关于数列通项公式中的一个问题与探讨
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．
●
专 题 研 究
・ ・ 蛰 镲 来自● 子 Ｉ Ｊ 遘
一
嘲 一
３３０ ） １０ ０ ￣ ｏｆ ｎ ＝ ｏ （）
ｎ 十
探讨
， （ ）： ２ ｇｎ
．
◎ 冯耀 斌 （ 江 省 湖 州 中学 浙 问题 的提 出
、
在 高 中数 学 数 列 的 教 学 中 ， 常会 碰 到 这类 题 目 ： 经
… ＝ ，
其 ｇ）÷ 中（ ＝ ｎｌ 凡正． ｎ ＋＝ Ｌ ｒ ，
因 此 得 出 一 般 结 论 ， ＝ （ ） ＋ （ ） ， ｏ ，ｎ ｎ ｇ ｎ 中
，ｎ 鱼 （ ）＝
，
贝 ＝ ０。＋ 鱼
。 ｇｎ ＋ （ ）
即 （ ｎ＋１ ）：ｐ ， ｎ）＝Ｐ ． ｈ（
二 、 题 的 解 决 问
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‘ ． ．
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，
（ ｎ＋１ （ ） 凡＋２） ¨ｌ＝ ＋１ 口 （ ） ＋２（ ＋１ ． ）
再 令 ｂ ＝ｎ ｎ＋１ ｏ ， ０ ｌ ｎ＋１ （ ２ Ⅱ ＋ ， （ ） 贝 ＋ ＝（ ｂ ） ｎ＋ ） １ ｂ＋ ＝ｂ ２ ｎ＋１ ， 转 化 为 第 一 种 类 型 ， 求 得 ＋ （ ）便 可
。 ｊ — 丁 ： ＋ ： 口 ＋ ｇ ： ｌ＝ Ｌ ＝ ＝ — ＋ ： ． ＋—： ・ Ｐ Ｐ ｐ ｐ
，
即 前＝ ＋
令６ ＝ ， ６ ＝６ 则 ＋
．
便 转 化 为 第 一 种 类
令 ６ ， ：ｏ ｎ
ｐ则 ＝寻即 ＋６ｐ， 可 ６ 》，６ ＝ 也 以 ＋ｐ ｑ 就 。 ，
三、 问题 的 推 广 特别地 ， 中当 ｎ ＝ ａ ｇ ｎ 时 ， ④ … ｐ ＋ （ ）
＝
得 ＝ 詈＋
￣ ｂ ａ。 ｎ ｎ
，
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＝６ ＋ ，
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Ｐ
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由 种类 易 ４ 言， ｎ４－． 第一 型 得６＝ 一＇ 即ｎ＝ｎ ２
・ ． ．
５＋ ｌ＝（ ｎ＋１ ｌ一（ ）ｎ ＋ ｎ＋１ ｎ， ）
寺＋ ， 令 ≥则 ＝＋ ， ｌ ～ ＋ ， 。 ｎ ａ， 解 ６÷一 ， 。等 得 因 一． ＝ 此＝ １
＋ ｊ
・ ． ．
０ ＋ ＝（ ＋１ ｌ ｎ ｌ ）ｎ ＋ 一凡 ０ 一２ ，
一 一 …
③ 已知 口 ＝１０ ＝３ ＋１求 ． ＋ ＝ ａ １ ， ａ ， （ １ ｐ ＋ｑ型 ）
上 述 三 类 题 目为 平 常 的作 业 或 考 试 中都 明 确 要 求 学 生 掌 握 的题 型 ， 答 方 法 也 相对 比较 简 单 常 规 ， 这 里 笔 者 就 解 在 不 加 以赘 述 了． 般 地 ， 教 学 过程 中 ， 们 会 总 结 出如 下 的规 律 ： 在 我
反思 ｎ ｎ １ ｎ＋１ ＋２＇ ａ ＋ ＝（ ） ＝ 。 ， ＋
Ｐ
令 ６ ｎ 则 ６＋ ： ａ ：
，
， ６＋ 即 ＝６ ＋
， 可 以 就
Ｐ
Ｐ
把它转化为①求 出 ｂ 而求 出 ｏ． 进 更 特 别 地 ， 中 当 。＋ ｐ ＋ｑ ， ④ ｆ 口 时
‘
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ｂ ＝ｎ ＋ ｎ 一 １，
６
。 ・ ～
ｎ ＋ ｎ 一 １
ｎ
可
丽
‘
椤 已知 数 歹 ｛ 中 ，。 ，ｎ＋ ０ ０ ａ ｝ Ⅱ ＝２ ｎ ＝（， ） ＋２ 求 １＋１ ｏ ７ ， 数 列 的通 项 公 式．
