工程力学 应力状态共68页
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工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
二、主平面、主应力
主平面：切应力为零的截面。 主应力：主平面上的正应力 σ1 、 σ 2 、 σ 力状态分类
当一个主应力不为零，其余两个主应 力为零——单向应力状态。 当两个主应力不为零，其余一个主应
平面应力状态
复杂应力状态
力为零——二向应力状态。
当三个主应力不为零——三向应力状 态 / 空间应力状态。
y
D
2
CF
A1 1
x
y
y
y
2
x
1 x 0
x
x
1 OA1
2 OA2
1 0 D1CA1 2
作应力圆时，应注意以下三个关系： ①点面对应关系：应力圆上一点，对应于单元 体中某一截面。 ②起始对应关系：在应力圆上选择哪个半径 作起始半径，应根据单元体的α角从哪根轴量。x 轴~CD1半径,y轴~CD2半径。 ③转向、转角对应关系：俩者转向一致；当单 元体为α时，应力圆上自起始半径量2α角。 作应力圆量取线段OB1、OB2、B1D1和B2D2时， 需根据单元体上相应的应力正负，量取正、负坐 标。
y
法向为坐标正向时， 指向坐标轴正方向的 应力为正； 法向为坐标负向时， 指向坐标轴负方向的 应力为正。
x
xy
xy
xz
xz
x
x
z
二、主应力与主平面
空间应力状态：必存在 三个相互垂直的主平面
2
2
y
1
x
x
3
1
1
3
平面应力状态： 必存在两个相互 垂直的主平面
2
按大小记为σ1、σ2、σ3
机械设计中零件的载荷 应力和变形PPT课件
如：往来自式动力机械；曲柄滑块机构；回转齿轮轴等
第12页/共68页
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
1名义载荷:
按原动机功率求得理想工 作条件下的载荷
如：某齿轮传动副，输入功率为P(kW)，转
设计阶段
速为n(r/min)，则所受扭矩为
(N·m)
T
9550
P n
的作用
作用于零件的实际载荷，常用 2计算载荷: 符号Fca、Tca、Pca、Mca等来表示。通
第8页/共68页
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
3.突出主要因素，简化计算过程
如下图所示，轴的直径尺寸相对于长度较 小，将轴简化为一根线
第9页/共68页
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
4.根据经验将分布区间理想化
如下图所示，将沿半圆周方向的分布压力简化为 沿直径方向的均匀分布
半径分别为a 和 b ，则
1 11 11 0.0325
a 1 2 50 80
，
1 1 1 1 1 0.0075 b 1 2 50 80
由最大接触应力的计算公式(3-1)，得最大接触应力之比为
Hmax a : Hmax b b a 0.0325 0.0075 2.082 1: 0.48
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
工程背景
在机械设计中，强度准则是设计零件的最基本 准则，其理论基础是材料力学。 实际机械零件在工作中所受的载荷是复杂的， 既包括静应力也包括变应力，因此对载荷进行简 化、分类是进行强度计算的基础。
第1页/共68页
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
设计者思维
3.3机械设计中常用的强度计算
机械零件的静强度计算可以根据静应力强 度计算公式，计算出实际工作应力，再应用式
第12页/共68页
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
1名义载荷:
按原动机功率求得理想工 作条件下的载荷
如：某齿轮传动副，输入功率为P(kW)，转
设计阶段
速为n(r/min)，则所受扭矩为
(N·m)
T
9550
P n
的作用
作用于零件的实际载荷，常用 2计算载荷: 符号Fca、Tca、Pca、Mca等来表示。通
第8页/共68页
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
3.突出主要因素，简化计算过程
如下图所示，轴的直径尺寸相对于长度较 小，将轴简化为一根线
第9页/共68页
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
4.根据经验将分布区间理想化
如下图所示，将沿半圆周方向的分布压力简化为 沿直径方向的均匀分布
半径分别为a 和 b ，则
1 11 11 0.0325
a 1 2 50 80
，
1 1 1 1 1 0.0075 b 1 2 50 80
由最大接触应力的计算公式(3-1)，得最大接触应力之比为
Hmax a : Hmax b b a 0.0325 0.0075 2.082 1: 0.48
第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
工程背景
在机械设计中，强度准则是设计零件的最基本 准则，其理论基础是材料力学。 实际机械零件在工作中所受的载荷是复杂的， 既包括静应力也包括变应力，因此对载荷进行简 化、分类是进行强度计算的基础。
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第3章 机械设计中零件的 载荷、应力和变形
设计者思维
3.3机械设计中常用的强度计算
机械零件的静强度计算可以根据静应力强 度计算公式，计算出实际工作应力，再应用式
工程力学第十章 应力状态与强度理论
图 10-16
第三节 强度理论与强度条件
图 10-13
7.某构件中三个点上的应力状态如图10-15所示(应力单位为MPa)。
第三节 强度理论与强度条件
图 10-15
8.试按照四个强度理论分别建立纯剪切应力状态的强度条件，并建 立剪切许用应力与拉伸许用应力之间的关系。
第三节 强度理论与强度条件
9.一脆性材料制成的圆管如图10-16所示，内径d=0.1m，外径D=0.1 5m，承受扭矩Mn=70kN·m，轴力FN。
