含参数的一元二次不等式的解法以和含参不等式恒成立问题(专题)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax
分析：本题二次项系数含有参数，()044222
>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=∆a a a
解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a
a a x 24
222++--=
∴当0>a 时,解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或
当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>
21|x x 当0 ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652 ≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042 >++ax x 分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。 解：∵162 -=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧≠ ∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，216 22---=a a x ，显然 21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+01412 2 解 因,012>+m ( )( ) 2 2 2 3414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ = 21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+--+-+>132132222 2m m x m m x x 〈或； 当33>- 三、按方程02 =++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例5 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1 (<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令a a 1 =，可得：1±=a ∴当1- ，故原不等式的解集为⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧ < a 1 = ,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1> ,解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧< 2>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()0245222 >=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故 只需比较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0 a ， 解集为{} |23x x a x a ><或 含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨ ⎧<∆>⇔00 a ; 2）0)( ⎩ ⎨ ⎧<∆<⇔a 例1：若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以 要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 例2．已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(2 2>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(22<--=∆a a 解得3 1 1>- 所以实数a 的取值范围为),3 1 ()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：