .不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.故选：B .根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【考点】中心对称图形与轴对称图形的概念6.【答案】C【解析】解：不等式组整理得：43x x ⎧⎨-⎩＜≤， ∴不等式组的解集为3x -≤，故选：C .求出不等式组的解集，表示出数轴上即可.【考点】解一元一次方程组7.【答案】D【解析】解：由作图可知：AC AD BC BD ===，∴四边形ACBD 是菱形，故选：D .根据四边相等的四边形是菱形即可判断.【考点】基本作图，菱形的判定8.【答案】C【解析】解：A .必然事件发生的概率是1，正确；B .通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；C .概率很小的事件也有可能发生，故错误；D .投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选：C .不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1.【考点】本题考查了概率的意义9.【答案】B【解析】解：设合伙人数为x 人，依题意，得：54573x x +=+.故选：B .设合伙人数为x 人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解.【考点】由实际问题抽象出一元一次方程10.【答案】A【解析】解：∵AD 为直径，∴90ACD =︒∠，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴CD OB ∥，CD OB =，在Rt ACD △中，1sin 2CD A AD ==， ∴30A =︒∠，在Rt AOP △中，AP =，所以A 选项的结论错误；∵OP CD ∥，CD AC ⊥，∴OP AC ⊥，所以C 选项的结论正确；∴AP CP =，∴OP 为ACD △的中位线，∴2CD OP =，所以B 选项的结论正确；∴2OB OP =，∴AC 平分OB ，所以D 选项的结论正确.故选：A . 利用圆周角定理得到90ACD =︒∠，再根据平行四边形的性质得到CD OB ∥，CD OB =，则可求出30A =︒∠，在Rt AOP △中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A 选项进行判断；利用OP CD ∥，CD AC ⊥可对C 选项进行判断；利用垂径可判断OP 为ACD △的中位线，则2CD OP =，原式可对B 选项进行判断；同时得到2OB OP =，则可对D 选项进行判断.【考点】圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质.二、填空题11.【答案】81.210⨯【解析】解：81.2 1.210=⨯亿.故答案为：81.210⨯.科学记数法就是将一个数字表示成（10a ⨯的n 次幂的形式），其中110a ≤＜，n 表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂.【考点】科学记数法的理解和运用，单位的换算12.【答案】1x =【解析】解：2*(3)1*(2)x x +=，2132x x=+， 43x x =+，1x =，经检验：1x =是原方程的解，故答案为：1x =.根据新定义列分式方程可得结论.【考点】解分式方程，新定义的理解13.【答案】13【解析】解：画树状图如图所示，一共有6种情况，2b a =的有(2,4)和(3,6)两种，所以点(,)a b 在直线2y x =上的概率是2163=， 故答案为：13.画出树状图，找到2b a =的结果数，再根据概率公式解答【考点】列表法与树状图法14.【答案】②【解析】解：∵已知ABC DCB ∠=∠，且BC CB =∴若添加①A D ∠=∠，则可由AAS 判定ABC DCB △≌△；若添加②AC DB =，则属于边边角的顺序，不能判定ABC DCB △≌△；若添加③AB DC =，则属于边角边的顺序，可以判定ABC DCB △≌△.故答案为：②.一般三角形全等的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，据此可逐个对比求解. 【考点】全等三角形的几种基本判定方法15.【答案】4【解析】解：依题意，令0h =得20205t t =-得(205)0t t -=解得0t =（舍去）或4t =即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4.根据关系式，令0h =即可求得t 的值为飞行的时间【考点】二次函数的性质在实际生活中的应用16【解析】解：如图，过点C 作CM DE ⊥于点M ，过点E 作EN AC ⊥于点N ，∵1BD =，5AD =，∴6AB BD AD =+=，∵在Rt ABC △中，30BAC ∠=︒，9060B BAC ∠=︒-∠=︒，∴132BC AB ==，AC ==， 在Rt BCA △与Rt DCE △中，∵30BAC DEC =∠=︒，∴tan tan BAC DEC ∠=∠， ∴BC DC AC EC=， ∵90BCA DCE =∠=︒，∴BCA DCA DCE DCA -∠=∠-∠∠，∴BCD ACE ∠=∠，∴BCD ACE △∽△，∴60CAE B ∠=∠=︒， ∴BC BD AC AE=， ∴306090DAE DAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒1AE，∴AE =，在Rt ADE △中，DE==在Rt DCE△中，30DEC∠=︒，∴60EDC∠=︒，12DC DE==，在Rt DCM△中，MC=，在Rt AEN△中，32NE AE==，∵MFC NFE∠=∠，90FMC FNE∠=∠=，∴MFC NFE△∽△+，∴232CF MCEF NE==，.过点C作CM DE⊥于点M，过点E作EN AC⊥于点N，先证BCD ACE△∽△，求出AE的长及60CAE∠=︒，推出90DAE∠=︒，在Rt DAE△中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt DCM△和Rt AEN△中，求出MC和NE的长，再证MFC NFE△∽△，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF 与EF的比值.【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形三、解答题17.【答案】解：2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ 22121111x x x x x x x -++⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭ 21(1)(1)1(1)x x x x +-=⨯-+ 11x =+，当1x =-时，原式==. 【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可.【考点】分式的化简求值18.【答案】（1）20︒0.2︒（2）7080x ︒≤＜（3）正确（4）72︒（5）900【解析】解：（1）调查学生总数：150.350÷=（名），7080x ≤＜的频数：501510520---=，即20a =。
2019年湖北省襄阳市中考数学试卷
2019年湖北省襄阳市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 计算|-3|的结果是（）C.-3D.±3A.3B.13【答案】A【解析】解：|-3|=3．故选：A．根据绝对值的性质进行计算．本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.下列运算正确的是（）A.a3-a2=aB.a2•a3=a6C.a6÷a2=a3D.（a2）-3=a-6【答案】D【解析】解：A、a3-a2，无法计算，故此选项错误；B、a2•a3=a5，故此选项错误；C、a6÷a2=a4，故此选项错误；D、（a2）-3=a-6，正确．故选：D．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD=40°，则∠1的度数是（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】B【解析】解：∵CD⊥AB于点D，∠BCD=40°，∴∠CDB=90°．∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+40°=90°．∴∠DBC=50°．∵直线BC∥A E，∴∠1=∠DBC=50°．故选：B．先在直△角CBD中可求得∠DBC的度数，然后平行线的性质可求得∠1的度数．本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．4.某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春” 字所在的面相对的面上的字是（ ）A. B. C. D.青 来 斗 奋【答案】D【解析】解：由：“Z ”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋； 故选：D ．正方体展开图的“Z ”字型找对面的方法即可求解；本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键．5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B. C. D.【答案】B【解析】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B ．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．6.A.C.【答案】C2 < +4 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（3 + ≥ 3 + 9B.D.）【解析】解：不等式组整理得：{ < 4， ≤ − 3∴不等式组的解集为 x ≤-3，故选：C ．求出不等式组的解集，表示出数轴上即可．此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．不等式组{7.如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接A C，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（）A.正方形B.矩形C.梯形D【答案】D【解析】解：由作图可知：AC=AD=B C=BD，∴四边形ACBD是菱形，故选：D．根据四边相等的四边形是菱形即可判断．本题考查基本作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．8.下列说法错误的是（）A. B. C. D.必然事件发生的概率是1通过大量重复试验，可以用频率估计概率概率很小的事件不可能发生投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得【答案】C【解析】解：A、必然事件发生的概率是1，正确；B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选：C．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．9.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A.5x-45=7x-3B.5x+45=7x+3C.:45:357D.;45;357【答案】B【解析】解：设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45=7x+3．故选：B．设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10. 