3–2-保守力与非保守力做功特点-势能知识分享
浅谈保守力
一、力的分类1.保守力。
所做功只与物体的相对起始和终点所在之处相关联，而与其物体的过程轨迹无关的力，即为保守力[1]。
假若一力学体系里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。
若场力的积分，则W ABC=W ADC，由此W ABCDA= W ABC+W CDA=W ABC-W ADC=0。
从其定义已经了解到对象的相对起始和终点所在之处决定了保守力做功的多少，假若在此力的作用下，物体的运动在一个封闭的路径绕行一个周期后回到起始位置，则作功是零。
假若空间中存在某一质点，质点不论在其周围任何位置，其所受到的力f与向量同向或反向，即受到吸引力或排斥力，力的大小是标量的单值函数，我们称这样的力为有心力。
所有的有心力都是保守力，如万有引力（重力）。
如果在一个孤立的系统中，所有的作用力都是保守力，则为机械能守恒的系统。
2.非保守力。
力所做的功与其运动轨迹有关的作用力即为非保守力。
通常由于能量守恒原理，非保守力做功的能量损耗被转移到其他地方。
例如，物体间摩擦力做功会使机械能转变为热能，有时候也伴随着声能等。
游船在水中移动时，水对船身的阻力将船所具有的机械能转变，如热能、声能和波能等。
从热力学第二定律可推断出，非保守力的能量损耗不可逆。
3.耗散力。
作用力对质点体系做功为负，从此导致整个系统的机械能总体减少的力即为耗散力。
耗散力做功与力使物体运动所经过的轨迹有关[2-4]。
力的划分根据力做功与运动轨迹是否相关而区分为保守力与非保守力；耗散力、非耗散力是非保守力的两个组成部分。
我们在力学体系内了解的非保守力基本上都为耗散型力，因而长久以来耗散力就几乎等同于非保守力的代替词。
然而非保守力并不都是耗散力，这二者是有区别的，例如，一根绳子跨过一个上端固定的轻质滑轮，此绳两端分别连接有两个重量不相等的重物，在放开物体令其自由运动后，绳子的拉力对下降的物体做功为负，对上升的物体做功为正。
但是根据能量守恒定律，在整个过程中机械能并无损失，而是转变为相应内能等，所以此拉力既不是属于保守力之列，也不是属于耗散力之列，即为非耗散力。
4.4保守力与非保守力势能
v v d A = F ⋅ d x = − kx d x
xQ
总功
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ xP
1
2
2 P
1
2
弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 只与物体的始末位置有关 与物体所经的路径无关. 与物体所经的路径无关
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第四章 动能和势能 2. 保守力与非保守力 定义：如果一个力所做的功， 定义：如果一个力所做的功，只与物体的始末位置 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。
v v 元功 d A = F ⋅ d x = − kx d x
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ 总功 xP xQ
1
2
2 P
1
2
所以
A = −( Ep Q − Ep P )
上式表明， 上式表明，弹性力所作的功等于弹簧系统弹力势能增量 的负值， 弹力势能的减少量。 的负值，即弹力势能的减少量。
b
ra
r r r r r rb r ⋅ = mg （ − j ）∫r dr = mg（− j）(rb − ra ) ⋅ ra
A = mg( ya − yb ) 重
重力所作的功只由质点的始、 重力所作的功只由质点的始、 末位置决定 决定， 末位置决定，与质点运动的路 径无关
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第四章 动能和势能 (2) 弹力的功 小球由p点移到 点 小球由 点移到Q点，弹力 点移到 做功为多少？ 做功为多少？ 元功
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
保守力和势能
一对力所作的总功的只取决于两质点的相对运动；
一对力做功的代数和与参考系的选择无关；
5
什么条件下, 一对内力做功为零?
v
m
M
f
s s
C
f
v
N
C
N
Af Af 0
作用点无相对位移
AN AN 0
相互作用力与相对位移垂直
6
功的大小与参照系有关
功的单位为焦耳 功率(power) 功率：单位时间内力对物体所作的功 平均功率
yb ya
W mgdy mg( yb ya ) mg( ya yb )
重力是保守力。重力的功等于重力势能增量 的负值。重力势能以地面为零势能点。
y dy a p o
12
dr dx
W mg( yb ya ) ＝－EP 为势能增量
dr
b
EP mgdy mg(0 y) mgy
P
C
y
R
.
