2020年全国硕士研究生入学考试(数学二)

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2024 年全国硕士研究生入学统一考试数学

2024 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、选择题（每题3分，共30分）下列计算正确的是（）A. 3a+2b=5abB. a6÷a2=a3C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a3⋅a2=a6下列函数中，随x的增大而减小的是（）A. y=2xB. y=x1（x>0）C. y=−x+1D. y=x2（x>0）下列说法正确的是（）A. 无限小数是无理数B. 负数没有平方根C. 所有的有理数都能用数轴上的点表示D. 绝对值等于本身的数是负数下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（）A. 对某市中学生每天学习所用时间的调查B. 对某市食品合格情况的调查C. 对“神舟”飞船零部件的检查D. 对某校七年级（1）班学生视力情况的调查二、填空题（每题3分，共15分）若扇形的圆心角为60∘，半径为3，则该扇形的弧长为_______。

分解因式：x2−9= _______。

已知直线y=2x+b经过点(1,3)，则b= _______。

已知一个正多边形的内角和为1800∘，则这个正多边形的边数是_______。

已知关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为_______。

三、解答题（共55分）1.（10分）计算：16−∣−3∣+(3)0−(−21)−2。

2.（10分）解方程组：{3x−2y=8x+4y=−13.（10分）先化简，再求值：(x−1)2−x(x+7)，其中x=21。

4.（10分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)，(0,3)，且对称轴为直线x=−1，求这个二次函数的解析式。

5.（15分）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过15000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？。

2020年全国硕士研究生招生考试数学二解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：301）考生注意事项1、答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位，考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2、选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号和选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。

3、填（书）写必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B 铅笔填涂。

4、考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

以下信息考生必须认真填写）一.选择题(1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的・)1.当工TO+时,下列无穷小量中最高阶的是B:/ ln(l + √i 3)dt 解析:木题选D 考査的内容主要就是无穷小虽之间的比较,同时也考察了变限积分洛必达相关知识点。

/ (”一1)血Iim ——— ---- 2- ∙0* X (/ (c√'-1)衣)=e r' —]〜云 (/ In (1 + ∖∕P)dt) = In(I ⅛ V Z Z^)〜H / f tf ∆nr ∖ f I / sint 2dt J = Sin(SinZ)2 ・cos 工〜 / ∕∙1 — co<x WO 闯⅛⅛=肥呑若存在故归考试中可宜接求导比较会比较方便 Λ→σ*TLX V Z Sinhd 寸 =[sin(1 — CoSa:)]7 ∙sinx~\；'(⅞^) 'x ^ 故选D 2•函数/(X) =才吾罟务的第二类间断点个数为 4:1 B:2 C :3 解析:本题选C 。

考查的内容就是第••类间断点的定义与极限的运算方法分母为()的点或者无定义的点有工= Ie = -I ,工=(),工=2 ]⅛(^Z ⅛⅛⅛)=芒卍哩Cm=Oo不存在故为第一类间断点 e 7ττln∣ 1 -H ⑦ ln2 尸5|1 +;Tl 叽(―)=3(1-e -1)-1⅛lnll+Il = OCW 在故*-1 为第二类间断点 ElnI l 卄 1 • χ→o(e r— 1)(X —2) -2：% X l¾(⅛⅛⅛)=⅛k ⅜l¾⅛=∞7fζ存在故*2为第二类间断点UIiln 也土卫=-舟为可去间断点不屈丁•第二类间断点 3.广霁墮血= JQ \/x(l — x) 4 TT 2斤2 Zb T B:T 解折:木题选爪。

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解

x (0, 0)
xy (0, 0)
(x, y)→( 0,0 )
y→0 x→0
数是
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：B
6. 设函数 f (x) 在区间 − 2,2上可导，且 f (x) f (x) 0 ，则（）
A f (−2) 1 f (−1)
B f (0) e C f (1) e2 D f (2) e3
3.
1
0
arcsin
x (1−xx)源自dx=π2
A.
4
π2
B.
8
C. π
D. π
4
8
答案： A
解析： 1 arcsin xdx = arcsin2
0 x(1− x)
x
1 0
2 =
4
.
4. f ( x) = x2 ln (1− x), n 3 时， f (n) (0) =
A. − n! n−2
答案： A
+
y(x)dx =
0
解析：由
y + 2y + y = 0
y
(0)
=0，y
(
0)
y))dy
dz
(0, )
=
(
−1)dx − dy
12.斜边长为 2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为 g，水密度为，则该平板一侧所受的水压力为
答案： 1 ega3 3
解析： a g(a − y)[ y − (− y)]dy = 1 ga3
0
3
13.设 y = y ( x) 满足 y + 2y + y = 0 ，且 y (0) =0，y(0) =1，则

