数字信号的频谱特征与带宽

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希望得到您的反馈，写本适合中国工程师的信号完整性书籍。 截止时间，2010 年 9 月 1 日
于博士信号完整性研究网 于争 2010-5-23
以下是草稿样章，只是搭了个框架，还没修改，仅供参考！这章
形式的傅里叶展开方式。
指数形式的傅里叶展开中，系数 F (nω0 ) 是复数，与频率有关。在直角坐标系中画出
F (nω0 ) 与频率 nω0 的关系，就得到另一种形式的幅度频谱。根据式（）可知， n 即可以
取正值，也可以取负值，因此幅度频谱中包含负的频率成分，这种频谱图称作双边谱，如图
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f0
=
1 T
对应基频的角频率为
ω0
=
2π
f0
=
2π T
由数学分析可知，任何周期信号都可以表示成无穷多个正弦函数和余弦函数之和，称为
傅里叶级数或傅里叶展开。周期函数 x (t ) 可表示为：
x (t ) = a0 + a1 cos (ω0t ) + b1 sin (ω0t ) + a2 cos (2ω0t ) + b2 sin (2ω0t )
包含在 cos (nω0t + φn ) 中，也就是这种表示方式中幅度与相位是分离的，在表达式中能直观
的看到。
2.2 周期信号的双边谱
周期信号傅里叶展开也可以表示成指数形式，指数形式的傅里叶展开系数更容易计算，
也是常用的形式。本节利用傅里叶展开的基本形式推导出指数形式的级数表达式，并得到两
种展开方式的关系。
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重写傅里叶级数表达式如下：
∞
x (t ) = a0 + ∑ ⎡⎣an cos (nω0t ) + bn sin (nω0t )⎤⎦ n=1
根据欧拉公式：
( ) ( ) cos
nω0t
=1 2
e + e jnω0t
∞
x (t ) = c0 + ∑ ⎡⎣cn cos (nω0t + φn )⎤⎦ n =1
其中基波频率
f0
=
1 T
，对应的基波角频率 ω0
=
2π
f0
=
2π T
。系数 c0 可直接计算得到
∫ ∫ ∫ c0
=
1 T
T x (t )dt = 1
0
T
τ 1idt + 1
0
T
T 0idt = τ
τ
T
为了求解各次谐波的系数 cn 和相角φn ，首先计算指数形式展开式的系数 Fn
如果令 F (0 ⋅ω0 ) = a0 ，则周期函数可表示为一种简单的级数形式，称为周期函数的指数形
式傅里叶展开。
其中：
∞
∑ x (t ) = ( ) F nω0 e jnω0t n=−∞
F
( nω0
)
=
an
− 2
jbn
=
1 2
⎡2 ⎢⎣T
T
∫0
x (t ) cos (nω0t )
dt
−
j
2 T
T
∫0
其中：c0 = a0 为周期函数的直流分量，cn cos (nω0t + φn ) 称为谐波分量。n = 1 时谐波分量
称为基波，n 取其他值时谐波分量分别称为二次谐波、三次谐波……等。显然 an 、 bn 、 cn 以及φn 都是频率 nω0 的函数，cn 表示信号中各次谐波分量的摆幅，如果将 cn 与频率 nω0 的
关系在直角坐标系画出来就得到周期信号的幅度频谱或简称幅度谱，如图所示。同样还可画
出各分量的相位φn 与频率 nω0 的关系图，称为相位频谱或简称相位谱。这种频谱的特点是
只包含正的频率分量，称为单边谱。因为现实中的单频信号一定是正频率的，单边谱能直观 的显示实际信号的频谱特性，工程中使用的也最多。
幅度
(nω0t ) dt
为了更清楚的表示周期信号的频谱特性，把上式中同频率项合并。为此，改写上式为：
∑ x (t ) = a0 +
∞
⎪⎧ ⎨
n=1 ⎪⎩
⎡
an2
+ bn2
⎢ ⎢⎣
an an2 + bn2
cos (nω0t ) −
对上式做变量代换，令
c0 = a0
−bn an2 + bn2
sin
(
nω0t
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∞
x (t ) = c0 + ∑ ⎡⎣cn cos (nω0t + φn )⎤⎦ n =1
∫ c0
=
1 T
T x (t )dt
0
cn = an2 + bn2
φn
=
⎛ artan ⎜
