热传导方程紧差分格式的区域分解算法

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９ ・
２１ ０ ２年 ８ 月
廊坊师范学院学报 （ 自然科学版 ）
第ｌ ２卷・ ４期 第
△ ， 以不 同 ， ， △￡ △ Ｒ的正 整数 倍 ， ￡ 可 △ｆ 是 ， ｍ￡和 ｍ 为左右 子 区域 的 时 间 层 ， 计 从 （ 一 １Ａｔ 到 估 ） ，
此 等对 △也 立 么 当 ｆ等 不 式 ｍ 成 ， 有 △： 那
１
２
ｎ
Ｕ ｉ １ 一
一
０
—
— —
Ｕｉ ＋ ｌｉ ￥ ＋１ — 一 。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
若 ｉ＝０ Ⅳ， 者 ＝０则 称 （ ， 为边界 或 或 ， ｔ）
点， 当 ＝ 且 ｎ＞０ 网格点 为 内边界 点 ， 称 除上述 以外 的点统称 为 内点 。 当 ｒ＝ 分 解算 法为 ： ？＝ Ｍ ， 于边界点 （） １ ＝ １时 得热 传 导方程 紧 差分 区域
假 定 Ｈ ＜ ｍｉ（ ， ）再 设 △￡＝ ／ ， 为 正 ｎ １一 ， 整数 ， 并令 ｔ ｎ ， 义 ＝ ｆ ， 及 差分算 ＝ ａｔ定 （ ｔ）
计算化 为两个 独立 的分段 隐式计算 ， 可并行计算 。
２ 变步长 的区域分解算法
在上述 区域 分 解 中 的 内边 界 上 取 时 间 步 长 为 △ ， 在 两 个 子 区 域 上 时 间 步 长 分 别 取 为 △ 和 ， ｆ
ｕ
２ Ｈ（ ＋Ａｔ） Ｊ Ｈ ］
＝
（） ６
０Ｌ ＂㈩
除非
非 常小 ， 否则 算 法 的逼 近 阶会 受 到影
响， ． 当 ，比较小 时 ， 内边界 的误 差是 相 当小 的 。
可类 似定 义 ， （ 满 足 』 ） ９
４ 结束语
Ｄ ｗｓｎ等人 提 出的这种 算法 ， ａ ｏ 在计 算 空 间 区域
ｍ ａｘ
Ｉ ｎ ・
及 文献 ［ ］ 理 １中的 ２定
Ｇ （ （ ＋ ） ，（ （ ｔ ＋Ｈ ） 。 ）△ ＋Ｃ ）Ａ ； ， ｐ
这里 是 连 续 可 微 的 函 数 ， 义 （ ） ＝ 定 ０
臼 （ ）＝０ 且 １ ，
一
ｌ（
） ≤ 百Ｃ［ｔ 一Ｕ ｌ １ ｏＡ 。＋ ｈ ＋
域 中采用不 同的计算步长 ， 并给 出相应 的先验误差估计式。 【 关键词 】 热传 导方程； 区域分解 ； 紧差分格 式； 并行计算
Ｄｏ ｉ ｃ ｍ ｐ ｓｔｏ ｇ ｒｔ ｍ ｏ ｍｐ ｃ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｍａ ｎ Ｄｅ ｏ ｏ ｉｉｎ Ａｌ ｏ ｉｈ ｆ ｒＣｏ ａ ｔＤｉｆ ｒ ｎ ｅＳ ｈ ｍｅ
式。
Ａｔ △ 以及 隐格 式 （） ， 和 ３ 式 内边界 中 间时刻上 的 值 可通过 线性 插值 获得 。
我们 也 可 以在 左 右 子 区域 采 用 不 同 的 空 间 步
３ 多个 子 区域情 形
前 面我们讨 论 的是将 求解 区域 分成两 个子 区域 情形 ， 献 ［］ 文 ２ 中定 理 １ 中的理论 也可 被拓 展到 多个
２１ ０ ２年 ８ 月