第三节 强度理论与强度条件
1.最大拉应力理论(第一强度理论) 2.最大拉应变理论(第二强度理论) 3.最大切应力理论(第三强度理论) 4.形状改变比能理论(第四强度理论) 三、强度理论的选择及应用 1)分析构件危险点处的应力，计算危险点处单元体的主应力σ1、σ2、 σ3。 2)选用合适的强度理论，计算折算应力。 3)建立强度条件，进行强度计算。
第三节 强度理论与强度条件
图 10-11
第三节 强度理论与强度条件
(2) 用第一强度理论校核。
图 10-12
第三节 强度理论与强度条件
复习思考题 1.一点处的应力状态可分为哪几种？ 2.斜截面是如何定义的？ 3.材料在应力作用下的破坏形式可分为哪几种？ 4.四个强度理论各如何假设材料的破坏原因？其各自的危险条件是 什么？ 5.已知应力状态如图10-13所示(应力单位为MPa)，试计算图中指定 截面上的正应力和切应力。 6.单元体如图10-14所示(应力单位为MPa)，试计算其主应力大小及 所在截面的方位，并画出主应力单元体。
第一节 一点处的应力状态
一、一点处的应力状态的概念
图 10-1
第一节 一点处的应力状态
(2)计算各点的应力。
第三节 强度理论与强度条件
图 10-13
7.某构件中三个点上的应力状态如图10-15所示(应力单位为MPa)。
第三节 强度理论与强度条件
图 10-15
8.试按照四个强度理论分别建立纯剪切应力状态的强度条件，并建 立剪切许用应力与拉伸许用应力之间的关系。
第三节 强度理论与强度条件
9.一脆性材料制成的圆管如图10-16所示，内径d=0.1m，外径D=0.1 5m，承受扭矩Mn=70kN·m，轴力FN。
第三节 强度理论与强度条件
1.最大拉应力理论(第一强度理论) 2.最大拉应变理论(第二强度理论) 3.最大切应力理论(第三强度理论) 4.形状改变比能理论(第四强度理论) 三、强度理论的选择及应用 1)分析构件危险点处的应力，计算危险点处单元体的主应力σ1、σ2、 σ3。 2)选用合适的强度理论，计算折算应力。 3)建立强度条件，进行强度计算。
第三节 强度理论与强度条件
图 10-11
第三节 强度理论与强度条件
(2) 用第一强度理论校核。
图 10-12
第三节 强度理论与强度条件
复习思考题 1.一点处的应力状态可分为哪几种？ 2.斜截面是如何定义的？ 3.材料在应力作用下的破坏形式可分为哪几种？ 4.四个强度理论各如何假设材料的破坏原因？其各自的危险条件是 什么？ 5.已知应力状态如图10-13所示(应力单位为MPa)，试计算图中指定 截面上的正应力和切应力。 6.单元体如图10-14所示(应力单位为MPa)，试计算其主应力大小及 所在截面的方位，并画出主应力单元体。
第一节 一点处的应力状态
一、一点处的应力状态的概念
图 10-1
第一节 一点处的应力状态
(2)计算各点的应力。
材料力学应力状态分析PPT
(4)二倍角对应—半径转过的角度是方向面旋转角度的 两倍。
4. 主应力与主平面
可见，圆周上A1和A2两点的 横座标分别代表该单元体的 垂直于xy平面的那组截面上 正应力中的最大值和最小值， 它们的作用面相互垂直(由 (b) A1和A2两点所夹圆心角为 180˚可知)，且这两个截面上 均无切应力。
一点处切应力等于零的截面 称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应 力(principal stress)。据此可 (b) 知，应力圆圆周上点A1和A2 所代表的就是主应力；
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-x
+ y
2
x
- y
2
cos 2
- x sin 2
(1)
x
-
2
y
sin 2
+x
cos 2
(2)
(1) 2 + (2) 2 , 得 ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 R 2
-x
+
y
2
2
+
2
x
-
y
2
2
+
2 x
1.莫尔(Mohr)圆（应力圆）
-
x
+ 2
y
2
+
2
4. 主应力与主平面
可见，圆周上A1和A2两点的 横座标分别代表该单元体的 垂直于xy平面的那组截面上 正应力中的最大值和最小值， 它们的作用面相互垂直(由 (b) A1和A2两点所夹圆心角为 180˚可知)，且这两个截面上 均无切应力。
一点处切应力等于零的截面 称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应 力(principal stress)。据此可 (b) 知，应力圆圆周上点A1和A2 所代表的就是主应力；
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-x
+ y
2
x
- y
2
cos 2
- x sin 2
(1)
x
-
2
y
sin 2
+x
cos 2
(2)
(1) 2 + (2) 2 , 得 ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 R 2
-x
+
y
2
2
+
2
x
-
y
2
2
+
2 x
1.莫尔(Mohr)圆（应力圆）
-
x
+ 2
y
2
+
2
应力状态分析PPT课件
s2
t
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
co
s2
xy
sin2
第32页/共70页
二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle）
1、应变圆与应力圆的类比关系
/2
s
;
2
t
;
2 2
2、已知一点A的应变（
x）,，y ,画应xy变圆
A
建立应变坐标系如图
C
在坐标系内画出点
A(x，xy/2)
B(y，-yx/2)
sy
n
二、应力圆的画法
s
sx
t t xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
y
在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx)
O
x