2020年考研数学二真题及解析

2020全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（）（A ）()21xt e dt -⎰（B）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(22ln 1ln 1x t dt x x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 22301sin sin(1cos )2xt dt x x x-'=-⎰经比较，选（D ）（2）函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()lim lim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---；1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x exf x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞----故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。

2020年考研数学二真题及答案分析(word版)

，
由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；
由，可得A的属于特征值6的特征向量为
由，可得A的属于特征值0的特征向量为
令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：，
则，
如果想要了解更多，广大研友们也可加入2017考研复试交流群（0）和大家一起交流考研心
路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们2018考研交流总群（1），希望他们在
（1）
令得
对（1）式两边关于x求导得（2）
将代入原题给的等式中，得，
将代入（2）得
将代入（2）得
故为极大值点，；为极小值点，
（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：
方程在区间内至少存在一个实根；
方程在区间内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
2018年金榜题名。
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】，令，则有
（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，，求，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值
【答案】极大值为，极小值为
【解析】
两边求导得：
（2）设二阶可导函数满足且，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时，排除C,D.
取满足条件，则，选B.
（3）设数列收敛，则（）
当时，当时，
当时，当时，
【答案】D
【解析】特值法：（A）取，有，A错；
取，排除B,C.所以选D.

2023年考研数学真题卷及答案(数学二)