廊坊师范学院学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕｎｌ ｆＬ ｎｆｎ ｅｃｅｓＣ ｒｇ（ ａｕａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏｒａ ｏ ａｇａｇＴ ａｈｒ ｏｅｅ Ｎ ｔｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｔ ｌ ｅ ｉ
Ａｕｇ． ０１ ２ ２ Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． １１ ４
＋ ＋ ＨＡｔ ） （） ４
正整数） 的古典显格式。把通常整体计算 区域上 的 隐式计 算化 为多个 子 区域上 彼此独 立操 作 的隐式计 算 ， 功 的有 限差 分 区域分 解 算 法 。也 可 尝 试 用 是成 此方法去求解其它方程 。
［ 考文献 ］ 参 ［］Ｃ． Ｄ ｗ ｏ ， ｉ ｇＤ Ｕ， ｕｏ ｔＡ ｆ ｉ ｉｅｅｃ １ Ｎ． ａ ｓｎ Ｑａ Ｔ Ｆ Ｄ ｐｎ ． ｉ ｔ ｄ ｆｒ ｅ ｎ ｎｅ ｆ ｎ
ｄ ｃ ｍｐ ｓ ｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｉｉ ｉ ｇ ａ ｒ ｇｏ ｎ ｏ ｐ ｕ ａｉｙ ｏ ｕ －ｅ ｉ ｎ ，ｎ ｄ ｆ ｒ ｎ ｏ ｉ ｓ ｗｉ ｉ ｅ ｅ ｔ ｔ ｎ ｐ ｃ ｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｔ ｏ ，ｄｖ ｄ ｎ ｅ ｉｎ ｉ ｔ ｌ ｒｌｔ ｆｓ ｂ ｒ ｇ ｏ ｓ ｉ ｉ ｅ ｅ ｔｄ ｍａｎ ｔ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ａ ｄ ｓ ａ ｅ ｔ ｆ ｈ ｆ ｍｅ ｓｅ ，ａ ｄ ｇｖ ｓｔ ｅ ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｇ ａ ｐ ｉ ｒ ｅ ｒ ｒｅ ｔｍａ ｅ ｔｐ ｎ ｉ ｅ ｈ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｒｏ ｉ ｒｏ ｓｉ ｔ ．
第 １ 卷第 ４ ２ 期
热 传 导 方 程 紧 差分 格 式 的 区域 分解 算 法
张红梅 ， 岳素芳 ， 许
【 摘
娟
（ 安庆师范学院 ， 安徽 安庆 ２ ６ ３ ） ４ １ ３
要】 对热传 导方程 的紧差分格 式在特 殊情形 下采用 区域分解 算法 ， 把求解 区域分成 多个子域 ， 且在 不 同子
文献［］ ２ 研究了热传导方程紧差分格式 的有限 差分 区域分解 算 法 ， 方法 是 将 求 解 区域 分 成 两 个 其
子 区域 ， 子 区域 间的 内边 界点 上 ， 用古 典显 格式 在 使 大步长 Ｈ， 每 个 子 区域 内使 用 隐格 式 求 解 ， 间 在 空 差分 步长 为 ｈ 并 且 日 为 ｈ的整数 倍 。 ， 这种 区域分 解
求解 区域分解成多个子区域的算法中， 得到一些有 意义 的结 论 。
