函数零点测试题(含答案)
零点和恒成立问题(含答案)
零点和恒成立问题（含答案）1. 求的近似值（精确度）．2. 已知函数的解析式为．（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的值域；（3），有两个不相等的实数根，求的取值范围．3. 已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围．4. 求函数的一个正零点的近似值（精确到）．5. 设函数的两个零点分别是和；（1）求；（2）当函数的定义域是时，求函数的值域．6. 已知（是常数，）.（1）当时，求不等式的解集；（2）如果函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．7. 对于函数．（1）当，时，求函数的零点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围．8. 设对于任意实数，不等式恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．9. 已知命题：方程表示的曲线是双曲线；命题：函数在区间上为增函数，若“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围．10. 设函数．（1）当，求函数的单调区间与极值；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围．11. 已知函数．（1）求函数的零点；（2）若实数满足，求的取值范围．12. 已知二次函数（）．（1）若，写出函数的单调递减区间；（2）若，，若存在实数使得函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围．13. 设函数．（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．14. 定义的零点为的不动点，已知函数．（1）当，时，求函数的不动点；（2）对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）若函数只有一个零点且，求实数的最小值．15. 己知函数．（1）求的单调区间；（2）若时，恒成立，求的取值范围；（3）设函数，若的图象与的图象在区间上有两个交点，求的取值范围．16. 不利用计算器或计算机的开方运算，求的近似值（精确到）．17. 已知函数，；设函数．（1）求函数在区间上的值域；（2）定义表示，中较小者，设函数．①求函数的最大值；②若函数有两个零点，求实数的取值范围．18. 已知函数，，且恒成立．（1）求实数的最大值；（2）当取最大时，求不等式的解集．19. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）；（2）；（3）；（4）．20. 直线与曲线有四个交点，求的取值范围21. 在枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量比真币的略轻），现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你最多几次就可以发现这枚假币?22. 已知函数．（1）求函数的解析式；（2）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围．23. 已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．24. 设函数．（1）解不等式；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．25. 已知函数，若，且方程恰有一根落在区间内，求的取值范围.26. 利用计算器，求方程的近似解（精确到）．27. 命题方程有两个不等的正实数根．命题方程无实数根．若" 或 "为真命题，求的取值范围．28. 已知函数．（1）若对任意，都有恒成立，求的取值范围；（2）解不等式．29. 对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围．30. 已知二次函数，求证：对于，且，，方程有不相等的两个实根，且必有一实根属于．31. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）函数的图象在处切线的斜率为，若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．32. 已知关于的方程有一个根不大于，另一个根不小于．（1）求实数的取值范围；（2）求方程两根平方和的最值．33. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围．34. 已知函数，，（1）当时，求的最大值；（2）若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；（3）问取何值时，方程在上有两解?35. 已知函数，，．（1）当时，证明：为奇函数；（2）若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围．36. 设函数．（1）当，时，求函数的零点；（2）若对任意，函数恒有两个不同零点，求实数的取值范围．37. 函数．（1）设函数，若方程在上有且仅有一个实根，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值．38. 若满足，则称为的不动点．（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．39. 奇函数的定义域为，其中为指数函数且图象过点．（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．40. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．41. 已知函数在与时都取得极值．（1）求，的值；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．42. 已知函数．（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象总在的下方．43. 已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．44. 已知命题：“方程恰好有两个不相等的负根”；命题：“不等式存在实数解”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．45. 已知是定义在上的奇函数，当时，函数的解析式为.（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值；（3）对任意的，都有成立，求最小的整数的值．46. 已知函数是上的偶函数．（1）求的值；（2）解不等式；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．47. 已知，，函数，且．（1）若，求的最大值；（2）若对任意，函数恒成立，求实数的取值范围．48. 已知函数．（1）若对任意实数，函数值恒大于零，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．49. 设函数．（1）画出函数的图象；（2）若不等式（，）恒成立，求实数的范围．50. 已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值．（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．51. 已知，不等式的解集为．（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围．52. 设函数．（1）求不等式的解集；（2），使，求实数的取值范围．53. 巳知函数在与时都取得极值．（1）求，的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．54. 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．55. 已知．（1）求证；（2）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．56. 已知函数．（1）若，解关于的不等式．（2）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．57. 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．58. 已知，，函数的最小值为．（1）求证：．（2）若恒成立，求实数的最大值．59. 设函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，试求的取值范围．60. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．61. 已知．（1）求证：；（2）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．62. 已知函数在处取得极值．（1）求函数在上的最小值；（2）求证：对任意，都有．63. 已知函数，．（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．64. 已知恒成立．（1）求实数的最大值；（2）若实数的最大值为，正数，满足．求的最小值．65. 已知函数（其中）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．66. 用二分法求函数的一个正零点（精确到）．67. 已知关于函数，（1）试求函数的单调区间；（2）若在区间内有极值，试求的取值范围；（3）时，若有唯一的零点，试求．（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如，；以下数据供参考：，，，）68. 设函数．（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．69. 已知函数．（1）设，求函数的极值；（2）若，且当时，恒成立，试确定的取值范围．70. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：对任意，．71. 已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．72. 设函数其中，，已知它们在处有相同的切线．（1）求函数，的解析式；（2）求函数在上的最小值；（3）若对，恒成立，求实数的取值范围．73. 已知点是椭圆的左顶点，斜率为的直线交椭圆于，两点，点在上，．（1）当时，求三角形的面积；（2）当时，证明：．74. 已知函数，，其中为自然对数的底数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）试探究当时，方程的解的个数，并说明理由．75. （1）证明：当时，；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．76. 已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．77. 设函数．（1）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；（2）当时，求函数在区间上的最大值．78. 已知函数，函数为函数的反函数．（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）对于，均有，求的取值范围．79. 已知一条曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是．（1）求曲线的方程；（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有 ?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．80. 已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围．81. 设函数．（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，．82. 已知，，．（1）若的单调减区间是，求实数的值；（2）若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）设有两个极值点，，且，若恒成立，求的最大值．83. 己知函数（，是自然对数的底）．（1）若函数在点处的切线方程为，试确定函数单调区间；（2）①当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数的最小值；②当时，设函数，是否存在实数，使得?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．84. 设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．（3）当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．85. 已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求的表达式；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．86. 已知函数（）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．87. 已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围．88. 已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：．89. 已知函数，且，（1）求的解析式；（2）若对于任意，都有，求的最小值；（3）证明：函数的图象在直线的下方．90. 函数，数列满足，，（1）求证：数列是等差数列；（2）令，，，若对一切成立，求最小正整数．91. 已知函数，．（1）证明：存在唯一，使；（2）证明：存在唯一，使，且对（1）中的，有．92. 已知函数，．（1）证明：当时，；（2）证明：当时，存在，使得对任意的，恒有；（3）确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有．93. 已知，，，是不全为的实数，函数，．方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根．（1）求的值；（2）若，求的取值范围；（3）若，，求的取值范围．94. 己知，其中常数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，，求证：；（3）求证：．95. 已知函数，（其中，且为常数．）（1）若对于任意的，都有成立，求的取值范围；（2）在1的条件下，若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围．96. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围．97. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求的取值范围；（2）记两个极值点为，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．98. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意的，求证：．99. 已知函数，其中为常数．（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数，求使得成立的的最小值；（3）已知方程的两个根为，，并且满足．求证：．100. 已知函数（为常数）是实数集上的奇函数．（1）求实数的值；（2）讨论关于的方程的根的个数；（3）证明：．答案第一部分1. 设，则，令，函数的零点的近似值就是的近似值，下面用二分法求其零点的近似值．由，，故可以取区间为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点的值中点函数值或近似值因为，所以取作为函数的零点的近似值，所以的近似值为．2. （1）函数的图象如下图所示：（2）由图可得：函数的值域为：．（3）由图可得：若，有两个不相等的实数根，则．3. 若真：设的两根为，．则即；若真，则，即；①若真假，则且或，即；②若真假，则且，即．综上，的取值范围为．4. 由于，，可以确定区间作为计算的初始区间．用二分法一逐次计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间因为最后一个区间左、右端点精确到所取的近似值都是，所以所求函数的一个正零点的近似值为．5. （1）因为的两个零点分别是，所以即解得故．（2）由（1）知，其图象的对称轴为，开口向下，所以在上为减函数，则的最大值为，最小值为．所以值域为．6. （1）所以的解集为或 .（2）由得，，令，，作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点．7. （1）因为，，所以，令，则，所以或，此时的零点为和．（2）由题意可得，则对于恒成立，即，所以．8. （1）设，则有综上有最小值，所以．（2）当取最大值时，原不等式等价于：，等价于：或等价于：或，所以原不等式的解集为．9. ：方程表示的曲线是双曲线，则有＜；解得：＜或＞；：函数在区间上为增函数，在区间上恒成立；于是．“ ”为真命题，" "为假命题，，一真一假；或解得；若真假，则若假真，则解得；综上所述，实数的取值范围是10. （1）由，，知．令，从而，得或单调递增单调递减单调递增因此，由上表知的单调递增区间是与．单调递增区间是，极小值为，极大值为．（2）由，当是增函数，知恒成立，即恒成立，所以，．11. （1）当时，解得：，当时，解得：，故函数的零点为．（2）当时，，此时故函数为偶函数，又因为时，为增函数，所以时，，即，，所以，故．12. （1）的单调递减区间是．（2）．13. （1）当时，恒成立，当时，要保证恒成立，即的最小值，解得，故．（2）由题意可知，函数的图象恒在直线的上方，画出两个函数图象可知，当时，符合题意，当时，只需满足点不在的下方即可，所以，即．综上，实数的取值范围是．14. （1），，所以或．故函数的不动点为，．（2）对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，则对于任意实数，恒有两个不等的实数根．所以，恒成立，所以，所以对任意实数都成立，所以，所以．（3），函数只有一个零点，，则，所以，所以．当且仅当时等号成立，所以，的最小值为．15. （1）因为，所以所以在单调递增，在上单调递减．（2）令，即，则因为，，又在恒成立．所以．（3）由，得，，，所以在单调递减，在上单调递增，，，，且，所以当，即时，的图象与的图象在区间上有两个交点．16. 设，则，即．令，则函数的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．中点函数值符合取区间最后一个区间的长度，，所以这个区间的中点就是函数的零点近似值．即．17. （1）因为函数在区间上单调递增，所以函数的值域为．（2）①函数，显然，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，函数的最大值为．②若函数有两个零点等价于方程有两个实根；作出函数的大致图象，可知的取值范围是．18. （1）因为，，且恒成立，所以只需，又因为所以，即的最大值为．（2）的最大值为时原式变为，当时，可得，解得；当时，可得，无解；当时，可得，可得，综上可得，原不等式的解集是．19. （1）令，解得，所以函数存在零点，且零点为．（2）令，由于，所以方程无实数根，所以函数不存在零点．（3）令，解得，所以函数存在零点，且零点为．（4）令，得或，所以或，所以函数存在零点，且零点为，与．20. 当时，函数，所以函数的最小值为 .当函数图象向上平移个单位时，函数图象与直线有个交点；当图象向上平移个单位时，与直线有个交点；所以若直线与函数图象有个交点，则向上平移单位的范围应为 .故的取值范围为 .21. 最多次，方案如下：第一次把枚金币分成两组，放在天平上称，天平一定不平，轻的一组（个金币）含假币；第二次把含假币的个金币分成三组：，，．把含个金币的两组放在天平上称．如果平，说明剩下的一个是假币（称量结束）；如果不平，轻的一组（个金币）含假币；第三次把含假币的个金币分成两组，放在天平上称，天平不平，轻的一组（个金币）含假币；第四次把含假币的个金币中的两个放在天平上称．如果平，说明剩下的一个是假币；如果不平，轻的一个是假币．22. （1）设，，则，，所以．（2）因为方程在区间内有两个不相等的实根，所以在有两个不等实根，令，，则，所以在上有两个不等的实根，所以解得．23. （1）当时，，设，则，因为，所以，，所以，，所以，．所以在区间上为增函数，所以在区间上的最小值为．（2）在区间上恒成立恒成立．设，，则函数在区间上是增函数．所以当时，取最小值，即，于是当且仅当时，函数恒成立，故．即实数的取值范围是．24. （1）①②③．不等式的解集为．（2）若的定义域为，则恒成立，即恒成立．又当且仅当时，即时，取得最小值为．所以．25. 令，，，当，即，即当时，方程恰有一根落在区间内．26. 设，通过观察函数的草图得，，所以方程有一根在内，设为，因为，所以．又因为，所以，如此继续下去，得，，，，，，，，，，因为，精确到的近似值都为，所以方程的一个近似解为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为．27. " 或 "为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题．当为真命题时，解得；当为真命题时，解得．因为．所以的取值范围为．28. （1）因为，故有，再根据恒成立，可得，即，所以，求得．（2）不等式，即，所以求得，即不等式的解集为．29. 将看成关于的一次函数，于是由题意得即解之得或．30. 由得，．因为，所以此方程的判别式．因为，所以，故，所以方程有不相等的两个实根，令，则是二次函数．由，且，得．由二次函数的图象知，方程，即方程必有一实根属于．31. （1），，①当时，若，则；若，则．当时，的单调增区间为，单调减区间为；②当时，若，则；若，则，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意知，，得，则，，．在区间上不是单调函数，且，即解得，故的取值范围是．32. （1）设，则解得．（2）设方程的两根为，，则．所以，当时，，当时．．33. （1）所以函数最小正周期是．令，解得，函数单调递增区间为．（2）因为，所以，所以的最小值，由恒成立，得恒成立，所以的取值范围为．34. （1），设，，则，所以，所以当时，．（2）当，所以值域为，当时，则有．①当时，值域为；②当时，值域为，而依据题意有的值域是值域的子集，则或所以或．（3）化为在上有两解，换，则在上解的情况如下：①当在上只有一个解或相等解，有两解或，所以或．②当时，有惟一解，，③当时，有惟一解，，故．35. （1），，，定义域，又：，，即，故为奇函数；（2）由可得①由题意可知：方程①在内有两个不等实根，①式可化为，即②显然，②式又可化成③，利用图象可知，当时方程③在内有两个不等实数根，解得．36. （1）当，时，．令，得或．所以函数的零点为和．（2）方程有两个不同实根．所以．即对于任意，恒成立．所以，即，解得．所以实数的取值范围是．37. （1）方程在上有且仅有一个实根，所以方程在上有且仅有一个实根，①在上有且仅有一个实根时，所以，所以，所以，②时，，，所以，符合题意，所以的取值范围是．（2）①当时，，当时，，②当时，，函数在上递增，所以，由得，综上，当时，；当时，．38. （1）没有不动点，等价于方程没有实数根，所以，所以．（2）即，令，在上递增，，，所以，．（3）由可得，即，设，所以有不动点等价于关于的一元二次方程存在正根，所以，所以，其中等号当且仅当时成立，所以．39. （1）设且，则．或（舍）．，．又为奇函数，．，整理得．，．（2）根据复合函数单调性判断方法可知，在上单调递减．要使对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立．为奇函数，恒成立．又在上单调递减．，当时恒成立．，当时恒成立．而当时，．．40. （1）由得，或．（2）对恒成立．令，当时，，．41. （1）因为，所以．由，，得，．当，时，所以，列表如下递增极大值递减极小值递增符合函数在与时都取得极值的要求，所以，．（2），由（1）可知．当时，为极大值，而，所以为最大值．要使，恒成立，则只需即，解得或．42. （1）因为，所以．因为时，，所以在上是增函数，所以的最小值是，最大值是．（2）令，则．因为，所以，所以在上是减函数．从而，即．所以当时，函数的图象总在的图象的下方．43. （1）时，，，，切点坐标为，所以切线方程为．（2）恒成立，即恒成立．又，则当时，恒成立．令，只需小于的最小值，．因为，所以，所以当时，所以在上单调递减，所以在的最小值为则的取值范围是．44. 命题：“方程恰好有两个不相等的负根”为真命题时，即解得；命题：“不等式存在实数解”为真命题时，，即，解得；若为真命题，为假命题，则，一真一假，当真假时，的值不存在；当假真时，；综上，实数的取值范围是．45. （1），所以；当时，．（2），其中，所以当时，，，根据对称性可知在上的最大值为．（3），所以．46. （1）因为为偶函数，所以恒成立，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，，因为，所以．（2）由（1）知，设，则不等式即为，所以，所以原不等式解集为．（3）在上恒成立，即：在上恒成立，令，则在时恒成立，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以．47. （1）当时，．由，得则当，即时，．（2）根据题意，当时，恒成立，即恒成立．当时，适合题意；当时，可以转化为对恒成立．而由（1），得的最大值为，于是解得．综上，实数的取值范围是．48. （1），分类讨论如下：（i）函数不是二次函数或一次函数时，即时，函数为恒大于零，满足条件；或（ii）函数为二次函数时，．综上所述：实数的取值范围是．（2）若函数有两个不同的零点，则函数必为二次函数，即且或或且综上所述，实数的取值范围是．49. （1）图象如答图所示．（2）由得．又因为，所以有，即有．（i）若，则，，故；（ii）若，则，恒成立，故；（iii）若，则，，故．综上可知，的范围为．50. （1）由是定义在的奇函数，所以可得．经检验符合题意．（2）由（1）可得，，则，所以所以，所以函数在上是减函数．（3）可得，因为函数为上的减函数，所以有，，所以，解得．51. （1）由得又的解集为，所以当时，不合题意；当时，解得（2）记则所以因此的取值范围为．52. （1）①当时，，，所以；②当时，，求得，所以；③当时，，求得，所以．综上所述，不等式的解集为或．（2）由（1）易得，若，恒成立．则只需，解得．53. （1），．由，，得，．所以，函数的单调区间如下表：极大值极小值所以函数的递增区间是和，递减区间是．（2），当时，为极大值．当时，为极小值，而，，则为最大值．要使，恒成立，只需，解得或．54. （1）不等式等价于或或解得：或或．所以或，所以不等式的解集为或．（2）因为所以．若，恒成立，则只需，即．综上所述．55. （1），所以，所以．（2）由（1）知，，因为当且仅当，即时，“”成立，当时，取得最小值，因为对任意实数，都成立，所以，所以的取值范围为．56. （1）当时，，即，原不等式等价于，解得，故不等式的解集为．（2），原不等式等价于，由三角绝对值不等式的性质，得，原不等式等价于，又，所以，解得．57. （1）由得，则，即解得，所以不等式的解集为．（2）因为，又对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，解得或，所以实数的取值范围是．58. （1），因为且，所以，当时取等号，即的最小值为，所以，．（2）因为恒成立，所以恒成立，当时，取得最小值，所以，即实数的最大值为．59. （1）由题设知：，如图，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图所示），知定义域为．（2）由题设知，当时，恒有，即，由（），所以，即．60. （1）当时，．当时，不等式化为，所以，所以；当时，不等式化为，恒成立；。
2023届新高考数学复习：专项(分段函数零点问题 )经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（分段函数零点问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．54．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x ax a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x a x ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)7,2,28⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,228⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ）A ．1B ．74C ．2D ．313．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．14-C ．13-D ．15-18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ 则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．[)1,-+∞ C ．(),0∞- D ．(],1-∞【答案】A【答案解析】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-Q()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π， 作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【答案解析】当0x >时，0x -<，()3f x x -=当0x <时，0x ->，()e xf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【答案解析】当0a ≤时，对任意的0x ≥，()()22212f x x a x a =-+++在[)0,∞+上至多2个零点，不合乎题意，所以，0a >.函数()22212y x a x a =-+++的对称轴为直线12x a =+，()()22214247a a a ∆=+-+=-. 所以，函数()f x 在1,2a a ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()2f a a =-.①当470a ∆=-<时，即当704a <<时，则函数()f x 在[),a +∞上无零点， 所以，函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有5个零点，当0x a ≤<时，111222a x a -≤-+<，则()11222a x a πππ⎛⎫-≤-+< ⎪⎝⎭，由题意可得()5124a πππ-<-≤-，解得532a ≤<，此时a 不存在；②当Δ0=时，即当74a =时，函数()f x 在7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上只有一个零点， 当70,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 2f x x π=-，则7022x ππ≤<，则函数()f x 在70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有3个零点，此时，函数()f x 在[)0,∞+上的零点个数为4，不合乎题意；③当()20Δ470f a a a ⎧=-≥⎨=->⎩时，即当724a <≤时，函数()f x 在[),a +∞上有2个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有3个零点，则()3122a πππ-<-≤-，解得322a ≤<，此时724a <<； ④当()20Δ470f a a a ⎧=-<⎨=->⎩时，即当2a >时，函数()f x 在[),a +∞上有1个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有4个零点，则()4123a πππ-<-≤-，解得522a ≤<，此时，522a <<.综上所述，实数a 的取值范围是75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】B【答案解析】()()11,111,1x x x f x x x ⎧--≤⎪-=⎨->⎪⎩，故()()1,11111,1x x x f x x x ⎧-≤⎪-+=⎨-+>⎪⎩，则函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点等价于()11f x ax -+=有两个不同的解， 故()11,y f x y ax =-+=的图象有两个不同的交点，设()()()()1,01111,011,1x x x g x f x x x x x x ⎧⎪-≤≤⎪=-+=--<⎨⎪⎪-+>⎩又(),y g x y ax ==的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，若0a =，此时两个函数的图象有两个不同的交点， 当0a ≠时，考虑直线y ax =与()()201g x x x x =-≤≤的图象相切，则由2ax x x =-可得()2100a ∆=--=即1a =， 考虑直线y ax =与()11(1)g x x x=-+≥的图象相切，由11ax x =-+可得210ax x -+=，则140a ∆=-=即14a =.考虑直线y ax =与()2(0)g x x x x =-≤的图象相切，由2ax x x =-可得()2100a ∆=+-=即1a =-， 结合图象可得当114a <<或1a <-时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，114a <<或1a <-或0a =， 故选：B.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【答案解析】令()2t f x =+，当1x <-时，1()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当10x -<<时，1()(,2)f x x x=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，当210e <<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞， 当21e x >时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞， 所以，()g x 的零点等价于()f t 与=2y -交点横坐标t 对应的x 值，如下图示：由图知：()f t 与=2y -有两个交点，横坐标11t =-、201t <<： 当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21(0,)e上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭有一个解.综上，()g x 的零点共有4个. 故选：B7．