如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A. B. C.AP=2OPCD=2OPOB⊥AC==D.AC平分OB【答案】A【解析】解：∵AD为直径，∴∠ACD=90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥O B，CD=OB，，在Rt△ACD中，sin A==12∴∠A=30°，在Rt△AOP中，AP=√3OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP=C P，∴OP为△ACD的中位线，∴CD=2OP，所以B选项的结论正确；∴OB=2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．利用圆周角定理得到∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥O B，CD=OB，则可求出∠A=30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD=2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB=2OP，则可对D选项进行判断．此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为______．【答案】1.2×108【解析】解：1.2亿=1.2×108．故答案为：1.2×108．科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12. 定义：a*b=，则方程2*（x+3）=1*（2x）的解为______．【答案】x=1【解析】解：2*（x+3）=1*（2x），=，:32214x=x+3，x=1，经检验：x=1是原方程的解，故答案为：x =1．根据新定义列分式方程可得结论．本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．13. 从 2，3，4，6 中随机选取两个数记作 a 和 b （a ＜b ），那么点（a ，b ）在直线 y =2x 上的概率是______．【答案】 3【解析】解：画树状图如图所示，一共有 6 种情况，b =2a 的有（2，4）和（3，6）两种，所以点（a ，b ）在直线 y =2x 上的概率是 = ，6 3故答案为： ．3画出树状图，找到 b =2a 的结果数，再根据概率公式解答本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n ， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后根据概率公式求出事件A 或 B 的概率．14. 如图，已知∠ABC =∠DCB ，添加下列条件中的一个：①∠A=∠D ，②AC =DB ，③AB =DC ，其中不能确 △定ABC ≌△DCB 的是 ______（只填序号）． 【答案】②【解析】解：∵已知∠ABC =∠DCB ，且 BC =CB ∴若添加①∠A =∠D ，则可由 AAS 判 △定ABC ≌△DCB ；若添加②AC =DB ，则属于边边角的顺序，不能判 △定ABC ≌△DCB ； 若添加③AB =DC ，则属于边角边的顺序，可以判 △定ABC ≌△DCB ． 故答案为：②．一般三角形全等的判定方法有 SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，据此可逐个对比求解．本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．15. 如图，若被击打的小球飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间 t （单位：s ）之间具有的关系为 h=20t -5t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s ．【答案】4 【解析】解： 依题意，令 h =0 得0=20t -5t 2得 t （20-5t ）=0 解得 t =0（舍去）或 t=412 11即小球从飞出到落地所用的时间为 4s 故答案为 4．根据关系式，令 h =0 即可求得 t 的值为飞行的时间本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小 球从飞出到落地即飞行的高度为 0 时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简 单16. 如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点 C ，点 D 在 AB 上， ∠BAC =∠DEC =30°，AC 与 DE 交于点 F ，连接AE ，若B D =1，AD =5，则 =______．【答案】3 【解析】解：如图，过点C 作 CM ⊥DE 于点 M ，过点 E 作 EN ⊥AC 于点 N ， ∵BD =1，AD =5， ∴AB =B D +AD=6，∵在 Rt △ABC 中，∠BAC =30°，∠B =90°-∠BAC =60°， ∴BC = AB =3，AC =√3BC=3√3，2 在 Rt △BCA 与 Rt △DCE 中， ∵BAC =∠DEC =30°， ∴tan ∠BAC =tan ∠DEC ，∴=，∵BCA =∠DCE =90°，∴∵BCA -∠DCA =∠DCE -∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ， ∴△BCD △∽ACE ，∴∠CAE =∠B =60°，∴=，∴∠DAE =∠DAC +∠CAE =30°+60°=90° ， ∴AE =√3， 在 Rt △ADE 中，3 1 3√3，DE =√2+2=√5 2+√(3)2=2√7，在 Rt △DCE 中，∠DEC =30°， ∴∠EDC =60°，DC= DE =√7，2 在 Rt △DCM 中，MC = DC= ，2 2 在 Rt △AEN 中，√211=1√3√21NE = AE = ，22∵∠MFC =∠NFE ，∠FMC =∠FNE =90， ∴△MFC △∽NFE ，∴ =√212 3 =√213，2故答案为： ．3过点 C 作 CM ⊥DE 于点 M ，过点 E 作 EN ⊥AC 于点 N ，先 △证BCD △∽ACE ，求出 AE 的 长及∠CAE =60°，推出∠DAE =90°，在 Rt △DAE 中利用勾股定理求出 DE 的长，进一步求 出 CD 的长，分别在Rt △DCM 和 Rt △AEN 中，求出M C 和 NE 的长，再 △证MFC △∽NFE ， 利用相似三角形对应边的比相等即可求出 CF 与 EF 的比值．本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通 过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分）17. 先化简，再求值：（-1）÷;122 ;1，其中 x =√2-1．【答案】解：（-1）÷ ;12 :2 :12;1=（-）÷ ;1;12:2 :12 ;1==1 ( :1)( ;1)(:1)2，:1当 x =√2-1 时，原式== ．√2:1;1 2【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．18. 今年是中华人民共和国建国 70 周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题 学习竞赛活动．学校 3000 名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于 60 分（满分 100 分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行 统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：成绩 x （分）分组 60≤ x ＜70 70≤ x ＜80 80≤ x ＜9090≤ x ≤100频数15a 10 5频率0.30 0.40b 0.10（1）表中 a =______，b =______；（2）这组数据的中位数落在______范围内；（3）判断：这组数据的众数一定落在70≤x ＜80 范围内，这个说法______（填“正 确”或“错误”）；（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80≤x ＜90 范围内的扇形圆心角的大小为 ______；√ 3 3 √21:2 :1 ;1×;1 11√ 2【答案】20 0.2 70≤x ＜80 正确 72° 900【解析】解：（1）调查学生总数：15÷0.3=50 （名）， 70≤ x ＜80 的频数：50-15-10-5=20，即 a =2080≤ x ＜90 的频率：1-0.3-0.4-0.1=0.2 ，即 b =0.2 ， 故答案为 20，0.2；（2）共 50 名学生，中位数落在“70≤x ＜80”范围内；（3）“70≤x ＜80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在 70≤x ＜80 范围内， 故答案为正确；（4）成绩在 80≤x ＜90 范围内的扇形圆心角：360° × =72° ，50故答案为 72° ；（5）获得优秀成绩的学生数：3000 × =900（名），50故答案为 900．（1）调查学生总数：15÷0.3=50（名），70≤x ＜80 的频数：50-15-10-5=20，即 a =2080≤x ＜90 的频率：1-0.3-0.4-0.1=0.2 ，即 b=0.2 ；（2）共 50 名学生，中位数落在“70≤x ＜80”范围内；（3）“70≤x ＜80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在 70≤x ＜80 范围内；（4）成绩在 80≤x ＜90 范围内的扇形圆心角：360° × =72° ；50（5）获得优秀成绩的学生数：3000 × =900（名）．50本题考查了中位数与众数，正确理解中位数、众数的意义是解题的关键．19. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD ）16m ，宽（AB ）9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与A B 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m 2 则小路的宽应为多少？， 【答案】解：设小路的宽应为 xm ， 根据题意得：（16-2x ）（9-x ）=112， 解得：x =1，x =16．1 2∵16＞9，∴x =16 不符合题意，舍去， ∴x =1．答：小路的宽应为 1m ．【解析】设小路的宽应为 xm ，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ），（9-x ）； 那么根据题意得出方程，解方程即可．本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 20. 襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分 （上塔柱 BC 和塔冠 BE ）进行了测量．如图所示，最外 端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121m ，拉 索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37° ，从点 A 出发沿 AC 方向 前进 23.5 m ，在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45° ．请你 求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1 m ．参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80 ，tan37°≈0.75，√2≈1.41）．