ａ Ｕ？一 ． ～ ＝０ 于 内边界 点 ｕｎ ，
（ △ｕ ＋ ｌ Ｄ ＋ａ ｒ ） ａ ｎ Ｏ △Ｕ △ Ｉ 一 ＋
＝
（） ２
＾ （） ３
１ 紧差分格式 的区域分解算法
设 ｕ ， ） 热传 导 方 程 的解 ， （ ｔ是 在此 先将 求 解 区域 （ ， ） 解为 两个 子 区域 （ ， ） （ ， ）设 Ⅳ ０ １分 ０ 和 １ ， 为正整 数 ， ＝ ｈ １， ＝ ｉ ｉ＝０ １ ２ … ， 而且 ｈ， ， ， ， Ⅳ，
子 ｎ ＝ Ｍ＋ ｎ）ａ ｎ （ Ｍ ） 告（ Ｍ ，△ ＝ Ｍ 一 ｎ ， 一 １
［ 收稿 日期 ］ ２ １ —０ —１ ０２ ５ ０ ［ 基金项 目］ 安徽省高校省级 自然科学研究项 目（ Ｊ０ １ ０ ２ Ｋ ２１Ｂ８ ） ［ 作者简介 ］ 张红 梅（９ ９一）女 ， １７ ， 安庆师范学院数学与计算科学学院讲师 ， 硕士 ， 研究方 向： 偏微分方程 。
ｄ ｍａｎ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ￣ｇ ｆ ｈ ｆ ｒ ｎ ｍｅ ｉ ｌ ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｏ ｉ ｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｉ ｏ ｔ ｍ ｏ ｕ ｒｃ ｏｕ ｉ ｆ ｉ ａ ｏ
在 （ ） 的证 明 中所 使用 的极 大值 原理 表 述 为 ４式 引理 ， 其证 明类 似文献 ［ ］中引理 的证 明。 ２
我 们定义 （ ）＝ Ｃ ＬＬ ） Ａｔ ） ｏ （ （ Ｅ＋ ＋
的整数倍 ， 即
ｊ ＝ ， ｈ Ｊ＝０ １２ … ， 用 ，， ， Ⅳ，
１１ ＂ ２
表示 区域 分解 差分解 ， 然文献 ［］ 显 ２ 中引理 １ 在此 仍 然 成立 。 特别 地 ， △ 在 ＝ 约束 条件 下 ， 有
，
算法 在条件 △ ＝ Ｈ 下 ， 差 为 ０（ ＋ ｈ 误 Ａｔ ＋
Ｕ
Ｈ ）文 献 ［］ 。 ２ 的结论 主要 针对 的是将 区域分 解 成两 个子 区域 ， 每个 子 区域取相 同的时 间和空 间步 长 。 本 文 主要将 此方 法推 广到变 步长 的 区域分解 算法 以及
』Ｙ
０ 于 内点 ，
其 中 ？ 为数值解 ， 样在 由时 间层 ｔ＝ ｔ 到 这 ｔ 的计 算 中， 在条件 Ａｔ： 下 ， １Ｈ 首先计算 内边界
处 的函数值 ， 此后 ， 两个子 区域 （ ， 和 （ １ 上 ， ０ ） ， ）
设 ： ， Ｋ为某 正整数 ， 又设 日是 ｈ正整数 倍 ， 且
的 内边 界点 处使 用 大步 长 Ｈ ＝Ｄｈ Ｄ 为大 于 １的 （
ｐ ＝ （ ｘ
，
：
非负函 和满 １ ） 。 数其 足专 （ 一 ≤ １
通 过分 析可得 到文 献 ［］中定理 １ 似结论 ， ２ 类
ｌ ？ ≤专≤— （ ＋ ｔ ＋ “ 一Ｕ ｌ △ １ △ ＋
长， 但是 内边 界处 的空 间步长 日 应 该分别 是 左右 子 区域 步长 的 整数倍 ， ｈ 用 和 ｈ 表 示 左右 子 区域 步