解 两 边 同 除 以 ｎ ｎ＋１ ， （ ）
从 本 题 的解 答 过 程 中 可 以 看 到 ， 型 ① ② 都 被 充 分 的 类 应 用 到 ， 此 说 ① ② 的产 物 为 ④ ． 因
。 ＋ ，
即 ａ＋ ｎｌ
【 考文献】 参 储 炳 南． 一道 高考 题 的 另解及 推广． 学通讯 ， ｏ （） 数 ２ ７ １ ０
数 学 学 习与 研 究
２ １． ０ ０７
一
ｈ１ （ ）一 ３ ’ （ ｈ ２）一 ４ ’ ’ （ ｈ ｎ一１ ＋１ ）一 ’
垒 （ ２ 一
于 ＝ 是苦
贝 （ ４ ｎ）
， 取（＝， 不 ）１ 妨 １
， ｎ （ ）
① 中， 只要 ， １ ， ２ ＋… ＋ （ （ ）＋ （ ） ， ｎ一１ 能 化 简 ； ） ② 中， 只要 ｇ １ ｇ ２ （ ）・ （ ）… ・・ （ 一１ 能 化 简 ， 就 ｇ ） ｏ 能 简 洁 的 表 达 出来 ． 而 ③ 从 形 式 上 观 察 ， 乎 是① ② 的结 合 ． 究 其 本 质 及 似 但 解 答 方 法 ， 者 并 不 认 同 这 种 观 点 ： 为 ③ 中 的 Ｐ ｑ为 常 笔 因 ， 数 ， 非 ① ② 中 ｆ ｎ ， （ ） 变 量． 此 ， ② 结 合 的 产 物 而 （）ｇｎ 为 因 ① 应 该 为 ④ 。 ＋ ＝ （ ） ｇ ｎ 型 ． 么 ， 种 类 型 的题 目是 。 ，ｎ ｏ （） 那 这 否可解？若可解 ， 解 ？ 何
，
型 ， 求出 ｂ， 而求 出 ｎ． 可 进 为 了进 一 步 了解 这 种 方 法 ， 们 可 以 来 看 一 下 ２ ０ 我 ０ ６年
把 它转 化 为① 求 出 ｂ 而 求 出 ｏ ． 进 如 类 型 ③ 除 了 开 头 的 方 法 ， 可 以 用 上 面 的 方 法 来 还 解决：
。
安徽省高考数学理科卷第 ２ １题 ： 数 列 ｛ 的 前 ｎ项 和 为 ｓ ， 。｝ 已知 ｎ ＝ １
，
ｓ ＝ ｎ２ 一 。
（ ｎ一１ ｎ＝１ ２， ， 口 ． ）， ， … 求
其 中解 １ 解 ２ 解 ３见 文 参 考 文 献 中 的文 章 ． ， ， 解 ４ 。Ｓ ｎ口 ． ＝ 一ｎ ｎ一１ ， （ ）
ｎ 十
① 已知 ０ ＋ ＝口 ２ ， ０． Ⅱ ＋ ＝ ＋ （ ） ） ｌ ＋ 求 （ １ Ⅱ ， ｎ 型 ② 已知 口 ＋ ＝ ｎ ， ｎ． ｎ ＋ ＝ （ ） 型 ） 求 （ 。 ｇ ｎ 。
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则 由第 二 种 类 型 可 求 得
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专 题 研 究
・ ・ 蛰 镲 来自● 子 Ｉ Ｊ 遘
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， （ ）： ２ ｇｎ
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◎ 冯耀 斌 （ 江 省 湖 州 中学 浙 问题 的提 出
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其 ｇ）÷ 中（ ＝ ｎｌ 凡正． ｎ ＋＝ Ｌ ｒ ，
因 此 得 出 一 般 结 论 ， ＝ （ ） ＋ （ ） ， ｏ ，ｎ ｎ ｇ ｎ 中
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即 （ ｎ＋１ ）：ｐ ， ｎ）＝Ｐ ． ｈ（
二 、 题 的 解 决 问
： 。
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再 令 ｂ ＝ｎ ｎ＋１ ｏ ， ０ ｌ ｎ＋１ （ ２ Ⅱ ＋ ， （ ） 贝 ＋ ＝（ ｂ ） ｎ＋ ） １ ｂ＋ ＝ｂ ２ ｎ＋１ ， 转 化 为 第 一 种 类 型 ， 求 得 ＋ （ ）便 可