10151015【答案】解：在 Rt △ABC 中，tan A =，则 BC =AC •tan A ≈121×0.75=90.75 ， 由题意得，CD =A C -AD =97.5 ， 在 Rt △ECD 中，∠EDC =45°， ∴EC =CD =97.5 ，∴BE =E C -B C =6.75≈6.8 （m ），答：塔冠 BE 的高度约为 6.8 m ．【解析】根据正切的定义分别求出 EC 、BC ，结合图形计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三 角函数的定义是解题的关键．21. 如图，已知一次函数 y =kx +b 与反比例函数 y = 的图象12在第一、第三象限分别交于 A （3，4），B （a ，-2）两 点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C ，D 两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）比较大小：AD ______BC （填“＞”或“＜”或 “=”）；（3）直接写出 y ＜y 时 x 的取值范围．12【答案】=【解析】解：（1）把 A （3，4）代入反比例函数 y = 得，24= ，解得 m =12，3∴反比例函数的解析式为 y = ；2∵B （a ，-2）点在反比例函数 y = 的图象上，2∴-2a =12，解得 a =-6， ∴B （-6，-2），∵一次函数 y =kx +b 的图象经过 A （3，4），B （-6，-2）两点，13 + =4 = −6 + = − 2∴一次函数的解析式为 y = x +2；13（2）由一次函数的解析式为 y = x +2 可知 C （0，2），D （-3，0），13∴AD =√(3 +3)2 + 42=2√13，BC =√6 2 + (−2 − 2) 2=2√13， ∴AD =B C ，故答案为=；（3）由图象可知：y ＜y 时 x 的取值范围是 x ＜-6 或 0＜x ＜3．12122∴{ ，解得{ ，3 = 22 2（1）把 A （3，4）代入反比例函数 y = ，根据待定系数法即可求得 m ，得到反比例函2数的解析式，然后代入 B （a ，-2）），求得 a ，再根据待定系数法求得一次函数的解析 式即可；（2）求得 C 、D 的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得．此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系 数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方 法，一定要熟练掌握并灵活运用．22. 如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线 △和ABC 的外接圆⊙O 相交于点 D ，过 D 作直线 DG ∥B C ． （1）求证：DG 是⊙O 的切线；（2）若 DE =6，BC =6√3，求优弧 ⏜ 的长．【答案】（1）证明：连接 OD 交 BC 于 H ，如图， ∵点 E △是ABC 的内心， ∴AD 平分∠BAC ， 即∠BAD =∠CAD ， ∴ ⏜=⏜，∴OD ⊥BC ，BH =CH ， ∵DG ∥BC ， ∴OD ⊥DG ，∴DG 是⊙O 的切线；（2）解：连接 BD 、OB ，如图， ∵点 E △是ABC 的内心， ∴∠ABE =∠CBE ， ∵∠DBC=∠BAD ，∴∠DEB =∠BAD +∠ABE =∠DBC+∠CBE =∠DBE ， ∴DB =D E =6，∵BH = BC =3√3，2在 Rt △BDH 中，sin ∠BDH = = ∴∠BDH =60° ，而 OB =OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠BOD =60° ，OB =B D =6， ∴∠BOC =120° ，3√3 √3 6 2∴优弧 ⏜的长(360;120)= ⋅⋅6=8π． 180【解析】（1）连接 OD 交 BC 于 H ，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD =∠CAD ， 则 ⏜=⏜ ，利用垂径定理得到 OD ⊥ BC ，BH =CH ，从而得到 OD ⊥ DG ，然后根据切线的 判定定理得到结论；（2）连接 BD 、OB ，如图，先证明∠DEB =∠DBE 得到 DB =DE =6，再利用正弦定义求出1= ，∠BDH =60°，则可判 △断OBD 为等边三角形，所以∠BOD =60°，OB =BD =6，则∠BOC =120° ， 然后根据弧长公式计算优弧的长． 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的 内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的判定和弧长公式．23. 襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好 甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：有机蔬菜种类进价（元/kg ） 售价（元/kg ） 甲乙 m n 16 18（1）该超市购进甲种蔬菜 10k g 和乙种蔬菜 5k g 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6kg 和乙种蔬菜 10k g 需要 200 元．求 m ，n 的值；（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数 量不少于 20k g ，且不大于 70kg ．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超 过 60 kg 的部分，当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天 售完这两种蔬菜获得的利润额 y （元）与购进甲种蔬菜的数量 x （kg ）之间的函数 关系式，并写出 x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y （元）取得最大值时，决定售出的 甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐 款后的盈利率不低于 20%，求 a 的最大值．【答案】解：（1）由题意可得，10 +5 = 170 = 10 6 +10 = 200 = 14答：m 的值是 10，n 的值是 14 ；（2）当 20≤x ≤60 时，y =（16-10）x +（18-14）（100-x ）=2x +400，当 60 ＜x ≤70 时，y =（16-10）×60+（16-10）×0.5×（x -60）+（18-14）（100-x ）=-x +580，由上可得，y = { 2 +400 (20 ≤ ≤ 60) ； − +580 (60 ＜ ≤ 70)（3）当 20≤x ≤60 时，y =2x +400，则当 x =60 时，y 取得最大值，此时 y =520，当 60 ＜x ≤70 时，y=- x +580，则 y ＜-60+580=520，由上可得，当 x =60 时，y 取得最大值，此时 y =520，∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜 每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率 不低于 20% ，520;2 ×60;4060×10:40×14 ≥ 20%，解得，a ≤1.8 ，即 a 的最大值是 1.8 ．【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得 m 、n 的值；（2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 y 与 x 的函数关系式；（3）根据（2）中的条件，可以求得 y 的最大值，然后再根据题意，即可得到关于 a 的 不等式，即可求得 a 的最大值，本题得以解决．本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关 键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．⏜ { ， { 解得， ， ∴24. （1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E ，Q 分别在边 BC ，AB 上，DQ ⊥AE 于点 O ，点 G ，F 分别在边 CD ，AB 上，GF ⊥AE ．①求证：DQ =AE ；②推断：的值为______； （2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中，=k （k 为常数）．将矩形 ABCD沿 GF 折叠，使点A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形F EPG ，EP 交 CD 于点 H ， 连接 AE 交 GF 于点 O ．试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP ，当 k = 时，若 tan ∠CGP = ，GF =2√10，求 CP 3 4 的长．【答案】1【解析】（1）①证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB =D A ，∠ABE =90°=∠DAQ ．∴∠QAO +∠OAD =90°．∵AE ⊥DH ，∴∠ADO +∠OAD =90°．∴∠QAO =∠ADO ．∴△ABE ≌△DAQ （ASA ），∴AE =DQ ．②解：结论： =1．理由：∵DQ ⊥AE ，FG ⊥AE ，∴DQ ∥FG ，∵FQ ∥DG ，∴四边形 DQFG 是平行四边形，∴FG =DQ ，∵AE =DQ ，∴FG =A E ，∴ =1．故答案为 1．（2）解：结论：=k ．2 3理由：如图 2 中，作 GM ⊥AB 于 M ．∵AE ⊥GF ，∴∠AOF =∠GMF =∠ABE =90°，∴∠BAE +∠AFO =90°，∠AFO +∠FGM =90°，∴∠BAE =∠FGM ，∴△ABE △∽GMF ，∴ = ，∵∠AMG =∠D =∠DAM =90°，∴四边形 AMGD 是矩形，∴GM =AD ，∴ = = =k ．（3）解：如图 2-1 中，作 PM ⊥BC 交 BC 的延长线于 M ．∵FB ∥GC ，FE ∥GP ，∴∠CGP =∠BFE ，∴tan ∠CGP =tan ∠BFE = = ， 4∴可以假设 BE =3k ，BF =4k ，EF=AF =5k ，∵ = ，FG=2√10，3∴AE =3√10，∴（3k ）2 +（9k ）2=（3√10）2，∴K =1 或-1（舍弃），∴BE =3，AB =9，∵BC ：AB =2：3，∴BC=6，3 2∴BE =C E =3，AD =P E =B C =6，∵∠BEF =∠FEP =∠PME =90°，∴∠FEB +∠PEM =90° ，∠PEM +∠EPM =90° ，∴∠FEB =∠EPM ，∴△FBE △∽EMP ，∴ = = 5 4 3 6，，∴EM = ，PM = ， 5 5∴CM =EM =E C = -3= ， 5 5∴PC =√ 2 + 2 = √5．5 （1）①由正方形的性质得 AB =DA ，∠ABE =90°=∠DAH ．所以∠HAO +∠OAD =90°，又知 ∠ADO +∠OAD =90°，所以∠HAO =∠ADO ，于 △是ABE ≌△DAH ，可得 AE =DQ ．②证明四边形 DQFG 是平行四边形即可解决问题．（2）结论： =k ．如图 2 中，作 GM ⊥AB 于 M ．证明 △：ABE △∽GMF 即可解决问题．（3）如图 2-1 中，作 PM ⊥BC 交 BC 的延长线于 M ．利用相似三角形的性质求出 PM ， CM 即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或 相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25. 