假 ２ 长 果们 Ｃ和。 示 ａ ｌ 子 区域 情形 ， 设 我 们在 整 个 区 域 中 和文 献 ［］一 ， 我用。 ｃ表 Ｘ ＋ 如 专 Ｉ 样用 同一 个 时间步 长 △ ， 和相 同的空 间步 长 ｈ， ０ 设 ＜ Ｈ ≤ ｌ＜ ２＜ … ＜ Ｊ≤ １一Ｈ， 『 他彳 都是 ｈ ］ ａ Ｘ ｌ ｆ Ｊ 右域的束 和 Ｊ 在 区上约， 左 用 ｃ 表 示在 区域 ｌ 一 ｌ Ｈ 上 的类 似约束 ， ， ≤ 那 么我 们可 以得 到类 似文献 ［］的误 差估 计 。 别 地 ， ２ 特
ｏ ｈ ａ ｎｄ ｃ ｉ ｎ ｕ ｔｏ ｆ ｔ ｅ Ｈｅ ｔＣｏ ｕ ｔｏ Ｅａ ａ ｉ ｎ
ＺＨＡＮＧ Ｈｏ ￣ ｍｅ ， ｎ － ＹＵＥ Ｓ ｎ Ｕ ｕ ｎ ， Ｊａ
【 ｂｔ ｃ】 Ｔ ｉ ｐｐｒ ｉ ｎｔｅｃｍ ａｔ ｉｅ ｎｅｓｈｍｅ ｆ ｈ ｅｔ ｑａｉ ｅｉ ｉ ｕ ｓ ｎｅ ｓ ｇｄｍａ Ａ ｓ ａｔ ｒ ｈｓ ａｅ ｎｏ ｐｃ ｄ ｆｒ ｃ ｅ ｅｈａ ｕｔ ｎｉ ｓ ｃ ｃ ｃ ｍ ｔ ｃｓ ｉ ｏ ｉ ｍａ ｈ ｏ ｆ ｅ ｃ ｏｔ ｅ ｏ ｎｐ ａ ｒ ｌ ａ ｕｎ ｎ
引理 １ 假 设 ｚ是 定 义 在 左 右 子 区 域 （ △￡， ｈ ）和（ ｈ ） 的 网格 函数 ， 含 所 有边 界 点 。 Ａｔ， 上 包
设 ｚ在边 界点 上 满足 ： ≤ ０在边界 点 上 ， 。 ａ 一
ｎ ～
，
ｔｅｈａ ｅｕｔ ｎ Ｊ ． ｔ ｏ ｐ １９ ，７ １５ ；３ １ ｈ ｅｔ ｑ ａ ｏ ［］ Ｍａ Ｃ ｍ ，９ １５ （９ ）６ —７ ． ｉ ｈ
【 ｅ ｏｄ 】 ｈ ａ ｅｕｔ ｎｄ ｍａ ｅｏ ｏｉｏ ； ｏ ｐｃ ｄ ｆｒｎｅｓｈ ｍ ；ａ ｌｌ ｏ ｐ ｔ ｇ Ｋ ｙｗ ｒｓ ｅｔ ｑａｉ ；ｏ ｉ ｄｃｍｐｓｉｎ ｃ ｍ ａｔ ｆ ｅｃ ｅ ｅｐｒ ｌ ｍ ｕｉ ｏ ｎ ｔ ｅ ｉ ｃ ａｅｃ ｎ （ 中图分类号］０ ４ ．２ ２ １８ ［ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１７ —３ ２ （０ ２ ０ ６ ４ ２ ９ ２ １ ）４—０ ０ ０ ０ ９— ２
时 ， 所有 网格 点有 ｚ≤ ０成立 。 在
ｎ ， ａｔ 的值 ， 用 显格 式 （） 及 时 间步 长 △ ， 空 运 ２式 和
间大 步 长 日， 左 右 子 区域 上 分 别 采 用 时 间 步 长 在
注： 近似解 Ｕ满 足 （ ） ， ５ 式 当用线 性插 值来定 义
ｔ＋ ｍａｔ ｍ ＝ １ ・ ， 上值 时 ， 等式 代替不 等 ， ，一 ｍ 用
［］张红梅 ． ２ 热传导方程的一类 区域 分解差分算 法［ ］安 庆 Ｊ．
师 范学院 学报（ 自然科 学版 ）２ ０ ，５ ３ ：３ ４ ，０ ９ １ （ ） １ —１ ． ［］张宝琳 ， ３ 申卫 东． 热传 导方程有 限差分 区域 分解算法的若 干注记［］数值计算与计算机应用 ，０２ ６２ ：１ ０ Ｊ． ２０ ，（）８ —９ ． ［］吕桂 霞， ４ 马富 明． 维热传 导方程 有 限差分 区域 分解算 二 法［］数值计算与计算机应用 ，０ ６ （ ）９ Ｊ． ２ ０ ，２ ：６—１５ ０．