⎝
−bn an
⎞ ⎟ ⎠
指数形式的展开式： 比较两种展开式可得到：
∞
∑ ( ) x t =
(n > 0)
由此我们可以得到这样的结论：
1. 单边谱和双边谱中直流分量的幅度相等。
2. 单边谱中某一个频率分量的幅度是双边谱中对应频率分量幅度的 2 倍。
3. 单边谱中某一个频率分量的相位与双边谱中对应的正频率分量相位相同。
提示：通过计算双边谱的幅度和相位，很容易得到单边谱的幅度和相位，这是计算上的捷径。
⎤
)⎥
⎥⎦
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
cn = an2 + bn2
带入等式得：
φn
=
⎛ artan ⎜
⎝
−bn an
⎞ ⎟ ⎠
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{ } ∞
x (t ) = c0 + ∑ cn ⎡⎣cos (φn ) cos (nω0t ) − sin (φn )sin (nω0t )⎤⎦ n=1 ∞ ∑ = c0 + ⎡⎣cn cos (nω0t + φn )⎤⎦ n =1
+ ...
+ an cos (nω0t ) + bn sin (nω0t )
其中：
∞
∑ = a0 + ⎡⎣an cos (nω0t ) + bn sin (nω0t )⎤⎦ n=1
∫ a0
=
1 T
T x (t )dt
0
an
=
2 T
T
∫0
x (t ) cos (nω0t ) dt
bn
=
2 T
∫T 0
x (t )sin
− jnω0t
( ) ( ) sin
nω0t
=1 2j
e − e jnω0t
− jnω0t
将式（）代入式（）中并合并相同指数项的系数得到
( ) ∑ x t
=
a0
+
∞ n=1
⎡ an ⎢⎣
− 2
jbn
e jnω0t
+
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an
+ 2
jbn
e− jnω0t
⎤ ⎥⎦
考察指数项的系数，令
F
( nω0
)
=
an
− 2
jbn
根据式（）可知 an 是关于 n 的偶函数， bn 是关于 n 的奇函数，即
an = a−n
代入 e− jnω0t 系数中有
bn = −b−n
因此周期函数可表示成
an
+ jbn 2
=
a− n
− jb−n 2
=
F (−nω0 )
∞
∑ x (t ) = a0 + ( ) ( ) ⎡⎣F nω0 e jnω0t + F −nω0 e− jnω0t ⎤⎦ n=1
Fne jnω0t
n=−∞
∫ ( ) Fn
=
1 T
T
x
0
t e− jnω0t dt = an − jbn 2
∫ F0
=
a0
=
1 T
T x(t)
0
∫ F0
=
1 T
T 0
x
(t
)dt
=
c0
Fn
=
an − jbn 2
=1 2
an2
+ bn2
=
1 2
cn
∠Fn
=
⎛ artan ⎜
⎝
−bn an
⎞ ⎟ ⎠
=
φn
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所示。 F (nω0 ) 的相位与频率 nω0 的关系，同样包含正负两种频率，称为双边相位谱。
幅度
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -12f-11f-10f-9f -8f -7f -6f -5f -4f -3f -2f -f 0 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10f11f 12f
0.5 0.45
0.4 0.35
0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
0 0 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10f 11f 12f 频率 单边谱图
提示：信号完整性中，使用单边谱来研究信号的带宽，物理含义更清晰。
注意在单边谱中，傅里叶系数 cn 是实数，其与频率 nω0 的关系代表的是幅度谱。相位φn
x (t )sin
(nω0t )
dt
⎤ ⎥⎦
=
1 T
T
∫0
x(t)
⎡⎣cos (nω0t )
−
j
sin
(nω0t )⎤⎦
dt
∫ ( ) = 1
T
x
t
e− jnω0t dt
T0
F