如图，在直角坐标系中，直线 y =- x +3 与 x 轴，y 轴分别交于点 B ，点 C ，对称轴为 2 x =1 的抛物线过 B ，C 两点，且交 x 轴于另一点 A ，连接 AC ．（1）直接写出点 A ，点 B ，点 C 的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，求 点 P 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 Q （点 C 除外），使以点 Q ，A ，B 为顶点的三角形与 △ABC 相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）y =- x +3，令 x =0，则 y=3，令 y =0，则 x =6， 2 故点 B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线的对称轴为 x =1，则点 A （-4，0），则抛物线的表达式为：y =a （x -6）（x +4）=a （x 2-2x -24 ），即-24a =3，解得：a =- ，8∴ = = 24 18 24 9 9 111故抛物线的表达式为：y =- x 2 + x +3 …①；8 4 （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G ，作 PH ⊥BC 于点 H ，将点 B 、C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线 BC 的表达式为：y =- x +3，2则∠HPG =∠CBA =α，tan ∠CAB ==1 =tan α，则 cos α= 2 ， 2 2+ x +3），则点 G （x ，- x +3）， 84 2 √5 则 PH =PG c os α= （- x 2 + x +3+ x -3）=- x 2+ x ，5 8 4 2 20 10∵− ＜0，故 20PH 有最小值，此时 x =3，则点 P （3， ）； 8 （3）①当点 Q 在 x 轴上方时，则点 Q ，A ，B 为顶点的三角形 △与ABC 全等，此时点 Q 与点 C 关于函数对称轴对称， 则点 Q （2，3）；②当点 Q 在 x 轴下方时，Q ，A ，B 为顶点的三角形 △与ABC 相似，则∠ACB =∠Q ′AB ，当∠ABC =∠ABQ ′时，直线 BC 表达式的 k 值为- ，则直线 BQ ′表达式的 k 值为 ， 2 2设直线 BQ ′表达式为：y = x +b ，将点 B 的坐标代入上式并解得： 2直线 BQ ′的表达式为：y = x -3 … ②， 2 联立①②并解得：x =6 或-8（舍去 6），故点 Q （Q ′）坐标为（-8，-7）（舍去）；当∠ABC =∠ABQ ′时，同理可得：直线 BQ ′的表达式为：y = x - … ③， 4 2 联立①③并解得：x =6 或-10（舍去 6），故点 Q （Q ′）坐标为（-10，-12），1 1 1 设点 P （x ，- x1 1 1 2√5 1 1 1 √5 3√5 √5 211 1113 9由点的对称性，另外一个点 Q 的坐标为（12，-12）；综上，点 Q 的坐标为：（2，3）或（12，-12）或（-10，-12）．【解析】（1）y =- x +3，令 x =0，则 y =3，令 y =0，则 x =6，故点 B 、C 的坐标分别为（6， 2 0）、（0，3），即可求解；（2）PH =PG c os α= （- x 2+ x +3+ x -3），即可求解；5 8 4 2（3）分点 Q 在 x 轴上方、点 Q 在 x 轴下方两种情况，分别求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．11 1 1 2√5。
【中考真题】2019年湖北省襄阳市中考数学真题试卷(附答案)
4．某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．青B．来C．斗D．奋
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
6．不等式组 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，分别以线段 的两个端点为圆心，大于 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 ， 两点，连接 ， ， ， ，则四边形 一定是（ ）
成绩 （分）分组
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ频数
频率
15
0.30
0.40
10
5
0.10
（1）表中 ， ；
（2）这组数据的中位数落在范围内；
（3）判断：这组数据的众数一定落在 范围内，这个说法（填“正确”或“错误”）；
（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在 范围内的扇形圆心角的大小为；
（5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有名学生获得优秀成绩．
6．C
【解析】
【分析】
求出不等式组的解集，表示出数轴上即可.
【详解】
解：不等式组整理得： ，
∴不等式组的解集为 ，
故选：C．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7．D
【解析】
【分析】
根据四边相等的四边形是菱形即可判断.
【详解】
解：由作图可知： ，
∴四边形 是菱形，
故选：D．
D、 ，正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.
3．B
【解析】
【分析】
2019-2021年湖北省襄阳市中考数学试卷及答案
2019-2021年湖北省襄阳市中考数学试卷及答案·最新说明：文档整理了，2019年至2021年度，襄阳市中考数学试卷及答案内容，试卷包含了详细的题解和分析，望对老师和同学们有所帮助。
湖北省2019年初中毕业生学业水平考试（襄阳卷）数学试题卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答1．A．3 B．C．﹣3 D．±32．A．a3﹣a2＝a B．a2a3＝a6 C．a6÷a2＝a3D．3.如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．A．青B．来C．斗D．奋5．A．B．C．D．6．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．7．A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形8．A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得9．A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝D．＝10．A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上11.12．定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．13．那么点（a，b）在直线y＝2x上的概率是．14．15．与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB 上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
2019年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
2．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C的度数为（ ）
13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球8个．
【解答】解：由题意可得，
摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4=0.6，
∴总的球数为：（8+4）÷0.6=20，
2019年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C的度数为（ ）
三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
17．先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2），其中x= ．
18．襄阳市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，古隆中、习家池、鹿门寺三个景区是人们节假日玩的热点景区，张老师对八（1）班学生“五•一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；B、游两个景区；C、游一个景区；D、不到这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：
2019年湖北省襄阳中考数学试卷含答案解析
数学试卷 第1页(共22页) 数学试卷 第2页(共22页)绝密★启用前湖北省襄阳市2019年初中毕业生学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算3-的结果是( )A .3B .13C .3-D .3±2.下列运算正确的是( )A . 32a a a -=B .236a a a ⋅=C .623a a a ÷=D .236()a a --= 3.如图，直线BC AE ∥，CD AB ⊥于点D ，若40BCD =︒∠，则1∠的度数是 ( )第3题图A .60B .50C .40D .304.某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是( )第4题图A .青B .来C .斗D .奋5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D6.不等式组24339x x x x +⎧⎨++⎩＜≥的解集在数轴上用阴影表示正确的是( )A B C D7.如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C ，D 两点，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则四边形ADBC 一定是 ( )第7题图A .正方形B .矩形C .梯形D .菱形8.下列说法错误的是 ( ) A .必然事件发生的概率是1B .通过大量重复试验，可以用频率估计概率C .概率很小的事件不可能发生D .投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得9.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是 ( )A .54573x x -=-B .54573x x +=+C .45357x x ++=D .45357x x --= 10.如图，AD 是O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是 ( )第10题图A .2AP OP =B .2CD OP =C .OB AC ⊥D .AC 平分OB二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)11.习总书记指出，善于学习，就是善于进步.“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习.1.2亿这个数用科学记数法表示为 .12.定义：*aa b b =，则方程2*(3)1*(2)x x +=的解为 .13.从2，3，4，6中随机选取两个数记作a 和b (a b ＜)，那么点(,)a b 在直线2y x =上的毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共22页) 数学试卷 第4页(共22页)概率是 .14.