o
m
F
解：
F F0 xi F0 yj
r
x
0
dr dxi dyj
2R
r xi yj
2 A F d r F0 x d x F0 y d y 2F0 R
0 0
8
练习2 如图 M =2kg , k =200N m , s = 0.2m , g ≈ 10ms
功(work)
力对空间累积
中学知识恒力作功
F
a
F
A F s cos F s
s
s
ds
dr
保守力与非保守力
保守力与非保守力Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
保守力与非保守力及势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
(1) 重力势能：
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力，其势能函数为何不同？它们
有何内在关系？ 3. 若选地表为万有引力势能零点，则 引力势能表达式如何？
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能： E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能：
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则：
保守力与非保守力
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点.非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词.严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少,并转变为系统的热能或内能.通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力,但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力.⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置,如果在该力作用下,物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关,在其他条件相同的情况下,物体运动路径越长,所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同,是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如,物体确定后,重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功,则物体系的势能减少；反之,则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒。
耗散力不象保守力，对于两个位置之间,力对物体做功没有确定的值，从而相应的两个位置之间没有一定的能量差。
保守力与非保守力
一、 万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。
这是万有引力作功的一个重要特点。
扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=r m m G W从图可以看出r d cos d cos d d r r ===⋅θθr r e r e于是，上式为r r m m G W d d 2'-=所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为⎰⎰'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d即2 重力作功如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。
扩充内容： 计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为r P d d ⋅=W若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有j i r y x d d d +=且j P mg -=。
第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理
上海师范大学
3 /17
§3. 4 三、质点的动能定理
动能定理
外力F作用在质点上, 对质点做功, 质点的速率发生变化, 因此能量发生变化.
外力所做的功W与质点的能量有什么定量 关系吗?
dv 由 W F dr F cos dr Ft dr Ft ds 和 Ft m
A
dW F dr
W F r
A
W
B
B F dr F cosdr
r
是在力的作用下产生的位移.
W Fi dr Fi dr Wi
合力的功 = 各分力的功的代数和
i
W W1 W2 W3 Wi
5. .直角坐标系中的功
F Fx i Fy j Fz k； dr dxi dyj dzk
W Fx dx Fy dy Fz dz
6. 功的单位
Wx Wy Wz
1 /17
1J 1N m
上海师范大学
§3. 4 二、功率
12 /17
§3.5 四、势能曲线
保守力与非保守力 势 能
势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线.
Ep mgz
1 E p kx 2 2
m'm Ep G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
重力势能曲线
z
x
O
弹性势能曲线
引力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
v v0 e
t 0
x
dt
W b (0 e
大学物理：3_2保守力与非保守力
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
2）
重力作功
P mgk
dr dxi dyj dzk
W
B P dr
zB mgdz
A
zA
z
zA
zB
A
mg
B
(mgzB mgz A )
o
x
y
W mgdz 0
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
3 ） 弹性力作功
F
A Ek Ek0 Ek
A A外 A内 A外 A非 保 内 A保 内
保守内力的功和势能的关系
A保 内 E p 则有 A外 A非保内 （ E p） Ek
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
