利用梯度下降法实现线性回归的算法及matlab实现

利用梯度下降法实现线性回归的算法及matlab实现
1.线性回归算法概述
线性回归属于监督学习，因此方法和监督学习应该是一样的，先给定一个训练集，根据这个训练集学习出一个线性函数，然后测试这个函数训练的好不好（即此函数是否足够拟合训练集数据），挑选出最好的函数（cost function最小）即可；
注意：
(1)因为是线性回归，所以学习到的函数为线性函数，即直线函数；
(2)线性回归可分为单变量线性回归和多变量线性回归；对于单变量线性回归而言，只有一个输入变量x；
(1).单变量线性回归
我们能够给出单变量线性回归的模型：
我们常称x为feature，h(x)为hypothesis；上述模型中的θ0和θ1在代码中分别用theta0和theta1表示。

从上面“方法”中，我们肯定有一个疑问，怎么样能够看出线性函数拟合的好不好呢？我们需要使用到Cost Function（代价函数），代价函数越小，说明线性回归地越好（和训练集拟合地越好），当然最小就是0，即完全拟合。

cost Function的内部构造如下面公式所述：
其中：
表示向量x中的第i个元素；
表示向量y中的第i个元素；
表示已知的假设函数；
m为训练集的数量；
1
虽然给定一个函数，我们能够根据cost function知道这个函数拟合的好不好，但是毕竟函数有这么多，总不可能一个一个试吧？因此我们引出了梯度下降：能够找出cost function函数的最小值；
梯度下降原理：将函数比作一座山，我们站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快；当然解决问题的方法有很多，梯度下降只是其中一个，还有一种方法叫Normal Equation；
方法：
(1)先确定向下一步的步伐大小，我们称为Learning rate(alpha)；
(2)任意给定一个初始值：(用theta0和theta1表示)；
(3)确定一个向下的方向，并向下走预先规定的步伐，并更新；
(4)当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降；
算法
：
特点：
(1)初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；
(2)越接近最小值时，下降速度越慢；
梯度下降能够求出一个函数的最小值；
2
线性回归需要使得cost function的最小；
因此我们能够对
cost function运用梯度下降，即将梯度下降和线性回归进行整合，如下图所示：上式中右边的公式推导过程如下：
ðℎθ
0=1
ðℎθ
1
=x(i)
ð0Jθ0,θ1=
1
2×(ℎθ x(i)−y(i))×
ðℎθ
m
i=1
=
1
(ℎθ x(i)−y(i))
m
i=1
ððθ1Jθ0,θ1=
1
2m
2×(ℎθ x(i)−y(i))×
ðℎθ
ðθ1
m
i=1
=
1
m
(ℎθ x(i)−y(i))×
m
i=1
x(i)
3
从上面的推导中可以看出，要想满足梯度下降的条件，则(ℎθ x(i)−y(i))项后面必须乘以对应的输入信号x(i)。

梯度下降是通过不停的迭代，而我们比较关注迭代的次数，因为这关系到梯度下降的执行速度，为了减少迭代次数，因此引入了Feature Scaling。

(2).Feature Scaling
此种方法应用于梯度下降，为了加快梯度下降的执行速度；
思想：将各个feature的值标准化，使得取值范围大致都在-1<=x<=1之间；
常用的方法是Mean Normalization，即
或者：
[X-mean(X)]/std(X);
2.Matlab实现梯度下降的线性回归
(1).Gradient descend code 1
clear all
clc
% training sample data;
p0=3;
p1=7;
x=1:3;
y=p0+p1*x;
num_sample=size(y,2);
4
% gradient descending process
% initial values of parameters
theta0=1;
theta1=3;
%learning rate
alpha=0.02;
% if alpha is too large, the final error will be much large.
% if alpha is too small, the convergence will be slow
epoch=500;
for k=1:epoch
v_k=k
h_theta_x=theta0+theta1*x; % hypothesis function
Jcost(k)=((h_theta_x(1)-y(1))^2+(h_theta_x(2)-y(2))^2+(h_theta_x(3)-y(3))^2)/num_sample
theta0=theta0-alpha*((h_theta_x(1)-y(1))+(h_theta_x(2)-y(2))+(h_theta_x(3)-y(3)))/num_sample;
theta1=theta1-alpha*((h_theta_x(1)-y(1))*x(1)+(h_theta_x(2)-y(2))*x(2)+(h_theta_x(3)-y(3))*x(3))/num_sample; end
plot(Jcost)
(2).Gradient descend code 2
clear all
clc
% training sample data;
p0=26;
p1=73;
x=1:3;
5
y=p0+p1*x;
num_sample=size(y,2);
% gradient descending process
% initial values of parameters
theta0=1;
theta1=3;
%learning rate
alpha=0.08;
% if alpha is too large, the final error will be much large.
% if alpha is too small, the convergence will be slow
epoch=500;
for k=1:epoch
v_k=k
h_theta_x=theta0+theta1*x; % hypothesis function
Jcost(k)=((h_theta_x(1)-y(1))^2+(h_theta_x(2)-y(2))^2+(h_theta_x(3)-y(3))^2)/num_sample;
theta0=theta0-alpha*((h_theta_x(1)-y(1))+(h_theta_x(2)-y(2))+(h_theta_x(3)-y(3)))/num_sample;
theta1=theta1-alpha*((h_theta_x(1)-y(1))*x(1)+(h_theta_x(2)-y(2))*x(2)+(h_theta_x(3)-y(3))*x(3))/num_sample; % disp('*********comp 1**************');
r1=((h_theta_x(1)-y(1))+(h_theta_x(2)-y(2))+(h_theta_x(3)-y(3)));
r2=sum(h_theta_x-y);
% disp('*********comp 2**************');
r3=((h_theta_x(1)-y(1))^2+(h_theta_x(2)-y(2))^2+(h_theta_x(3)-y(3))^2);
r4=sum((h_theta_x-y).^2);
% disp('*********comp 3**************');
r5=((h_theta_x(1)-y(1))*x(1)+(h_theta_x(2)-y(2))*x(2)+(h_theta_x(3)-y(3))*x(3));
6
r6=sum((h_theta_x-y).*x);
if((r1~=r2)||(r3~=r4)||(r5~=r6))
disp('***wrong result******')
end
end
plot(Jcost)
3.线性回归与单神经元的对应关系
单变量线性回归的模型：
与单神经元模型具有对应的关系，可实现相同的功能。

其中θ0相当于单神经元的偏置值bias值，x相当于单神经元的单个输入，θ1相当于单神经元的权值w。

如果ℎθ不包含θ0，那么则可能无法准确完成线性回归的功能。

因此，对于单神经元结构而言，偏置值bias 是必不可少的。

对于双变量线性回归模型：
ℎθx=θ0+θ1×x1+θ2×x2
而言，可实现双输入单神经元的功能。

其偏置值对应θ0。

7。