如图，已知ABC DCB =∠∠，添加下列条件中的一个：①A D =∠∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定ABC DCB △≌△的是 (只填序号).第14题图15.如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m )与飞行时间t (单位：s )之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为 s .第15题图16.如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，30BAC DEC ==︒∠∠，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若1BD =，5AD =，则CFEF= .第16题图三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分)先化简，再求值：2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1x .18.(本小题满分6分)今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动.学校3 000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分(满分100分).为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，(1)表中a = ，b =； (2)这组数据的中位数落在 范围内；(3)判断：这组数据的众数一定落在7080x ≤＜范围内，这个说法 (填“正确”或“错误”)；(4)这组数据用扇形统计图表示，成绩在8090x ≤＜范围内的扇形圆心角的大小为 ；(5)若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有 名学生获得优秀成绩.19.(本小题满分6分)改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长(AD )16m ，宽(AB )9m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为2112m ，则小路的宽应为多少？第19题图数学试卷 第5页(共22页) 数学试卷 第6页(共22页)20.(本小题满分6分)襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC 和塔冠BE )进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB 的底端A 到塔柱底端C 的距离为121m ，拉索AB 与桥面AC 的夹角为37︒，从点A 出发沿AC 方向前进23.5m ，在D 处测得塔冠顶端E 的仰角为45︒.请你求出塔冠BE 的高度(结果精确到0.1m .参考数据sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，1.41≈).第20题图21.(本小题满分7分)如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2my x=的图象在第一、第三象限分别交于(3,4)A ，(,2)B a -两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C ，D 两点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)比较大小：AD ______BC (填“＞”或“＜”或“=”)； (3)直接写出12y y ＜时x 的取值范围.第21题图22.(本小题满分7分)如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆O 相交于点D ，过D 作直线DG BC ∥.(1)求证：DG 是O 的切线；(2)若6DE =，BC =BAC 的长.第22题图23.(本小题满分10分)襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、(1)该超市购进甲种蔬菜10kg 和乙种蔬菜5kg 需要170元；购进甲种蔬菜6kg 和乙种蔬菜10kg 需要200元.求m ，n 的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg ，且不大于70kg .实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg 的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y (元)与购进甲种蔬菜的数量x (kg )之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额y (元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a 的最大值.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________24.(本小题满分10分)(1)证明推断：如图(1)，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ AE⊥于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF AE⊥.①求证：DQ AE=；②推断：GFAE的值为；(2)类比探究：如图(2)，在矩形ABCD中，BCkAB=(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP，当23k=时，若3tan4CGP∠=，GF=求CP的长.第24题图（1）第24题图（2）25.(本小题满分13分)如图，在直角坐标系中，直线132y x=-+与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x=的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC△相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第25题图数学试卷第7页(共22页)数学试卷第8页(共22页)数学试卷 第9页(共22页) 数学试卷 第10页(共22页)湖北省襄阳市2019年初中毕业生学业水平考试数学答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】解：33-=. 故选：A .根据绝对值的性质进行计算. 【考点】绝对值的性质 2.【答案】D【解析】解：A .32a a -，无法计算，故此选项错误； B .235a a a ⋅=，故此选项错误； C .624a a a ÷=，故此选项错误； D .()326a a --=，正确.故选：D .直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案. 【考点】合并同类项，同底数幂的乘除运算 3.【答案】B【解析】解：∵CD AB ⊥于点D ，40BCD =︒∠， ∴90CDB =︒∠.∴90BCD DBC +=︒∠∠，即4090BCD +︒=︒∠. ∴50DBC =︒∠. ∵直线BC AE ∥，∴150DBC ==︒∠∠. 故选：B .先在直角CBD △中可求得DBC ∠的度数，然后平行线的性质可求得1∠的度数. 【考点】平行线的性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质 4.【答案】D【解析】解：由：“Z ”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋； 故选：D .正方体展开图的“Z ”字型找对面的方法即可求解； 【考点】正方体的展开图 5.【答案】B【解析】解：A .是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B .是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C .不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D .不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误. 故选：B .根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【考点】中心对称图形与轴对称图形的概念 6.【答案】C【解析】解：不等式组整理得：43x x ⎧⎨-⎩＜≤，∴不等式组的解集为3x -≤，故选：C .求出不等式组的解集，表示出数轴上即可. 【考点】解一元一次方程组 7.【答案】D【解析】解：由作图可知：AC AD BC BD ===， ∴四边形ACBD 是菱形， 故选：D .根据四边相等的四边形是菱形即可判断. 【考点】基本作图，菱形的判定 8.【答案】C【解析】解：A .必然事件发生的概率是1，正确； B .通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C .概率很小的事件也有可能发生，故错误；D .投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选：C .不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1.【考点】本题考查了概率的意义 9.【答案】B【解析】解：设合伙人数为x 人， 依题意，得：54573x x +=+. 故选：B .设合伙人数为x 人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解. 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程 10.【答案】A【解析】解：∵AD 为直径， ∴90ACD =︒∠，∵四边形OBCD 为平行四边形， ∴CD OB ∥，CD OB =，在Rt ACD △中，1sin 2CD A AD ==， ∴30A =︒∠，在Rt AOP △中，AP =，所以A 选项的结论错误； ∵OP CD ∥，CD AC ⊥，数学试卷 第11页(共22页) 数学试卷 第12页(共22页)∴OP AC ⊥，所以C 选项的结论正确； ∴AP CP =，∴OP 为ACD △的中位线，∴2CD OP =，所以B 选项的结论正确； ∴2OB OP =，∴AC 平分OB ，所以D 选项的结论正确. 故选：A .利用圆周角定理得到90ACD =︒∠，再根据平行四边形的性质得到CD OB ∥，CD OB =，则可求出30A =︒∠，在Rt AOP △中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A 选项进行判断；利用OP CD ∥，CD AC ⊥可对C 选项进行判断；利用垂径可判断OP 为ACD △的中位线，则2CD OP =，原式可对B 选项进行判断；同时得到2OB OP =，则可对D 选项进行判断.【考点】圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质. 二、填空题11.【答案】81.210⨯【解析】解：81.2 1.210=⨯亿. 故答案为：81.210⨯.科学记数法就是将一个数字表示成（10a ⨯的n 次幂的形式），其中110a ≤＜，n 表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂. 【考点】科学记数法的理解和运用，单位的换算 12.【答案】1x =【解析】解：2*(3)1*(2)x x +=， 2132x x =+， 43x x =+， 1x =，经检验：1x =是原方程的解， 故答案为：1x =.