二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.

第八章二次型

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论

在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用•本章主要介绍二次

型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题

§ 8.1二次型及其矩阵表示

在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：

2 2

ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去

xy项，通常的坐标变换公式为：

x x cos y sin

(1.2)

y x sin y cos

从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关

键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只

考虑二次齐次多项式.

定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：

2

f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n

2

a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3)

1 2 2 2

L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n

称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果

数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即

2 2 2

f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n

称为标准形式的二次型，简称为标准形.

说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便

例8.1.2下列多项式都是二次型：

2 2

f (x, y) x 3xy 3y

f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2

F列多项式都不是二次型

f (x, y) x 2 3xy 3y 2 2x 1 f(x,y,z) 2x 3 2xy 4yz 3z 2 1

定义8.1.3设X 1,X 2,L ,X n ；y i , y 2丄,y n 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式

a ：1 X 2X 1

a ：2X 2 L a ：n 卷Xi

L

a n1X n X 1

a n 2X n X 2

L

a nn X n

a 11 a 12 L a 1n

X 1

a 21

a 22

L

a 2n

X 2 记A

,x

L

L

L L M a n1

a n2

L

a nn

X n

则二次型可记为

f T X Ax ,

其中A 是对称矩阵•称(1.5)式为二次型的矩阵形式

C 11 y 1

C

|2y 2

L

X 2

C 21 y 1

022 y

2 L C 2n%

(1.4)

L L L

X n

C n2y 2 L

C nn y n

称为由 X 1,X 2,L ,X n 到 y 1, y 2, L ,y n 的一个 线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式

q

0,那么线性替换(1.4)就称为非退化的

在研究二次型时，矩阵是- 「个有力工具 ,因此我们先把二次型用矩阵来表示 .

令 a ij

a ji

,则有 2a ij x i x j

a j xx

a ji X j

X i , 于是(1.3)式可以改写为

812^X 2 L

a 1n X 1X n

f(x 1,X 2,L ,X n ) anxj

X 1 (anX 1 L

X 2(821X 1 822X 2 L L X n^nM

a n2X 2 L

(为,X 2,L ,X n ) (X i ,X 2,L ,X n )

a^X ] a 〔2X L a 1n X n a 2[X 〔

a 22X 2 L

a 2n

片

1

L

a n1X 1

a

n 2X

2 L a nn

^n a 11

a

12

L a

1n X 1 a 21 a 22

L a

2n X 2

L

L

L L

M a n1

a n2

L

a nn

X n

(1.5)

a 1n

^n )

a 2n X n )

a nn ^n )

例8.1.4 二次型f (x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz , 3z2的矩阵形式为

2

1 x f(x ，y ，z) (x ，y ，z)

1 1

2 y

3

2

z

说明：

任给一个二次型就唯一地确疋一个对称矩阵

.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确疋

一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着 ---- 对应的关系 .把对称矩阵 A 称为二次型

f 的矩阵，也把f 称为对称矩阵 A 的二次型.称对称矩阵 A 的秩为二次型的秩.

例8.1.5给定对称矩阵

12 13 2 2 3

1 A

13 3 0

3

10

4 则其对应的二次型为：

样，对称矩阵B 同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型 定义8.1.6设A,B 是数域P 上的n 阶方阵，如果有数域P 上的n 阶可逆矩阵C ，使得

C T AC B

则称矩阵A 与B 合同，记作A ; B .

合同是矩阵之间的一个关系 •易知，合同关系具有： (1) 反身性：即A 与A 合同，因为A E T AE ；

⑵ 对称性：即若A 与B 合同，则B 与A 合同，因为由B C T AC ，即得A (C 1)T BC 1; ⑶传递性：即若A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同，由B C 1T AC 1和

C C 2 BC 2，即得 C C 2 BC 2 (C 1C 2) A(GC 2).

说明：经过非退化的线性替换 ，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的

.这样，我们就

对于二次型

f x T Ax ,作线性替换x Cy ，其中

c 11

C|2

L Gn

*

C

p 21 C 22

L

On

,y

y 2

L

L

L L

M

C n1

C n2

L

C nn

y n

f x T A x (Cy)T A(Cy)

y T c T ACy

y T (C T AC)y

B C T AC ,则有 B T (C T AC )T C T

A T (C T )T

C T

AC

则 B ,即B 是对称矩阵.这

令

f (X 1,X 2, X 3, X 4) x !2

4x-|X 2

6x-|X 4 2x 22

6x 2x 3

2 2

2x 2x 4 3x 3 4x 4