t n D( s , t
2 C O
B(sy ,tyx)
x
A(sx ,txy) s
AB与s 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画圆——应 力圆；
sx
s
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
co
s2
txyLeabharlann sin2ytxy
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
co
s2
O
x
sx y
sy
s
tt xy
O
x
对上述方程消去参数（2），得：
s
n
s
x
s
2
y
2
t
工程力学-材料力学之应力应变状态分析PPT(共 56张)
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
7
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
体积应变（Volumetric strain）为
V1 V
V
a1(1 ε1 ) a2(1 ε2 ) a3(1 ε3 ) a1 a2 a3 a1 a2 a3
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加.
x 方向的线应变
σ x 单独存在时 σ y单独存在时
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-6 广义虎克定律
(Generalized Hooke’s law )
一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
εx
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
7
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
体积应变（Volumetric strain）为
V1 V
V
a1(1 ε1 ) a2(1 ε2 ) a3(1 ε3 ) a1 a2 a3 a1 a2 a3
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加.
x 方向的线应变
σ x 单独存在时 σ y单独存在时
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-6 广义虎克定律
(Generalized Hooke’s law )
一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
εx
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。
解：1°解析法
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
300 27.14MPa
300 58.97MPa
列平衡方程：
e
x
x
b
y
ft
y
n : dA ( xdAcos)sin ( xdAcos)cos ( ydAsin)cos ( ydAsin)sin 0
t : dA ( xdAcos ) cos ( xdAcos )sin ( ydAsin)sin ( ydAsin ) cos 0
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
—— 平面应力状态下任意斜截面上 的σα和τα计算公式。
对于与ef 垂直的截面上的应力，
e
x
x
b
y
ft
y
900
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
900
x
y
2
sin 2
x
cos 2
90o x y 常 数
2
2
(x
y
2
)2
2 x
1 75.2MPa
3 45.2MPa
y
tan 20
2 x x y
应力状态--工程力学
2
þ
ç 桫
÷
x - y tan 21＝ 2 x
tan 20 tan 21＝- 1
1＝0＋45°
13
另外，在有极值切应力的截面上，正4 三向应力状态分析简介
2 max ü x＋ y 骣x - y ÷ ï 2 ï＝ ÷ ＋ x ± ç ç ý ÷ ç 2 min 镧 ÷ 2 桫 ï
8.6.1最大拉应力理论
（第一强度理论）
2、断裂条件： 1 3、强度条件：
1、断裂原因： 最大拉应力1过大。
lim
1
lim
n
4、应用情况： 对于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢的 脆性断裂均可适用； 没有考虑其余主应力影响，且不能用于没有拉应力的 应力状态，如单向、三向压缩等。
r
r 2 1 2 3
r1 1
称为相当应力。
对于不同的强度理论，相当应力为：
r3 1 3
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 r4 2 对于复杂应力状态，一点处相当应力的大小决定着该点的 危险程度。 24
横截面上的应力
2 pD FN p 4 D 4 t A Dt
2 FN P p D 4
n
t
25
D
P
（1）横截面上的应力
pD 4 t
壁 厚t
m
n
平均直径 D 20
（2）含直径的纵向截面上的应力
圆筒均匀涨大，包含直径的纵向截面 上的应力相同，均为拉应力。 纵向截面上的合力
r 4＝
3 pD £[ ] 4t
27
MT WP
þ
ç 桫
÷
x - y tan 21＝ 2 x
tan 20 tan 21＝- 1
1＝0＋45°
13
另外，在有极值切应力的截面上，正4 三向应力状态分析简介
2 max ü x＋ y 骣x - y ÷ ï 2 ï＝ ÷ ＋ x ± ç ç ý ÷ ç 2 min 镧 ÷ 2 桫 ï
8.6.1最大拉应力理论
（第一强度理论）
2、断裂条件： 1 3、强度条件：
1、断裂原因： 最大拉应力1过大。
lim
1
lim
n