根据新定义列分式方程可得结论. 【考点】解分式方程，新定义的理解 13.【答案】13【解析】解：画树状图如图所示，一共有6种情况，2b a =的有(2,4)和(3,6)两种，所以点(,)a b 在直线2y x =上的概率是2163=， 故答案为：13. 画出树状图，找到2b a =的结果数，再根据概率公式解答 【考点】列表法与树状图法 14.【答案】②【解析】解：∵已知ABC DCB ∠=∠，且BC CB =∴若添加①A D ∠=∠，则可由AAS 判定ABC DCB △≌△；若添加②AC DB =，则属于边边角的顺序，不能判定ABC DCB △≌△； 若添加③AB DC =，则属于边角边的顺序，可以判定ABC DCB △≌△. 故答案为：②.一般三角形全等的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，据此可逐个对比求解. 【考点】全等三角形的几种基本判定方法 15.【答案】4【解析】解：依题意，令0h =得 20205t t =- 得(205)0t t -=解得0t =（舍去）或4t =即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4.根据关系式，令0h =即可求得t 的值为飞行的时间 【考点】二次函数的性质在实际生活中的应用 16.【答案】3【解析】解：如图，过点C 作CM DE ⊥于点M ，过点E 作EN AC ⊥于点N ， ∵1BD =，5AD =， ∴6AB BD AD =+=，∵在Rt ABC △中，30BAC ∠=︒，9060B BAC ∠=︒-∠=︒，∴132BC AB ==，AC ==，在Rt BCA △与Rt DCE △中， ∵30BAC DEC =∠=︒， ∴tan tan BAC DEC ∠=∠， ∴BC DCAC EC=， ∵90BCA DCE =∠=︒，∴BCA DCA DCE DCA -∠=∠-∠∠， ∴BCD ACE ∠=∠，数学试卷 第13页(共22页) 数学试卷 第14页(共22页)∴BCD ACE △∽△， ∴60CAE B ∠=∠=︒， ∴BC BDAC AE=， ∴306090DAE DAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒1AE，∴AE ， 在Rt ADE △中，DE = 在Rt DCE △中，30DEC ∠=︒，∴60EDC ∠=︒，12DC DE ==，在Rt DCM △中，MC =在Rt AEN △中，32NE AE ==， ∵MFC NFE ∠=∠，90FMC FNE ∠=∠=， ∴MFC NFE △∽△+，∴232CF MC EF NE ==故答案为：3.过点C 作CM DE ⊥于点M ，过点E 作EN AC ⊥于点N ，先证BCD ACE △∽△，求出AE 的长及60CAE ∠=︒，推出90DAE ∠=︒，在Rt DAE △中利用勾股定理求出DE 的长，进一步求出CD 的长，分别在Rt DCM △和Rt AEN △中，求出MC 和NE 的长，再证MFC NFE △∽△，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF 与EF 的比值.【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形 三、解答题17.【答案】解：2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭22121111xx x x x x x -++⎛⎫=-÷⎪---⎝⎭21(1)(1)1(1)x x x x +-=⨯-+ 11x =+，当1x =时，原式==.【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可. 【考点】分式的化简求值 18.【答案】（1）20︒ 0.2︒（2）7080x ︒≤＜ （3）正确 （4）72︒ （5）900【解析】解：（1）调查学生总数：150.350÷=（名）， 7080x ≤＜的频数：501510520---=，即20a =。
2019年湖北省襄阳市中考数学试卷以及答案解析
2019年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答1．（3分）计算|﹣3|的结果是（）A．3B．C．﹣3D．±32．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a2）﹣3＝a﹣6 3．（3分）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（）A．青B．来C．斗D．奋5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（）A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形8．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得9．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．＝D．＝10．（3分）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上11．（3分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为．12．（3分）定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．13．（3分）从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y＝2x上的概率是．14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．15．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
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{来源}2019年湖北襄阳中考数学试卷{适用范围:3． 九年级}{标题}2019年湖北省襄阳市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．{题目}1．（2019年湖北襄阳T1）计算|－3|的结果是( )A ．3 B.13C ．－3D ．±3 {答案}A{解析}本题考查绝对值的概念.3 =3，本题选A .{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的性质}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年湖北襄阳T2）下列运算正确的是( )A ．a 3－a 2＝aB ．a 2·a 3＝a 6C ．a 6÷a 2＝a 3D ．(a 2)－3＝a －6{答案}D{解析}本题考查幂的运算.选项A 非同类项，作差无法合并；选项B 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为a 5；选项C 同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为a 4；选项D 幂的乘方，底数不变，指数相乘，正确.因此本题选D ．{分值}3{章节:[1-15-2-3]整数指数幂};{考点:同底数幂的乘法}{考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}3．（2019年湖北襄阳T3）如图，直线BC ∥AE ，CD ⊥AB 于点D ，若∠BCD ＝40°，则∠1的度数是( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°{答案}B{解析}本题考查平行线的性质和直角三角形的性质.∵CD ⊥AB ∴∠BDC=90°，又∠BCD=40°，∴∠ABC=50°，∵BC ∥AE ∴∠1=∠ABC=50°，选项B 正确.{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:两直线平行内错角相等}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}4．（2019年湖北襄阳T4）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是( )A ．青B ．来C ．斗D ．奋{答案}D{解析}本题考查立体图形展开图.将其还原成一正方形，可得“青”与“来”相对；“春”与“奋”相对；“用”与“斗”相对.选项D 正确.{分值}3 {章节:[1-4-1-2]点、线、面、体}{考点:几何体的展开图}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019年湖北襄阳T5）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ),A) ,B) ,C) ,D){答案}B{解析}本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义.A 是轴对称图形；B 既是轴对称图形，也是中心对称图形；C 是中心对称图形，D 是中心对称图形.选项B 正确．{分值}3{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}{考点:中心对称图形}{考点:轴对称图形}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}6．（2019年湖北襄阳T6）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜x ＋4，3＋x ≥3x ＋9的解集在数轴上用阴影表示正确的是( ) ,A) ,B) ,C) ,D){答案}C{解析}本题考查不等式组的解法以及在数轴上的表示.解第一个不等式得x <4，解第二个不等式得x ≤-3，同小取小，解集为x ≤-3.选项C 正确．{分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组{考点:解一元一次不等式组}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}7．（2019年湖北襄阳T7）如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C ，D 两点，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则四边形ADBC 一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形{答案}D{解析}本题考查尺规作图以及菱形的判定.由作图可知，半径相等，可知AC =AD =BC =BD ，四条边相等的四边形是菱形.选项D 正确．{分值}3{章节:[1-18-2-2]菱形}{考点:菱形的判定}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}8．（2019年湖北襄阳T8）下列说法错误的是( )A ．必然事件发生的概率是1B ．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C ．概率很小的眾件不可能发生D ．投一枚图钉，“钌尖朝上”的概率不能用列举法求得{答案}C{解析}本题考查必然事件和不可能事件的概念，以及大量重复试验下，用频率估计概率.必然事件是一定会发生的事件，因而概率为1，选项A 正确；通过大量重复试验，可以将频率近似地当作概率，选项B 正确；概率很小不能说明不会发生，只是发生的机率比较小，选项C 错误；掷一枚图钉，“图钉向上”的概率近似是大量重复试验发生的频率，不能用列举法求得，选项D 正确． {分值}3{章节:[1-25-1-2]概率}{考点:概率的意义}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}9．（2019年湖北襄阳T9）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是( )A ．