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x ax ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)72,8⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,28⎫⎡⎤⋃⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭ 【答案】A【答案解析】①若2x =是一个零点，则需要2()43()f x x ax x a =-+> 只有一个零点， 即有2a ≥，且此时当x a >时，需要2430()x ax x a -+=>只 有一个实根， 而221612162120a ∆=-≥⨯-> ，解方程根得2x a =±，易得2a 2a <<<2a 即当2a ≥ 时， ()f x 恰有 2个零点，122,2x x a ==. ②若2x =不是函数的零点，则2x a =为函数的 2 个零点，于是22Δ161202a a a a ⎧<⎪=->⎨⎪<⎩ ，解得：1.2a << 综上:[)2,2a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<【答案】D【答案解析】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10e x <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10ek -<<，故选：D ．9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --【答案】B【答案解析】由题设，画出[0,)+∞上()f x 的大致图象，又()f x 为奇函数，可得()f x 的图象如下：()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点.由图象知：()f x 与y a =有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为12344,,,,x x x x x ， 1、12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-；2、30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-；3、45,x x 关于3x =轴对称，则456x x +=；1234512∴++++=-a x x x x x 故选：B10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【答案解析】令(),()0t f x F x ==，则3()202f t t --=， 作出()y f x =的图象和直线32+2y x =，由图象可得有两个交点，设横坐标为12,t t ，∴120,(1,2)t t =∈.当1()f x t =时，有2x =，即有一解；当2()f x t =时，有三个解， ∴综上，()0F x =共有4个解，即有4个零点. 故选：A 二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD【答案解析】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ） A ．1B ．74C ．2D ．3【答案】BD【答案解析】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--≥-=⎨<⎩ ， ∵函数()()y f x g x =-恰好有两个零点，∴方程()()0f x g x -=有两个解，即()(2)0f x f x b +--=有两个解， 即函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ，作函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象如下， 当12x =-和52x =，即115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，当724b <≤时，有不止两个交点， 当2b >或74b =时，满足函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点， 当74b <时，无交点， 综上，2b >或74b =时满足题意，故选：BD.13．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点【答案解析】当0,x ≤()22211y x x x =--=++-，故()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩的图像如图所示，对AC ，函数()()g x f x m =-有3个零点，相当于()y f x =与y m =有3个交点，故m 的取值范围是()0,1，直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点，AC 对； 对B ，函数()f x 在(),0∞-上先增后减，B 错；对D ，如图所示，联立222y x y x x =+⎧⎨=--⎩可得解得20x y =-⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，由图右侧一定有一个交点，故函数()f x 的图象与直线2y x =+不止一个公共点，D 错.14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 【答案】AD【答案解析】()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，作出()f x 的图象，如图所示：因为()()g x f x a =-，所以()g x 的零点个数即为函数()y f x =与y a =的图象的交点的个数，对于A ：若()g x 有1个零点，则函数()y f x =与y a =的图象仅有一个公共点，由图象得0a =，故A 正确；对于B ：由图象得()0f x ≥恒成立，故B 错误；对于C ：若()g x 有3个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有三个公共点，由图象得1a =或者102a <<，故C 错误；对于D ：若()g x 有4个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有四个公共点，由图象得112a ≤<，故D 正确. 故选：AD ．15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点【答案】AC【答案解析】当0a >时，令()f x t =，由()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-. 作出函数()f x 的图象，如图1所示，易得()f x t =有4个不同的实数解， 即当0a >时，()g x 有4个零点.故A 正确，B 错误； 当a<0时，令()f x t =，所以()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-（舍） 作出函数()f x 的图象，如图2所示，易得()f x t =有1个实数解， 即当a<0时，()g x 有1个零点.故C 正确，D 错误. 故选：AC.16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；【答案】ACD【答案解析】作出函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩的图象如图所示.所以max min ()1,()1f x f x ==-.对于A ：任取12,[1,)x x ∈+∞，都有()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=.故A 正确； 对于B ：因为151111,,222222kf f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111?121511*********k k f f f k +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- .故B 错误； 对于C ：由1()(2)2f x f x =-，得到1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()2(2)k f x f x k =+.故C 正确；对于D ：函数()ln(1)y f x x =--的定义域为()1,+∞.作出()y f x =和ln(1)y x =-的图象如图所示：当2x =时,sin2ln10y π=-=;当12x <<时,函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点;当2x >时,因为2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫ ⎝>=⎭，所以函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点,所以函数()ln(1)y f x x =--有3个零点.故D 正确.故选：ACD17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0B ．14-C ．13-D ．15-【答案】BD【答案解析】在0x ≤上()f x 单调递增且值域为(,1]-∞； 在01x <≤上()f x 单调递减且值域为[0,)+∞； 在1x >上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞； 故()f x 的图象如下：由题设，()[2()]g x f f x a =+有7个零点，即[2()]f f x a =-有7个不同解，当0a -<时有2()1f x <-，即1()2f x <-，此时()g x 有1个零点；当0a -=时有2()1f x =±，即1()2f x =±，∴1()2f x =-有1个零点，1()2f x =有3个零点，此时()g x 共有4个零点；当0lg 2a <-≤时有12()lg 21f x -<≤-或12()12f x ≤<或12()2f x <≤， ∴1lg 21()022f x --<≤<有1个零点，11()42f x ≤<有3个零点，1(1)2f x <≤有3个零点，此时()g x 共有7个零点；当lg 21a <-≤时有lg 212()0f x -<≤或102()2f x <<或22()10f x <≤， ∴lg 21()02f x -<≤有1个零点，10()4f x <<有3个零点，1()5f x <≤有2个零点，此时()g x 共有6个零点；当1a ->时有102()10f x <<或2()10f x >， ∴10()20f x <<有3个零点，()5f x >有2个零点，此时()g x 共有5个零点； 综上，要使()g x 有7个零点时，则lg 20a -≤<，(lg 20.30103≈) 故选：BD18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16【答案】AD【答案解析】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ∴函数有两个零点0或3．∴A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝12； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ∴函数有三个零点12或2或6．∴B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ∴函数有三个零点log 415或15或45．∴C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ∴函数有两个零点16或48．∴D 对； 故选：AD ．三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________. 【答案】50m -<<【答案解析】由答案解析式知：在[0,1]上()f x 为增函数且()[,5]f x m m ∈+， 在(1,)+∞上，0m ≠时()f x 为单调函数，0m =时()5f x =无零点， 故要使()f x 有两个不同的零点，即1x =两侧各有一个零点，所以在(1,)+∞上()f x 必递减且()(,5)f x m ∈-∞+，则050m m <⎧⎨+>⎩，可得50m -<<.故答案为：50m -<<20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】)⎡⎡⎣⎣【答案解析】令()t f x =，则()()g x f t =，由于函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，所以()()0g x f t ==必有两解，所以20a -≤<或2a ≥.当20a -≤<时，()f x 的图像如下图所示，由图可知，()y f t =必有两个零点122,0t t =-=，由于()2f x t =有两个解，所以()1f x t =有一个解，即242a -≤-，解得0a ≤<.当2a ≥时，()f x 的大致图像如下图所示，()y f t =必有两个零点342,2t t =-=，由于()3f x t =有两个解，所以()4f x t =有一个解，所以242a -<，解得2a ≤<综上所述，实数a 的取值范围是)⎡⎡⎣⎣ .故答案为：)⎡⎡⎣⎣21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案解析】因为函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0()ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，-,0()ln(-),0ax x f x x x ≥⎧-=⎨<⎩， 因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点， 所以函数()y f x =与()y f x =-恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点，,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点， 设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1(,0)ea ∈-.故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______． 【答案】[]32,28--【答案解析】设(]4,8x ∈，则(]40,4x -∈，则[]6()(4)44(4)422x f x f x f x -=-+=-=-，设(]8,12x ∈，则(]80,4x -∈，则[][]()(4)44(4)4(8)4f x f x f x f x =-+=-=-+1016(8)1622x f x -=-=-，则(](](]2610220,4()4224,816228,12x x x x f x x x ---⎧-∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈⎪⎩，，，，则(3)(7)(11)0f f f ===，函数()f x 图象如下：由2()()()0g x f x t f x =+⋅=，可得()0f x =，或()f x t =-， 由()0f x =，可得3x =，或7x =，或11x =，则()f x t =-仅有一根，又(8)f =810162228--=，(12)f =1210162232--=， 则2832t ≤-≤，解之得3228t -≤≤-， 故答案为：3228t -≤≤-.23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．【答案】12【答案解析】当0x ≥时，令()e 10xf x =-=，解得0x =，故()f x 在[)0+∞，上恰有1个零点，即方程20ax x a ++=有1个负根.当0a =时，解得0x =，显然不满足题意；当0a ≠时，因为方程20ax x a ++=有1个负根，所以2Δ140.a =-≥ 当2Δ140a =-=，即12a =±时，其中当12a =时，211022x x ++=，解得=1x -，符合题意；当12a =-时，211022x x -+-=，解得1x =，不符合题意； 当2140a ∆=->时，设方程20ax x a ++=有2个根1x ，2x ，因为1210x x =>，所以1x ，2x 同号， 即方程20ax x a ++=有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，12a =．故答案为：0.5.24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】12m <≤【答案解析】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标， 当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点， 所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．【答案】14322---，，， 【答案解析】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解．由方程②可得320t t -=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x ---=解得4x =-或2x =-；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x ---=，解得3x =-．综上，函数()h x 的零点为14322---，，，，共四个零点． 故答案为：14322---，，，. 26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】11(,)505504-【答案解析】由函数在[0,4)x ∈上的答案解析式作出如图所示图像，由(4)()f x f x a +=+知，函数()f x 是以4为周期，且每个周期上下平移|a |个单位的一个函数，若使[0,2021]x ∈时，存在R k ∈，方程()()g x f x k =+在[0,2021]x ∈上恰有2021个零点，等价于()f x k =-在[0,2021]x ∈上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k -∈时满足条件，且必须每个周期内均应使k -处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当0a ≥时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f <， 即(2018)(2)50415042f f a a =+=+<，解得1504a <，即1[0,504a ∈ 当a<0时，需使最后一个极大值(2021)1f >， 即(2021)(1)50525051f f a a =+=+>，解得1505a >-，即1(,0)505a ∈-， 综上所述，11(,505504a ∈-故答案为：11,505504⎛⎫- ⎪⎝⎭27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案解析】当0x <时，令()0f x =可得：21k x =， 当0x >时，令()0f x =可得：21x k x-=，令()()()221010x x g x x x x ⎧<⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩， 若01x <<，()21x g x x -+=， ()320x g x x -'=<，()g x 为减函数， 若1x ≥，()21x g x x -=， ()320x g x x -+'==，2x =， 若[)1,2x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数， 若()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，()124g = 画出()g x 的图像，如下图：如要()f x 有4个零点，则104k <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________． 【答案】3(21)2n - 【答案解析】当312x ≤≤时，f （x ）＝8x ﹣8， 所以()218()82g x x =--，此时当32x =时，g （x ）max ＝0； 当322x ≤＜时，f （x ）＝16﹣8x ，所以g （x ）＝﹣8（x ﹣1）2+2＜0； 由此可得1≤x ≤2时，g （x ）max ＝0．下面考虑2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况． 当2n ﹣1≤x ≤3•2n ﹣2时，由函数f （x ）的定义知()11112222n n x x f x f f --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为13122n x-≤≤， 所以()22251(2)82n n g x x --=--， 此时当x ＝3•2n ﹣2时，g （x ）max ＝0；当3•2n ﹣2≤x ≤2n 时，同理可知，()12251(2)802n n g x x --=--+＜．由此可得2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）max ＝0． 综上可得：对于一切的n ∈N *，函数g （x ）在区间[2n ﹣1，2n ]上有1个零点， 从而g （x ）在区间[1，2n ]上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为()3212n -． 故答案为()3212n -． 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0x x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________【答案】23a <≤.【答案解析】函数()f x 当0x >时是对勾函数，因为112x x x x -+=+≥=，当且仅当10x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩即1x =时，取最小值．所以函数最小值为2，且在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．当0x ≤时，2x y -= 是减函数，且21x -≥，所以2x y -=-为增函数，且21x --≤-，所以函数()42x f x -=-为增函数，且()3f x ≤，函数图像如图所示．令32t x =-，函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，可以看成函数()y f t a =-恰有三个不同的零点，函数()f t 的图像与直线y a =有三个交点．由图像可知23a <≤．30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.【答案】01m ≤<【答案解析】当0x ≥时,2'()121212(1)f x x x x x =-=-，在区间()0,1上，()()'0,f x f x <单调递减，在区间()1,+∞上，()()'0,f x f x >单调递增，故函数在1x =处取得极小值()11f =-，据此绘制函数()f x 的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数232y x x =-与函数y m =有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间(]1,0-和区间()0,1内，观察二次函数的图像可得m 的范围是01m ≤<.。
函数零点存在性定理基础题
函数零点存在性定理基础题1．函数()25x f x =-存在零点的区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 【答案】B ．【解析】函数单调递增，并且()()()23130f f ⋅=-⨯<，所以在区间()3,2上存在一个零点．2．若函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是（）A ．1a >B ．1a <-C ．1a <-或1a >D ．11a -<<【答案】C ．【解析】由零点存在性定理得：(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >．选C ．3．函数f （x ）＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（1e ，1）和（3，4）D ．（e ，＋∞） 【答案】B ．【解析】∵f （1）＝－2<0，f （2）＝ln2－1<0，又∵f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数， ∴在（1，2）内f （x ）无零点．又∵f （3）＝ln3－23>0，∴f （2）·f （3）<0． ∴f （x ）在（2，3）内有一个零点．故选B ．4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有部分对应值表如下： 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ）A ．()1-∞,B ．()12,C ．()23,D ．()3+∞,()1f x ax =+(1,1)-a【答案】C ．【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<，根据函数的零点存在性定理，一定存在零点的区间是()2,3．故选C ．5．函数f （x ）=log 3x －8+2x 的零点一定位于区间（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（5，6）【答案】C ．【解析】函数f （x ）=log 3x -8+2x 为增函数，∵f （3）=log 33-8+2×3=-1＜0，f （4）=log 34-8+2×4=log 34＞1＞0，∴函数在（3，4）内存在零点．故选C ．6．方程log 3x +x =3的解所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）【答案】C ．【解析】可构造函数f （x ）=log 3x +x -3，方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f （x ）=log 3x +x -3零点所在的区间，又函数f （x ）=log 3x +x -3在定义域上单调递增，结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可．由于f （0）不存在，f （1）=-2，f （2）=log 32-1＜0，f （3）=1＞0，故零点存在于区间（2，3），方程log 3x +x =3的解所在的区间是（2，3）故选C ．。
高三数学《导数与函数的零点问题》测试题含答案
《导数与函数的零点问题》测试题含答案一.选择题：本大题共12小题，第1到11小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，第12题为多选题，全部选对为正确. 1. 函数()326xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,32. 已知函数()328f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为（精确度为0.01）（ ） A ．1.50 B ．1.66 C ．1.70 D ．1.753. 函数12()()2xf x x=+的零点个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.04. 已知函数()ln(1)2f x x x =++-，在下列区间中，函数()f x 一定有零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,45. 已知函数()xe f x a x=-.若()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)eB ．(0,1)C ．(0,)eD ．(0,1) 6. 若方程lg ||sin ||0x x -=则其解的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．5 7. 设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++⋅的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．(]3,3-C ．[)3,3-D ．(),3-∞ 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当[0,1)x ∈时，21()21x xf x ，则当函数1()()3g x f x kx =--在[0,7]上有三个零点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．12,415⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．22,915⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．22,915⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．221,9153⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭9. 设函数tan ,(2,2),22()3cos ,[2,2]22x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈-+⎪⎪=⎨⎪∈++⎪⎩（k Z ∈），()sin ||g x x =，则方程()()0f xg x -=在区间[3,3]ππ-上的解的个数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 10. 已知M 是函数()2112sin 2x f x ex π--⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[]3,5x ∈-上的所有零点之和，则M 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1011. 已知函数22,0,(),0,x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩若函数()(())g x f f x =恰有8个零点，则a 的值不可能为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．1212.（多选题）若关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中正确的说法是（ ）A ．当0m =时，122,3x x ==B ．14m >-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．当0m >时，1223x x <<< 二.填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上 13. 方程4220x x --=的解为______.14. 若函数()y f x =的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数()y f x =在[]1,6x ∈上的零点至少有______个.15. 关于x 的方程2(3)4210m x mx m +-+-=有两根12,x x ，且101x <<，212x <<，则实数m 的取值范围是__________16. 已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =________三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知函数3()sin f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数.（Ⅰ）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（Ⅱ）求证：()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.18.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+.19.已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ （Ⅰ）若0,a ≥试讨论函数()f x 的单调性;（Ⅱ）当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:ln 20.693 ,ln3 1.099 ,ln5 1.609,ln 7 1.946====20.已知函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭有三个零点，求实数a 的取值范围.21.已知函数2213()ln 224f x x ax x ax x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，其中0a e <<.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）讨论函数()f x 零点的个数；（Ⅲ）若函数()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e <.22.已知函数2()ln f x ax x x =--，a R ∈．（Ⅰ）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）若10a -，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．导数与函数的零点问题答案一.选择题： 1. C因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点．故选：C. 2. B由表知函数零点在区间(1.625,1.6875) ,所以近似解可取为1.66,选B. 3. C()12()2x f x x =+，当0x >时，()12()02x f x x=+>；当0x <时，()f x 单调递减且()10f -= ，故函数有且仅有一个零点 故选：C4. B()ln(1)2f x x x =++-在(1,)-+∞是连续的增函数，(1)ln 210,(2)ln30f f =-<=>，函数()f x 一定有零点,且在区间[]1,2上. 故选:B 5. A当0a =时，()x e f x x =，令=0x e x，则>=00x xe e ，恒成立，=0x e x ∴无解，即()x ef x x =无零点.故选：A.6. C方程lg ||sin ||0x x -=，即lg ||sin ||x x =，令lg y x = ，()sin f x x =，易知它们都是偶函数，分别画出它们的图像，由图可知它们有6个交点. 故选：C . 