, y 3.已知 x n n 2023年全国硕士研究生招生考试（数学二）试题及答案解析一、选择题1.曲线1ln e 1y x x的斜渐近线方程为A. e.1B..eC..1D..ey x y x y x y xx 0,2.函数f (x ) (x 1)cos x ,x 0的一个原函数为 x ),x 0,A.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ) 1,x 0,B.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ),x 0,C.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0. x ) 1,x 0,D.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0.A.x n 是y n 的高阶无穷小.B.y n 是x n 的高阶无穷小.C.x n 与y n 是等价无穷小.D.x n 与y n 是同阶但不等价的无穷小.2,x n 1 sin x n ,y n 1 y n 2(n 1,2, ), 则当n 满足：x 1 y 11 时，C.B *A *B *A *BO A D.*8.设A,B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则A E OB A. A B * B *A *O B A * B.5.设函数y f (x )由上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.4.若微分方程y ay by 0的解在，A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.2,sin x t t y t t确定，则A.f (x )连续,f (0)不存在.B.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.C.f (x )连续,f (0)不存在.D.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.2x (ln1x )1d x 在 0处取得最小值，则 0 B. ln(ln 2)C.ln 12D.ln 26.若函数f ( )A.ln(l 1n 2)7.设函数f (x ) (x 2+a )e x ，若f (x )没有极值点，但曲线y f (x )有拐点，则a 的取值范围B.[1, )C.[1,2)D.[2, )A.[0,1)A B *A *B *O B A * B *A * A *B *BO A 9.二次型f (x 1,x 2,x 3) (x 1 x 2)2+(x 1 x 3)24(x 2 x 3)2的规范形为A.y 12y 22B.y 12y 22C.y 12y 224y 32D.y 12y 22y 322311 12 2 1 5 09 1 10.已知向量 1 , 2 , 1 , 2 .若既可由 1, 2线性表示，也可由1, 2线性表示，则3 4 3 A.k,k R50 3 B.k1 ,k R1 2 1 C.k,k R1 D.k 58,k R二、填空题11.当x 0时，函数f (x ) ax bx 2 ln(1 x )与g (x ) e x 2cos x 是等价无穷小,则ab______.12.曲线yt 的弧长为_______.2(1,1)=______.2z13.设函数z z (x ,y )由e zxz 2x y 确定,则 x14.曲线3x 3 y 5 2y 3在x 1对应点处的法线斜率为______.15.设连续函数f (x )满足：f (x 2) f (x ) x ,13f (x )d x ______.2f (x )d x 0,则131221111a x a2x x 0a 21ax x ax 3a a a2 bax 1 bx 22 ax 1 x3 1，0，16.已知线性方程组有解，其中a ,b 为常数，若1 4,则10，三、解答题17.设曲线L :y y (x )(x e )经过点(e 2,0),L 上任一点P (x ,y )到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.(1)求y (x );(2)在L 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积.22x 的极值.18.求函数f (x ,y ) x ecos y19.已知平面区域D {(x ,y )|0 y x 1}.(1)求D 的面积；(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.y 20.(12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线x 2 y 2 xy 1,x 2 y 2 xy 2与直线1y2d x d y .,y 0围成，计算3x 221.（12分）设函数f (x )在[ a ,a ]上具有2阶连续导数，证明：1a（1）若f (0) 0，则存在 a ,a ,使得f ''( )2[f (a ) f ( a )];（2）若f (x )在( a ,a )内取得极值，则存在 a ,a 使得1.2f ''a2 f (a ) f ( a )12122323.x x 3x 1x x 3x x x2x xx22.设矩阵满足对任意x 1,x 2,x 3均有A （1）求 ;（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵，使得P 1AP Λ.2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二答案一、选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.A7.C8.D9.B10.D二、填空题12、11、-23+43π13、-324、-119115、1216、8x ( ln x c )又x 1,y 2则c 2因此y (x ) x ( ln x 2)(2)f (x ) y (x ) x ( ln x 2) 0则x 0或x e 2.又x 0故f (x )的驻点为x e 21f (x ) ln x 2 x x 2 2 1 1 0f e 21.y则x x y y yx11ex d x y (x ) e x xd x c 1x xd x c【解析】由题意得y y (x x ) y 为切线方程，切线在y 轴上得截距为 x y y17e 21e 44为最大值， 5故f e 2x ( ln x 2)d x18【解析】f x e cos y x 0 f y 1 k e cos y ( sin y ) 0，得驻点( e,2n ), e ,(2n 1)π；1f x x f xy e cos y ( sin y )f y y x e cos y sin 2y k e cos y ( cos y )2e 2对于( e,2n π),A 1,B 0,C e 2,AC B 20,A 0.有极小值f ( e,2n π)1对于e ,(2n 1)π ,A 1,B 0,C e 12,AC B 2，无极值.π2π141(1)tan tx tan t sec t 24se tan sec 2t d t c tππ4t d t2csc t d t ln121π (2)11 1 πd x x 2 x 211 π d x x 2 1 1x 2π4)d x π(1 解析19【解析】D3x 21y2d x dy π012cos 23d r d r r 2 2r 224π201 x 22f【解析】（1）f (x ) f (0) f (0)x1 2则f (a ) f (0)a 2f 1 12f a 2,f ( a ) f (0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ，212 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 f f 2f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值即证（2）x 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )f f (x ) f x 0 fx x 0 x x 0代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 02(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得22 1f f f (a ) f ( a )a x 02a x 02222 1f f |f (a ) f ( a )|a x 02a x 02222( )f ( )f a x 0 a x 0 f ( ) 2 a x 0a x 02 22f ( ) 2a 2 2x 02f ( ) a 2 x 02f ( ) 1 2 f 2a 2，其中f ( ) maxf, a ,a f ( )21a 2|f (a ) f ( a )|.A 中 1对应的线性无关特征向量 1 (4,3,1)T (2)|A E | (2 )( 2)( 1) 0A 中 1 2, 2 1, 3 12123311111011x x x xx x2解(1)由题可知，A 11.11 1112 0A 2.1T2,0,1A 中 2对应的线性无关特征向量 2A 中 3对应的线性无关特征向量 3 (0, 1,1) p 1, 2, 3 2P 1AP 1222。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

( 1 ) (|ln ( 1+ x 2 + x ) , x 三 02023 年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题： 1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1． y = x ln (|(e + 1x-1))| 曲线的渐近线方程为( ) 。

