测量平差基础知识及矩阵基础知识

a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 B b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 AT a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
补充知识——线性代数
1
5 1 4 3 2 1 2 0 2
0 0 0
3 0 1 0 0 1
2 3
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★矩阵的定义 称m行、n列的数表为矩阵，表示为：
K1
0.2 1 1000 5000
K2
第二章 测量误差理论及其应用
3.误差传播定律
1.观测值的和或差的函数中误差
z x y
2 2 m z mx my
z x1 x2 xn
2 2 2 m z mx m m x2 xn 1
第二章 测量误差理论及其应用
a11b11 a12b21 a13b31 AB a21b11 a22b21 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
补充知识——线性代数
1 0 3 1 A 2 1 0 2
4 1 B 2 1
解： 普通水准测量每站测得高差
hi ai bi (i 1,2, n)
则每站观测高差的 m m读2 m读2 m读 2 2.8mm 观测n站所得高差 h h1 h2 ，高差闭合差 ， f h h h0 hn h0 为已知值（无误差）。则闭合差 f的中误差为： h
精确度：是精度和准确度的合成，指观测结果
与其真值的接近程度是全面衡量观测质量的标准。
第二章 测量误差理论及其应用
1.中误差：在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测值 真误差平方和的平均值开方，用m表示。
m

2
n
1 2 n n
2
2
2
方差
[] n
cos sin sin cos
cos2 ( sin 2 )
补充知识——线性代数
★三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a33 a13
2 2 2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：已知矩形的宽x=30m，其中误差mx 0.010m， 矩形的长y=40m，其中误差 my 0.012m ，计算矩形 面积A及其中误差 m A 。
2 A xy 1200 m 解：已知计算矩形面积公式
对各观测值取偏导数 根据误差传播定律
f f x, y y x
5
1
4
11 12 13 a ( 1 ) M a ( 1 ) M a ( 1 ) M13 1 11 11 12 12 13
3 2 2 0
2
补充知识——线性代数
习题
1 2 3
0 0 0
3 0 1 0 0 1
0 Байду номын сангаас 0 2
补充知识——线性代数
★行列式的转置 把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩 阵称为A的转置矩阵，记作AT 。
第二章 测量误差理论及其应用
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
有限性
一定观测条件下有限次 观测值中，其绝对值不 超过一定界限
显小性
绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现的机会多
对称性
绝对值相等的正、负误差出 现的机会大致相等
偶然 误差
抵消性
观测次数无限增多时，偶然 误差的算术平均值趋近于零
余子式 元素aij 的余子式 M ij 就是在行列式中划掉元 素aij所在的行和列，余下的元素按原来的 相对位置而构成的行列式。
代数余子式
Aij (1)
i j
M ij
补充知识——线性代数
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
T
零矩阵
所有元素为0的矩阵，记为O
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式
1 0 0 0 0 对角阵 0 0 2 diag( , , ) 1 2 n 0 0 0 0 0 0 n
1 0 E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：有两个测量组对某个已知值的角度同时都进行了5次 观测，各次观测的真误差如下： A组：-4″，-3″，0″，+2″，+4″； B组：-6″，-1″，0″，+1″，+5″。 解：
2 2 2 (4 ) 2 （- 3） 0 （2） （4） mA 3.0 5
a1b2
a2b2 a3b2 a4b2
a1b3 a2b3 a3b3 a4b3
补充知识——线性代数
★线性变换的矩阵表示
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 y a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 34 4 3
mz kmx
例题：在1:1000比例尺地图上，量的A，B两点间距离 Sab 26.，其中误差 5mm mab，求 0.A 2mm 、B间的实地 距离 S AB 及其中误差 m 。 AB
解： S AB 1000Sab 26.5m
mAB 1000 mab 1000 0.2mm 200mm 0.2m
2 2 2 (6 ) 2 （-1） 0 （ 1） （5） mB 3.5 5
mA mB
说明A组的观测精度比B组高
第二章 测量误差理论及其应用
2.允许误差:在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也称 为极限误差或限差。 以3倍中误差作为偶然误差的极限值 3m
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
5
1
4
5 2 2 1 (1)(2) 4 3 0 4 2 (2) 1 3 2 5 (1) 0 32
3 2 1 2 0 2
m f h m n 2.8 n ( mm)
以3倍中误差为允许误差，则高差闭合差的允许误差为：
允 3 2.8 n 8 n (mm)
补充知识——线性代数
★二阶行列式 定义
a b c d
ad bc
a b c d
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6 (3) 2 (5) 5 3
a11 a 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式 n阶矩阵 行矩阵 列矩阵
A (a1 , a2 , a3 ,, an )
B (b1, b2 , b3 ,, bn )
a11 b11 A B a21 b21 a31 b31
a13 b13 a23 b23 a33 b33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11 的余子式 M11 a11 的代数余子式
a22 a32
a23 a33
11
A11 (1) M 11
a22 a32
a23 a33
补充知识——线性代数
限
要求较高时，也常采用2倍中误差作为极限误差
限 2m
第二章 测量误差理论及其应用
例题：分别丈量了1000m和200m两段的距离，中误差 均为 0.2m，试问哪个测量的精度高？
3.相对误差：观测值中误差的绝对值 m 与观测值之比。 1 1
K D D m M
0 .2 1 200 1000
第二章 测量误差理论及其应用
3.观测值线性函数的中误差 设函数： z k x k x k x 1 1 2 2 n n
2 2 2 2 mz k12 m12 k 2 m2 k n mn
4.一般函数的中误差 设有函数 z f x1 , x2 , xn
f 2 f 2 f 2 mz x mx1 x mx 2 x mxn 1 2 n
2 2
f 2 f 2 mA y m y x mx 402 0.0102 302 0.0122 0.2896 0.54m 2
A 1200m2 0.54m2
m读 2mm 例题：水准测量中，视距为75m时在标尺上读数的中误差 (包括照准误差、气泡居中误差及水准标尺刻划误差）。 若以3倍中误差为允许误差，试求普通水准测量观测n站所 得高差闭合差的允许误差。
例题：测定A、B间的高差 hAB ，共连续测了9站。设测量每站 2mm 高差的中误差 m ，求总高差 的中误差 hAB 。 mh
hAB h1 h2 h9
mh m n 2 9 6mm
第二章 测量误差理论及其应用
2.观测值倍数函数的中误差 设函数为： z kx
单位阵
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 b12 B b21 b22 b31 b32 a12 b12 a22 b22 a32 a32 b13 b23 b33
补充知识——线性代数
n阶行列式的定义
a11 a21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
补充知识——线性代数
余子式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a33 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a13
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
制定测量限差的依据 判断系统误差（粗差）
第二章 测量误差理论及其应用
2.精度指标及应用
精度：是指误差值分布的密集或离散程度，它反
映了观测结果与中数（估计值）的接近程度。
误差分布密集
误差分布离散
观测质量情况？
第二章 测量误差理论及其应用
准确度：反映观测结果系统误差大小的程度。
-1 11
1 0 1 3 0 1 3 4
AB
9 9
-2 9
补充知识——线性代数
★矩阵运算的几种结果
b1 b2 (a1 , a2 , a3 , a4 ) a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 b3 b 4
a1b1 a1 a b a2 2 1 a b1 , b2 , b3 a b 3 1 3 a 4 a4b1