7. B作出函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下图所示：可得：124x x +=-，341x x =，所以()12234333114x x x x x x x ++=+-， 因为230log 2x <-≤，所以3114x ≤<，所以331343x x -<-≤，所以3122341()x x x x x ++的范围是(]3,3-，故选：B.8. D因为(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 的周期为2，又因为()f x 为奇函数，()()f x f x =--， 令1x =，得(1)(1) f f =--，又(1)(1)f f -=，所以(1)(1)0f f =-=，当(1,1)x ∈-时，212()12121x x xf x -==-++，由221x y =+单调递减得函数()f x 在(1,1)-上单调递增， 所以(1)()(1)f f x f -<<，得11()33f x -<<，作出函数图象如图所示， 由图象可知当13y kx =+经过点13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时，29k =-，当13y kx =+过点15,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时，215k =-，当13y kx =+经过点(1,0)时，13k =-，所以当函数1()()3g x f x kx =--在[0,7]上有三个零点时，22915k -<≤-或13k =-.故选：D.9. A由题意得，方程()()0f x g x -=在区间[3,3]ππ-上的解的个数即函数()f x 与函数()g x 的图像在区间[3,3]ππ-上的交点个数．在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当02x π<<时，sin tan x x <恒成立，易得交点个数为7.选A ．10. C 因为()212112sin 2cos 2x x f x ex e x ππ----⎡⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()2f x f x =-，因为()10f ≠，所以函数零点有偶数个，两两关于1x =对称.当[]1,5x ∈时， ()(]210,1x y e--=∈，且单调递减；[]2cos π2,2y x =∈-，且在[]1,5上有两个周期，因此当[]1,5x ∈时， ()21x y e --=与2cos πy x =有4个不同的交点；从而所有零点之和为428⨯=，选C.11. A易知，当0a ≤时，方程()0f x =只有1个实根， 从而()(())g x f f x =不可能有8个零点， 则0,a >()0f x =的实根为2,a -0,a . 令()f x t =，则(())()0f f x f t ==， 则2,0,t a a =-数形结合可知，直线y a =与()f x 的图象有2个交点，直线0y =与()f x 的图象有3个交点，所以由题意可得直线2y a =-与()f x 的图象有3个交点，则必有224aa ->-，又0a >，所以8a >.故选：A 12. ABD当0m =时，()()230x x --=，∴122,3x x ==，故A 对； 方程()()23x x m --=化为2560x x m -+-=，由方程有两个不等实根得()2546140m m ∆=--=+>，∴14m >-，故B 对； 当0m >时，画出函数()()23y x x =--和函数y m =的图象如图，由()()23x x m --=得，函数()()23y x x =--和函数y m =的交点横坐标分别为12,x x ，由图可知，1223x x <<<，故C 错，D 对；故选：ABD ． 二.填空题： 13. 1x =设20x t =>,即转化为求方程220t t --=的正实数根 由220t t --=得2t =或1t =-(舍)，所以=22x t =，则1x = 故答案为：1x = 14. 2由表得(1)(2)0,(4)(5)0f f f f <<，因为函数的图像是连续不断的， 所以函数在（1,2）内至少有一个零点，在（4,5）内至少有一个零点， 所以函数()y f x =在[]1,6x ∈上的零点至少有两个. 故答案为：2 15. 11(2,)2. 设2()(3)421f x m x mx m =+-+-，()f x 的零点为12,x x ，且101x <<，212x <<，需满足30(0)210(1)20(2)2110m f m f m f m +>⎧⎪=->⎪⎨=-+<⎪⎪=-+>⎩ 或30(0)210(1)20(2)2110m f m f m f m +<⎧⎪=-<⎪⎨=-+>⎪⎪=-+<⎩，解得1122m << 或m ∈∅，实数m 的取值范围是11(2,)2.故答案为:11(2,)216. 12()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++设1t x =-，则()()21ttf t t a e e-=-++，定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++=所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称，要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()21210a e e-⨯++=，解得12a =， 故答案为：12. 三.解答题：17.解：（Ⅰ）()2cos 3,f x x x '=-()01f '=，又()00f =，所以切点为()0,0. 故()f x 在0x =处的切线方程为y x =；（Ⅱ）2()cos 3,f x x x '=-因为()f x '为偶函数，且()01f '=，则只需证明()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点即可.因为()sin 6f x x x ''=--，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ''<，故()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 因为()010f '=>，23022f ππ⎛⎫⎛⎫'=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由零点存在定理，可知存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，所以()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点， 因此()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.18.解：（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x xx-'=++-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e-+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+.19. 解：（Ⅰ）()2222122'2a ax x a f x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+> 当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减； 当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得104x a+<< ∴()f x在⎛ ⎝⎭单调递减； 令()0f x '>，解得x >()f x在1,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （Ⅱ）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2a ax x ax ax x +-=-+ 即方程22ln 0a ax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=- ()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ=注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m ()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220a ax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+-- 令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯-> ()[]002,3,2x x ∴∈∴=20.解：（Ⅰ）222112(22)1()ln ()1(1)(1)x a x a x f x x a f x x x x x x -+-+⎛⎫'=-∴=-= ⎪+++⎝⎭当2(22)40,02a a ∆=--≤≤≤时，()0f x '≥，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，(0,1(1)x a a ∈--++∞时()0f x '>，即()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；(11x a a ∈--时()0f x '<，即()f x 在(11a a --上单调递减；综上：当2a ≤时， ()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时， ()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；在(11a a --上单调递减；（Ⅱ）因为单调函数至多一个零点，所以2a >，因为(1)0,111f a a =-<<-所以(10,(10,f a f a ->-<因为0,();,()x f x x f x →→-∞→+∞→+∞而()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；在(11a a --上单调递减；所以()f x 在(0,1a -上有且仅有一个零点，在(11a a --上有且仅有一个零点（即1），在(1)a -++∞上有且仅有一个零点，所以当2a >时，函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭有三个零点. 21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >,()()()211313ln 2ln 22222f x x a x x ax a x x a x x a a x x⎛⎫'=-+-⋅+-=-+-+- ⎪⎝⎭ ()()ln ()(ln 1)x a x x a x a x =---=--,令()0f x '=,得x a =或x e =,因为0a e <<,当0x a <<或x e >时,()0f x '>,()f x 单调递增；当a x e <<时,()0f x '<,()f x 单调递减，所以()f x 的增区间为()0,a ,(),e +∞；减区间为(),a e （Ⅱ）取{}=min 1,2a δ,则当()0,x δ∈时,102x a -<,ln 0x <,3204a x -> 所以()13ln 2024f x x x a x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又因为0a e <<,由（1）可知()f x 在(0,)a 上单调递增,因此,当(]0,x a ∈,()0f x >恒成立,即()f x 在(]0,a 上无零点.；下面讨论x a >的情况： ①当04e a <<时,因为()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f a >,()1320244e f e e e a e a e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()222224*********f e e e a e a e e ⎛⎫⎛⎫=-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 根据零点存在定理,()f x 有两个不同的零点； ②当4e a =时,由()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f e =，此时()f x 有唯一零点e ； ③若4e a e <<,由()f x 在(),a e 单调递减,(),e +∞单调递增,()()04e f x f e e a ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭, 此时()f x 无零点；综上,若04e a <<,()f x 有两个不同的零点；若4e a =,()f x 有唯一零点e ；若4e a e <<,()f x 无零点 （Ⅲ）证明：由（2）知,04e a <<,且12a x e x <<<, 构造函数()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(,)x a e ∈, 则()()()()4232ln 1ln 1e e F x x a x a x x x ⎛⎫'=----- ⎪⎝⎭()43243ln 1x ax e ax e x x -+-=-, 令4324()g x x ax e ax e =-+-,(,)x a e ∈,因为当(,)x a e ∈时,220x e ax +->,220x e -<,所以43242222()=()()<0g x x ax e ax e x e ax x e =-+-+--又ln 1ln 10x e -<-=,所以()0F x '>恒成立,即()F x 在(,)a e 单调递增,于是当a x e <<时,()()0F x F e <=,即 ()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 因为1(,)x a e ∈,所()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,又12()()f x f x =,所以()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 因为2x e >,221e e e x e>=,且()f x 在(),e +∞单调递增,所以由()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,可得221e x x <,即212x x e <22.解：（Ⅰ）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x +-'=--=，(0)x >． 令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--． （Ⅱ）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>． 所以当0a 时，221()0ax x f x x --'=<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点．因为当10a -时， ()110f a =-<，221()0e e a f e e -+=>， 所以当10a -时，函数()f x 在(0,)+∞上有零点．综上，当10a -时，函数()f x 有且只有一个零点．（Ⅲ）由（2）知，当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以0a >．由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x --'=>，令2()21g x ax x =--． 因为(0)10g =-<，20a >，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0<g x ，()0f x '<；当0(x x ∈，)+∞时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(x ，)+∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即2000ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->，又因为函数()2ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上是增函数，且()10h =，所以01x >，得0101x <<． 又由200210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-，所以01a <<． 以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点．当01a <<时，21211()10a a g a a a a -=--=>，所以011x a<<． 因为22211()10a e e a f e e e e -+=-+=>，且0()0f x <． 所以函数()f x 在01(,)x e上有一个零点． 又因为2242222()(1)10a f ln a a a a a a =----=>（因为ln 1)x x -，且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点． 所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)． 下面证明：ln 1x x -．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x -'=-=，(0)x >．令()0t x '=，得1x =． 当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0t x '>．所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．所以当1x =时，()t x 有最小值()10t =．所以()1ln 0t x x x =--，得ln 1x x -成立．。
(必修第一册)函数的零点与方程的解(同步练习)(含解析)
4.5.1函数的零点与方程的解一、单选题1．以下函数在区间（0，12）上必有零点的是（ ） A ．y ＝12xB ．y ＝143x -C ．y ＝ln （x +45）D ．y ＝2x +12．若曲线224,43,x x ay x x x a ⎧->=⎨-+≤⎩与x 轴有且只有2个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．3a ≥C ．12a ≤≤或3a ≥D ．12a ≤<或3a ≥3．函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（10，12）C ．（5，6）D ．（20，24）4．设f (x )＝0.8x －1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列哪个区间（ ） A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e )D ．(e ，3)5．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20212021log xf x x =+，则在R 上方程()0f x =的实根个数为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．2021二、多选题 6．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（ ） A ．y =﹣2xB ．y =x ﹣6C ．y =3xD ．y =x 2﹣3x +47．已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x <D．1223+≥+x x 8．已知函数2ln ,0,()=4,0.x x f x x x x >⎧⎨--≤⎩关于x 的方程()0f x t -=的实数解个数，下列说法正确的是（ ）A ．当0t ≤时，方程有两个实数解B ．当4t >时，方程无实数解C ．当04t <<时，方程有三个实数解D ．当4t =时，方程有两个实数解 三、填空题9．若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间1(,3)2上有零点，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数()y f x =在区间[]16，上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：设函数y f x =在区间16，上零点的个数为，则的最小值为________. 11．方程22x x +=的根为a ，方程2log 2x x +=的根为b ，则a b +=__________四、解答题12．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围.13．已知函数1122()log (2)log f x x x =-+．（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点．14．若函数()221,1log ,1x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩．（1）在所给的坐标系内画出函数()f x 图像；（2）求方程()f x m =恰有三个不同实根时的实数m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0，12）上有没有零点，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：，y ＝12x 0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符对于B ，y ＝143x -x 0，12）单调递增，且有y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意;对于C ，y ＝ln （x +45），当x ＝15时，y ＝ln1＝0，区间（0，12）上有零点，符合题意;对于D ，y ＝2x +1，在区间（0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意. 故选：C ． 2．D 【分析】作出函数24x y =-与243y x x =-+的图象，对参数分类讨论，得出结论.【详解】作出函数24x y =-与243y xx =-+的图象，令240x y =-=，即2x =，故()2,0B ，令2430y x x =-+=，即1x =或3x =，故1,0A 或()3,0C ,当1a <时，只有B 一个零点；当12a ≤<时，有A ,B 两个零点；当23a ≤<时， 有A 一个零点；当3a ≥时，有A,C 两个零点；综上，实数a 的取值范围是：12a ≤<或3a ≥， 故选：D.【分析】先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a 、b 、c 的取值范围，再利用函数解析式证明ab ＝1，最后数形结合写出其取值范围即可 【详解】解：函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象如图：∵f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等 ∵a ∵（0，1），b ∵（1，10），c ∵（10，12）∵由f （a ）＝f （b ）得|lg a |＝|lg b |，即﹣lg a ＝lg b ，即ab ＝1 ∵abc ＝c由函数图象得abc 的取值范围是（10，12） 故选：B ．4．A 【分析】通过等价转化，把函数的零点转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标，然后画出函数的图象，通过图象即可判断出零点所在的区间. 【详解】函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根，即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标， 画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，从图象可知它们仅有一个交点A ，且交点横坐标的范围为()0,1.故选：A.【分析】当0x >时，作出函数2021x y =，2021log y x =-的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及(0)0f =，即可求出方程所有根的个数. 【详解】①当0x >时，令()0f x =，即20212021log xx =-，在同一坐标系中作出函数12021xy =，22021log y x =-的示意图，如下图：函数12021xy =为单调增函数，22021log y x =-为单调减函数，可知两个图象有且只有一个交点P ，横坐标记为0x . 即0x >时方程()0f x =有且只有一个实根0x ， ②因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当0x <时，方程()0f x =也有一个实根0x -，③又∵()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，∵即0也是方程()0f x =的根， 综上所述，方程()0f x =有3个实根. 故选：B. 6．AC 【分析】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，依次计算即可. 【详解】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，对于A,2y x y x =⎧⎨=-⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即存在完美点()0,0，对于B,6y x y x =⎧⎨=-⎩，无解，即不存在完美点，对于C,3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(对于D,234y x y x x =⎧⎨=-+⎩， 24x x x -+=,即2240x x -+=，解得2(2)44120∆=--⨯=-<，即不存在完美点， 故选：AC. 7．ABD 【分析】函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 即为函数函数2log (1)y x =-，y m =，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A ；根据()12()0f x f x ==，化简整理即可判断B ； 结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C ； 利用整体代换结合基本不等式即可判断D. 【详解】解：令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=， 令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标，作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=， 所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=， 所以12111x x +=，故B 正确；因为12x x +≥，所以()121212x x x x x x -+≤-120x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误； ()21121212122112233x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=当且仅当21122x x x x =，即21x 时，取等号，故D 正确. 故选：ABD. 8．CD 【分析】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，数形结合可得结果. 【详解】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，由图可知：当0t <时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解；当0t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故A 错误；当4t >时，函数()y f x =的图象与直线y t =有1个交点，即方程()0f x t -=有1个实数解，故B 错误； 当04t <<时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故C 正确； 当4t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解，故D 正确. 故选：CD.9．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】通过参变分离，转化为1a x x =+在1(,3)2上有解，转化为求函数t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2的值域. 【详解】由题意知方程ax ＝x 2＋1在1(,3)2上有解，即1a x x =+在1(,3)2上有解．设t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2，则t 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．3 【分析】根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数． 【详解】解：由题意，因为()()230f f <，()()450f f <，()()560f f <，所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点，故函数()y f x =在区间[]16，上的零点至少有3个，即n 的最小值为3， 故答案为：3． 11．2 【分析】利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解【详解】a 是方程22x x +=的根，就是2x y =和2y x =-图象交点的横坐标；b 是方程2log 2x x +=的根，就是2log y x =和2y x =-图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示：由图可知，a 是2x y =和2y x =-图象交点A 的横坐标，b 是2log y x =和2y x =-图象交点B 的横坐标，因为2x y =与2log y x =互为反函数， 所以图象关于直线y x =对称， 故点A ，B 也关于直线y x =对称， 所以点A ，B 为(),A a b ，(),B b a ， 而点A ，B 又在2y x =-上， 所以2b a =-，2a b =-， 即2a b +=， 所以2a b +=， 故答案为：2 12．10a -<<． 【分析】用分离参数法变形方程为1a x x x =-++，引入函数()1g x x x x =-++，作出函数()g x 的图象，由图象与直线y a =有三个交点可得结论． 【详解】方程()f x x =可化为1a x x x =-++，设()1g x x x x =-++，则1,0()1,101,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=---≤<⎨⎪+<-⎩，函数图象如下：由图象知()y g x =的图象与直线y a =有三个交点时，10a -<<． 13．（1）(0,2)；（2）1. 【分析】（1）根据真数大于0即可. （2）令()0f x =即可. 【详解】（1）由已知可得200x x ->⎧⎨>⎩，解得02,()x f x <<∴的定义域为(0,2)．（2）()()()212log 20,2f x x x x =-+∈，，由()0f x =得221x x -+=，即2210x x -+=，解得1x =， ()f x ∴的零点是1．14．(1)图象见解析；(2)01m <<. 【分析】(1)结合二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质利用描点法作函数的图象，(2)观察()f x 图象,根据()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点确定m 的范围.【详解】 (1)作图如下：11(2)方程()f x m =有3个解等价于函数()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点， 观察图象可得01m <<.。