(|ln ( 1+ x 2 - x ) , x 三 0(|ln ( 1+ x 2 - x ) + 1, x 三 0D ． F (x ) =〈|l (x + 1) sin x + cos x, x > 0A ． F (x ) =〈|l (x + 1) cosx - sin x, x > 0= lim x ln |1+ | = lim = x)的L e(x - 1) 」 x)的 e(x - 1) e所以斜渐近线方程为 y ＝x ＋1/e ．【参考答案】 D【参考解析】当 x ≤0 时，j f (x ) dx = j dx= ln (x + 1+ x 2 ) + C 1当 x ＞0 时，j f (x ) dx = j (x + 1) cos xdx= j (x + 1)dsin x = (x + 1) sin x 一 j sin xdx= (x + 1) sin x + cos x + C 2原函数在(－∞，＋∞)内连续，则在 x ＝0 处lim ln(x + 1+ x 2 ) + C 1 = C 1， lim (x + 1) sin x + cos x + C 2 = 1+ C 2所以 C 1＝1＋C 2 ，令 C 2＝C ，则 C 1＝1＋C ，故j f (x ) dx =〈0，综合选项，令 C ＝0，则 f (x)的一个原函数为 F (x ) =〈00.3．设数列{x n }， {y n }满足 x 1 ＝y 1＝1/2， x n ＋ 1＝sinx n ， y n ＋ 1＝y n 2 ，当 n → ∞时 ( ) 。

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二答案及解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题参考答案及解析一、选择题1-8题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1. 当0x +®时，下列无穷小量中最高阶的是 ( ). （A ）2(1)-⎰xt e dt （B）0ln(1+⎰x dt （C ）sin 20sin ⎰xt dt （D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】22320(e 1)11lim lim ,33++→→--==⎰xt x x x dte x x可知2301(e 1),0;3+-→⎰:x t dt x x5022ln(12limlim ,52++→→==⎰xx x dtxx可知5202ln(1,0;5+→⎰:xdt x xsin 22032000sin sin(sin x)cosx cos 1limlim lim ,333+++→→→⋅===⎰xx x x t dtx x x可知sin 2301sin ,0;3x t dt x x +→⎰:1cos 0500limlim lim x x x x +++-→→→===⎰可知1cos 50,0,-+→⎰:xx x对比可知1cos 0-⎰的阶数最高，故选（D ）.2....第二类间断点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】()f x 可能的间断点有1,0,1,2x x x x =-===，由于1lim ln |1|x x ?+=-?，111lim0(1)(2)x x x ee x -?¹--，可知-1lim ()x f x ®=?，则1x =-为()f x 的第二类（无穷）间断点；111lim ()lim(2)2x x x e x f x x x e-==--，又由于()f x 在0x =处无定义，可知0x =为()f x 的第一类（可去）间断点；1111ln(1)lim ,lim 0(1)(2)x x x x x e e x ++-+=+ス--，则1lim ()x f x +®=?，则1x =为()f x 的第二类（无穷）间断点；11221ln(1)lim,lim021x x xx e x x e -+=ス--，则2lim ()x f x ®=?，则2x =为()f x 的第二类（无穷）间断点.综上所述，()f x 的第二类间断点有3个，故选（C ）.3.1=ò（）.（A ）24p （B ）28p （C ）4p （D ）8p【答案】（A ）【解析】11002=2112002(arcsin (arcsin 4p ===ò，故选（A ）.4.设2()()ln(1),...,(0)n f x x x f =-=（）.（A ）!2n n --（B ）!2n n -（C ）(2)!n n --（D ）(2)!n n -【答案】（A ）.【解析】由ln(1)x -的麦克劳林公式可知242232()()()22n n n n x x x x f x x x o x x o x n n ++骣骣鼢珑鼢=----+=-++++珑鼢鼢珑桫桫L Ln x 的系数为12n --，则()!(0)2n n f n =--，故选（A ）.5.关于函数...给出以下结论①(0,0)1fx ¶=¶①2(0,0)1f x y ¶=抖①(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=①00limlim (,)0y x f x y =正确的个数是（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】（B ）【解析】(,0)f x x =可知(0,0)1fx ¶=¶，故①正确.不论0,0xy x?还是0y =时，都有(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=，故①正确.lim (,)0x f x y ®=，进而00limlim (,)0yxf x y =，可知①正确，当0y =时，00(,0)(,0)(,0)lim lim 1x x x f x x f x x x xf x x x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x 构时，00(,)(,)()(,)lim lim x x x f x x y f x y x x y xyf x y yx x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x?时，00(,)(0,)(0,)lim limx x x f x y f y x y yf y x x D 瓺?D -D ?¢==D D 不存在，则(0,)(0,0)(0,0)limx x xy y f y f f y®ⅱ-ⅱ=不存在，故①错误，故正确的有3个，选（B ）6.设函数()f x 在区间[2,2]-上可导，。

(完整word)2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)考试大纲

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二）考试大纲考试科目:高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等数学约78%线性代数约22%四、试卷题型结构单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题,共94分►高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6。

