6.拉压、剪切应力解析
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于轴线的平面（横截面相对轴线平移）
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
胡克定律
E
F
5、应力的计算公式：
FN
A FN
FN A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
N MPa 2 mm
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
2
sin 2
( 1 ) max :
0,
max
( 0)
max
(
0
,横截面上。
(2) max :
45
2
,450斜截面上。
2
)
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
三、拉压杆的强度计算
1、极限应力、许用应力
⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生 过大变形而不能安全工作时的最小应力值。σ
FN max A
FN A max
变直杆： max
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
（1）、校核强度——已知：F、A、[σ ]。求： max ≤
？
FN max ？ max A （2）、设计截面尺寸——已知：F、 [σ ] 。求：A
p , , 三者之间的关系：
⑤ 应力的单位：
p2 2 2
牛顿/ 米2 ( N / m2 ) ，或帕( Pa ) 。
1 Mpa (兆帕）= 106 Pa , 1 GPa （吉帕） = 109 Pa。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
一、轴向拉压杆横截面的应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
A
2m
3m
B
F
例2 已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm, [σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为 a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN. 试校核支架强度. 解: 1.内力分析
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
8、公式的使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。
解：
FN max 解： max A
A ≥ FNmax／ [σ ] 。
（3）确定外荷载——已知： [σ ] 、A。求：F。
FN max 解： max A
FNmax ≤ [σ ] A。→ F
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
例1 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。 F FN F 25KN X
是反映一点处内力的强弱程度的基本量
课前回顾：应力的概念
② 指定截面上、一点的全应力或总应力：
p σ
τ α
P dF p lim A 0 A dA
③ 垂直于截面的应力分量----正应力
lim
N dFN A0 A dA
④ 切于截面的应力分量------切应力
T dFs lim A 0 A dA
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
FN= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 F ②应力公式—— F F
F
FN
x
p
FN
FN F F p cos cos A A A cos
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
外力的等效 圣维南原理：
F
作用于杆上的外力可以 用其等效力系代替，但替换 后外力作用点附近的应力分 布将产生显著影响，且分布 复杂，其影响范围不超过杆 件的横向尺寸。
F /2 F /2 F /3 F /3 F /3
外力对内力的影响区域
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
1、实验：
变形前
受力后
F F
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。
纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前垂直轴线的横截面，变形后仍为垂直
于轴线的平面
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
一、轴向拉压杆横截面的应力
平面假设
3、平面假设：变形前垂直轴线的横截面，变形后仍为垂直
u
⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[σ ]”
u
n
（其中 n 为安全系数,值 ＞ 1）
⑶、安全系数取值考虑的因素：
（a）给构件足够的安全储备。
（b）理论与实际的差异。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力
max ≤ 等直杆ຫໍສະໝຸດ max哈尔滨工业大学本科生课
第3章 应力计算及强度条件
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力
§3.2
剪切
课前回顾：应力的概念 为什么要讨论应力?
1.
F F
F
F
2. 通常情况下，同一截面各个点上内力是不相同的。需 要知道截面上哪个点处最危险，研究内力在截面上各点 的分布情况。
应力的概念
① 应力定义： 截面上一点处内力的密集程度
解：1、轴力FN =F =25kN
2、应力： max
4 25103 FN 4F 162 MPa 2 2 3.14 0.014 A d
170MPa 3、强度校核： max 162MPa
此杆满足强度要求，能够正常工作。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
由 x 轴逆时针转到斜截面外法线——“” 为正值；
⑵、σ：同“σ”的符号规定
⑶、τ：在保留段内任取一点，如果“τ”对该点之矩为 顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
3、斜截面上最大应力值的确定
F
FN
x
cos ,
2
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
胡克定律
E
F
5、应力的计算公式：
FN
A FN
FN A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
N MPa 2 mm
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
2
sin 2
( 1 ) max :
0,
max
( 0)
max
(
0
,横截面上。
(2) max :
45
2
,450斜截面上。
2
)
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
三、拉压杆的强度计算
1、极限应力、许用应力
⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生 过大变形而不能安全工作时的最小应力值。σ
FN max A
FN A max
变直杆： max
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
（1）、校核强度——已知：F、A、[σ ]。求： max ≤
？
FN max ？ max A （2）、设计截面尺寸——已知：F、 [σ ] 。求：A
p , , 三者之间的关系：
⑤ 应力的单位：
p2 2 2
牛顿/ 米2 ( N / m2 ) ，或帕( Pa ) 。
1 Mpa (兆帕）= 106 Pa , 1 GPa （吉帕） = 109 Pa。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
一、轴向拉压杆横截面的应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
A
2m
3m
B
F
例2 已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm, [σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为 a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN. 试校核支架强度. 解: 1.内力分析
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
8、公式的使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。
解：
FN max 解： max A
A ≥ FNmax／ [σ ] 。
（3）确定外荷载——已知： [σ ] 、A。求：F。
FN max 解： max A
FNmax ≤ [σ ] A。→ F
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
例1 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。 F FN F 25KN X
是反映一点处内力的强弱程度的基本量
课前回顾：应力的概念
② 指定截面上、一点的全应力或总应力：
p σ
τ α
P dF p lim A 0 A dA
③ 垂直于截面的应力分量----正应力
lim
N dFN A0 A dA
④ 切于截面的应力分量------切应力
T dFs lim A 0 A dA
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
FN= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 F ②应力公式—— F F
F
FN
x
p
FN
FN F F p cos cos A A A cos
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
外力的等效 圣维南原理：
F
作用于杆上的外力可以 用其等效力系代替，但替换 后外力作用点附近的应力分 布将产生显著影响，且分布 复杂，其影响范围不超过杆 件的横向尺寸。
F /2 F /2 F /3 F /3 F /3
外力对内力的影响区域
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
1、实验：
变形前
受力后
F F
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。
纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前垂直轴线的横截面，变形后仍为垂直
于轴线的平面
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
一、轴向拉压杆横截面的应力
平面假设
3、平面假设：变形前垂直轴线的横截面，变形后仍为垂直
u
⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[σ ]”
u
n
（其中 n 为安全系数,值 ＞ 1）
⑶、安全系数取值考虑的因素：
（a）给构件足够的安全储备。
（b）理论与实际的差异。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力
max ≤ 等直杆ຫໍສະໝຸດ max哈尔滨工业大学本科生课
第3章 应力计算及强度条件
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力
§3.2
剪切
课前回顾：应力的概念 为什么要讨论应力?
1.
F F
F
F
2. 通常情况下，同一截面各个点上内力是不相同的。需 要知道截面上哪个点处最危险，研究内力在截面上各点 的分布情况。
应力的概念
① 应力定义： 截面上一点处内力的密集程度
解：1、轴力FN =F =25kN
2、应力： max
4 25103 FN 4F 162 MPa 2 2 3.14 0.014 A d
170MPa 3、强度校核： max 162MPa
此杆满足强度要求，能够正常工作。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
由 x 轴逆时针转到斜截面外法线——“” 为正值；
⑵、σ：同“σ”的符号规定
⑶、τ：在保留段内任取一点，如果“τ”对该点之矩为 顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。
§3.1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
3、斜截面上最大应力值的确定
F
FN
x
cos ,
2