2023届新高考数学复习：专项(唯一零点求值问题)经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（唯一零点求值问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-26．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．17．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．188．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．210．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或111．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．112．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．213．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．314．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．1215．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－116．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．417．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232xf x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______. 21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D【答案解析】设()(2)e e x xg x f x x a -=-=+++，定义域为R,∴()e e e e ()x x x xg x x a x a g x ---=-+++=+++=，故函数()g x 为偶函数，则函数(2)f x -的图象关于y 轴对称， 故函数()f x 的图象关于直线2x =-对称， ∵()f x 有唯一零点， ∴(2)0f -=，即2a =-． 故选：D ．2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．1【答案】C【答案解析】令()()ππ44sin cos 0x x f x e ea x x --=+-+=，则π44ππs in 4x x eex --⎛++=⎫ ⎪⎝⎭，记π4x t -=，则πsin cos 2t t e e t t -⎛⎫++= ⎪⎝⎭=，令(),t t e t g e -=+则()(),()t t g t t e e t g g -=-∴=-+，所以()g t 是偶函数，图象关于y 轴对称，因为()f x 只有唯一的零点，所以零点只能是0,t =2,a =∴=故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xe x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称， 则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称， 由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12. 故选：A.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2- B ．12-C ．1-D ．12-或1-【答案】A【答案解析】函数()()222212e222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点， 设2x t -=，则函数()212e 222t tt y a a -=-+-有唯一零点，则()212e 222t tt a a --+=设()()()()()112e 222e 2222t t t tt t g t a g t a g t ---=-+-=-+= ，，∴()g t 为偶函数，∵函数()f t 有唯一零点， ∴()y g t =与2y a =有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22a a ，∴-= 解得2a =- 或1a =（舍去），故选A ．5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-2【答案】C【答案解析】注意到直线1x =是13e x y -=和1122x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得，所以 ()21320f a a =--=，又0a <,解得3a =-.选C.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【答案解析】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 7．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．18【答案】D【答案解析】()f x 有零点，则211222112224x x m x x x --+⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为()21224t t m t -+=-+， 因为220t t -+>恒成立，所以24122t tt m --+=+，令()21422tt t h t --+=+，则()()()2211222244t t t tt t h t h t ----+-+-===++， 故()h t 为偶函数，因为()f x 有唯一零点，所以函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点， 结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故()001102842m h -===+. 故选：D8．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C【答案解析】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ， ()f x \为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x \的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x \的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+， 又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， 12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【答案解析】由题设，()()()()()()e e xxg x h x x g x h x x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩，可得：()e e 2x xg x -+=，由()()12e12λλ-=+--x f x g x ，易知：()f x 关于1x =对称.当1x ≥时，1112()e (e e )22x x x f x λλ---=++-，则111()e (e e )02x x x f x λ---'=+->，所以()f x 单调递增，故1x <时()f x 单调递减，且当x 趋向于正负无穷大时()f x 都趋向于正无穷大， 所以()f x 仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即()10f =，解得1λ=. 故选：C10．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或1【答案】C【答案解析】由题意，函数()g x ，()h x 分别是奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，可得()()()()()()33x x g x h x e x x g x h x g x h x e x x -⎧+=+-⎪⎨-+-=-+=-+⎪⎩，解得()2x xe e h x -+=， 则()()2x xe e h x h x -+-==，所以()h x 为偶函数，又由函数()()2022220226x f x h x λλ-=---关于直线2022x =对称，且函数()f x 有唯一零点，可得()20220f =，即00022602e e λλ+⨯-=-， 即2160λλ--=，解得13λ=或12λ=-.故选：C.11．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【答案解析】因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭， 令1x t -=，则()()()()sin 1cos 22t t t tg t t a e e t a e e ππ--⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点， 所以()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性，则()0120g a =+=， 解得12a =-，故选：B12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．2【答案】C【答案解析】函数()f x 的定义域为()1,a -，则1a >-，()1121f x x x x a'=--+-， 则()()()2211201f x x x a ''=++>+-，所以，函数()f x '在()1,a -上为增函数，当1x +→-时，()f x '→-∞，当x a -→时，()f x '→+∞， 则存在()01,x a ∈-，使得()000011201f x x x x a '=--=+-，则0001121x a x x =--+， 当01x x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当0x x a <<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，()()()()20000min ln 1ln f x f x x x a x ∴==-+--，由于函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则()()()()20000min ln 1ln 0f x f x x x a x ==-+--=，由0000112011x a x x x ⎧=->⎪-+⎨⎪>-⎩，解得01x -<<所以，()()()2220000000200002111ln 1ln ln 1ln 2ln 0111x x x x x x x a x x x x ⎡⎤⎛⎫-++=-++-=+-=⎢⎥ ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()()2212ln 11x x x x x ϕ⎡⎤=+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，其中112x --<<， ()()()()()()()()()2432322212222482422122221122111x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎡⎤++++++'=+⋅-=+=⎢⎥--+-++-++⎢⎥⎣⎦()()()()222241222211x x x xx x ++-=+-+，112x -<<，则22210x x +-<，10x +>，220x ->，则()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，且()00ϕ=，00x ∴=， 从而可得11a=，解得1a =. 故选：C.13．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】A【答案解析】由已知条件可知()()()()()()xxg x h x e xg x h x e x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩由函数奇偶性易知()2x x e e g x -+=令()()226xx g x ψλλ=+-，()x ψ为偶函数.当0x ≥时，()'2202x xxe e x ln ψλ--=+>，()x ψ单调递增，当0x <时，()x ψ单调递减，()x ψ仅有一个极小值点()0,f x ()x ψ图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，则函数只有1一个零点，即()10f =， 解得12λ=，故选：A14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．12 【答案】D【答案解析】因为21(1)()(1)(e e )cos(1)2x x f x x a x ---=-+++--，令1x t -= 则2()(e e )cos 2t t g t t a t -=+++-，因为函数()2112(1(s ))co 1x x x x a e e f x x --+=-+++--有唯一零点， 所以()g t 也有唯一零点，且()g t 为偶函数，图象关于y 轴对称，由偶函数对称性得(0)0g =，所以2120a +-=，解得12a =， 故选：D.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－1【答案】B【答案解析】设()(3)||x x g x f x x e e m -=+=+++，∴()||||()x x x x g x x e e m x e e m g x ---=-+++=+++=故函数()g x 为偶函数，则函数(3)f x +的图像关于y 轴对称，故函数()f x 的图像关于直线3x =对称， ∵()f x 有唯一零点∴(3)0f =，即2m =-，经检验，33()|3|2x x f x x e e --=-++-仅有1个零点3x =.故选：B.16．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．4【答案】B 【答案解析】22()(1)14f x b x x b =-+-+-，令1t x =-， 则有22()4g t bt t b =++-是偶函数，若只有唯一零点，则必过原点，即(0)0g =，从而2b =±.当2b =-时，有3个零点，舍去.故2b =，此时10t a =-=，则1a =，故3a b +=.故选：B17．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ） A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin x g x h e x x x ++=-，① 且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin x x g x e x x h -+---=++，得：()()sin x e x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=， 由于2021x -关于2021x =对称， 则20213x -关于2021x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2021g x -关于2021x =对称，由于()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则必有()20210f =，()01g =，即：()()0223022021120g f λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12.故选：A.二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232x f x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.【答案】1±【答案解析】()2,32()x x R f x m x m f x -∈-=--+-=()f x ∴是偶函数 根据偶函数的性质，可得(0)0f =，02320m +-=，解得1m =±当1m =时，此时()31xf x x =--，有唯一零点； 当1m =-时，此时()31xf x x =+-，也有唯一零点； 故1m =±时有唯一零点.故答案为：1±19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.【答案】1-【答案解析】因为x R ∈，又||2()2||2()x f x a x a f x --=--+-=，所以函数为偶函数.因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得(0)0f =，所以02220a +-=，解得1a =±.当1a =，此时||()2||1x f x x =--，知1(2)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()f x 有零点(1x =)，不符合题意： 当1a =-，此时||()2||1x f x x =+-在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，根据偶函数对称性，符合题意；所以1a =-.故答案为：1-20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______.【答案】16ln 224--【答案解析】由题意，函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，即方程228ln 14x x x m --=有唯一实数解，令2()28ln 14h x x x x =--，则82(4)(21)()414,0x x h x x x x x-+'=--=>， 当>4x 时，()0h x '>，当04x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(4,)+∞上单调递增，在(0,4)上单调递减，则函数()h x 在4x =处取得最小值，最小值为(4)16ln 224h =--，要使得函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则16ln 224m =--.故答案为：16ln 224--．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 【答案】12【答案解析】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -⨯++= 解得12a =， 故答案为：12.三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.【答案】 1 1-或12【答案解析】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有(0)0g =，因为()()2x f x g x x +=-，所以(0)(0)1f g +=，所以(0)1f =，令||2()2()2x F x f x λλ=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以||2||2()2()22()2()x x F x f x f x f x λλλλ--=---=--=，所以()F x 是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以|2021|2()2(2021)2(2021)x h x f x F x λλ-=---=-，所以()h x 的图象关于2021x =对称，因为()h x 有唯一零点，所以(2021)0h =，即21(0)20f λλ--=，即2120λλ--=，解得1λ=-或12．故答案为：1，1-或12． 23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的答案解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.【答案】 ()12x x e e -+ 12或1-【答案解析】∵()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，∴()()g x g x -=，()()h x h x -=-又∵()()sin x g x h x e x x +=+-①，∴()()()()e sin x g x h x g x h x x x --+-=-=-+②①+②：2()e e x x g x -=+，∴()1()e e 2x x g x -=+, 又∵()()2021202112(2022021)21()3202123e 22x x x x f x g x e λλλλ----⎡⎤=---=-⋅+-⎣⎦， 又∵()f x 有唯一零点，等价于()213202x x x e e λλ--⋅+-=有唯一解， 设()21()322x x x t x e e λλ-=-+-， ∵()t x 为偶函数，∴当且仅当0x =时为唯一零点，∴2120λλ--=，解得12λ=或1λ=-. 故答案为：()12x x e e -+；12或1-。
函数的零点与方程的解(经典导学案及练习答案详解)
§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0， 所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ， 当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2， 又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0， 故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解， 即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二 函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解， 必须－4<－1k<0， 所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。
函数的应用之零点问题1(含解析)
函数的应用之零点问题11.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）2.（2020•兴庆区校级期中）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，1）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）3.（2020•河东区期中）函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，F（x）＝，函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为．A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）4.（2020•洛阳期中）方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（）A．0B．1C．2D．35.（2020•岳麓区校级期中）已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（）A．B．C．D．6.（2020•岳麓区校级期中）函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7.（2020•武侯区校级期中）方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（）A．（，5）B．（﹣，5）C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，）8.（2020•天河区校级期中）设函数f（x）＝xlnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点9.（2020•番禺区校级期中）函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．410.（2020•和平区期中）函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）11.（2020•新乡期中）若函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0.1）C．（1，2）D．（﹣∞，1）12.（2020•临夏市校级期中）函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）13.（2020•雁塔区校级期中）函数f（x）=x2﹣的零点个数为（）A．0B．1C．2D．314.（2020•滨州期中）已知函数f（x）=若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（+）（x3+x4）=（）A．6B．7C．8D．915.（2020•惠山区期中）函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有个．16.（2020•榕城区校级期中）已知函数f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）内有零点，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，若m为整数，则m的值为．17.（2020•雁塔区校级期中）对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）＝x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点，由此，函数f（x）＝4x+2x﹣2的零点差绝对值不超过0.25，则满足条件的g（x）有．①g（x）＝4x﹣1；②；③g（x）＝e x﹣1；④．18.（2020•丹阳市校级期中）若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝﹣．19.（2020•无锡期中）若函数y＝，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的范围为．20.（2020•常州期中）已知函数f（x）＝2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为．21.（2020•温州校级期中）已知函数f（x）＝﹣1+log a（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）＝．（1）函数y＝f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的图象过点（2，），证明：方程F（x）＝0在x∈（1，2）上有唯一解．22.（2020•西城区期中）已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x2+bx+c，若f（1）＝f（3），f（2）＝2．（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；（2）求f（x）在x＜0时的表达式；（3）若关于x的方程f（x）＝ax（a∈R）有解，求a的取值范围．23.（2020•柯城区校级期中）已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）＝是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．24.（2020•白云区校级期中）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2]＝2，已知0≤x＜4．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）记函数g（x）＝x﹣f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；（Ⅲ）若方程g（x）﹣log a（x﹣）＝0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．25.（2020•深圳校级期中）设f（x）为二次函数，且f（1）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝﹣4x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）＝f（x）﹣x﹣a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．26.（2020•椒江区校级期中）已知二次函数f（x）＝x2﹣（m﹣1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．27.（2020•道里区校级期中）已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）＝2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）＝t有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值范围．28.（2020•姜堰市期中）规定maxf（x），g（x）＝，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F（x）＝max1﹣log2x，1+log2x．（1）求F（x）的解析式，并写出F（x）的单调区间；（2）若方程F（x）＝m有唯一实数解，求实数m的值；（3）求t＞0时，函数y＝F（x）在x∈[t，2]上的值域．1.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9是连续函数，f（﹣1）＝﹣8，f（0）＝﹣9，f（1）＝﹣8，f（2）＝1，根据零点存在定理，∵f（1）•f（2）＜0，∴函数在（1，2）存在零点，故选：C．【知识点】函数零点的判定定理2.（2020•兴庆区校级期中）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，1）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：作出函数的图象如图，令t＝f（x），要使方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，则方程t2﹣at＝0一个根为0，另一根a∈（0，1]．故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系3.（2020•河东区期中）函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，F（x）＝，函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为．A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）【解答】解：函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，可得f（x）＞g（x），即为x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1；则F（x）＝，作出函数F（x）的图象，函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，即为y＝F（x）的图象和直线y＝a有3个不同交点，由图象可得当﹣1＜a＜0时，y＝F（x）和y＝a有3个不同的交点，即函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为（﹣1，0）．故选：B．【知识点】函数零点的判定定理4.（2020•洛阳期中）方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：方程x+log3x=3的解为x0，就是方程log3x=3﹣x的解为x0，在同一坐标系中做出y=log3x和y=3﹣x的图象，如图，观察可知图象的交点在（2，3）内，所以n=2．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数零点的判定定理5.（2020•岳麓区校级期中）已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝k，则：a，b，c，d为f（x）＝k的四个不同的实数根，于是a，b为方程x2+2x+k＝0的不同实根，所以a+b＝﹣2，由|lgc|＝|lgd|可知：且由于0＜lgd＜1，可知1＜d＜10，于是c+2d＝2d+∈（3，），于是：a+b+c+2d∈（1，）．故选：B．【知识点】函数的零点与方程根的关系6.（2020•岳麓区校级期中）函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：函数，函数是连续减函数，f（2）＝1+ln1＝1＞0，f（3）＝+ln＝＝ln＜0．因为f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：C．【知识点】函数零点的判定定理7.（2020•武侯区校级期中）方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（）A．（，5）B．（﹣，5）C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：∵方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，∴函数f（x）＝4x2+（m﹣2）x+m﹣5的两个零点一个在区间（﹣1，0）内，另一个在区间（0，2）内，则，解得﹣＜m＜5．∴m的取值范围是（﹣，5）．故选：B．【知识点】二分法的定义与应用8.（2020•天河区校级期中）设函数f（x）＝xlnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点【解答】解：令函数f（x）＝xlnx＝0，解得x＝1，∴函数f（x）有唯一的零点x＝1，故选：B．【知识点】函数零点的判定定理9.（2020•番禺区校级期中）函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）＝（x﹣2）2﹣8+a（2x﹣2+2﹣x+2）令t＝x﹣2，则函数f（x）等价为g（t）＝t2﹣8+a（2t+2﹣t），则函数g（t）为偶函数，若函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，等价为g（t）只有一个零点，即g（0）＝0，则g（0）＝﹣8+2a＝0，∴2a＝8，即a＝4．故选：D．【知识点】函数零点的判定定理10.（2020•和平区期中）函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：∵f（﹣1）＝2﹣1﹣1＝﹣＜0，f（0）＝1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（﹣1，0）故选：C．【知识点】函数零点的判定定理11.（2020•新乡期中）若函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0.1）C．（1，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，函数的对称轴为：x=1，可得：，即：，解得：0＜a＜1．则a的取值范围为：（0，1）．故选：B．【知识点】函数零点的判定定理12.（2020•临夏市校级期中）函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：函数f（x）=2x﹣2+x，是连线函数，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=2×1﹣2+1=1＞0，满足f（0）f（1）＜0．∴函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间为（0，1）．故选：D．【知识点】函数零点的判定定理13.（2020•雁塔区校级期中）函数f（x）=x2﹣的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：f（x）=x2﹣的零点即为方程x2+1=的实根，作出y=x2+1与y=的图象，可得它们的交点个数为1，即f（x）的零点个数为1．故选：B．【知识点】函数零点的判定定理14.（2020•滨州期中）已知函数f（x）=若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（+）（x3+x4）=（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，f（x）=m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，可得x3+x4=8，且|log2（x1﹣1）|=|log2（x2﹣1）|，即为log2（x1﹣1）+log2（x2﹣1）=0，即有（x1﹣1）（x2﹣1）=1，即为x1x2=x1+x2，可得（）（x3+x4）=x3+x4=8．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系、分段函数的应用15.（2020•惠山区期中）函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有个．