4、应用情况： 对于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢的 脆性断裂均可适用； 没有考虑其余主应力影响，且不能用于没有拉应力的 应力状态，如单向、三向压缩等。
r
r 2 1 2 3
r1 1
称为相当应力。
对于不同的强度理论，相当应力为：
r3 1 3
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 r4 2 对于复杂应力状态，一点处相当应力的大小决定着该点的 危险程度。 24
横截面上的应力
2 pD FN p 4 D 4 t A Dt
2 FN P p D 4
n
t
25
D
P
（1）横截面上的应力
pD 4 t
壁 厚t
m
n
平均直径 D 20
（2）含直径的纵向截面上的应力
圆筒均匀涨大，包含直径的纵向截面 上的应力相同，均为拉应力。 纵向截面上的合力
r 4＝
3 pD £[ ] 4t
27
MT WP
工程力学 应力状态
x y sin 2 x cos2 2
d 令 0 d
x y tg 2 2 x
可解出两个相差 的极值平面，一 2 个面上为极大值，另一个面上为极小值。
23
1 1 x y 将 tg 2 2 x
代入(7-2)式，可得：
60.8MPa
26
x y 60 sin 120 x cos120 2
70 sin 120 50 cos 120 2
55.3MPa
② 求主应力
2 x 2 50 tg 2 0 1.429 x y 70
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
7
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。 ② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
8
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法求斜截面的应力
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应
力，求任意方向面上的应力。
9
最常见的情况：有一对方向面上的应力为 零，单元体上所有的应力 在同一平面内，称为二向
(1) (2)
(1)2 (2)2 得：
x y 2 x y 2 ( ) ( cos 2 x sin 2 ) 2 2 2 x y ( sin 2 x cos2 ) 2 2
30
整理可得： x y 2 x y 2 2 2 ( ) ( ) x
(7-1)记忆
同理，利用
F
t
0 ，可得：
x y sin 2 x cos 2 2
(7-2)记忆
13
d 令 0 d
x y tg 2 2 x
可解出两个相差 的极值平面，一 2 个面上为极大值，另一个面上为极小值。
23
1 1 x y 将 tg 2 2 x
代入(7-2)式，可得：
60.8MPa
26
x y 60 sin 120 x cos120 2
70 sin 120 50 cos 120 2
55.3MPa
② 求主应力
2 x 2 50 tg 2 0 1.429 x y 70
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
7
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。 ② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
8
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法求斜截面的应力
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应
力，求任意方向面上的应力。
9
最常见的情况：有一对方向面上的应力为 零，单元体上所有的应力 在同一平面内，称为二向
(1) (2)
(1)2 (2)2 得：
x y 2 x y 2 ( ) ( cos 2 x sin 2 ) 2 2 2 x y ( sin 2 x cos2 ) 2 2
30
整理可得： x y 2 x y 2 2 2 ( ) ( ) x
(7-1)记忆
同理，利用
F
t
0 ，可得：
x y sin 2 x cos 2 2
(7-2)记忆
13
《材料力学》应力状态 ppt课件
x-y坐标系
ppt课件
x'－y'坐标系 xp-yp坐标系
主应力单元体 15
（四）、应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。10
xy
yx
y
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可 确定任意方向面上的正应力和切应力。
4 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
示例一
S平面
F
F
1
1
ppt课件
F
A
1
5
S平面
应力状态/应力状态的概念及其描述 n
F
1
F
1
90
研究应力状态的目的：
找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当 的强度条件。
3 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
（二）、一点应力状态的描述
• 微元 （Element）
dx,dy,dz 0
z
zx zy
xz yz
x
x (pDt )
p
pD
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11 ppt课件
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工程力学教学课件 第8章应力状态分析-文档资料64页
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8-2 解析法分析二向应力状态
1 3
3
tg20
2401 800
80MPa
0=－67.5°
40MPa
20
45 225
1
0 11.2522.567.5
主应力 1 方向：0 15.5
主应力 3 方向：0 105.5