(0 ⋅ω0 )
=
a0
=
1 T
∫T 0
x (t )dt
由于这种指数形式的表达式中，傅里叶系数的计算相对简单，因此理论分析中经常用到这种
对于周期信号，三角函数形式的傅里叶展开式中，系数为实数，而且只包含正的频率分 量，其物理含义很明显，能清晰的看到包含哪些频率分量，各个频率分量的幅度有多大，相
位有多大。而复指数形式傅里叶级数的表示式中，除了包含正的频率分量 ω0 , 2ω0 , 3ω0... 外，
还包含 −ω0 , −2ω0 , −3ω0... 等负频率分量，系数 F (nω0 ) 为复数，各频率分量的相位信息也
理意义的傅里叶级数表达式。
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2.4 理想方波信号的频谱
假设 x (t ) 为理想方波信号，脉宽为τ ，周期为T ，占空比为 D = τ ，方波幅度为 1，
T
如图所示。
x(t)
0 τT
t
为了得到理想方波信号的单边谱，将该信号展开成三角函数形式的傅里叶级数：
=
1 T
⎡ ⎢ ⎣
1 jnω0
−
e
j nω0τ 2
2
j
sin
⎛ ⎜⎝
nω0τ 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
⎡
⎤
=1 T
公式较多，后续章节不会有这么多公式。
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第 2 章 数字信号频谱与带宽
2.1 周期信号的单边谱
周期信号可表示为：
x (t + nT ) = x (t )
n = 0, ±1, ±2,.......
T 称为信号周期，周期 T 的倒数为该信号的基频，记为 f0
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( ) Fn
=
1 T
⎡ ⎢ ⎣
1 jnω0
1 − e− jnω0τ
⎤ ⎥ ⎦
=
1 T
⎡ ⎢ ⎢⎣
1 jnω0
− j nω0τ
e2
⎛ j nω0τ ⎜e 2 ⎝
− j nω0τ
−e 2
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎥⎦
不明显，似乎傅里叶级数的物理含义已经丢失，但事实并非如此。实际上，两种形式的展开 式中，各个频率分量的幅度和相角存在着固定的关系。
为了方便起见，下面的讨论中把 F (nω0 ) 记为 Fn ，把 F (0iω0 ) 记为 F0 。两种展开式归
纳如下。 三角函数展开式：
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频率 图双边幅度谱
在复数形式的展开式中，指数项 e− jnω0t 仅代表谐波的频率，频谱的幅度和相位信息都包
含在系数 F (nω0 ) 中。
提示：在研究数字信号的带宽时，使用双边谱更容易计算。
2.3 单边谱与双边谱的关系
不论是单边谱还是双边谱，代表的是同一个函数的频谱特性，因此两种频谱图之间必然 存在某种联系。
相位关系可根据 an 、 bn 的奇偶特性得到：
∠F−n
=
artan
⎛ ⎜ ⎝
−b−n a− n
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ − artan ⎜
⎝
−bn an
⎞ ⎟ ⎠
=
−φn
= − ∠Fn
即正负两个频率分量得相位符号相反。由双边谱来求得单边谱时，单边谱的相位应根据双边
谱的正频率分量部分得到。
有了两种频谱之间的关系，就可以通过求解双边谱来得到单边谱，进而得到具有实际物
∫ ( ) Fn
=
1 T
T
x
0
t
e− jnω0t dt
∫ ∫ = 1 τ 1ie− jnω0t dt + 1 T 0ie− jnω0t dt
T0
Tτ
∫ = 1 τ e− jnω0t dt T0
( ) =
1 T
⎡ ⎢ ⎣
1 jnω0
1 − e− jnω0τ
⎤ ⎥ ⎦
对上式进一步变换，将其变成包含幅度和相位的表达式
实际上，单边谱中每根谱线代表代表一个频率分量，该频率分量具有真实的物理意义。
而双边谱中，把每一个具有物理意义的频率分量用两根谱线表示出来，其中一个是正频率分
量，一个是负频率分量。只有把正负频率上的两根谱线矢量相加才能得到一个具有物理意义
的频率分量。
另外在双边谱中，正负频率分量之间也存在固定的关系，正负两个频率分量幅度相等。