【解答】解：函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点与两个函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的交点个数相同由右图知，函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的图象仅有一个交点故函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有1个故答案为1【知识点】函数的零点16.（2020•榕城区校级期中）已知函数f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）内有零点，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，若m为整数，则m的值为．【解答】解：∵f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）上单调递增，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）单调递增，∴若f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）内有零点，则f（1）f（2）＜0，即（e+1﹣m）（e2+2﹣m）＜0，解得e+1＜m＜e2+2；若g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，由g（x）＝ln（x﹣m）＝0得x﹣m＝1，即x＝m+1，由4＜m+1＜6，解得3＜m＜5，综上，则e+1＜m＜5，若m为整数，则m的值等于4，故答案为：4【知识点】函数零点的判定定理17.（2020•雁塔区校级期中）对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）＝x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点，由此，函数f（x）＝4x+2x﹣2的零点差绝对值不超过0.25，则满足条件的g（x）有．①g（x）＝4x﹣1；②；③g（x）＝e x﹣1；④．【解答】解：∵f（x）＝4x+2x﹣2在R上连续，且f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝2+1﹣2＝1＞0．设f（x）＝4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．又g（﹣x）＝4x﹣1零点为x＝；的零点为x＝；g（x）＝e x﹣1零点为x＝0；零点为x＝，满足题意的函数有①②．故答案为：①②．【知识点】函数零点的判定定理18.（2020•丹阳市校级期中）若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝﹣．【解答】解：由f（﹣1）＝﹣3＜0，f（0）＝1＞0，及零点定理知f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，∴零点所在的一个区间是（a，a+1）＝（﹣1，0）∴a＝﹣1，故答案为：﹣1【知识点】函数零点的判定定理19.（2020•无锡期中）若函数y＝，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的范围为．【解答】解：当x≤0时，y＝x2﹣a≥﹣a，函数是减函数，x＞0时，y＝x﹣a+lnx是增函数，在区间（﹣2，2）上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得a∈[0，2+ln2）．故答案为：[0，2+ln2）．【知识点】函数零点的判定定理20.（2020•常州期中）已知函数f（x）＝2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（1）＝2+0＞0，当x＝0时，20＝1，当→0+时，log3x→﹣∞，∴f（0）＜0∴函数f（x）＝2x+log3x的零点一定在区间（0，1），∴k＝0，故答案为：0【知识点】二分法的定义与应用21.（2020•温州校级期中）已知函数f（x）＝﹣1+log a（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）＝．（1）函数y＝f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的图象过点（2，），证明：方程F（x）＝0在x∈（1，2）上有唯一解．【解答】解：（1）由log a1＝0可得f（﹣1）＝﹣1+log a1＝﹣1，故A（﹣1，﹣1）（2）∵∴a＝2∴∵分别为（﹣2，+∞）上的增函数和减函数∴F（x）为（﹣2，+∞）上的增函数∴F（x）在（﹣2，+∞）上至多有一个零点又（1，2）⊂（﹣2，+∞）∴F（x）在（1，2）上至多有一个零点而∴F（x）＝0在（1，2）上有唯一解【知识点】对数函数的单调性与特殊点、函数与方程的综合运用、函数的零点与方程根的关系22.（2020•西城区期中）已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x2+bx+c，若f（1）＝f（3），f（2）＝2．（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；（2）求f（x）在x＜0时的表达式；（3）若关于x的方程f（x）＝ax（a∈R）有解，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）＝f（3），∴函数图象的对称轴x＝＝2，得b＝4，又∵f（2）＝﹣4+4×2+c＝2，∴c＝﹣2，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+4x﹣2．（2）由（1）得，当x＞0时f（x）＝﹣x2+4x﹣2，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）﹣2＝﹣x2﹣4x﹣2，∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+4x+2．（3）由题意，只需﹣x2+4x﹣2＝ax在（0，+∞）上有解，∴a＝﹣x﹣+4≤，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2+4]．【知识点】函数的零点、函数解析式的求解及常用方法23.（2020•柯城区校级期中）已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）＝是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，∴p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5在（0，3）上有零点．∴△＝（4k2﹣8k+4）﹣12k﹣60≥0，解得k≤﹣2，或k≥7．若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则p（0）p（3）＝（k+5）（7k+26）＜0 ①，或②，或③，或④．解①得﹣5＜k＜﹣，解②得k∈∅，解③得k＝﹣，解④可得k＝﹣2，或k＝7．当k＝7时，p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5＝3x2+12x+12的零点是﹣2，不符合题意所以k＝7舍去．若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得﹣＜k≤﹣2．综上所述，实数k的取值范围为（﹣5，﹣2]．（2）函数q（x）＝，即q（x）＝．显然，k＝0不满足条件，故k≠0．当x≥0时，q（x）＝2k2x+k∈[k，+∞）．当x＜0时，q（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5∈（5，+∞）．记A＝[k，+∞），B＝[5，+∞）．①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＜0，且A⊆B，故k≥5；②当x2＜0时，q（x）在（﹣∞，0）上是减函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＞0，且B⊆A，故k≤5；综上可得，k＝5满足条件．故存在k＝5，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）．【知识点】函数的零点、函数与方程的综合运用24.（2020•白云区校级期中）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2]＝2，已知0≤x＜4．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）记函数g（x）＝x﹣f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；（Ⅲ）若方程g（x）﹣log a（x﹣）＝0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，①当0≤x＜1时，f（x）＝[x]＝0；②当1≤x＜2时，f（x）＝[x]＝1；③当2≤x＜3时，f（x）＝[x]＝2；④当3≤x＜4时，f（x）＝[x]＝3；所以f（x）＝．（Ⅱ）g（x）＝x﹣f（x）＝，图象如图所示：（Ⅲ）方程g（x）﹣＝0仅有一根等价于g（x）与h（x）＝图象仅有一个交点，由图象可知0＜a＜1 时，h（1）＝，解得；a＞1时，h（2）＝或，解得1＜a≤或．综上，a的范围是[，1）∪（1，]∪（，]．【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的零点、函数的图象与图象的变换25.（2020•深圳校级期中）设f（x）为二次函数，且f（1）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝﹣4x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）＝f（x）﹣x﹣a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）则f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b所以2ax+a+b＝1﹣4x对一切x∈R成立．故所以，又因为f（1）＝1，所以a+b+c＝1，所以c＝0．故f（x）＝﹣2x2+3x（2）g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝﹣2x2+2x﹣a，函数g（x）在实数R上没有零点，则函数图象与x轴没有交点故△＝4﹣8a＜0，解之得【知识点】函数的零点与方程根的关系26.（2020•椒江区校级期中）已知二次函数f（x）＝x2﹣（m﹣1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当方程x2﹣（m﹣1）x+2m＝0在[0，1]上有两个相等的实根时，△＝（m﹣1）2﹣8m＝0且0，此时无解．（2）当方程x2﹣（m﹣1）x+2m＝0有两个不相等的实根时，①有且只有一根（[0，1）上时，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得﹣2＜m＜0，②当f（0）＝0时，m＝0，f（x）＝x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1，符合题意．③f（1）＝0时，m＝﹣2，方程可化为x2+3x﹣4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4，符合题意，综上可得，实数m的取值范围为：[﹣2，0]【知识点】函数的零点27.（2020•道里区校级期中）已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）＝2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）＝t有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，因为f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（II）可知t的范围与g（x）的值域相同，g（x）＝2x+1﹣22x，令t＝2x∈[，2]，则g（x）＝﹣t2+2t的值域为[0，1]；（III）由f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0得f（g（x））≤﹣f（3am﹣m2﹣1），由（I）得f（g（x））≤f（﹣3am+m2+1），即有g（x）≤﹣3am+m2+1对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，则（g（x））max≤（﹣3am+m2+1）min，设h（a）＝﹣3am+m2+1，则h（a）≥1对一切a∈[﹣2，2]恒成立，若m＝0则恒成立；若m≠0则，即，解得m∈（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．综上所述m的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）∪{0}．【知识点】函数的零点、函数恒成立问题28.（2020•姜堰市期中）规定maxf（x），g（x）＝，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F（x）＝max1﹣log2x，1+log2x．（1）求F（x）的解析式，并写出F（x）的单调区间；（2）若方程F（x）＝m有唯一实数解，求实数m的值；（3）求t＞0时，函数y＝F（x）在x∈[t，2]上的值域．【解答】解：（1）根据题意和奇函数的定义得，，由函数解析式和对数函数的图象作出此函数图象如右图：由图得，F（x）增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1），减区间为（0，1），（﹣1，0），（2）由函数的解析式和图象得，方程F（x）＝m有唯一实数解时，有m＝﹣1，0，1，（3）由函数解析式求得，，故分三种情况求值域：当时，则函数在此区间上是减函数，故y＝F（x）值域为[1，1﹣log2t]，当时，则函数在此区间上是减函数，故y＝F（x）值域为[1，2]当1＜t≤2时，则函数在此区间上是增函数，故y＝F（x）值域为[1+log2t，2]．【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的零点与方程根的关系、函数的值域。
高中数学零点试题及答案
高中数学零点试题及答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上有零点，则下列说法正确的是（）。
A. 函数f(x)在区间[1,3]上单调递增B. 函数f(x)在区间[1,3]上单调递减C. 函数f(x)在区间[1,3]上先减后增D. 函数f(x)在区间[1,3]上先增后减2. 函数y=x^3-3x+1的零点个数是（）。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题3. 函数f(x)=x^2-2x-3的零点是_______。
4. 若函数f(x)=x^2-6x+8在区间[2,4]上恰好有一个零点，则该零点为_______。
三、解答题5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4，求证：函数在区间[1,2]上存在零点。
6. 已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2-1，其中a为实数，求证：当a>1时，函数在区间(-∞,a)上不存在零点。
答案：一、选择题1. C2. B二、填空题3. 3或-14. 3三、解答题5. 证明：首先求出函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
在区间[1,2]上，f'(x)>0，说明函数f(x)在该区间上单调递增。
又因为f(1)=2>0，f(2)=-1<0，所以根据零点存在定理，函数在区间[1,2]上存在零点。
6. 证明：首先求出函数f(x)的导数f'(x)=2x-2a。
令f'(x)=0，解得x=a。
在区间(-∞,a)上，f'(x)<0，说明函数f(x)在该区间上单调递减。
又因为f(a)=a^2-1>0，所以函数在区间(-∞,a)上不存在零点。
高中数学函数及函数的零点专题练习题试卷(含答案)
高中数学函数及函数的零点专题练习题试卷姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题3分，共48分）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n-1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9km B．9～11km C．5～7km D．3～5km10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.5111．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．015．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共52分）17．（3分）若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．18．（3分）令f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①f n（）＜0；②f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递减；④若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．19．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．20、（5分）某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．21、的零点的个数为______．22．（4分）函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．23．（4分）方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．24．（4分）有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？25．（4分）已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．26．（6分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．27．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．28．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．29．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有______公里．30．（4分）函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=______．参考答案一．单选题（共__小题）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a答案：B解析：解：如右图为函数f（x）=的图象，函数g（x）=f（x）+a有三个零点可转化为方程f（x）=-a有三个不同的根，则由图象可知，a=-1，则x1，x2，x3分别为0，1，2；故x12+x22+x32=5，故选B．2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n-1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个答案：D解析：解：函数f（x）=1-|2x-1|=当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0，当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x=x，解得x=，∴f的1阶周期点的个数为2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2-4x=x，解得x=，当x∈（，]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4x-2=x，解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x，解得x=，∴f的2阶周期点的个数为22，依此类推：∴f的n阶周期点的个数为2n3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）答案：D解析：解：令f（x）=lgx+x-5，由于f（4）=lg4-1＜0，f（5）=lg5＞0，即f（4）•f（5）＜0，且f（x）是连续函数，在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在（4，5）上有唯一零点．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0是函数f（x）的零点，故x0∈（4，5），故选D．4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米答案：D解析：解：∵汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒∴a==1M/S由此判断为匀加速运动再设人于x秒追上汽车，有6x-25=①∵x无解，因此不能追上汽车①为一元二次方程，求出最近距离为7米故选D5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元答案：C解析：解：由题意，每千件商品售价为50万元；设该厂生产了x千件商品并全部售完，则所获得的利润为y万元；则当x＜80时，y=50x-（x2+10x）-250=-x2+40x-250，则当x=60时，y max=950万元；当x≥80时，y=50x-（51x+-1450）-250=-（x+）+1200≤1000；（当且仅当x=100时，等号成立）；故该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是1000万元；故选C．6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）答案：B解析：解：设f（x）=lnx+x-4，由于x0是方程lnx+x=4的解，则x0是函数f（x）的零点．再由f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（2）f（3）＜0，可得x0属于区间（2，3），故选B．7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0，化为a==2tanx+，因为，所以a≥2=2，当且仅当tanx=时a取得最小值，当x=时，a=3，x=时，a=5，又35，所以a∈，此时方程在时方程恒有解．故选A．8．（2015秋•包头校级期末）函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：B解析：解：∵f（x）=x3+3x-1∴f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）＞0，排除C．f（0）f（1）=（-1）（1+3-1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）一定有零点．故选：B．9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9km B．9～11km C．5～7km D．3～5km答案：C解析：解：设陈先生的行程为xkm根据题意可得，陈先生要付的车费为y=6+（x-2）×1.8+11.5×1.8=17∴x=6.19故选C．10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51答案：B解析：解析：依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，∴总利润S=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30（x≥0）．∴当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时S max=45.6（万元）．故选B．11．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：D解析：解：由题意，知当x=-1，0，1，2，3时，y的值是-1，-3，-5，-1，15由零点判定定理知，f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（2，3）故选D12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]答案：B解析：解：函数f（x）的图象如图：使得函数g（x）=f（x）-m有3个零点⇔f（x）-m=0有3个解，即函数y=f（x）与函数y=m有3个交点，故有0＜m＜1，故选B．13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）答案：D解析：解：若函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则方程=（a＞0）没有实数根，即方程a-x2=2（a＞0）没有实数根，即方程x2=a-2（a＞0）没有实数根，故a-2＜0且a＞0，故a的取值范围为（0，2），故选：D14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．0答案：C解析：解：令函数y=1+=0，可得x=-1，故选：C．15．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）答案：A解析：解：由x2-2x-3=0，解得x=3，或-1．∵方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，因此3∈[0，m]．∴m≥3．∴m的取值范围是[3，+∞）．故选A．16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）答案：B解析：解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=-x，再令g（x）=lnx，h（x）=-x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选B．二．填空题（共__小题）17．若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．答案：（2，+∞）解析：解：不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，令f（x）=x2-bx+1，则有f（1）=2-b＜0，b＞2，故答案为（2，+∞）．18．令f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①f n（）＜0；②f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递减；④若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．答案：②④解析：解：由f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1），可得f n（）=--+1=-＞0，故①不正确．根据f n（）=--+1≥--+1＞0，f n（1）=-1-2+1=-2＜0，可得f n（）f n（1）＜0，故f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点，故②正确．③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则f n（x n）=0，即--2x n+1=0，即+2x n-1=0，同取导数可得n+2=0，即=，∴是增函数，故③不正确且④正确，故答案为：②④．19．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．答案：2800解析：解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x-800）×20%×（1-30%）所以x=2800，故答案为：2800．20、某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．答案：10解析：解：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度，根据相似三角形的性质可得：，∴BD=10．故答案为：10元．21、的零点的个数为______．答案：3解析：解：的零点的个数，即函数y=x2的图象和y=|x-|=的图象的交点的个数，如图所示：显然，函数y=x2的图象和射线y=-x+（x＜）有2个交点．再由可得x2-x+=0．由于判别式△=1-1=0，故y=x2y=x-（x≥）只有一个交点．综上可得，函数y=x2的图象和y=|x-|的图象的交点的个为3，故答案为：3．22．函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．答案：k≥1或k≤-1解析：解：由题意知k≠0，∴f（x）是单调函数，又在闭区间[-2，2]上存在零点，∴f（-2）f（2）≤0，即（-2k+2）（2k+2）≤0，解得k≤-1或k≥1．故答案为：k≥1或k≤-1．23．方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．答案：2解析：解：∵lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，∴函数f（x）=lg2x+x-2在（k-1，k）内有零点．又函数f（x）在（k-1，k）内单调递增，又f（1）=lg2-1＜0，f（2）=lg4＞0，故f（1）f（2）＜0，故函数在（1，2）内有唯一的零点，∴k=2，故答案为2．24．有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？答案：50-解析：解：设甲在A处，乙在D处，供水站C，总的水管费用为y元，CB=x，BD=40，AC=50-x，∴DC=依题意有：y=500（50-x）+700（0＜x＜50）得y′=-500+，令y′=0，解得x=y在（0，）单调递减，在（，50）单调递增上，函数在x=（km）处取得最小值，此时AC=50-（km）故答案为：50-．25．已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．答案：解析：解：函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）是一个偶函数，又函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个所以函数的零点一定是x=0，（若不是零，则至少有两个，此可由偶函数的对称性得）故有f（0）=a2-3=0，解得a=±当a=-时，验证知函数有三个零点，不合题意舍∴a=故答案为26．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．答案：4解析：解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．27．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．答案：4解析：解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），∴满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，故当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x-1．函数y=f（x）-log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故答案为：4．28．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．答案：14解析：解：假设商品的价格为x元/个，由题意可得获得利润f（x）=（x-8）[100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360，可知：当且仅当x=14时，获得最大利润360元．故答案为14．29．甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有______公里．答案：60解析：解：设从出发到上午11时行了s公里，则从出发到现在的平均速度为公里/分钟，则，解得s=190公里，此时小袁距乙地还有250-190=60公里．故答案为：60．30．函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=______．答案：-1解析：解：因为f（0）=1＞0，f（-1）=-1+=-＜0，由函数零点的存在性定理，函数f（x）=x+2x的零点所在的区间为（-1，0），∴n=-1．故答案为：-1．。
第5讲 函数零点问题：分段函数零点、唯一零点(解析版)