5x －45＝7x －3B ．5x ＋45＝7x ＋3C.x ＋455＝x ＋37D.x －455＝x －37{答案}B{解析}本题考查一元一次方程的应用.本题抓住两次人数不同，但羊价不变的等量关系来列方程.人数为x 人，“每人出5钱，会差45钱”说明羊价为5x +45，“每人出3钱，会差3钱”说明羊价为3x +3.根据羊价不变，列出方程：5x +45=3x +3，选项B 正确．{分值}3{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}{考点:一元一次方程的应用（盈不足问题）}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10．（2019年湖北襄阳T10）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是( )A ．AP ＝2OPB ．CD ＝2OPC ．OB ⊥ACD ．AC 平分OB{答案}A{解析}本题考查了“直径所对的圆周角是直角”，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形中位线等知识.∵AD 是直径，∴∠ACD =90°，∵四边形OBCD 是平行四边形，∴CD ∥OB ，CD =OB ，∴∠CPO =90°，即OB ⊥AC ，选项C 正确；又∵O 是AD 的中点，∴OP 是△ACD 的中位线，∴CD =2OP ，∴选项B 正确；∴CD =OB =2OP ， 即P 是OB 的中点，∴AC 平分OB ，选项D 正确；AP 与OP 数量关系无从得出，选项A 错误．{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径} {考点:直径所对的圆周角}{考点:平行四边形角的性质}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度} {题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．{题目}11．（2019年湖北襄阳T11）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习.1.2亿这个数用科学记数法表示为________． {答案}1.2×108{解析}本题考查了科学记数法.1.2亿可写成120000000，因而写成科学记数法为1.2×108． {分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}12．（2019年湖北襄阳T12）定义：a *b ＝a b ，则方程2*(x ＋3)＝1*(2x )的解为________．{答案}x=1{解析}本题考查了可化为一元一次的分式方程的解法.按新定义可知：32)3(2+=+*x x ，x x 21)2(1=*，可得方程xx 2132=+，解得x =1，经检验此解为方程的根． {分值}3{章节:[1-15-3]分式方程}{考点:解含两个分式的分式方程}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}13．（2019年湖北襄阳T13）从2，3，4，6中随机选取两个数记作a 和b (a <b )，那么点(a ，b )在直线y ＝2x 上的概率是________．{答案}31 {解析}本题考查了概率的计算.从2，3，4，6中任选两个数记作a 和b (a <b )共有6种可能：（2，3）（2，4）（2，6）（3，4）（3，6）（4，6），点(a ,b )在直线y =2x 上的有2种可能：（2，4）（3，6），因而概率为2163=． {分值}3{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{考点:两步事件不放回}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}14．（2019年湖北襄阳T14）如图，已∠ABC ＝∠DCB ，添加下列条件中的一个：①∠A ＝∠D ，②AC ＝DB ，③AB ＝DC ，其中不能确定△ABC ≌△DCB 的是________(只填序号)．{答案}②{解析}本题考查了全等三角形的判定方法.已知∠ABC =∠DCB ，图中有公共边BC =CB ，因而添加①∠A =∠D 可用AAS 证明全等，添加③可用SAS 证明全等，添加②就变成了“边边角”，不能确定全等．{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}{考点:全等三角形的判定SSS}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}15．（2019年湖北襄阳T15）如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为h ＝20t －5t 2，则小球从飞山到落地所用的时间为________s.{答案}4{解析}本题考查了二次函数的实际运用.球开始和落地时，都说明h =0，则20t -5t 2=0，解得t 1=0，t 2=4，因而小球从飞出到落地的时间为4-0=4秒．{分值}3{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}{考点:足球运动轨迹问题}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}16．（2019年湖北襄阳T16）如图，两个火小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF＝________.{答案}3{解析}本题考查了，，因此本题选．{分值}3{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}{考点:相似多边形的性质}{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{类别:常考题}{难度:4-较高难度} {题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 小题，合计分．{题目}17．（2019年湖北襄阳T17）先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫x x －1－1＋x 2＋2x ＋1x 2－1，其中x ＝2－1. {解析}本题考查分式的混合运算，解题的关键是把分式的除法转化为分式的乘法先把括号内进行化简，再把分式的分子分母进行因式分解，然后将分式的除法转化为分式的乘法，最后约分化成最简分式.{答案}解： 1121122-++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x x 原式=)1)(1()1(112-++÷-x x x x 2)1()1)(1(11+-+⋅-=x x x x 11+=x当12-=x 时，上式=2221= {分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:分式的混合运算}{题目}18．（2019年湖北襄阳T18）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖闻”主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成缋都不低于60分(满分100分)．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：(1)表中a ＝________，b (2)这组数据的中位数落在________范围内；(3)判断：这组数据的众数一定落在70≤x <80范围内．这个说法________(填“正确”或“错误”)；(4)这组数据用扇形统计图表示，成缋在80≤x <90范围内的扇形圆心角的大小为________；(5)若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有________名学生获得优秀成绩．{解析}本题考查了统计中的频数与频率的关系，中位数与众数，扇形统计图，用样本去估计总体.．{答案}解：（1）20；0.20由第一组频数为15，频率为0.30，可得出样本容量为15÷0.30=50，∴a =50×0.40=20b =10÷50=0.2.（2）70≤x <80中位数是指数据排序后处在最中间的一个数或是最中间两个数的平均数.样本容量为50，因而中位数是排序后第25个数据和第26个数据的平均数，第一分组为15个，第二分数为a =20个，因而第25个数据和第26个数据都在第二分组里，所以中位数仍在第二分组里，即70≤x <80（3）错误虽然在70≤x <80范围内的频数最多，但不一定是相同数据，同样，在其它范围内的频数虽然不是最多，但不一定不是相同数据，因而不能确定众数一定在70≤x <80范围内.（4）72°80≤x <90范围的频率为b =0.2，则扇形圆心角的度数为360°×0.2=72°.（5）900不小于80分的频率为b +0.1=0.3，全校大约有3000×0.3=900名学生获得优秀成绩.{分值}6{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:数据分析综合题}{题目}19．（2019年湖北襄阳T19）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD )16 m ，宽(AB )9 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m 2，则小路的宽应为多少？{解析}本题考查了一元二次方程关于图形面积方面的实际应用.本题的关键是如何表示出草坪部分的面积． {答案}解：设小路的宽应为x m ，由题意可得方程为：(16-2x )(9-x )=112，解得：x 1=1，x 2=16，又x 2=16>9，不合题意，舍去，∴x =1答：小路的宽应为1m .{分值}6{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:一元二次方程的应用—面积问题}{题目}20．（2019年湖北襄阳T20）襄阳卧龙大桥横跨汉江，足我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC 和塔冠BE )进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB 的底端A 到塔柱底端C 的距离为121 m ，拉索AB 与桥面AC 的夹角为37°，从点A 出发沿AC 方向前进23.5 m ，在D 处测得塔冠顶端E 的仰角为45°.请你求出塔冠BE 的高度(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，2≈1.41) .{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用.关键是明白题目中的数据对应的线段长度和角度，以及找出所求线段所在的关系.本题先求出BC 的长度，再求出EC ，EC 与BC 的差即为所求. {答案}解： 在Rt △ACB 中，AC =121m ，∠A =37°，∴75.0121tan ≈==BC AC BC A ,∴BC ≈90.75m 由题知AD =23.5m ，∴CD =AC -AD =97.5m在Rt △DCE 中，∠EDC =45°，∴1tan ==CDEC D ，∴EC =97.5m ∴BE =EC -BC =97.5-90.75=6.75≈6.8m答：塔冠BE 的高度约为6.8m .{分值}6{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:解直角三角形}{题目}21．（2019年湖北襄阳T21）如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝m x的图象在第一、第三象限分别交于A (3，4)，B (a ，－2)两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C ，D 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)比较大小：AD ______BC (填“>”或“<”或“＝”)；(3)直接写出y 1<y 2时x 的取值范围．