定积分的元素法解析
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二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
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思考题
微元法的实质是什么？
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思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
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dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
A A,并取 A f ( x )dx
b
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
o a x x dx bx
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U 符合下列条件： 当所求量 （1）U 是与一个变量x 的变化区间a , b 有关
的量；
( 2) U
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
第一节
定积分的元素法
一、问题的提出 二、小结 思考题
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一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。Baidu Nhomakorabea
b
o a
b x
A a f ( x )dx
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面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形， 第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3） 求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
i xi
A f ( i )xi .
i 1 n
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（4） 求极限，得A的精确值
A lim f ( i )xi f ( x )dx a 0
b
i 1
n
提示 若用 A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 于是 A f ( x )dx
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
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思考题
微元法的实质是什么？
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思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
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dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
A A,并取 A f ( x )dx
b
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
o a x x dx bx
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U 符合下列条件： 当所求量 （1）U 是与一个变量x 的变化区间a , b 有关
的量；
( 2) U
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
第一节
定积分的元素法
一、问题的提出 二、小结 思考题
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一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。Baidu Nhomakorabea
b
o a
b x
A a f ( x )dx
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面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形， 第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3） 求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
i xi
A f ( i )xi .
i 1 n
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（4） 求极限，得A的精确值
A lim f ( i )xi f ( x )dx a 0
b
i 1
n
提示 若用 A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 于是 A f ( x )dx