正弦定理(用).ppt

还有别的证法？
方法三：用向量知识证明正弦定理
向量的数量积的定义 a b | a || b | cos 中 两向量的夹角是余弦关系而非正弦关系，这两者
之间能否转化呢？ 可用由诱导公式：sinθ=cos(90θ)转化。 这一转化产生了新角90θ，为了方便证明， 就需要添加垂直于三角形一边的单位向量j 。 这时j与 AC 垂直， j与AB 的夹角为 B 90A ， j与 CB 的夹角为90C ， 这就为构造j与 AC 、AB 、 CB 的数 量积打下了基础.(图中的三角形为锐角三角形) j
b C
a b c 结论 ： sin A sin B sin C
猜想：对钝三角形此结论是否成立？
正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即
a b c sin A sin B sin C
还有别的证法？
二、正弦定理的证明
方法二：设三角形ABC的外接圆圆心为O， 连CO交圆与D，连BD. C 则如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
b c 且 B 180 ( A C ) 105 sin B sin C
解：∵
c sin B 10 sin 105 b 19 sin C sin 30
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝2 2 ，A＝45°， 求B和c。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝2 2 ， A＝45°，求B和c。
的边、角关系有密切联系．同时，要注意与三角函数、
平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，
从而提高综合运用知识的能力．
3. 提高数学建模能力．利用解三角形解决相关的实际
问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根
据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模 型． 4.通过本章学习，使学生掌握正弦定理、余弦定理， 并能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题.
a a CD 2 R sin A sin D b c b =2R =2R 同理: sin C sin B a b c A 2 R 即: sin A sin B sin C
a
O B D
c
正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即
a b c 2R sin A sin B sin C
必修5第1章
解三角形
课标领航
本章概述
本章内容与已学过的关于三角形的定性研究的结论相联系，
与平面几何中的三角知识以及三角函数的知识相联系，同时
也体现了向量及其运算的应用．高考中以正、余弦定理为框 架，以三角形为主要依托，来考查三角形的边角转化、三角
形形状的判定、三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证
明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题．要特 别关注利用正弦定理、余弦定理来解实际问题．因为本章知 识在现实生活中有广泛的应用，通过本章的学习，能提高学 生的数学建模能力.
判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o
一解 两解 无解
(3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o
三角形面积公式
三角形的面积等于任意两边 与它们夹角的正弦的积的一半。
s
1 1 1 = ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2
其中R为三角形外接圆的半径
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 1、已知两角和任意一边，可以求出其他两边 和一角。 2、已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。
三、 正弦定理的应用
例题讲解
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45, C 30 ，求b（保 留两个有效数字）.
AC CB AB
j AC cos 90 j CB cos( 90 C ) j AB cos( A 90) a c a sin C c sin A 即 sin A sin C b c 同理，过C作单位向量j 垂直于 CB，可得 sin B sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c 2 RR为外接圆半径 sin A sin B sin C a b b c c a ; ; 变式: 1 sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
本章的中心内容是解三角形．主要包括正弦定理和余
弦定理、应用举例与实习作业三部分内容，教材以直
角三角形为例引出正弦定理，然后利用向量方法证明 了正弦定理、余弦定理，余弦定理揭示了任意三角形 边、角之间的客观规律，是解三角形的重要工具． 本章学习要求是：
(1)在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系 的探究，发现并掌握三角形中的边长与角之间的数量 关系,并可以运用它们解决一些与测量和几何计算有关
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
∴
ha AD C sin B
S ABC
小结：正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
其中R为三角形外接圆的半径
a b c 同样可证得：sin A sin B sin C