{解析}本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，待宝系数法，两点间距离公式；以及不等式的图象解法．（1）由A 在反比例函数图象上，可确定反比例函数解析式，B 也在其函数图象上，可由解析式确定B 点坐标，由A 、B 两点也在一次函数图象上，可求出一次函数解析式.（2）由直线解析式可得出与x 轴，y 轴交点坐标，再利用距离公式，可分别计算出AD 和BC 的长度，得出大小关系.（3）不等式的图象解法的运用.首先看“=”，即二者交点处.再由y 1<y 2，说明直线y 1双曲线y 2的下方.要注意的是反比例函数中x ≠0，因而分两段.{答案}解： （1）将A （3，4）代入x m y =2中，可得m =12，∴x y 122= 将B （a ，-2）代入xy 122=中，可得a =-6，∴B （-6，-2） 将A （3，4），B （-6，-2）分别代入y 1=kx +b 中，可得⎩⎨⎧-=+-=+2643b k b k 解得2,32==b k ，∴2321+=x y ∴2321+=x y ,xy 122= （2）= ∵C ，D 是2321+=x y 与y 轴,x 轴的交点，∴C （0，2），D （-3，0） ∴AD =132，BC =132，∴AD =BC（3）x <-6或0<x <3已知直线与双曲线相交于A 、B 两点，通过观察，可得当x <-6或0<x <3时直线y 1双曲线y 2的下方，即当x <-6或0<x <3时y 1<y 2.{分值}7{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{难度:4-较高难度} {类别:常考题}{考点:反比例函数与一次函数的综合}{题目}22．（2019年湖北襄阳T22）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点D ，过D 作直线DG ∥BC .(1)求证：DG 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝6，BC ＝63，求优弧BAC ︵的长．{解析}本题考查了三角形的内心，外接圆，垂径定理及推论，平行线的性质，圆的切线的判定，圆周角的性质，三角形外角的性质，三角函数，弧长计算公式（1）要证DG 是⊙O 的切线，需证OD ⊥BC .而内心是指角平分线的交点，得出两圆周角相等，进而所对的劣弧相等，再根据垂径定理的推论可得出OD ⊥BC .（2）求优弧的长，需求优弧所对圆心角的度数.将DE 转化成DC ，再根据垂径定理，计算出半径，并推导出优弧BAC 所对圆心角度数，根据弧长公式求解.{答案}解： （1）证明：连接OD∵E 是△ABC 的内心，∴∠BAD =∠CAD∴弧BD =弧CD∴OD ⊥BC∵DG ∥BC∴OD ⊥DG ，又D 在⊙O 上∴DG 是⊙O 的切线.（2）连接CE 、CD 、OB 、OC 、OD 交BC 于F∵E 是内心，∴∠ACE =∠BCE ，∠BAD =∠CAD又∠BAD =∠BCD ，∴∠BCD =∠CAD∴∠DEC =∠CAD +∠ACE =∠BCD +∠BCE =∠ECD∴CD =DE =6由（1）可知OD ⊥BC ，∴CF =FB =3321=BC 在Rt △CDF 中，sin ∠FDC =23633==CD FC ∴∠FDC =60° 又OD =OC ，∴△OCD 是等边三角形∴半径OC =OD =CD =6，∠BOC =120°∴优弧BAC 所对圆心角为240°∴优弧BAC 的弧长为ππ81806240=⨯ {分值}8{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{难度:4-较高难度}{类别:常考题}{考点:切线的判定}{考点:弧长的计算}{题目}23．（2019年湖北襄阳T23）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调査，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：(1) 6 kg 和乙种蔬菜10 kg 滞要200元．求m ，n 的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20 kg ，且不大于70 kg.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60 kg 的部分，当天需耍打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y (元)与购进甲种蔬菜的数x (kg)之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额y (元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a 的最大值．{解析}本题考查了二元一次方程组的实际运用，分段函数，一次函数的性质，一元一次不等式的应用（1）两句话可得到关于m 和n 的两个等式，联立方程组求解.（2）由甲种蔬菜的两种不同售价，可得出超市当天的利润额y 与x 之间的分段函数关系式（3）根据一次函数的性质，可求出y 的最大值，再根据题意，列出不等式，求解，得出最大值 {答案}解： (1)由题可得⎩⎨⎧=+=+200106170510n m n m ，解得⎩⎨⎧==1410n m （2）购进甲种蔬莱x （kg ），则甲种蔬菜的售价（元/kg ）为：⎩⎨⎧≤<≤≤=⎩⎨⎧≤<⨯≤≤)7060(8)6020(16)7060(5.016)6020(16x x x x 则甲种蔬菜的利润为⎩⎨⎧≤<--+⨯-≤≤-)7060)(60)(108(60)1016()6020()1016(x x x x ⎩⎨⎧≤<-≤≤=)7060(2480)6020(6x x x x （元） 乙种蔬菜100-x （kg ），乙种蔬菜的利润为（18-14）（100-x ）=400-4x （元）∴超市当天售完这两种蔬案获得的利润额（元）为⎩⎨⎧≤<-≤≤+=⎩⎨⎧≤<-+-≤≤-+=)7060(6880)6020(4002)7060(44002480)6020(44006x x x x x x x x x x y （3）当20≤x ≤60时，y =2x +400≤2×60+400=520，当60<x ≤70时，y =880-6x <880-6×60=520,∴当x =60时，y 取得最大值520元.则甲种蔬菜共捐出2a ·60=120a 元，乙种蔬菜共捐出(100-60)a ·=40a 元.由题意“捐款后的盈利率不低于20%”，可得%20)60100(14601040120520≥-⨯+⨯--a a 解得a ≤1.8，即a 的最大值为1.8.{分值}10{章节:[1-19-2-2]一次函数}{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}{类别:常考题}{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:分段函数的应用}{考点:简单的列二元一次方程组应用题}{题目}24．（2019年湖北襄阳T24）(1)证明推断：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ ⊥AE 于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF ±AE .①求证：DQ ＝AE ；②推断：GF AE的值为________； (2)类比探究：如图②，在矩形ABCD 中，BC AB＝k (k 为常数)．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O .试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP ，当k ＝23时，若tan ∠CGP ＝34，GF ＝210，求CP 的长． {解析}本题考查了本题考查了正方形的性质，垂直的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，平行四边形的判定，平行线的判定，相似三角形的判定（1）①证线段相等，即证线段所在的三角形全等.（1）②可推出四边形DGFQ 是平行四边形，则GF =DQ =AE .（2）将GF 与AE 分别放入两个直角三角形中作为斜边，可证得这两个三角形相似.由于是矩形，长与宽之间有比例关系，因而斜边之比即等于对应直角边之比.（3）过P 作PN ⊥BC ，垂足为N ，利用折叠的性质三角函数的性质以及勾股定理来进行计算. {答案}解： （1）①证明：∵正方形ABCD ，∴AD =AB ，∠QAD =∠B =90°∵DQ ⊥AE 于点O ，∴∠QAO +∠AQO =90°∵∠QAO +∠E =180°-∠B =90°∴∠AQO =∠E∴在△ABE 和△DAQ 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AB E AQO B DAQ∴△ABE ≌△DAQ （AAS ）∴DQ =AE②1=AEGF 解析：∵DQ ⊥AE ，GF ⊥AE∴DQ ∥GF∵正方形ABCD∴AB ∥CD∴四边形DGFQ 是平行四边形∴DQ =GF由①DQ =AE ，∴GF =AE ∴1=AEGF （2）GF =kAE 过G 作GM ⊥AB ，垂足为M ，∴∠FMG =90°，由四边形ABCD 是矩形，可得GM =BC ，∠B =90°，∵FG 是折痕，A 折叠后与E 重合∴AE ⊥FG∴∠BAE +∠AFG =90°又∠BAE +∠AEB =180°-∠B =90°∴∠AFG =∠AEB又∠GMF =∠B =90°∴△GMF ∽△ABEk ABBC AB GM AE GF ===∴ 即GF =kAE（3）过P 作PN ⊥BC ，垂足为N∵折叠及矩形ABCD ，∴∠GPE =∠ADG =∠FAD =∠FEP =∠BCD =∠B =90°∴∠CGP =90°-∠GHP =90°-∠EHC =∠HEC =90°-∠FEB =∠BFE43tan =∠CGP ，BF BE CGP BFE ==∠=∠∴43tan tan设BE =3x ，则BF =4x ，EF =5x =AF ，∴AB =AF +FB =9x ，∴AE x BE AB 10322=+=32===AE GF AB BC k ，321031029==∴x x BC ∴x =1，BC =6=AD =EP ，BE =3，EF =5，AB =9，∴EC =BC -BE =3在Rt △EPN 中，sin ∠PEN =sin ∠BFE =53，cos ∠PEN =cos ∠BFE =54 ∴546,536====EN EP EN PN EP PN 解得524,518==EN PN ∴CN =EN -EC =593524=-∴在Rt △CPN 中，55922=+=PN CN CP {分值}10{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}{类别:常考题}{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:正方形的性质}{考点:折叠问题}{考点:正弦}{考点:余弦}{考点:正切}{题目}25．（2019年湖北襄阳T25）如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x ＝1的抛物线过B ，C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接AC .(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最小时，求点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABCC 相似？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．{解析}本题考查了一次函数的性质，待定系数法求二次解析式，两直线平行时k 相等，相似三角形等知识点。