第5讲 函数零点问题：分段函数零点、唯一零点参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2021秋•福州期中）设()2sin(21)f x x x =--，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的区间是( ) A ．[1-，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[2，3]【解答】解：在同一坐标系中画出()2sin(21)g x x =-与()h x x =的图象 如下图示：由图可知()2sin(21)g x x =-与()h x x =的图象在区间[2，3]上无交点， 由图可知函数()2sin(21)f x x x =--在区间[2，3]上没有零点 故选：D ．2．（2021•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⋅⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >【解答】解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<故选：C ．3．（2021•开福区校级二模）若函数2()sin sin (,)f x x a x b a b R =++∈在[2π-，0]上存在零点，且021b a -，则b 的取值范围是( ) A ．2[3-，0]B ．[3-，2]-C ．[2-，0]D ．[3-，0]【解答】解：设sin x t =，则[1t ∈-，0]，∴关于t 的方程20t at b ++=在[1-，0]上有解，令2()g t t at b =++，（1）若()g t 在[1-，0]上存在两个零点，则201040102021b a b a b a b a ⎧⎪-+⎪⎪->⎨⎪-<-<⎪⎪-⎩，无对应的平面区域，（2）若()g t 在[1-，0]上存在1个零点，则(1)(0)0g g -，∴(1)0021b a b b a -+⎧⎨-⎩，作出平面区域如图所示：解方程组2110b a a b -=⎧⎨-+=⎩得(2,3)A --．b ∴的范围是[3-，0]．故选：D ．4．（2021春•岳麓区校级期末）已知函数,0,()()()2,0,x e x f x g x f x x a lnx x ⎧==++⎨>⎩．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[1-，0)B ．[0，)+∞C ．[1-，)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：由()0g x =得()2f x a x =-- 作出函数()f x 和2y a x =--的图象如图：当直线2y a x =--的截距1a -，即1a -时， 两个函数的图象都有2个交点，即函数()g x 存在2个零点， 故实数a 的取值范围是[1-，)+∞， 故选：C ．5．（2021•西湖区校级模拟）已知函数2,0()1,0x x f x ln x x-⎧⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--．若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1-，0)B ．[0，)+∞C ．[1-，)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：函数12,0(),0()21,0,0x x x x f x ln x lnx x x-⎧⎧⎪⎪==⎨⎨>⎪⎪->⎩⎩，令()()0g x f x x a =--=，得()f x x a =+； 设()y f x =和y x a =+；在同一坐标系内画出两函数图象，如图所示；根据图象知，若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是1a ． 故选：D ．6．（2021秋•洛阳期中）已知函数2,(0,1](),(1,)x x x f x lgx x ⎧-+∈=⎨∈+∞⎩，若()f x a=有三个不等实数根1x ，2x ，3x ，则123xx x ++的取值范围是( )A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(2,1D ．[2，1【解答】解：函数2,(0,1](),(1,)x x x f x lgx x ⎧-+∈=⎨∈+∞⎩，()f x a =有三个不等实数根1x ，2x ，3x ，∴转化为()y f x =和y a =有三个不同交点． ∴画出()f x 图象如下：不妨设123x x x <<，121212x x ∴+==， 11()24f =，令14lgx =，x ∴3x ∴∈，123xx x ∴++的取值范围是(2,1，故选：C ．7．（2021•商丘校级模拟）函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x ⎧-=⎨+<⎩，若方程()f x x a =-+有且只有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞B ．[0，1)C ．(,1)-∞D ．[0，)+∞【解答】解：函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x ⎧-=⎨+<⎩的图象如图所示，作出直线:l y a x =-，向左平移直线l 观察可得函数()y f x = 的图象与函数y x a =-+的图象有两个交点， 即方程()f x x a =-+有且只有两个不相等的实数根， 即有1a <， 故选：C ．8．（2021•自贡一模）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +⎧=⎨>⎩则函数[()]1yf f x =+的零点个数是() A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：由函数21,0,()log ,0,x x f x x x +⎧=⎨>⎩可得22223,1(1)1,10[()]12,01()1,1x x log x x y f f x log x x log log x x +-⎧⎪++-<⎪=+=⎨+<⎪⎪+>⎩由3,11,10201,0141x x x x y x x x x =--⎧⎪⎪=--<⎪=⇒⎨⎪=<⎪⎪=>⎩，故函数[()]1y f f x =+共4个零点， 故选：A ．9．（2021秋•越秀区月考）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．cos y x =B ．sin y x =C ．y lnx =D ．21y x =+【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意， 对于B ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意， 对于C ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于D ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意， 故选：A ．10．（2021春•华安县校级期末）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(1,2)D ．(2,)+∞【解答】解：由题意可得函数()f x 的图象（蓝线）和函数()g x 的图象（红线）有两个交点，如图所示：12OA K =， 数形结合可得112k <<， 故答案实数k 的取值范围是1(2，1)．故选：A ．11．（2021秋•五华区校级月考）已知函数211()2()cos(1)1x x f x x x a e e x --+=-+++--有唯一零点，则(a = ) A ．1B ．13-C ．13D ．12【解答】解：令1t x =-，则1x t =+，则函数211()2()cos(1)1x x f x x x a e e x --+=-+++--可化为：2()()cos 2t t g t t a e e t -=+++-，显然()()g t g t -=． 该函数()g t 为偶函数，且由题意知()g t 有唯一零点， 所以(0)0g =，即210a -=，解得12a =． 故选：D ．12．（2021秋•松江区期末）已知0m >，当[0x ∈，1]时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1][23,)+∞B ．(0，1][3，)+∞C ．[23,)+∞D ．[3,)+∞【解答】解：根据题意，由于m 为正数，2(1)y mx =-为二次函数，在区间1(0,)m为减函数，1(m，)+∞为增函数，函数y m =为增函数， 分2种情况讨论： ①、当01m <时，有11m， 在区间[0，1]上，2(1)y mx =-为减函数，且其值域为2[(1)m -，1]，函数y m =为增函数，其值域为[m ，1]m +， 此时两个函数的图象有1个交点，符合题意； ②、当1m >时，有11m<， 2(1)y mx =-在区间1(0,)m为减函数，1(m ，1)为增函数，函数y m =为增函数，其值域为[m ，1]m +， 若两个函数的图象有1个交点，则有2(1)1m m -+， 解得0m 或3m ， 又由m 为正数，则3m ，综合可得：m 的取值范围是(0，1][3，)+∞． 故选：B ．13．（2021•仁寿县模拟）已知当[0x ∈，1]时，函数21()y x m =-的图象与1y m=的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1][3，)+∞ B ．(0,1][23,)+∞C ．[23,)+∞D ．[3,)+∞【解答】解：根据题意，由于m 为正数，21()y x m =- 为二次函数，在区间1(0,)m为减函数，1(m，)+∞为增函数，函数1y m为增函数， 分2种情况讨论： ①、当01m <时，有11m， 在区间[0，1]上，21()y x m =- 为减函数，且其值域为21[(1)m-，21]m ，函数1y m 为增函数，其值域为1[m ，211]m m+，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意； ②、当1m >时，有11m<， 21()y x m =-在区间1(0,)m 为减函数，1(m ，1)为增函数，函数1y m 为增函数，其值域为1[m ，211]m m+， 若两个函数的图象有1个交点，则有22111(1)m m m-+， 解可得3m ，综合可得：m 的取值范围是(0，1][3，)+∞； 故选：A ．14．（2021秋•绍兴期末）已知a ，b ，c R ∈，0a b c ++=，若函数2()32(0)f x ax bx c a =++≠的两个零点是1x ，2x ，则1211|21||21|x x +--的最小值是( ) ABCD ．【解答】解：函数2()32(0)f x ax bx c a =++≠的两个零点是1x ，2x ，2320(0)ax bx c a ∴++=≠的两个根是1x ，2x ， 则1223b x x a +=-．123c x x a=，121112||21||21|(2x x x +---，0a b c ++=，4440a b c∴++=，则原式2|4a =+，即1211|21||21|x x +--的最小值是 故选：D ．15．（2021春•莲池区校级期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h x e x x +=+-，若函数|2020|2()3(2020)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为( ) A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【解答】解：因为()()sin x g x h x e x x +=+-①，又函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， 则()()sin x g x h x e x x --+-=-+，即()()sin x g x h x e x x --=-+②，①+②可得，()2x xe e g x -+=，由于|2020|y x =-关于直线2020x =对称， 则|20203|x y -=关于直线2020x =对称，因为()g x 为偶函数，则()y g x =关于y 轴对称， 所以(2020)g x -关于2020x =对称，由于函数|20202()3|(2020)2x f x g x λλ-=---有唯一零点， 则必有(2020)0f =，且(0)1g =，即022(2020)3(0)2120f g λλλλ=--=--=， 解得1λ=-或12． 故选：A ．16．（2021春•洛阳期末）存在实数a 使得函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]4B ．(-∞，0]C ．[0，1]4D ．{0，1}4【解答】解：函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，即方程22230x x ma a -+-+-=有唯一根，也就是22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点， 令2x t =，则112222x x x x y t t-=+=+=+， 由“对勾函数”的单调性可知，当1t =，即0x =时，y 有最小值2， 可得232ma a -+=，即210ma a -+=， 则△2(1)40m =--，解得14a． ∴实数m 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．17．（2021•兴庆区校级三模）已知函数()m f x lnx m x=-+在区间1(e -，)e 内有唯一零点，则实数m 的取值范围为( )A ．2[1e e -+，1]2e + B ．1(1e -+，)1ee + C ．(1ee -+，1) D ．(1,1)2e-+【解答】解：函数()mf x lnx m x=-+，令()0f x =，则1(1)m lnx x +=，即1xlnx m x =+，令()1xlnxh x x =+，则21()(1)x lnx h x x ++'=+，令()1k x x lnx =++，则1()10k x x'=+>， 所以函数()y k x =在区间1(e -，)e 内单调递增， 故11()()0k x k e e -->=>，所以()0h x '>，故函数()y h x =在区间1(e -，)e 内单调递增， 故1()()h e h x h -<<（e ），即1()11eh x e e -<<++， 所以111em e e -<<++， 则实数m 的取值范围为1(1e -+，)1ee +． 故选：B ．18．（2021•蚌埠模拟）已知函数2()(1)()f x x ln x ln a x =-+--有唯一零点，则(a = ) A ．0B ．12-C ．1D ．2【解答】解：2()[(1)()]f x x ln x a x =-+-，由函数解析式结构结合题干可猜想函数()f x 为偶函数，则1a =，下证明当1a =时，22()(1)f x x ln x =--，11x -<<仅有唯一零点，显然(0)0f =， 令2[0t x =∈，1)，()(1)h t t ln t =--，12()111th t t t-'=+=--， 易知函数()t x 在(1,0)-单调递减，在(0,1)单调递增，函数()h t 在[0，1)单调递增，∴由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(1,0)-单调递减，在(0,1)单调递增，又()f x 为偶函数，且(0)0f =，则()f x 仅有唯一零点0x =，符合题意． 故选：C ．二．填空题（共10小题）19．（2021春•烟台期末）已知R λ∈，函数32,()2,x x x f x x x λλ⎧->=⎨--⎩，当0λ=时，不等式()0f x <的解集是 (2,1)- ；若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．【解答】解：（1）0λ=时，由()0f x <可得：3200x x x ⎧-<⎨>⎩或200x x --<⎧⎨⎩，解得01x <<或20x -<，()0f x ∴<的解集是(2,1)-．（2）令320x x -=可得0x =或1x =，令20x --=可得2x =-．①若2λ<-，则()f x 在(-∞，]λ上无零点，在(,)λ+∞上有两个零点0，1，符合题意； ②若20λ-<，则()f x 在(-∞，]λ上有1个零点2-，在(,)λ+∞上有两个零点0，1，不符合题意；③若01λ<，则()f x 在(-∞，]λ上有1个零点2-，在(,)λ+∞上有1个零点1，符合题意； ④1λ，则()f x 在(-∞，]λ上有1个零点2-，在(,)λ+∞上无零点，不符合题意； 综上，2λ<-或01λ<．故答案为：(2,1)-，2λ<-或01λ<．20．（2021•山东模拟）已知函数22,(),x x af x x x a⎧=⎨>⎩，①若1a =，则不等式()2f x 的解集为 ( ；②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 ．【解答】解：①当1a =时，22,1(),1x x f x x x ⎧=⎨>⎩，则令()2f x ，即有22x 或22x ，解得1x 或12x <，故()2f x 的解集为(-∞；②由函数()()g x f x b =-只有一个零点时，22x x =时，2x =或4x =， 当2a =时，22,2(),2x x f x x x ⎧=⎨>⎩，此时()()g x f x b =-只有一个零点；当2a <时，()g x 有2个零点；同理当4a =时，22,4(),4x x f x x x ⎧=⎨>⎩，()()g x f x b =-只有一个零点；当4a >时，有2个零点，故可得a 的取值范围是(-∞，2)(4⋃，)+∞，故答案为：(-∞；(-∞，2)(4⋃，)+∞．21．（2021春•龙华区校级月考）已知函数52(),x x af x x x a ⎧=⎨>⎩若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 (-∞，0)(1⋃，)+∞【解答】解：()()g x f x b =-有两个零点：()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由于2y x =在是偶函数，[0，)a 递增，5y x =在[a ，)+∞递增， 要使函数()f x 在[0，)+∞不单调，如图：可得0a <，或1a >．即(a ∈-∞，0)(1⋃，)+∞， 故答案为：(-∞，0)(1⋃，)+∞．22．（2021春•龙凤区校级期末）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()y g x =恰有3个零点，则b 的取值范围是 (0,2) ． 【解答】解：函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩， 22|2|,0(2),0x x f x x x --⎧∴-=⎨<⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()y g x =恰有3个零点，∴方程(2)0b f x --=有3个解，即函数(2)y f x =-与y b =的图象有3个交点， 24,2(2),02,0x x y f x x x x x ->⎧⎪=-=⎨⎪<⎩，作函数(2)y f x =-与y b =的图象如下，结合图象可知， 02b <<，故答案为：(0,2)．23．（2021春•徐州期末）已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪<⎩且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 9(4-，2](0-⋃，1]2．【解答】解：由()()0g x f x mx m =--=，即()(1)f x m x =+， 分别作出函数()f x 和()(1)y h x m x ==+的图象如图： 由图象可知f （1）1=，()h x 表示过定点(1,0)A -的直线， 当()h x 过(1,1)时，12m =，此时两个函数有两个交点， 此时满足条件的m 的取值范围是102m<， 当()h x 过(0,2)-时，(0)2h =-，解得2m =-，此时两个函数有两个交点， 当()h x 与()f x 相切时，两个函数只有一个交点，此时13(1)3x m x x -=++即2(1)3(1)10m x x +++-=，当0m =时，只有1解，当0m ≠，由△940m =+=得94m =-，此时直线和()f x 相切，∴要使函数有两个零点，则924m -<-或102m <． 故答案为：9(4-，2](0-⋃，1]2．24．（2021•海淀区校级模拟）已知函数2||()()24()x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的零点，则m 的取值范围是 (3,)+∞ ． 【解答】解：当0m >时，函数2||()()24()x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩的图象如下：x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-+=-+->-，y ∴要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，必须24(0)m m m m -<>， 即23(0)m m m >>， 解得3m >，m ∴的取值范围是(3,)+∞，故答案为：(3,)+∞．25．（2021春•宁夏校级月考）已知函数2()|3|f x x x =+，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 (0，1)(9⋃，)+∞ ．【解答】解：由()|1|0y f x a x =--=得()|1|f x a x =-， 作出函数()y f x =，()|1|y g x a x ==-的图象， 当0a ，()0f x ，()0g x ，两个函数的图象 不可能有4个交点，不满足条件；则0a >，此时(1),1()|1|(1),1a x x g x a x a x x -⎧=-=⎨--<⎩，当30x -<<时，2()3f x x x =--，()(1)g x a x =--， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时23(1)x x a x --=--， 即2(3)0x a x a +-+=，则由△2(3)40a a =--=，即21090a a -+=， 解得1a =或9a =，当9a =时，()9(1)g x x =--，(0)9g =，此时不成立，∴此时1a =， 要使两个函数有四个零点，则此时01a <<， 若1a >，此时()(1)g x a x =--与()f x ，有两个交点， 此时只需要当1x >时，()()f x g x =有两个不同的零点即可， 即23(1)x x a x +=-，整理得2(3)0x a x a +-+=，则由△2(3)40a a =-->，即21090a a -+>，解得1a <（舍去）或9a >， 综上a 的取值范围是(0，1)(9⋃，)+∞． 故答案为：(0，1)(9⋃，)+∞．26．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数2(43)3,0()(0(1)1,0ax a x a x f x a log x x ⎧+-+<⎪=>⎨++⎪⎩且1)a ≠在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是1[3，23]{}34． 【解答】解：函数2(43)3,0()(0(1)1,0ax a x a x f x a log x x ⎧+-+<⎪=>⎨++⎪⎩且1)α≠ 在R 上单调递减，则：23402010(43)03log (01)1aaa a a -⎧⎪⎪<<⎨⎪+-+++⎪⎩；解得，1334a． 由图象可知，在[0，)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解， 故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解， 当32a >即23a >时，联立2|(43)3|2x a x a x +-+=-， 则△2(42)4(32)0a a =---=， 解得34a =或1（舍去）， 当132a 时，由图象可知，符合条件， 综上：a 的取值范围为1[3，23]{}34，故答案为：1[3，23]{}34．27．（2021秋•浙江月考）已知二次函数2()(,0)f x ax bx c a c =++>在[1-，1]上有零点，且1a b c ++=，则{min a ，b ，}c 的最大值是14；{max a ，b ，}c 的最小值是 ． 【解答】解：设a ，b ，0c >，a c ，若{b min a =，b ，}c ，则22244c b ac c ，矛盾；若{c min a =，b ，}c ，则2244b ac c ，则2b c ，于是14a b c c =++，解得14c， 此时取21()(21)4f x x x =++，此时函数的零点为1x =-，满足条件，故{min a ，b ，}c 的最大值是14； 依题意，240b ac -，①若{a max a =，b ，}(c c 同理可得），则244b ac bc ，于是4b c ，49a b c c ， 又14c，则19c ，819a b c +=-，于是49a ，故{max a ，b ，}c 的最小值为49； ②若{b max a =，b ，}c ，假设49b <，则216481ac b <<，于是481ac <，而519a cb +=->，所以221()()49a c a c ac -=+->，于是13a c ->（不妨设)a c ，所以51493229a c a c a +++-=>>，而49a b <矛盾，故49b，此时21()(441)9f x x x =++，零点为12x =-，满足条件．故答案为：14，49． 28．（2021秋•瑶海区校级期末）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为 1 ：若函数|2021|2()2(2021)2x h x f x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 ．【解答】解：因为()g x 是定义在R 上的奇函数， 所以有(0)0g =， 因为()()2x f x g x x +=-，所以(0)(0)1f g +=，所以(0)1f =，令||2()2()2x F x f x λλ=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以||2||2()2()22()2()x x F x f x f x f x λλλλ--=---=--=， 所以()F x 是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称， 所以|2021|2()2(2021)2(2021)x h x f x F x λλ-=---=-， 所以()h x 的图象关于2021x =对称， 因为()h x 有唯一零点，所以(2021)0h =，即21(0)20f λλ--=，即2120λλ--=， 解得1λ=-或12． 故答案为：1，1-或12． 三．解答题（共9小题）29．（2021•浙江）设函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈．（Ⅰ）当214a b =+时，求函数()f x 在[1-，1]上的最小值g （a ）的表达式．（Ⅱ）已知函数()f x 在[1-，1]上存在零点，021b a -，求b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，对称轴为2ax =-，当2a -时，函数()f x 在[1-，1]上递减，则g （a ）f =（1）224a a =++；当22a -<时，即有112a --<，则g （a ）()12af =-=； 当2a >时，函数()f x 在[1-，1]上递增，则g （a ）2(1)24a f a =-=-+．综上可得，g （a ）222,241,222,24a a a a a a a ⎧++-⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）设s ，t 是方程()0f x =的解，且11t -， 则s t ast b+=-⎧⎨=⎩， 由于021b a -， 由此212(11)22t ts t t t---++， 当01t 时，222222t t t stt t --++， 由222032t t --+，由22109[(2(2)]922022t t t t t -=-++-++， 得21294532t t t ---+，所以29453b --；当10t -<时，222222t t t stt t --++， 由于22202t t --<+和22302t t t --<+，所以30b -<，故b 的取值范围是[3-，9-．30．（2014春•柯城区校级期中）已知函数2()43f x x x a =-++，a R ∈ （1）若函数()y f x =在[1-，1]上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当0a =时，若对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围． 【解答】解：（1）依题意知164(3)0(1)(1)(8)0a f f a a =-+⎧⎨-=+⎩，求得80a -．（2）依题意知2()43f x x x =-+，图象如图， 变形()52g x bx b =+-得(5)(2)y b x -=-， 知其图象为恒过(2,5)点的直线，依题意可知直线与抛物线在区间[1，4]上有交点，如图， f （1）0=，f （4）3=，b 为直线的斜率，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域， 由()f x 在[1，4]的值域为[1-，3]， 讨论0b >，0b <，求得b 分别为6，3-以图象可知要使两函数图象在[1，4]区间上有交点 需6b 或3b -，即b 的范围是6b ，或3b -．31．（2021•和平区校级开学）已知函数()f x lnx =．（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠=； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：12()()882f x f x ln +>-；（Ⅲ）若342a ln -，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 【解答】解：（Ⅰ）1()f x x '=-1211x x =-1211x x =-=；4122x x >则4122x x得12256xx >，则1212()()f x f x lnx x +=设12256t x x =>，()g t lnt =，()0g t '=>，()g t 在(256,)+∞上单调递增，所以()(256)882g t g ln >=-， 所以12()()882f x fx ln +>-；（Ⅲ）记()()(0)h x f x kx a kx lnx a x =--=-->，()h x '=，令t =，记2()22q t kt t =-+，则△116k =-， ①当116k 时，()0q t ，有()0hx '，()h x kx >，21x k <；当0lnx a +<，所以取021{x min k =，}a e -时，有()0h x，又221()(1(1)0a a e h e ln k k-+=+<，所以()0h x =有唯一零点． ②当1016k <<时，△0>，令()0h x '=，解得21x =，22x =，则当2x <<和2x >时，()hx 单调递减，当22x <<，()h x 单调递增，记2m =，2n=，则()()1h x h m km lnm a lnm a =--=-+-极小值，记()_1m lnma ϕ--，注意216m =<，所以016m <<，()0m ϕ'=<，z 则()(16)342m ln a ϕϕ>=--，所以()0h x >极小值，又()()0h n h m >>，221()(1(1)0a a e h e ln k k -+=+<，且21a n e k-<+，结合单调性，可知()0h x =有唯一零点．综上可知，若342a ln -，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 32．（2021春•抚州校级月考）已知函数32()32f x x x xlna =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处切线与x 轴交点的横坐标为2-． （1）求:a（2）当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点，求x 的取值范围． 【解答】解：（1）函数的导数2()36f x x x lna '=-+；(0)f lna '=； 则()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y xlna =+， 切线与x 轴交点的横坐标为2-， (2)220f lna ∴-=-+=，解得a e =．（2）当a e =时，32()32f x x x x =-++， 设32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+， 由题设知10k ->，当0x 时，2()3610g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)1g k -=-，(0)4g =， 当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1)()g x h x k x h x =+->． 则2()363(2)h x x x x x '=-=-在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞单调递增，∴在2x =时，()h x 取得极小值h （2）0=，(1)1g k -=-，(0)4g =，则()0g x =在(-∞，0]有唯一实根． ()()g x h x h ∴>（2）0=， ()0g x ∴=在(0,)+∞上没有实根．综上，当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点时，0x ．33．设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，f （1）0>，求证：①0a >且21ab-<<-；②方程()0f x =在(0,1)内有两个实数根． 【解答】证明：①因为(0)0f >，f （1）0>， 所以0c >，320a b c ++>．由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>． 故21ab-<<-； ②抛物线2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为(3ba-，23)3ac b a -，在21a b -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<．又因为(0)0f >，f （1）0>，而22()033b a c acf a a+--=-<，所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -与(3ba-，1)内分别有一实根． 故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．34．（2021秋•仙桃期末）已知函数()x f x e =，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 【解答】解：（Ⅰ）()f x 的反函数为()g x lnx =，设所求切线的斜率为k ． 1()g xx'=，k g '∴=（1）1=， 于是在点(1,0)处的切线方程为1y x =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）证法一：曲线()x f x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于 函数21()12x x e x x ϕ=---零点的个数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）(0)110ϕ=-=，()x ϕ∴存在零点0x =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）又()1x x e x ϕ'=--，令()()1x h x x e x ϕ'==--，则()1x h x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，()x ϕ'∴在(,0)-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，()x ϕ'∴在(0,)+∞上单调递增，()x ϕ'∴在0x =处有唯一的极小值(0)0ϕ'=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）即()x ϕ'在R 上的最小值为(0)0ϕ'=． ()0x ϕ'∴（当且仅当0x =时等号成立）， ()x ϕ∴在R 上是单调递增的，()x ϕ∴在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 证法二：0x e >，21102x x ++>，∴曲线x y e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112x x x y e ++=与1y =的公共点的个数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）设2112()xx x x e ϕ++=，则(0)1ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点．