A外 A非保内 ( E p Ek )
机械能 E Ek Ep
则有 A外 A非 保 内 E
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
3、平衡点
dU 0 , 即 : f(x) 0 dx
(G
mr'Am)
重力功 弹力功
W (mgzB mgz A )
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
A
D
C
F dr F dr
ACB
ADB
B
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
保守力与非保守力
保守⼒与⾮保守⼒⼀、万有引⼒、重⼒、弹性⼒作功的特点1 万有引⼒作功如上图所⽰，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任⼀路径由点A 运动到点B ，万有引⼒作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引⼒作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，⽽与所经过的路径⽆关。
这是万有引⼒作功的⼀个重要特点。
扩充内容：计算万有引⼒作的功设在某⼀时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位⽮为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引⼒为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位⽮r 的单位⽮量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引⼒作的功为r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W从图可以看出r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e于是，上式为r r m m G W d d 2'-=所以，质点m 从点A 沿任⼀路径到达点B 的过程中，万有引⼒作的功为'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d即2 重⼒作功如右图所⽰，⼀个质量为m 的质点，在重⼒作⽤下从点A 沿ACB 路径⾄点B ，点A 和点B 距地⾯的⾼度分别为21 y y 和，计算重⼒作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重⼒作功只与质点的起始和终了位置有关，⽽与所经过的路径⽆关，这是重⼒作功的⼀个重要特点。
扩充内容：计算重⼒作的功因为质点运动的路径为⼀曲线，所以重⼒和质点运动⽅向之间的夹⾓是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重⼒P 所作的功为r P d d ?=W若质点在平⾯内运动，按图所选坐标，并取地⾯上某⼀点为坐标原点O ，有j i r y x d d d +=且j P mg -=。
保守力做功与势能
3-2 保守力做功与势能
3.2.3 由势能函数确定保守力场
1. 积分关系
2. 微分关系
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp
E p x
dx
E p y
dy
E p z
dz
第3章 机械能和功
mg mgk , dr dxk) mgdz
可得物体沿acd路径从a点移动到b点时重力做的总功
A mg dr acb
mg
z2 z1
dz
mgz1
mgz2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例2 设一劲度系数为k的轻弹簧放在光滑水平桌面上， 一端固定，另一端连接到质量为m的质点上。计算当 质点由a点运动到b点的过程中弹性力所做的功。
质点沿BDA从B回到A点，引力作功为:
B
ABDA
GMm ra
GMm rb
rb
质点沿ACBDA封闭路径
一周，引力作功为 ：
AACBDA F dr
Mo r
ra
F dr
C
D
ACBDA
A
F dr F dr
ACB
BDA
0 AACB ABDA
AACBDA F dr 0
ACBDA
第3章 机械能和功
说 明
1.势能是相互作用有保守力的系统的属性。 2.势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。 势能零点可以任意选取。
设的空势间能为r0：点为势能零点，则空间任意一点 r
空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势 能零点时保守力作的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例3 轻弹簧原长l0，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的 重物。已知弹簧挂重物后在O点达到平衡，此时弹簧伸 长了x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位 置，(2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势 能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总 势能。
2.3 保守力、非保守力和势能
m'm
dW F dr G r3 r dr
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
（3）万有引力作功
说明：r
dr
r
dr
cos
rdr
m'm
m' m
dW F dr G
r3
r dr G
r2
dr
m 由A 点移动到B点时F作功为
W
dw
rB
rA
G
m' m r2
dr
m
A
r (t)
保守力、非保守力 和势能
一、几种常见力作功的特点
（1）弹性力作功
F kxi
dW
F
dx
kxi dxi
o
kxdx
F
x
xA xB
W
dw
xB kxdx
xA
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（2）重力作 功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
(mgz B mgz A )
z
zA A
zB
mg
B
o
y
x
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（3）万有引力作功
以
m' 为参考系，m
的位置矢量为 r
.