掌握极限的性质及四则运算法则。

7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9。

理解函数连续性的概念(含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理洛必达（L'Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径考试要求1。

2022年全国硕士研究生考试《数学》(二)真题及答案

2022年全国硕士研究生考试《数学》(二)真题及答案2022年全国硕士研究生考试《数学》(二)真题一、单选题（共14题，共56分）1.设函数f(x)=ln(3x)，则'f(2)=（）A.4B.ln6C.1/2D.1/62.设函数f ( x) =1-x^2 在区间( , )A.单调增加B.单调减少C.先单调增加，后单调减少D.先单调减少，后单调增加3.设A，B是两随机事件，则事件AB表示（）A.事件A，B都发生B.事件B.发生而事件A不发生C.事件A发生而事件B不发生D.事件A，B都不发生4.设函数f (x)= ln(3x) ，则f' (2) =（）A.6C.1/2D.1/65.设函数f (x) =1-x^3在区间( , )A.单调增加B.单调减少C.先单调增加，后单调减少D.先单调减少，后单调增加6.曲线y =| x |与直线y=2所围成的平面图形的面积为（）A.2B.4C.6D.87.设A，B是两随机事件，则事件AB表示（）A.事件A，B都发生B.事件B发生而事件A不发生C.事件A发生而事件B不发生D.事件A，B都不发生8.曲线的渐近线条数()A.0B.1C.29.设函数，其中n为正整数,则f'(0)=()A.B.C.D.10.设，则数列sn 有界是数列an 收敛的（）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.即非充分地非必要条件11.设函数f (x, y)为可微函数，且对任意的x, y 都有则使不等式成立的一个充分条件是A.B.C.D.12.设区域D由曲线围成，则A.πB.2C.-2D.-π13.设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为()A.B.C.D.14.A.B.C.D.二、填空题（共10题，共40分）15.曲线y=x^3 3x^2 5x4的拐点坐标为（）16.设函数y=e^x+1，则y''=（）17.设曲线y=ax^2+2x 在点(1,a+2) 处的切线与直线y=4x 平行，则a=（）18.19.设y =y(x) 是由方程所确定的隐函数，则.=20.21.22.23.24.设A 为3阶矩阵，|A| =3 ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则|BA|=（）三、计算题（共10题，共40分）25.已知函数1 1 sin x f x x x ，记0 lim x a f x ，(I) 求a 的值(II) 若x 0 时，f x a 与k x 是同阶无穷小，求常数k 的值.26.证明方程x x x 1 n n-1 + n 1的整数，在区间1 ,1 2 内有且仅有一个实根；(II) 记(I) 中的实根为xn，证明lim n n x 存在，并求此极限27.已知函数f ( x) 满足方程f (x) f (x) 2 f (x) 0 及( ) ( ) 2 x f x f x e , (I) 求f (x) 的表达式(II) 求曲线2 2 0 ( ) ( )d x y f x f t t 的拐点.28.计算二重积分d D xy ，其中区域D为曲线r 1 cos 0 与极轴围成.29.求曲线y=x^2与直线y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.30.求函数f (x) =x^3-3x^-9x+2的单调区间和极值.31.求函数f (x, y)=x^2+y^2在条件2x+3y=1下的极值.32.设函数y=sinx^2+2x ，求dy.33.已知离散型随机变量X 的概率分布为X 10 20 30 40P 0.2 0.1 0.5 a(1)求常数a ; (2)求X 的数学期望EX .34.求曲线y=x^2与直线y=0，x=1所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .35.36.过(0,1)点作曲线L:y=lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.37.38.设(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解39.已知，二次型的秩为2，(I) 求实数a的值；(II) 求正交变换x=Qy 将f 化为标准形.40.设函数y=sin x^2+2x，求dy41.已知离散型随机变量X的概率分布为X 10 20 30 40Pa(1)求常数a;(2)求X的数学期望EX.。