又22211(1)(1)22()0x x x x x e x x e x x e eϕ+-++-'==（当且仅当0x =时等号成立）， ()x ϕ∴在R 上单调递减，()x ϕ∴与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 35．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+-- （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间 （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围︒【解答】解：（1）0a >时，2()2(2)1(21)(1)x x x x f x ae a e e ae '=+--=+-． 令()0f x '=，1x e a∴=，解得x lna =-． (,)x lna ∴∈-∞-时，()0f x '<，∴函数()f x 在(,)lna -∞-上单调递减； (,)x lna ∈-+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在(,)lna -+∞上单调递增．（2）2()2(2)1(21)(1)x x x x f x ae a e e ae '=+--=+-．0a 时，()0f x '<，函数()f x 在R 上单调递减，此时函数()f x 最多有一个零点，不满足题意，舍去．0a >时，由（1）可知：x lna =-时，函数()f x 取得极小值，()f x 有两个零点，2111()(2)10f lna a a lna lna a a a∴-=⨯+-⨯+=-+<，令u （a ）11lna a=-+，u （1）0=． u '（a ）2110a a=+>，∴函数()u x 在(0,)+∞上单调递增， 01a ∴<<．又x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞．∴满足函数()f x 有两个零点．a ∴的取值范围为(0,1)．36．（2021秋•湖北月考）已知函数()f x ，对x ∀，y R ∈，都有2()()230f x y f y x xy x +---+=恒成立，且f （2）1=-． （1）求()f x 的解析式； （2）若函数()()f x h x x=，2()(|21|)5|21|x x m G x h m =-+--有三个零点，求m 的取值范围．【解答】解：（1）函数()f x ，对x ∀，y R ∈，都有2()()230f x y f y x xy x +---+=恒成立， 令2x =，0y =，则f （2）(0)20f -+=， 又f （2）1=-，所以(0)1f =， 令0y =，则2()(0)30f x f x x --+=， 所以2()31f x x x =-+； （2）函数()1()3f x h x x x x==+-， 令|21|x t -=，由题意0t ≠， 所以0t >，当1t ，方程|21|x t =-有一根， 当01t <<，方程有两根， 令212()(|21|)5350|21|x xm mG x h m t m t t=-+-=+-+-=-， 所以方程2(35)210t m t m -+++=有两不等实根，且101t <<，21t >或101t <<，21t =， 记2()(35)21h x t m t m =-+++， 所以()h x 的零点情况：①当101t <<，21t >时，(0)210()1310h m h m =+>⎧⎨=--<⎩，解得13m >-；②当101t <<，21t =时，35012(0)210(1)310m h m h m +⎧<<⎪⎪=+>⎨⎪=--=⎪⎩，解得13m =-．综上所述，m 的取值范围为1[,)3-+∞．37．（2021秋•河南月考）已知函数()2f x lnx ex =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设2()()g x f x ax =-，若()g x 在定义域上单调且有唯一零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()2f x lnx ex =-+的定义域为(0,)+∞，11()exf x e x x-'=-=，......1分 令()0f x '>，解得10x e <<；令()0f x '<，解得1x e>；所以()f x 在区间1(0,)e 上单调递增，在区间1(e，)+∞上单调递减，......4分（2）由题意知22()()2g x f x ax lnx ex ax =-=-+-，2121()2ax ex g x e ax x x--+'=--=，............5分 因为()g x 在定义域上单调且有唯一零点，令2()21h x ax ex =--+，则函数()h x 在(0,)+∞上与x 轴最多有一个交点，所以当0a <时，04e a -<或20480eae a ⎧->⎪⎨⎪+⎩，解得0a >或28e a -，故有28e a -，.........9分 此时，0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()g x →+∞， 故()g x 在定义域上单调且有唯一零点，..................10分 当0a 时，不可能成立，................................................11分综上所述，a 的取值范围为(-∞，2]8e -．..................12分。
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
函数零点的判定定理-高中数学知识点讲解(含答案)
函数零点的判定定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019•海淀区一模）若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则( ) A ．010x -<<B ．001x <<C ．012x <<D ．024x <<2．（2019秋•西城区校级期中）函数3()23f x x x =--一定存在零点的区间是( ) A ．(2,)+∞B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(1,0)-3．（2019秋•海淀区校级期中）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，具有如下对应表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．（2019秋•海淀区校级期中）若函数()()a f x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，则a 的值可以是( )A ．2-B ．0C ．1-D ．35．（2019秋•海淀区校级期中）定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为() A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共8小题）6．（2018•大兴区一模）能使函数32()32f x x a x =-+有3个零点的一个a 值为 ．7．（2018•西城区二模）已知函数2,1()1,12x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈．如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是 ．8．（2017•东城区二模）已知函数()126f x nx x =+-的零点在区间(2k ，1)()2k k Z +∈内，那么k = ．9．（2016秋•大兴区期末）函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是 ． 10．（2017秋•西城区校级期中）方程4lgx x +=的根0(,1)x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = ． 11．（2017•顺义区二模）已知函数32,(),x x mf x x x m⎧=⎨>⎩，函数()()g x f x k =-．（1）当2m =时，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是 ；（2）若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则m 的取值范围是 ． 12．（2017秋•西城区校级期中）函数24x y =-的零点是 ． 13．（2017•丰台区一模）已知函数(2)(),1()1, 1.x a a x x f x a x --⎧⎪=-> （1）若0a =，[0x ∈，4]，则()f x 的值域是 ； （2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题（共2小题）14．（2016秋•西城区期末）已知函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由．15．（2017秋•海淀区校级月考）已知函数()1f x xlnx =-，()(1)1g x a x =--． （Ⅰ）求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅱ）若曲线()y f x =与()y g x =有两个交点，求实数a 的取值范围．函数零点的判定定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019•海淀区一模）若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则( ) A ．010x -<<B ．001x <<C ．012x <<D ．024x <<【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可． 【解答】解：0x 是函数21()log f x x x =-的零点，函数在0x >时，是增函数， 可得：f （1）10=-<，f （2）1102=->， 所以f （1）f （2）0<， 函数的零点在：(1,2)． 故选：C ．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．2．（2019秋•西城区校级期中）函数3()23f x x x =--一定存在零点的区间是( ) A ．(2,)+∞B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(1,0)-【分析】由已知可检验f （1）40=-<，f （2）10=>，结合零点判定定理即可求解． 【解答】解：3()23f x x x =--，f ∴（1）40=-<，f （2）10=>，由函数零点判定定理可知，函数在(1,2)上一定存在零点． 故选：B ．【点评】本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．3．（2019秋•海淀区校级期中）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，具有如下对应表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【分析】由所给的表格可得f （2）f （3）0<，根据函数零点的判定定理可得函数()f x 一定存在零点的区间． 【解答】解：由所给的表格可得f （3） 3.5=-，f （2） 2.9=，f （2）f （3）0<， 根据函数零点的判定定理可得函数()f x 一定存在零点的区间是(2,3)，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4．（2019秋•海淀区校级期中）若函数()()af x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，则a 的值可以是( )A ．2-B ．0C ．1-D ．3【分析】由已知可转化为2a x =-在(1,2)只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求a 的范围． 【解答】解：由()0af x x x=+=可得，2a x =-， 由函数()()af x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，可知2a x =-在(1,2)只有一个零点，当(1,2)x ∈时，2(4,1)y x =-∈--，41a ∴-<<-，结合选项可知，A 符合题意．故选：A ．【点评】本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．5．（2019秋•海淀区校级期中）定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为() A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】先求出当0x 时，2()2f x x x =-的零点，然后根据()f x 为奇函数，图象关于原点对称即可求解． 【解答】解：当0x 时，2()20f x x x =-=可得，0x =或2x =， ()f x 为奇函数，(2)f f ∴-=-（2）0=，从而函数()f x 有3个零点：0，2，2-．故选：D ．【点评】本题主要考查了奇函数的对称性及函数零点的求解，属于基础试题． 二．填空题（共8小题）6．（2018•大兴区一模）能使函数32()32f x x a x =-+有3个零点的一个a 值为 2 ． 【分析】求出()f x 的单调性和极值，令极大值大于0，极小值小于0求出a 的范围即可． 【解答】解：2222()333()f x x a x a '=-=-， 令()0f x '=可得x a =±，若0a =，则()0f x '，()f x 单调递增， ()f x ∴只有1个零点，不符合题意；若0a >，则()f x 的极大值3()22f a a -=+，()f x 的极小值为f （a ）322a =-+，若()f x 有3个零点，则33220220a a ⎧+>⎨-+<⎩，解得1a >． 若0a <，则()f x 的极大值为f （a ）322a =-+，极小值为3()22f a a -=+， 若()f x 有3个零点，则33220220a a ⎧-+>⎨+<⎩，解得1a <-．故a 的取值范围是(-∞，1)(1-⋃，)+∞． 故答案为：2（不唯一）．【点评】本题考查了函数零点个数与函数单调性、极值的关系，属于中档题．7．（2018•西城区二模）已知函数2,1()1,12x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈．如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是 1[2,)2-- ．【分析】通过分段函数，利用指数函数以及一次函数，利用函数的值域，转化求解即可． 【解答】解：1x 时，2(x y a a =+∈，2]a +， 1x >时，11(22y x a a =+∈+，)+∞， 两个函数都是增函数， 函数()f x 恰有两个零点， 可得：1220a a ⎧+<⎪⎨⎪+⎩，解得[2a ∈-，1)2-．故答案为：[2-，1)2-．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的值域，分段函数的应用，考查计算能力． 8．（2017•东城区二模）已知函数()126f x nx x =+-的零点在区间(2k ，1)()2k k Z +∈内，那么k = 5 ．【分析】函数()26f x lnx x =+-在其定义域上连续单调递增，从而利用函数的零点的判定定理求解即可． 【解答】解：函数()26f x lnx x =+-在其定义域(0,)+∞上连续单调递增， f （1）12640ln =+-=-< f （2）246220ln ln =+-=-<， f （3）36630ln ln =+-=>；∴根据零点存在定理，0(2,3)x ∃∈，使得0()0f x =．555()10222f ln ln lne =-=-< 05(2x ∴∈，3)∴522k =即5k = 故答案为：5．【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用．注意函数的单调性以及函数的连续性的判断．9．（2016秋•大兴区期末）函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是 30a -<< ．【分析】函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点，由二次函数的性质知(2)0(0)0(2)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，解此不等式求出实数a 的取值范围【解答】解：函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点， ∴由二次函数的性质知(2)0(0)0(2)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，即400030a a a a +>⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪+>⎩30a ∴-<<故答案为30a -<<【点评】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．10．（2017秋•西城区校级期中）方程4lgx x +=的根0(,1)x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = 3 ． 【分析】构造函数，利用函数的单调性以及函数的连续性，通过零点判断定理求解即可． 【解答】解：令()4f x lgx x =+-，则由题意0()0f x =，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．f （1）11430lg =+-=-<，f （2）220lg =-<，f （3）310lg =-<，f （4）40lg =>，由零点存在定理可知0(3,4)x ∈，故3k =． 故答案为：3．【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查． 11．（2017•顺义区二模）已知函数32,(),x x mf x x x m ⎧=⎨>⎩，函数()()g x f x k =-．（1）当2m =时，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是 (4，8] ； （2）若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则m 的取值范围是 ．【分析】（1）分别画出()y f x =与y k =的图象，如图所示，若函数()g x 有两个零点，由图象可得48k <， （2）分类讨论，当0m 时，只要32m m >即可，当0m <都存在【解答】解：（1）当2m =时，分别画出()y f x =与y k =的图象，如图所示， 若函数()g x 有两个零点，由图象可得48k <， 故k 的取值范围是(4，8]（2）当0m 时，3y x =在(-∞，]m 为增函数，最大值为3m ，2y x =在(,)m +∞为增函数，最小值为2m ，若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则32m m >，解得1m >， 当0m <时，2y x =在(,0)m 上为减函数，在(0,)+∞为增函数， 故若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点， 综上所述m 的取值范围为(-∞，0)(1⋃，)+∞， 故答案为：（1）：(4，8]，（2）：(-∞，0)(1⋃，)+∞【点评】本题考查了分度函数以及函数零点的问题，常采用数形结合法，属于中档题 12．（2017秋•西城区校级期中）函数24x y =-的零点是 2 ．【分析】根据题意，由函数的解析式可得240x -=，解可得x 的值，即可得函数的零点，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数24x y =-， 令240x -=， 解可得：2x =，即函数24x y =-的零点是2；故答案为：2．【点评】本题考查函数的零点，注意函数的零点与方程的根的关系． 13．（2017•丰台区一模）已知函数(2)(),1()1, 1.x a a x x f x a x --⎧⎪=->（1）若0a =，[0x ∈，4]，则()f x 的值域是 [1-，1] ； （2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．【分析】（1）求出()f x 在[4-，4]上的单调性，利用单调性求出最值即可得出值域； （2）对x 讨论，分别求出()f x 的零点，令其零点分别在对应的定义域上即可．【解答】解：（1）0a =时，2,1()1,1x x f x x ⎧-⎪=>，()f x ∴在[0，1]上单调递减，在(1，4]上单调递增， (0)0f =，f （1）1=-，f （4）1=，()f x ∴在[0，1]上的值域是[1-，0]，在(1，4]上的值域是(0，1]， ()f x ∴在[0，4]上的值域是[1-，1]．（2）当1x 时，令()0f x =得2x a =或x a =，当1x >时，令()0f x =1a =-，2(1)(11)x a a ∴=-->， ()f x 恰好有三个解， ∴22112(1)111a a a a a a ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪->⎪->⎪⎩，解得0a <． 故答案为：[1-，1]；(,0)-∞．【点评】本题考查了基本初等函数的单调性，函数零点的计算，属于中档题． 三．解答题（共2小题）14．（2016秋•西城区期末）已知函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）函数||3()[()]3x a h x f g x +-== 的图象关于直线2x =对称，则(4)()|||4|h x h x x a x a -=⇒+=-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数[()]|3|3x y g f x a ==+-的零点个数，就是函数()|3|x G x a =+与3y =的交点，分①当03a <时；②当3a 时；③30a -<时；④当3a <-时，画出图象判断个数．【解答】解：（Ⅰ）函数||3()[()]3x a h x f g x +-== 的图象关于直线2x =对称，则(4)()|||4|h x h x x a x a -=⇒+=-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数[()]|3|3x y g f x a ==+-的零点个数，就是函数()|3|x G x a =+与3y =的交点，①当03a <时，()|3|3x x G x a a =+=+与3y =的交点只有一个，即函数[()]y g f x =的零点个数为1个（如图1)； ②当3a 时，()|3|3x x G x a a =+=+与3y =没有交点，即函数[()]y g f x =的零点个数为0个（如图1)； ③30a -<时，()|3|x G x a =+与3y =的交点只有1个（如图2)； ④当3a <-时，()|3|x G x a =+与3y =的交点有2个（如图2)；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题． 15．（2017秋•海淀区校级月考）已知函数()1f x xlnx =-，()(1)1g x a x =--． （Ⅰ）求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅱ）若曲线()y f x =与()y g x =有两个交点，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数零点与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数进行判断即可．（Ⅱ）将函数交点个数转化为方程根的个数，构造函数，求出函数的导数求函数的切线，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， 由()0f x =得10xlnx -=，即1xlnx =， 即1lnx x=，作出两个函数y lnx =和1y x=的图象如图： 则两个图象在(0,)+∞上只有一个交点， 即()f x 有且只有一个零点．（Ⅱ）若曲线()y f x =与()y g x =有两个交点， 即方程()()f x g x =有两个交点， 即1(1)1xlnx a x -=--， 得(1)xlnx a x =-，有两个根， 当1x =时，方程成立， 即当1x ≠时，方程还有一个根， 设()h x xlnx =， 1()1h x lnx xlnx x'=+=+， 由()0h x '>得10lnx +>，得1lnx >-，得1x e>，此时单调递增， ()0h x '<得10lnx +<，得1lnx <-，得10x e<<，此时单调递减，作出函数()h x 的图象如图： 则在(1,0)处h '（1）111ln =+=， 则过(1,0)且的切线斜率1k =，要使(1)y a x =-与()h x 在1x ≠时，还有一个交点， 则0a >且1a ≠即可，即实数a 的取值范围是0a >且1a ≠．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象交点个数问题以及构造函数求出函数的切线，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．第11页（共11页）。
高中试卷-专题4.5 函数应用(含答案)
专题4.5 函数应用1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点．(3)结论：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.2。
函数零点的判定定理条件结论函数y ＝f (x )在[a ，b ]上(1)图象是连续不断的曲线(2)f (a )f (b )< 0y ＝f (x )在(a ，b )内有零点3．四种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a ＞1)y ＝log a x (a ＞1)y ＝x n (n ＞0)y ＝kx ＋b (k ＞0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增函数增长的速度越来越快越来越慢相对较快不变图象的变化越来越陡越来越平随n 值而不同直线上升4．三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y ＝a x (a ＞1)和幂函数y ＝x n (n ＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x >x n .(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y ＝log a x (a ＞1)和幂函数y ＝x n (n ＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n .(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n ＜a x .1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A2．已知函数()20,,021x x x f x x ³ì-í-î＝＜，若函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．01b <<B ．0b <C ．20b -<<D ．10b -<<【答案】D【解析】如图，作出f (x )图像，函数()()g x f x b =-有两个零点，等价于y ＝f (x )与y ＝b 图像有两个交点，则10b -<<．故选：D ．3．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,¥+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ×<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C4．基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值：ln 20.69»）（ ）A ．0.9天B ．1.8天C ．1.2天D ．3.6天【答案】D【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()e t I t \=，当0=t 时，(0)1I =，则0.38e 4t =，两边取对数得0.382ln 2t =，解得2ln 23.60.38t =»．故选：D 5．已知1x ，2x 分别是方程e 20x x +-=，ln 20x x +-=的根，则12x x +=（ ）A ．1B ．2C D 1【答案】B【解析】由题意可得1x 是函数e x y =的图象与直线2y x =-+交点A 的横坐标，2x 是函数ln y x =图象与直线2y x =-+交点B 的横坐标，因为e x y =的图象与ln y x =图象关于直线y x =对称，而直线2y x =-+也关于直线y x=对称，所以线段AB 的中点就是直线2y x =-+与y x =的交点，由2y xy x =ìí=-+î，得11x y =ìí=î，即线段AB 的中点为(1,1)，所以1212x x +=，得122x x +=，故选：B 6．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间()0,16，()0,4，()0,2内，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间()0,1内有零点B ．函数()f x 在区间()0,1或()1,2内有零点C ．函数()f x 在区间[)2,16上无零点D ．函数()f x 在区间()1,16内无零点【答案】C【解析】由题意，函数()f x 唯一的一个零点在()0,2内，则函数在[)2,+¥上无零点，但零点与1的大小未知，排除A ，B ，D 选项，故选：C7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【答案】C【解析】当010x ££时，设y kx =，将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =，则此时45y x =，当10x >时，设a y x=，将点(10,8)代入a y x=得：10880a =´=，则此时80y x =，综上，()4010580(10)x x y x x 죣ïï=íï>ïî，当010x ££时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x =，则当4y ³时，520x ££，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟），故选：C ．8．已知函数()21,22,21x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，则方程()1f f x éù=ëû的实数根的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】令()f x t =，则()1=f t ，①当2t …时，||211t -=，||22t \=，||1t \=，即1t =±，②当2t >时，211t =-，3t \=，画出函数()f x 的图象，如图所示，若1t =-，即()1f x=-，无解；若1t =，直线1y t ==与()y f x =的图象有3个交点，即()1f f x éù=ëû有3个不同实根；若3t =，直线3y t ==与()y f x =的图象有2个交点，即()1f f x éù=ëû有2个不同实根；综上所述，方程[()]1f f x =的实数根的个数为5个，故选：B ．9．若关于x 的方程()44240x xa ++×+=在[]1,2-上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．25,82éù--êúëûB ．25,2¥æù--çèûC ．[]25,8--D ．[)8,-+¥【答案】A【解析】当[]1,2x Î-时，令12,42x t éù=Îêúëû，则()2240t a t +++=，可得()42a t t -+=+，设()4g t t t =+，其中1,42t éùÎêúëû，任取1t 、21,42t éùÎêúëû，则()()()()()()1212121212121212124444t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t ---æöæö-=+-+=--=ç÷ç÷èøèø.当12122t t £<£时，12144t t <<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以，函数()4g t t t =+在1,22éùêúëû上为减函数；当1224t t £<£时，12416t t <<，则()()120g t g t -<，即()()12g t g t <，所以，函数()4g t t t=+在[]2,4上为增函数.所以，()()min 24g t g ==，11722g æö=ç÷èøQ ，()45g =，则()max 11722g t g æö==ç÷èø，故函数()4g t t t =+在1,42éùêúëû上的值域为174,2éùêúëû，所以，()17442a £-+£，解得2582a -££-.故选：A.10．已知函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的，则“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间[],a b 内有零点”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立；反之，若函数2y x =在[]1,1-上满足()()110f f ->，但其有零点0x =，故必要性不成立；所以“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间[],a b 内有零点”的充分不必要条件故选：A11．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（ ）A ．－5B ．－2C ．2D ．3【答案】A【解析】因为0x =不是方程的解, 所以方程可变形为1||x a x+=, 可考虑函数||y x a =+与1y x=的图象共有三个公共点,如图，当0a ³时，仅1个公共点，不符合；当0a <时，结合图象，由方程1(0)x a x x-+=<有一解，可得2a =-，所以2a <-符合要求.故选：A12．