m'对 m 的万有引力为
F
G
m' m r3
第四章动能和势能(2)学习内容4.4保守力与非保守力势能4.5功能
第四章 动能和势能（2）学习内容： 4.4 保守力与非保守力 势能 4.5 功能原理和机械能守恒定律所做的工作：1.学习力场，保守力，非保守力势能等概念。
2.讨论机械能的 变化规律――功能原理和机械能守恒定律。
4.4 保守力与非保守力，势能。
在力学中，一谈到动能，往往同时需要考虑物体的势能。
势能概念是在 保守力概念基础上提出的。
所以在具体讨论势能概念之前我们先来学习力场，保守力和非保守力等概念。
（一） 力场一般情况下，质点所收到的外力可表现为：(,,)F F t r v = （1）如果F 只与质点的位置有关，即 ()(,,)V F r F x y z ==（2）则称F 为场力，即F 为空间坐标的单值矢量函数并 把场力F 存在的空间叫做力场。
物理“场”――物质存在的一种形式。
它具有动量和能量。
在经典理学中认为：力具有超距作用，力场概念仅限于（2）式所描述的力场。
常见的力场有：○1重力场，且在不太大的 时间◎◎◎ 范围内有场力：*F maW mg =-=W mg =＝恒量 ○2静电场：静电场力（库仑力） ：314q qF r r οοε=∏电场强度：314q E r rοοε=∏ ○3平行板电容器中的静电场 场强：E =恒量F`（x ，y ，z ） YXF （x ，y ，z ）RR` Z○4弹簧弹性力――――场力显然，○2和○4两种情况下，质点所受力的作用线始终通过某一固定点，称该力为有心力，并称该O 为力心。
另外，上述各力都只与质点的位置有关，所以，都是场力。
与此相反：洛仑兹力 F q E q V B =+⨯ 与V 有关摩镲力：F kV =-或F N μ=非主动力，由运动状态及其他外力而定。
都不是场力。
加速参考系的惯性力：*F ma =- 与 W m g =相类似。
离心惯性力：()()bx y a A F ar F i F j axi ayj ==++⎰⎰*2f mv r λ=- ⇒有心力科氏奥里力 *`2k f mv ω=⨯ 不是场力。
力做功与势能的关系
mm mm W (G 0 ) (G 0 ) rB rA
W (mgz B mgz A ) 1 2 1 2 弹力功 W ( kxB kx A ) 2 2
A
D
C
ACB
F dr
ADB
F dr
B
l
ACB
r (t )
B dr
r (t dt )
P mgk dr dxi dyj dzk
W
B A
2 ） 重力作功
zB P dr mgdz
zA
zA
z
A
zB
mg
B
(mgz B mgz A )
W mgdz 0
四 势能曲线
Ep mgz
Ep
1 2 Ep kx 2
m' m Ep G r
Ep
O
Ep
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
x
o
y
3 ） 弹性力作功
F
o
xA
B A
xB
x
B
x x F kxi W x Fdx x kxdx
A
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
W kxdx 0
二 保守力和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
弹性势能
讨论
势能是状态函数
3-2 保守力做功与势能
x = 0处为势能零点 z = 0处为势能零点
A A B ( E pB E pA )
定义了势能的差值
势能增量的负值
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
说 明
1.势能是相互作用有保守力的系统的属性。 2.势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。 势能零点可以任意选取。 设空间 r 点为势能零点，则空间任意一点 r 0 的势能为：
a x1
则
Aab
1 2
k x1
2
1 2
kx2
2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
二 势能 仍以引力为例
B
引力场
AA B
A
GmM GmM F dr rB rA
按照动能定理：若质点在引力场中运动（只受引力用）
B
AA B
GmM rB
A
F d r E kB E kA
A ACBDA
F dr
r
A
F
dr
ra
C
D
ACBDA
ACB
F dr
BDA
F dr
A AC B ABD A
0
第3章 机械能和功
A ACBDA
F dr 0
ACBDA
结 论 ： A ACBDA
3-2 保守力做功与势能 F dr 0
E kA E pA E kB E pB
(
GmM
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结论：
5. 由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一 定的势能——与质点所处位置有关。
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Ep
G
Mm (R h0 )G NhomakorabeaMm (R
h)
y h
GMm GMm
(R
1
h0 )
(R
1
h )
h h0 ( R h 0 )( R h )
h0 O
R
h , h 0 R
G
Mm R2
mg ( h h 0 )
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结论：
重力势能实际上近似等于质点在地面附近两点之 间的引力势能之差，只有当质点在地面附近时，我们 才可以用重力势能代替引力势能计算质点势能的变化 或质点相对于势能零点的势能值，当质点远离地球时， 就必须用质点的引力势能来研究质点的势能了。
物体移动的具体路径无关。
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3．万有引力做功
B
M对m的万有引力为
FGM r2 mer
m移动dr时，F 作元功为 M
rB dr rdr
θ
r
m F
d W F d r
rA
GM r2mer dr
A
B Mm
W F d rA Gr2erd r