考研真题精品推荐 2020年全国硕士研究生招生考试(数学二)--答案解析

1 ，故
f (0) f (1)
e
.
7. C
解析：由于 A 是不可逆的，所以 r( A) 4 ，又由于 A12 0 ，所以 r( A) 3，故 r( A) 3 ，
所以 r( A* ) 1 ，所以 A* x 0 的基础解系中有 3 个向量，又因为 A12 0 ，所以 α1 ，α3 ，α4
线性无关，所以解为 x k1α1 k2α3 k3α4 ，故选 C .
PM | TP
x
y ( x)dt
|
3 2
，化简得
yy 2( 3 2
1) y2
0
，为可降阶微分方程代入初始解
y(0)
0
，得
0
1
所求曲线方程为 y Cx 2 （ C 为任意大于零的常数）.
1 a a 22.（1）设 A= a 1 a
a a 1
1 1 0 B= 1 1 0
0 0 4
因为 B=P T AP 所以 r(B)=r( A)
2
10. 2 1 2
1
1
解析： dy
x3 1dx
1
dx
x2
x3 1dy 1
x3 1
1
3/2
2 1
0
y
0
0
2
0
2
11. ( 1)dx dy
解析：
dz
(y
cos(x y))dx (x cos(x 1 [xy sin(x y)]2
y))dy
dz (0, ) ( 1)dx dy
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' sin x
sin3(1 cos x) ~
1 x4 .
0

2023年全国硕士研究生考试数学二真题及解析

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1ln()1y x e x =+-的斜渐近线为（）.A ．y x e =+B ．1y x e =+C ．y x =D ．1y x e=-【答案】B解析：1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢--⎣⎦所以斜渐近线方程为1y x e=+．2.函数0,()(1)cos ,0,x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）.A．),0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩B．)1,0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩C．),0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩D．)1,0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩【答案】D当0x ≤时，1()ln(F x x C ==++（常用积分公式）当0x >时，2()(1)cos (1)sin cos F x x xdx x x x C =+=+++⎰由于()F x 在0x =处可导，则()F x 在0x =处连续，即0lim ()lim ()x x F x F x +-→→=10lim ln(x x C -→+20lim (1)sin cos x x x x C +→=+++1C ⇒21C =+因此仅有选项D 满足条件。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（）。

A ．x n 是y n 的高阶无穷小 B ．y n 是x n 的高阶无穷小 C ．x n 是y n 的等价无穷小D ．x n 是y n 的同阶但非等价无穷小4．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则a ，b 的取值范围为（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜05．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（）。

A ．f （x ）连续，f ′（0）不存在B ．f ′（0）存在，f ′（x ）在x ＝0处不连续C ．f ′（x ）连续，f ′′（0）不存在D ．f ′′（0）存在，f ′′（x ）在x ＝0处不连续6．若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=⎰在α＝α0处取得最小值，则α0＝（）。

2023全国硕士研究生招生考试数学试题(数学二)真题解析

2023 考研数学二真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（）. （A ）ey x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex xx →∞=−故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ）方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（）（A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小（D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +< 利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ）【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（）（A ）00a b <>，（B ）00a b >>，（C ）00a b =>，（D ）00a b =<，【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin ax y x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（）（A ）()f x 连续，(0)f ′不存在（B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续（C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续【答案】（C ）【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−，利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在，选（C ）【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（）（A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+− ()22231237222x x x x x + =+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ）【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

2020年全国研究生考试数学(二)真题+答案详解

(1- x)n
(1- x)n -1
2
(1- x)n -2
\ f (n) (0) = - n! . n-2
ìxy
5.关于函数
f
(x,
y)
=
ï í
x
ï î
y
xy ¹ 0 y = 0 给出以下结论 x=0
¶f
①
=1
¶x (0,0)
¶2 f
②
=1
¶x¶y
(0,0)
③ lim f ( x, y) = 0
( x, y )®(0,0)
ò = 1
1
1 (x3 + 1) 2 d (x3 + 1)
30
=
1
×
2
(x3
+ 1)
3 2
1
33 0
=
2
æ ç
3
22
ö - 1÷
9è ø
11.
|(0,p)= .
设 z = arctan[xy + sin(x + y)] ，则 dz
解析:
dz = ¶z dx + ¶z dy
¶x ¶x
¶z =
1
[ y + cos(x + y)], ¶z = π- 1
a 0 -1 1
14.行列式 0
a
1 -1 =
-1 1 a 0
1 -1 0 a
解析：
a 0 -1 1 a 0 -1 1
0 a 1 -1 0 a 1 -1 =
-1 1 a 0 -1 1 a 0
1 -1 0 a 0 0 a a
0 a -1 + a 2 1
a -1+ a 2 1