已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ì-<ï=í-+³ïî，若方程()()f x m m =ÎR 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ×××的取值范围是（ ）A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）【答案】D【解析】由方程()()f x m m =ÎR 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =．由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <£．设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<，由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--，所以()()121x x --=，即121=x x ．设y m =与245(1)y x x x =-+³的交点的横坐标为3x ，4x ，设34x x <，则312x £<，423x <£，且344x x +=，所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+Î，则1234[3,4)x x x x Î．故选：D.二、多选题13．下列说法正确的是（ ）A ．已知方程e 8x x =-的解在()(),1k k k Z +Î内，则1k =B ．函数()223f x x x =--的零点是()1,0-，()3,0C ．方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间()1,0-内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是12a <<.D ．若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则一定有()()0f a f b ×<【答案】AC【解析】对于A ，令()e 8x f x x =+-，显然()f x 为增函数，因为(1)e 18e 70f =+-=-<，22(2)e 28e 60f =+-=->，所以()f x 在(1,2)内有唯一零点，所以方程e 8x x =-在(1,2)内有唯一解，因为方程e 8x x =-的解在()(),1k k k Z +Î内，所以1k =，故A 正确；对于B ，令2()230f x x x =--=，得1x =-或3x =，所以函数()223f x x x =--的零点是1-和3，故B 不正确；对于C ，令22()24f x x ax a =-+-，依题意可得(1)0(0)0(2)0f f f ->ìï<íï<î，即2221240404410a a a a a ì++->ï-<íï-+-<î，解得12a <<，故C 正确；对于D ，因为(1)()(2)f x x x =--在(0,3)上有两个零点，但是(0)(3)2240f f =´=>，故D 不正确；故选：AC14．已知函数()y f x =的图象在区间[]0,1上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）A ．若()()010f f ×<，则()y f x =在()0,1内至少有一个零点B ．若()()010f f ×>，则()y f x =在()0,1内没有零点C ．若()y f x =在()0,1内没有零点，则必有()()010f f ׳D ．若()y f x =在()0,1内有唯一零点，()()010f f ×<，则()f x 在()0,1上是单调函数【答案】AC【解析】因为()f x 在[0，1]上连续，A ．(0)f f ×（1）0<，由零点存在定理可知，()y f x =在(0,1)内至少有一个零点，故正确；B ．当21()4f x x x =-+时，满足(0)f f ×（1）0>，但在(0,1)内有一个零点12，故错误；C ．()y f x =在(0,1)内没有零点，则必有(0)f f ×（1）0…等价于(0)f f ×（1）0<，则()y f x =在(0,1)内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；D ．()y f x =在(0,1)内有唯一零点，(0)f f ×（1）0<，但()f x 在(0,1)上不一定是单调函数，比如211()44f x x æö=--ç÷èø，故错误．故选：AC ．15．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x ，对应的五分记录数据记为y ，现有两个函数模型：①52lg =+y x ；②15lg=-y x．（参考数据：0.110 1.25»）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（ ）A ．选择函数模型①B ．选择函数模型②C ．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9D ．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8【答案】BD【解析】当0.1x =时，代入52lg =+y x 得：523y =-=，代入15lg=-y x得：514y =-=.故选择函数模型②.A 错误；B 正确.对于C ：当5y =时，由15lg=-y x解得：1x =，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C 错误；对于D ：当 4.9y =时，由15lg =-y x解得：0.8x =，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D 正确.故选：BD16．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x 台()*N x Î的收入函数()2300020R x x x=-（单位：元），其成本的数()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为()P x ，则以下说法正确的是（ ）A ．()P x 取得最大值时每月产量为63台B ．边际利润函数的表达式为()()*248040NMP x x x =-ÎC ．利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值D ．边际利润函数()MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【解析】对于A 选项，()()()22025004000P x R x C x x x =-=-+-，二次函数()P x 的图象开口向下，对称轴为直线250062.540x ==，因为N x *Î，所以，()P x 取得最大值时每月产量为63台或62台，A 错；对于B 选项，()()()()()()2212012500140002025004000MP x P x P x x x x x éù=+-=-+++---+-ëû()248040N x x *=-Î，B 对；对于C 选项，()()()max 626374120P x P P ===，因为函数()248040MP x x =-为减函数，则()()max 12440MP x MP ==，C 对；对于D 选项，因为函数()248040MP x x =-为减函数，说明边际利润函数()MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D 对.故选：BCD.17．设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =-，()(2)f x f x -=--，当(1,1]x Î-时，2()1f x x =-+，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)1f =B ．当[]4,6x Î时，()f x 的取值范围为[]1,0-C ．(3)y f x =+为奇函数 D ．方程()lg(1)f x x =+仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当10x -<<时，()01f x <<，当01x ££时，()01f x ≤≤，函数()y f x =的定义域为R ，有()(2)f x f x =-，又()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =---，因此有(2)(2)x x f f =----，即(4)()f x f x +=-，于是有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，从而得函数()f x 的周期8T =，对于A ，()()()()()2022252866201f f f f f =´+==-=-=-，A 不正确；对于B ，当45x ££时，041x £-£，有0(4)1f x £-£，则()(4)[1,0]f x f x =--Î-，当56x ££时，423x -£-£-，0(2)41x £-+£，有0[(2)4]1f x £-+£，()(2)[(2)4][1,0]f x f x f x =-=--+Î-，当[]4,6x Î时，()f x 的取值范围为[]1,0-，B正确；对于C ，(3)[(3)4](1)[2(1)](3)f x f x f x f x f x +=-++=--=---=--+，函数(3)y f x =+为奇函数，C 正确；对于D ，在同一坐标平面内作出函数()y f x =、lg(1)y x =+的部分图象，如图：方程()lg(1)f x x =+的实根，即是函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象交点的横坐标，观察图象知，函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象有5个交点，因此方程()lg(1)f x x =+仅有5个不同实数解，D 正确.故选：BCD三、填空题18．若方程11()()1042x xa +-+=有正数解，则实数a 的取值范围是_______.【答案】30a -<<【解析】设1(2xt =，由0x >，得01t <<，因为方程11()()1042x xa +-+=有正数解，所以方程210t t a +-+=在()0,1上有实根．因为2(1)1a t =-++，当01t <<时，112t <+<，所以21(1)4t <+<，所以24(1)1t -<-+<-，所以23(1)10t -<-++<，所以30a -<<.故答案为：30a -<<.19．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为m kg ，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2km/s ，当燃料质量为()e 1kg m -时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s ，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.52»）【答案】51【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，则[]{}22ln 2ln ((e 1)ln()k m m m m -=+--+，解得2k =，设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍，则[]{}7.922ln()ln (e 1)am m m m -=+-+-[]1e7.922ln2ln(1)1a a +\-==+-2ln(1)7.9a \+=，得27.9(1)e a +=152a \+=»，51a \»则燃料质量是箭体质量的51倍故答案为：51.20．已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】()3,0-【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ì<ïí<ïî，即2030a <ìí+<î，解得a ÎÆ；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ì>ïí>ïî，即2030a >ìí+>î，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是()3,0-．故答案为：()3,0-．21．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，()2log f x x =，对于结论（1）当0x <时，()()2log f x x =-；（2）方程()0f f x =éùëû根的个数可以为4,5,7；（3）若函数212y f ax x æö=-+ç÷èø在区间[]1,2上恒为正，则实数a 的范围是1,2æö+¥ç÷èø；（4）若()02f =，关于x 的方程()()220f x f x --=éùëû有5个不同的实根.说法正确的序号是___．【答案】（1）（2）（4）【解析】令0x <，则0x ->，2()log ()f x x \-=-，又函数为偶函数，2()()log ()f x f x x \=-=-，故（1）正确；令()t f x =，则()0f t =，()f x 为R 上的偶函数，①若(0)0f =,可得0=t 或1或1-，由()1f x =可得2x =或2-;()1f x =-时,可得12x =±,当()0f x =时，0,1,1x =-，[()]0f f x \=的根的个数共7个；②若(0)0f ≠,且(0)1f =或(0)1f =-,则1t =或1-,所以由①知函数[()]0f f x =的根的个数可为5个;③若(0)0f ≠，且(0)1f ≠且(0)1f ≠-,比如(0)2f =,则1t =或1-, 所以由①知函数()0f f x =éùëû的根的个数为4个，故（2）正确;若函数212y f ax x æö=-+ç÷èø在区间[]1,2上恒为正，即221log (02ax x -+>在[]1,2恒成立，可得2102ax x -->在[]1,2恒成立，即2112a x x>+恒成立，2211111(1)222x x x +=+-Q ，又1112x££，1x \=时，2112x x+取得最大值32，则32a >，故（3）错误；由()()220f x f x --=éùëû解得()2f x =或()1f x =-，当()2f x =时，4x =±，0，当()1f x =-时，12x =±，综上方程有5个根，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）四、解答题22．已知函数()3()log 91xf x kx =++是偶函数.(1)当0x ³，函数()y f x x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()3()log 32xh x m m =×-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围.【答案】(1)(),0¥-(2)()1,+¥U 【解析】(1)解：()f x Q 是偶函数，()()f x f x \-=，即33log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对任意R x Î恒成立，23333912log (91)log (91)log log 3291x xxx x kx x ---+\=+-+===-+，1k \=-．即()3()log 91xf x x =+-，因为函数()y f x x a =-+有零点，即方程3log (91)2x x a +-=-有实数根．令3()log (91)2x g x x =+-，则函数()y g x =与直线y a =-有交点，333()log (91)2log (91)log 9x x x g x x =+-=+-Q 33911log log (1)99x xx +==+，又1119x +>，31()log (109x g x \=+>，0a \->，所以0a <，即a 的取值范围是(),0¥-．(2)：因为()()()3333391()log 91log 91log 3log log 333x xxxx xx f x x -+=æç=+-ö÷èø=+-=+，又函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，则关于x 的方程()33log (32)log 33x x xm m -×-=+只有一个解，所以3233x x x m m -×-=+，令3(0)x t t =>，得2(1)210m t mt ---=，①当10m -=，即1m =时，此方程的解为12t =-，不满足题意，②当10m ->，即1m >时，此时()2244(1)410m m m m D =+-=+->，又12201mt t m +=>-，12101t t m -=<-，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当10m -<，即1m <时，由方程2(1)210m t mt ---=只有一正根，则需244(1)(1)0202(1)m m mm ì--´-=ï-í->ï-î，解得m =综合①②③得，实数m 的取值范围为：()1,+¥U ．23．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本)，销售收入()R x 满足()()20.4 4.20.80510.2(5)x x x R x x ì-+-££=í>î，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？【答案】(1)20.4 3.2 2.8,(05)()8.2,(5)x x x f x x x ì-+-££=í->î(2)当工厂生产400万台产品时，盈利最多，240元/台【解析】(1)依题意，()2G x x =+，设利润函数为()f x ，则()()()()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x f x R x G x x x ì-+-££=-=í->î，，要使工厂有盈利，即解不等式()0f x >，当05x ££时，解不等式20.4 3.2 2.80x x -+->．即2870x x -+<．1715x x \<<\<£，．当5x >时，解不等式8.20x ->，得8.2x <．58.2x \<<．综上，要使工厂盈利，x 应满足18.2x <<，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)05x ££时，()20.4(4) 3.6f x x =--+，故当4x =时，()f x 有最大值3.6．而当5x >时，()8.25 3.2f x <-=所以，当工厂生产400万台产品时，盈利最多．又4x =时，()42404R =(元/台)，故此时每台产品售价为240(元/台)．24．已知函数()()4log 412xx f x =+-与()44log 23x g x a a æö=×-ç÷èø.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)偶函数(2){}13a a a >=-或【解析】(1)∵()()4log 412xx f x =+-的定义域为R ，()()()()444log 41log 41log 40x x x f x f x x x ---=+-+-=-=∴()()f x f x =-，∴()f x 为偶函数.(2函数()()()F x f x g x =-只有一个零点即4414log 2log 223x xx a a æöæö+=×-ç÷ç÷èøèø即方程1422023x xx a a +=×->有且只有一个实根.令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根.①当1a =时，34t =-，不合题意；②当1a ≠时，若方程有两相等正根，则()()()2443130a a D =--´-´-=，且()40231aa >´-，解得3a =-；满足题意20x t =>③若方程有一个正根和一个负根，则101a -<-，即1a >时，满足题意20x t =>.∴实数a 的取值范围为{}13a a a >=-或.25．已知函数()22x xf x =--．(1)判断函数f (x )(2)解不等式：()f x <；(3)若关于x 的方程14()223x xf x m m -=×--只有一个实根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析；(2)1(,2-¥；(3){－3} U （1，+∞）.【解析】(1)f (x )在R 上单调递增；任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则()()112212 (22)(22)x x x x f x f x =------1212122(122x x x x =+×(-)∵12x x <∴12022x x <<，∴()()120f x f x <-．即()()12f x f x <．∴函数f (x )在R 上单调递增．(2)∵1()2f =∵()f x <，∴1()(2f x f <，又∵函数f (x )在R 上单调递增，∴12x <，∴不等式的解集为1(,2-¥．(3)由14()223x xf x m m -=×--可得，4(1)2203x x m m ×=----，即24122103x x m m ×-×=（-）-，此方程有且只有一个实数解．令2x t =，则t >0，问题转化为：方程24(1)103m t mt -=--有且只有一个正数根．①当m =1时，34t =-，不合题意，②当m ≠1时，（i ）若△=0，则m =－3或34，若m =－3，则12t =，符合题意；若34m =，则t = －2，不合题意，（ii ）若△>0，则m <－3或34m >，由题意，方程有一个正根和一个负根，即101m -<-，解得m >1． 综上，实数m 的取值范围是{－3} U （1，+∞）．26．设()y f x =是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x y ､都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <；③()31f =-.(1)求()119f f æöç÷èø,的值；(2)判断函数()y f x =的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数k ，使不等式()()22f kx f x +-<有解，求正数k 的取值范围. 【答案】(1)()10f =，129f æö=ç÷èø；(2)()f x 在R +上是单调递减的函数，证明见解析；(3)1,9¥æö+ç÷èø.【解析】(1)根据题意，令1y =，有()()()1f x f x f =+对任意x 都成立，所以()10f =.因为()()1131,3333f f f f æöæö=-´=+ç÷ç÷èøèø可得113f æö=ç÷èø，1111229333f f f æöæöæö=´==ç÷ç÷ç÷èøèøèø；(2)()f x 在R +上是单调递减的函数，理由如下：对任意的()1212,0,,0x x x x ¥Î+<<，有：211x x >，()()()()()22121111110x x f x f x f x f x f x f x f x x æöæö-=-×=-->ç÷ç÷èøèø，所以()f x 在R +上是单调递减的函数.(3)()()()212229f kx f x f kx kx f æö+-=-<=ç÷èø，由于()f x 在R +上是单调递减，只需要210,20,29kx x kx kx >->->有解，即291810kx kx -+<，又因为k 是正数，只需要2Δ324360k k =->，即19k >或0k <（舍）当19k >时，因为二次函数()29181g x kx kx =-+的对称轴是1x =，一定有()01g =，()1190g k =-<，所以在()0,1内()()22f kx f x +-<必定有解.综上可知，k 的取值范围是1,9¥æö+ç÷èø.。
函数的零点练习题
函数的零点（一）练习1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是A.4B.3C.2D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f 4．若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,17．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,18．设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,29．已知0x 是函数()x x f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、函数f(x)=x —cosx 在[0，+∞）内 （ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点13.设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 1314、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是15、方程 96370x x -•-=的解是．.16、已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）.17、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=18．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______19．方程223x x -+=的实数解的个数为．20．若函数()a x a x f x --=()1.0≠>a a 有两个零点，则实数a 的取值范围是。
答案导数小题---应用函数零点和极值点求参
导数小题---应用函数零点和极值点求参答案1．已知()2xf x x ae =-在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．20,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】通过讨论a 的符号得函数的单调性,从而结合函数零点的判定定理确定实数a 的取值范围. 【详解】①当0a ≤时,易知函数()2x f x x ae =-是增函数,故函数()2x f x x ae =-不可能有两个零点;②当>0a 时,令()20xf x ae'=-=得,2lnx a =;故()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是增函数,在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数, 且0(0)200a f ae =⨯-=-<，(),x f x →+∞→-∞，故若函数()2x f x x ae =-有两个零点,则2ln 0f a⎛⎫> ⎪⎝⎭,即22ln 20a->,解得2a e <，此时2ln1a >，故a 的取值范围是20a e<<; 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的应用及函数的单调性的判断与应用,同时考查了函数零点的判定定理的应用,属于中档题.2．函数()x e f x ax x=-在R 上有三个零点，则a 的取值范围是A ．2(,)2e eB ．22(,)42e eC ．2(,)2e +∞D ．2(,)4e +∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()xe f x ax x=-在R 上有三个零点，转化为函数x y e =与2y ax =由三个交点，先判断0a >，可得当0x <时，两图象必有一个交点，只需2,xe y a y x==的图象在y 轴右边由两个交点，利用导数研究函数的单调性与最值，结合图象可得结果. 【详解】当0a ≤时，函数()20xf x e ax =->恒成立，不合题意，所以0a >，作函数xy e =与2y ax =的图象如图，由图象可知，当0x <时，两图象必有一个交点， 故当0x >时，两图象有两个交点， 则2x e ax =有两个正根，即2xe a x=有两个正根，2,xe y a y x ==的图象在y 轴右边由两个交点，记()()()232,'x xe x e F x F x x x-==， ()F x 在()0,2上递减，在()2,+∞递增， 故()()2min24e F x F ==，故24e a >时，两图象有两个交点；故若函数()2xe xf x a =-有三个不同零点，则24e a >，a的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.3．已知函数11,20()ln 1,0x x f x x x ⎧+--≤≤=⎨->⎩若()()g x f x kx =-恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．)20,e⎡⎣【答案】A 【解析】 【分析】由零点定义可知()f x kx =恰有4个不同交点，画出函数()f x 的图像；利用导数求得直线()f x kx =与()f x 相切时的斜率，再将直线()f x kx =绕原点旋转，即可判断出有4个交点时的斜率取值范围. 【详解】根据零点定义可知()()0g x f x kx =-=， 即()f x kx =恰有4个不同交点，画出函数11,20()ln 1,0x x f x x x ⎧+--≤≤=⎨->⎩的图像如下图所示：当0x >时，()ln 1f x x =-， 则1()f x x'=， 设()f x kx =与()ln 1f x x =-相切于(),m km ，由导数几何意义及切点在()ln 1f x x =-上，则满足1ln 1k m km m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得221k e m e⎧=⎪⎨⎪=⎩，将直线()f x kx =绕原点旋转，当恰有4个交点时满足210k e<<， 即k 的取值范围为210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选： A 【点睛】本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数的几何意义求得相切的斜率，利用数形结合法求参数的取值范围，综合性强，属于难题. 4．（题文）已知函数无零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：若，则，由图象得函数没有零点，符合题意.若，对函数求导得，此时当时，在上为增函数，当取一个非常小的负数时显然函数值小于，当取大于的数时显然函数值为正，这样的话此单调函数在上有且只有一个零点；当时，当时，，当时，，这样函数在上的最小值为，若使函数无零点，应使，解得.综上，可得.故应选D. 考点：通过导数研究函数图象进而判断函数的零点问题. 5．已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 试题分析：，当时，，函数单调递增，至多有一个零点，不符合题意.当时，令，故函数在上单调递增，在上单调递减，需要最大值大于零，即，.故选C.考点：函数导数与零点问题.【思路点晴】这是一个典型的根据导数判断函数的单调区间，数形结合，用图象来判断零点个数的题目.具体的方法是这样，先求出定义域，然后求导、通分，观察导函数的分母，，这是一个一次函数，结合，那么就要对进行分类讨论，其中当时，，函数单调递增，至多有一个零点，不符合题意.当，利用导数判断函数图像先增后减有极大值也即是最大值，所以最大值要大于零，由此求得结果. 6．函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(0,2) B ．(2,)eC ．(,)e +∞D ．(2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为求()1y x lnx =+与()1y a x =-的交点问题，结合函数的图像求出a 的取值范围 【详解】函数()()()11f x x lnx a x =+--有三个零点，∴方程()()11x lnx a x +=-有三个根也就是()1y x lnx =+与()1y a x =-的图像有三个不同的交点 由()1y x lnx =+可得：11y lnx x +'=+，22111x y x x x'-=-=' 当()01x ∈，时，0y ''<，y '在()01，上单调递减， 当()1x ∈+∞，时，0y ''>，y '在()1+∞，上单调递增 y ∴'有极小值为20>()1y x lnx ∴=+在()0+∞，上是单调增函数，其图像如图所示而直线()1y a x =-过定点()10，，且函数()1y x lnx =+在1x =处的切线的斜率为： 1'|2x y ==，则要使()1y x lnx =+与()1y a x =-的图像有三个不同的交点， 实数a 的取值范围是()2+∞，故选D 【点睛】本题主要考查的是函数的图像及函数零点的判定定理，考查了学生的转化能力和数形结合思想，计算能力，综合性较强，有一定难度。
函数的零点个数问题-含答案
【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由（1）知()f x至多有一个零点.②若0a>，由（1）知当lnx a=-时，()f x取得最小值，1(ln)1lnf a aa-=-+.（i）当1a=时，(ln)f a-=0，故()f x只有一个零点.（ii）当(1,)a∈+∞时，由于11ln aa-+>0，即(ln)0f a->，故()f x没有零点.（iii）当0,1a∈（）时，11ln0aa-+<，即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈（）时，要先判断(,ln)a-∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0f a-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈（）时，要判断(ln,)a-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数零点
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表
则函数在区间上的零点至少有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
2.函数的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
3.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
4.已知是函数的零点，若，则的值满足( )
A. B.
C. D.的符号不确定
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
5.已知是函数的一个零点，若，则( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
6.已知函数，．若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
7.对实数，定义运算“*”：，设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
8.已知函数，，若存在，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
9.方程的解所在的区间是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
10.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点。