29
8-2 解析法分析二向应力状态
（3）主应力单元体：
y xy
x
3 1
15.5
30
8-2 解析法分析二向应力状态
[练习1]求图示单元体a－b 斜截面上的正应力和剪应力。
n
80MPa
30 40MPa
第八章 应力状态分析
1
目 第八章 应力状态分析
录 应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 主应力迹线 三向应力状态 广义胡克定律
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M My IZ
FAy
FS
3
目录
8—1 应力状态的概念
1、问题的提出 铸铁
一般地，在受力构件的同一横截面内，点的
位置不同应力就不同，而且在通过同一点的不同
截面上，应力也随截面的方位而变化。
7
8—1 应力状态的概念
一点处的应力状态是指受力构件内某一点处各截面上的 应力的集合。
二、一点处应力状态的表示方法
为了研究受力构件内某一点处的应力状态， 通常是围绕该点取一个无限小的正六面体—— 单元体来研究。当单元体三对相互垂直面上的应力已知 时，就可以求得通过该点的任意斜截面上的应力，从而确 定该点的应力状态。
8-2 解析法分析二向应力状态
1 3
3
tg20
2401 800
80MPa
0=－67.5°
40MPa
20
45 225
1
0 11.2522.567.5
主应力 1 方向：0 15.5
主应力 3 方向：0 105.5
29
8-2 解析法分析二向应力状态
（3）主应力单元体：
y xy
x
3 1
15.5
30
8-2 解析法分析二向应力状态
[练习1]求图示单元体a－b 斜截面上的正应力和剪应力。
n
80MPa
30 40MPa
第八章 应力状态分析
1
目 第八章 应力状态分析
录 应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 主应力迹线 三向应力状态 广义胡克定律
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M My IZ
FAy
FS
3
目录
8—1 应力状态的概念
1、问题的提出 铸铁
一般地，在受力构件的同一横截面内，点的
位置不同应力就不同，而且在通过同一点的不同
截面上，应力也随截面的方位而变化。
7
8—1 应力状态的概念
一点处的应力状态是指受力构件内某一点处各截面上的 应力的集合。
二、一点处应力状态的表示方法
为了研究受力构件内某一点处的应力状态， 通常是围绕该点取一个无限小的正六面体—— 单元体来研究。当单元体三对相互垂直面上的应力已知 时，就可以求得通过该点的任意斜截面上的应力，从而确 定该点的应力状态。
应力状态ppt课件
方向角的符号约定
由 x正向逆时针转到截面外法 线x‘正向为正；
反之为负。
x' y'
xy
yx
y' y x'
x
TSINGHUA UNIVERSITY
2 微元的局部平衡
y
yx
x
xy
x
y
截取微元体
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
截取微元体
y
x
yx xy
x
x
y＝0，yx＝0。
TSINGHUA UNIVERSITY
xco2s
x
2
sin2
TSINGHUA UNIVERSITY
y'
xco2s
x
2
sin2
x'
当α＝45º时，斜截面上既有正
α
应力又有剪应力，其值分别为
x
x
45
x
2
45
x
2
在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值， 而切应力却是最大值。
有时也沿斜截面发生破坏；
不仅要研究横截面上的应力， 而且也要研究斜截面上的应力。
三、如何描述一点的应力状态
微元
微元及其各面上的应力来描 述一点的应力状态。
TSINGHUA UNIVERSITY
dz
dy
dx
约定:
微元体的体积为无穷小； 相对面上的应力等值、反向、共线;
三个相互垂直面上的应力；
一般三向（空间）应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
面内最大剪应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因 而剪应力亦可能存在极值。
由 x正向逆时针转到截面外法 线x‘正向为正；
反之为负。
x' y'
xy
yx
y' y x'
x
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2 微元的局部平衡
y
yx
x
xy
x
y
截取微元体
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截取微元体
y
x
yx xy
x
x
y＝0，yx＝0。
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xco2s
x
2
sin2
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y'
xco2s
x
2
sin2
x'
当α＝45º时，斜截面上既有正
α
应力又有剪应力，其值分别为
x
x
45
x
2
45
x
2
在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值， 而切应力却是最大值。
有时也沿斜截面发生破坏；
不仅要研究横截面上的应力， 而且也要研究斜截面上的应力。
三、如何描述一点的应力状态
微元
微元及其各面上的应力来描 述一点的应力状态。
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dz
dy
dx
约定:
微元体的体积为无穷小； 相对面上的应力等值、反向、共线;
三个相互垂直面上的应力；
一般三向（空间）应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
面内最大剪应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因 而剪应力亦可能存在极值。