。 ｊ — 丁 ： ＋ ： 口 ＋ ｇ ： ｌ＝ Ｌ ＝ ＝ — ＋ ： ． ＋—： ・ Ｐ Ｐ ｐ ｐ
，
即 前＝ ＋
令６ ＝ ， ６ ＝６ 则 ＋
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便 转 化 为 第 一 种 类
令 ６ ， ：ｏ ｎ
ｐ则 ＝寻即 ＋６ｐ， 可 ６ 》，６ ＝ 也 以 ＋ｐ ｑ 就 。 ，
三、 问题 的 推 广 特别地 ， 中当 ｎ ＝ ａ ｇ ｎ 时 ， ④ … ｐ ＋ （ ）
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由 种类 易 ４ 言， ｎ４－． 第一 型 得６＝ 一＇ 即ｎ＝ｎ ２
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寺＋ ， 令 ≥则 ＝＋ ， ｌ ～ ＋ ， 。 ｎ ａ， 解 ６÷一 ， 。等 得 因 一． ＝ 此＝ １
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０ ＋ ＝（ ＋１ ｌ ｎ ｌ ）ｎ ＋ 一凡 ０ 一２ ，
一 一 …
③ 已知 口 ＝１０ ＝３ ＋１求 ． ＋ ＝ ａ １ ， ａ ， （ １ ｐ ＋ｑ型 ）
上 述 三 类 题 目为 平 常 的作 业 或 考 试 中都 明 确 要 求 学 生 掌 握 的题 型 ， 答 方 法 也 相对 比较 简 单 常 规 ， 这 里 笔 者 就 解 在 不 加 以赘 述 了． 般 地 ， 教 学 过程 中 ， 们 会 总 结 出如 下 的规 律 ： 在 我
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【 考文献】 参 储 炳 南． 一道 高考 题 的 另解及 推广． 学通讯 ， ｏ （） 数 ２ ７ １ ０
数 学 学 习与 研 究
２ １． ０ ０７
一
ｈ１ （ ）一 ３ ’ （ ｈ ２）一 ４ ’ ’ （ ｈ ｎ一１ ＋１ ）一 ’
垒 （ ２ 一
于 ＝ 是苦
贝 （ ４ ｎ）
， 取（＝， 不 ）１ 妨 １
， ｎ （ ）
① 中， 只要 ， １ ， ２ ＋… ＋ （ （ ）＋ （ ） ， ｎ一１ 能 化 简 ； ） ② 中， 只要 ｇ １ ｇ ２ （ ）・ （ ）… ・・ （ 一１ 能 化 简 ， 就 ｇ ） ｏ 能 简 洁 的 表 达 出来 ． 而 ③ 从 形 式 上 观 察 ， 乎 是① ② 的结 合 ． 究 其 本 质 及 似 但 解 答 方 法 ， 者 并 不 认 同 这 种 观 点 ： 为 ③ 中 的 Ｐ ｑ为 常 笔 因 ， 数 ， 非 ① ② 中 ｆ ｎ ， （ ） 变 量． 此 ， ② 结 合 的 产 物 而 （）ｇｎ 为 因 ① 应 该 为 ④ 。 ＋ ＝ （ ） ｇ ｎ 型 ． 么 ， 种 类 型 的题 目是 。 ，ｎ ｏ （） 那 这 否可解？若可解 ， 解 ？ 何
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安徽省高考数学理科卷第 ２ １题 ： 数 列 ｛ 的 前 ｎ项 和 为 ｓ ， 。｝ 已知 ｎ ＝ １
，
ｓ ＝ ｎ２ 一 。
（ ｎ一１ ｎ＝１ ２， ， 口 ． ）， ， … 求
其 中解 １ 解 ２ 解 ３见 文 参 考 文 献 中 的文 章 ． ， ， 解 ４ 。Ｓ ｎ口 ． ＝ 一ｎ ｎ一１ ， （ ）
ｎ 十
① 已知 ０ ＋ ＝口 ２ ， ０． Ⅱ ＋ ＝ ＋ （ ） ） ｌ ＋ 求 （ １ Ⅱ ， ｎ 型 ② 已知 口 ＋ ＝ ｎ ， ｎ． ｎ ＋ ＝ （ ） 型 ） 求 （ 。 ｇ ｎ 。
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