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（I）求 a 的值；（II）求可逆矩阵 P .
23.（本题满分 11 分）
设 A 为 2 阶矩阵， P (α, Aα) ， α 是非零向量且不是 A 的特征向量。（I）证明矩阵 P 可逆；（II）若 A2α Aα 6α 0 ，求 P 1AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵。
5
C. f (1) e2 f (1)
D. f (2) e3 f (1)
7.四阶方阵 A 不可逆，A12 0 ，1,2 ,3,4 为矩阵 A 的列向量组，则 A* X 0 的通解为
（
）
A. x k11 k22 k33
B. x k11 k22 k34
C. x k11 k23 k34
x
ln(1
t3 )dt
C. sin x sin t 2dt
1cos x
D.
sin3 tdt
0
0
0
1
2.函数
f
(x)
e x1 ln(1 x) (ex 1)(x 2)
的第二类间断点的个数为（
）
A.1
B.2
C. 3
D.4
3. 1 arcsin x dx (
0 x(1 x)
)
2
A.
4
2
B.
8
C.
D.
4
f
x
x2
f
1 x
x2 2x 1 x2
（1）求 f x ；
（2）求曲线 y f x, y 1 , y 3 及 y 围成的图形绕 x 轴旋转一周的体积。
22
3
19.（本题满分 10 分）
计算二重积分
x2 y2 d ，其中区域 D 由 x 1, x 2, y x 及 x 轴围成.
9.设
y
x ln t
t2
1 t2 1
，则
d2 y dx 2
t 1
.
1 1
10.求 dy
x3 1dx =
0
y
.
11.设z arctan xy sin x y ，则 dz 0,
.
12.斜边长为 2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速
度为 g ，水密度为，则三角形平板的一侧收到的压力为
D
x
20. (本题满分 11 分)
已知 f x x et2 dt 1
（1）证明： 1, 2, f 2 e2 ；（2）证明： 1, 2, f 2 ln 2 e2 。
21.（本题满分 11 分）
已知 f x 可导, 且 f x 0x 0. 曲线 y f x 过原点, 点 M 为曲线 y f x
D. x k12 k23 k34
1
8.A 为 3 阶方阵，1,2 为属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3 为 A 的属于-1 的特征向
1
量，满足
P 1 AP
1
的可逆矩阵
P
为（
）
1
A. 1 3,2, 3 B. 1 3, 3,2
B. 1 2,2, 3 D. 1 2, 3,2
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
1
(0,0)
lim
x, y0,0
f
(x,
y)
0
（4）
lim
y0
lim
x0
f
(x,
y)
0 。其中正确的个数为（
）
A.4
B. 3 C. 2
D. 1
（3）
6.设 f (x) 在2, 2上可导，且 f (x) f (x) 0 ，则（）
A. f (2) 1 f (1)
B. f (0) e f (1)
求曲线
y
x1 x
1 xx
x
0的斜渐近线。
2
16.（本题满分 10 分）
设
f x 连续,
且 lim x0
f
x 1,
x
gx
1
0
f xtdt，求 gx且证明 gx在 x 0 处连续.
17.（本题满分 10 分）
求 f x x3 8y3 xy 的极值。
18.（本题满分 10 分）
设
f
x 在 0, 上有定义，且满足 2
2020 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
1.当 x 0 时，下列无穷小量中最高阶的是（）
A. x (et2 1)dt 0
B.
8
4.已知 f (x) x2 ln(1 x), 当 n 3时， f n (0) ( )
A. n! n2
n!
B.
n2
C. n 2!
n
n 2!
D.
n
xy, xy 0,
5.关于 f (x, y) x, y 0, y, x 0,
f
给出下列结论：（1）
1
x (0,0)
2 f （2）xy
.
13.设 y yx满足 y 2 y y 0,
且
y0
0
，
y0
1，则
0
yxdx
.
a 0 1 1
14.求 0
a
1 1
.
1 1 a 0
1 1 0 a
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
15.（本题满分 10 分）.
上任意一点, 过点 M 的切线与 x 轴相交于点 T , 过点 M 做 MP 垂直于 x 轴于点 P , 且曲
线 y f x 与直线 MP 以及 x 轴所围成图形的面积与三角形 MTP 的面积比恒为 3: 2 , 求
曲线满足的方程.4Leabharlann 22.（本题满分 11 分）
二次型 f x1, x2, x3 x12 x22 x32 2ax1x2 2ax1x3 2ax2x3 经可逆线性变换 x Py 变换为 g y1, y2 , y3 y12 y22 4 y32 2 y1y2