简述如何用同一法做几何证明题

D 简述如何用同一法做几何证明题

陈平

在整个中学数学学习过程中，几何证明题是无法逾越的一个重点和难点，而几何证明题的重点突破口又是题目的分析方法，所以掌握一定的几何证明题的分析方法显得尤为重要。中学几何题证明方法一般分为直接证明和间接证明两种，有些题目，如果直接去证明，不但关系复杂，而且思路繁琐，在应试的过程中很难在较短的时间内解决问题，但当你换一种思路，用间接的方法去考虑，往往能够达到意想不到的效果。间接的证明方法一般又分为两种，一种是反证法，另一种称为同一法（又称统一法），两种方法各不相同，反证法在教科书中有较为完整的学习体系，但同一法却没有给出明确概念和用法，但教科书中的例题却时不时地用到同一法，现就同一法的用法做简单概括说明。

要想用好同一法，就必须先对同一法有较为明确的概念区分，虽然学界对同一法一直存在争议，但王学贤老师就曾用集合的观点很好的解释过同一法的实质，大致内容是：每一个数学命题都是由条件和结论两部分构成的，一般的命题可以描述为如果（若）某些对象具有某种性质a ，那么（则）它们就具有某种性质b ，在这里，条件是“某些对象具有性质a ”，结论是“它们具有性质b ”，如果我们把具有性质a 的对象的集合记作A ，把具有性质b 的对象的集合记作B ，把“某些对象中任一对象记作x ，则x ∈A 。若原命题是真命题，则x ∈B 。因此，命题用集合描述为就是：A 是B 的子集，即A ⊆ B 。同样，其逆命题就是A B ⊆ 。显然A 不一定等于B ，即原命题成立，逆命题不一定成立，但当集合A 仅含有一个元素m,集合B 也仅含有一个元素n 时，A ＝B ，此时，原命题成立，其逆命题也必然成立。因此，我们得到下述基本原理：如果一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时，则原命题、逆命题等价，这个基本原理叫做同一原理，例如“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”就符合同一原理。当一个命题符合同一原理，且直接证明比较困难时，可转而证明它的逆命题，这种证明方法就是同一法，具体的做法是：当我们欲让某个图形A 具有某种性质B 时，先构造一个具有性质B 的图形A ′，然后证明图形A ′就是图形A ，实质上是证明逆命题来间接证明原命题的正确。下面通过几个例题更加清楚地来认识同一法。

例一：已知如图，E 是正方形ABCD 内部的一点，∠ECD ＝∠EDC ＝15°.求证：△EAB 是等边三角形。

C A

分析：因为在正方形ABCD 内部使得∠ECD ＝∠EDC ＝15°的点唯一存在。同样，在正方形ABCD 内部以AB 为边的等边三角形也唯一存在，因此，此题符合同一原理，可以用同一法来证明。

证明：以AB 为边，在正方形ABCD 内作等边三角形E ′AB ，连接E ′C 、 E ′D

∵E ′A ＝E ′B ＝AB ＝DA ＝CB ，′

∴∠CB E ′＝90°－60°＝30°, ∠BC E ′=(180°-30°)÷2=75°

∴∠E ′CD=90°－75°=15°,

由此可见，E ′和E 实际上是同一点，故△EAB 是等边三角形。

例二：如果一条直线截三角形的两边所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

分析：如图，在△ABC 中，若AB 边上D 点确定，则在AC 边上满足EC AE ＝DB

AD 的E 点唯一确定，从而DE 也唯一确定，另一方面，过D 点平行于BC 边的平行线唯一存在，因此此题符合同一原理，可先作D E ′∥BC ，然后证明D E ′和DE 重合即可。

证明：过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′

在△ABC 中

∵D E ′∥BC ∴DB AD ＝C E 'AE ' 又DB AD ＝EC

AE ∴C E 'AE '＝EC

AE ，则C E AE ''AE '+＝EC AE AE + 即

AC 'AE ＝AC AE ，∴AE ′＝AE 故E ′和E 重合，DE ′和DE 重合。

∵D E ′∥BC

∴D E ∥BC

E D

例三：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD+BC ＝AB ，F 是CD 的中点。求证：∠DAB 的平 分线过点F 。

分析：此题只要连接AF ，证明AF 平分∠DAB ，或作∠DAB 的平分线于DC 相交于点F ， 证明F 是DC 的中点即可。

证明：连接AF 并延长与BC 的延长线相交于点E

∵梯形ABCD

∴AD ∥BC

∴∠D ＝∠ECF

又∠AFD ＝∠EFC ，DF ＝CF

∴△ADF ≌△ECF

∴∠E ＝∠DAF ，AD ＝CE ，即BE ＝BC+CE ＝BC+AD

又∵AD+BC ＝AB

∴AB ＝BE ∴∠E ＝∠BAE

∴∠DAF ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAD ，又AE 过F 点，

∴∠DAB 的平分线过点F 。

例四：在三角形ABC 中，M 为线段AB 的中点，D 为AB 上的另一点，连接CD ，N 为CD 的中点， P 为BC 的中点，连接MN ，Q 为MN 的中点，试证明直线PQ 平分线段AD 。

分析：因为过P 、Q 两点的直线与AD 的交点和AD 的中点都唯一存在，所以题目符合同一原理，若直接证明，因关系复杂难以证明，因此我们采用同一法证明，欲证直线PQ 平分AD ，我们可先取AD 的中点为E ，然后证明P 、Q 、E 三点共线即可。

证明：取AD 的中点为E ，连接NE 、PM 、NP

∵AE ＝ED ，DN ＝NC

∴EN ∥AC 且 EN ＝2

1AC 同理可证，PM ∥AC 且 PM ＝2

1AC ∴EN ∥PM 且EN ＝PM ∴四边形PNEM 为平行四边形

连结PE ，因为Q 是MN 的中点，所以对角线PE 必过Q 点，

即P 、Q 、E 三点共线