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B Mm
W e r d r F d e r r d A r c Gr2 o ed rr d s r
保守力：力对质点做功而与质点移动的具体路径
无关，而只与质点的初末位置有关。
非保守力: 力所做的功与路
B
径有关。（例如摩擦力）
重力功 W(m2 gm y 1 g ) y D
L C
弹力功
W(1k 2
x2 21 2k1 x2)
A
引力功
W F d (r Gm r'B m F )d r (Gm r'A m) ACB ADB
dx
dr
FG
C
W A B F Gdr y y 12mdygOy2
dy
B x
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W A B F Gdr y y 12mdygyy1
A
dr D
(mg 2ymg 1)y W(m2 gm y 1 g ) y y2
dx
θ
dr
FG
dy
C
B
Wmdgy0
O
x
上述结果表明，重力做功只与质点的始末位置有 关，而与质点经过的具体路径无关。这是重力做功的 一个重要特点。
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*五、势能曲线
➢ 势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线。
Ep mgy
Ep
Ep
1 2
k x2
Ep
Mm Ep G r
Ep
r
O
y
O
x
O
重力势能曲线
y0, Ep0
弹性势能曲线
x0, Ep 0
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引力势能曲线
r , Ep0
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利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保 守力的大小和方向。
3－5 一同学问：“二质点相距很远，引力很小， 但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想 不通”。你能否给他解决这个疑难？
3－6 一个力做功的数值和正负与参考系有关，那 么，一个物体的动能和物体系的势能是否与参考系有关？
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F d r F d r ACB ADB
B
D
L
F d r F d r F d r
L
ACB BDA
C
LFdr0
A B
沿任意闭合路径运动一周时，保 D
L
守力所做的功恒等于零，这就是反映
C
保守力做功特点的数学表达式。
A
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三、势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
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2．弹性力做功
F
F
F
dW
o x1 x2 x
O
F kix
x
x1 dx x 2
W x2 x1
Fdx
xx12kd xx在度
弹性限度内具有给定 系数k的弹簧，弹性
劲 力
W(1k 2
x2212k1x2)
所做的功只由物体的始末 位置（有关，而与物体移 动的具体路径无关 ，而与
Wkd xx0
重力功
重力势能
W(m2 gm y 1g) y
Ep mgy
弹力功
弹性势能
W(1k 2
x2212k1x2)
引力功
Ep
1 2
k x2
引力势能
W(GM rB m )(GM rA m )
Ep
G
Mm r
保守力的功
W (E p2E p 1) E P
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讨论：
势能是状态函数 EpEp(x,y,z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 。
势能是属于系统的。
势能计算 W (E p E p)0 E p
令 Ep0 0
E p(x,y,z)(E xp ,y ,0 z 0 )F d r
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四、重力势能和引力势能的关系
取坐标如图，取y=h0 处为重力势能零点。h处的重 势能为：
W rrABGM r2mdr
M
W(GM rB m )(GM rA m )
rA
B
rB dr rdr
θ
r
m F
GMm r1B
1 rA
A
当质点的质量M和m均给定时，在质点m由A移动
到B的过程中，万有引力所做的功只与质点m的始末位
置有关，而与质点移动的具体路径无关 。
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二、保守力与非保守力
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上节我们介绍了功的概念，讨论了力对物体做功 的计算方法及质点动能定理。本节将从重力、弹力和 万有引力做功的特点出发，进一步得出保守力与非保 守力做功的特点，从而引入势能的概念。
一、重力、弹力和万有引力做功的特点
1．重做做功
F Gmjg
y A
y1
dr D θ
d r d x i d y j
当物体受一维保守力作用时
dAdEp
dA F co dxsF xdx
Fx
dE p dx
保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导 数的负值。
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3－3 质点运动过程中，作用于质点的某力一直没 有做功，这是否表明该力在这一过程中对质点的运动没 有发生任何影响？
3－4 “弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。” 这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧 势能会是负的。