j ( AC CB) j AB
C
方法四：用等面积法证明正弦定理
A
分析：
c
B Da
b
而
C
∵
S ABC
1 aha 2
又
∴
1 S ABC ac sin B 2 c sin B b sin C a sin C c sin A
1 变式2：在△ABC中，已知a＝ ， b＝ 2 2 2 ，A＝45°，求B和c。
变式3、在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°， 求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）。
变式3：在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°， 求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）。
b sin A 28 sin 40 解：∵ sin B 0.8999, a 20 ∴B1＝64°，B2＝116°， 当B1＝64°时，C1＝180°－（B1＋A） ＝180°－（ 64°＋40°）＝76° a sin C1 20 sin 76 30. ∴ c1 sin A sin 40 当B2＝116°时，C2＝180°－（B2＋A） ＝180°－（116°＋40°）＝24°
a b c sin A sin B sin C
这就是我们今天要学习的正弦定理，事实上定理对 任意三角形均成立． 下面我们来证明正弦定理对任意三角形均成立。
（1）A为锐角 C
b
C b A a a
a
A B a = bsinA C (一解） b
A
B2 bsinA<a<b
B1
( 两解） a B a≥b (一解）
5.9 正弦定理、余弦定理
一、复习与引入
回忆一下直角三角形的边角关系? a a 2 b2 c 2 tan A A B 90 b a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？ B
a b c sin A sin B
sin C 1
A c a b C
A
C
1、在锐角三角形中证明 正弦定理
在锐角 ABC中，过A作单位向量j 垂直于AC， c 则有j 与 AB 的夹角为 90 A ， j 与 CB
的夹角为 90 C. 由向量的加法可知：

B
a
b
C
j
AC CB AB j ( AC CB) j AB
j AC cos 90 j CB cos(90 C ) j AB cos(90 A) 怎样建立三角形中边和角间的关系？ a c 即 a sin C c sin A sin A sin C b c 同理，过C作单位向量j 垂直于 CB，可得 sin B sin C
4) SABC
3 ）a 2R sin A, b 2R sin B, c 2 R sin C
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
小结：正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
的实际问题．
(2)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三 角形度量问题． (3)从处理解三角形的实际应用问题中，获得综合运用 解三角形的知识和方法，解决实际问题的经验，发展
创新意识.
学法指导
在学习本章内容时，要注意以下几个方面：
1.重视数学思想方法的运用．解三角形作为几何度量问 题,要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解 题时,要注意函数与方程思想的运用． 2.加强新旧知识的联系．本章知识与初中学习的三角形
例3、已知在 ABC 中， a 2( 3 1), B 45 ,
0
C 30 , 求c 和面积S 。
0
例4 、在三角形
ABC 中 ,
一定成立的是 () A 、 a sin A b sin B B 、 a cos A b cos B C 、 a sin B b sin A
D 、 a cos B b cos A
C
b
D a
a c b sin A sin C sin B
A
c B
探究1: 上述关系式对钝角三角形、直角三 角形是否适用？
探索研究
直角三角形:已知一锐角和一边，求其余元素。
a sinA= c
所以 c=
a sin A
b sinB= c sinC= 1 。
A c B a
c=
b sin B
c=
c sin C
A
a b c sin A sin B sin C
2、在钝角三角形中证明正弦定理
在钝角 ABC中，不妨设A为钝角，过A作单位向量j B 垂直于 AC ， a 则有j 与 AB 的夹角为 A 90 ， j 与 c 可知 ：
CB 的夹角为 90 C . 又向量的加法
j
A
b
ABC中, 例、在任一三角形 5 求a(sin B sin C )
的值。
ห้องสมุดไป่ตู้b(sin C sin A) c(sin A sin B)
四、练习
练习： 1、在ABC 中，若
a A cos 2 b B cos 2 c C cos 2
，则ABC 是(
)
A．等腰三角形 C．直角三角形
（2）A为直角或钝角
a sin C 2 20 sin 24 13. ∴ c2 sin A sin 40
变式:4、在△ABC中，已知 a=28，b=20， A=120º，求B（精确到1º）和（保留两 个有效数字）。
C
b
a
120º A
B
• 深化探究：已知两边和其中 一边的对角解三角形，有两 解、一解或无解的情形，怎 样判断解的个数？
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
D
五、小结
1、 正弦定理 的比 相等，即 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
a b c 2R sin A sin B sin C
2、正弦定理能解什么类型的三角形问题 。
课后反思
正弦定理的推导整整一节课，练习基本题型，判断解的个 数是难点。每种推导方法的切入有些生硬，学生想不到， 如何更好的铺垫台阶? 其实正弦定理、余弦定理就是研究边角之间的关系，让学 生自己探究有哪些情况可以解三角形，如何解？推导公式， 公式的作用，公式的应用
正弦定理及应用
创设情景
问题1：如图，江阴长江大桥全长2200m，在北 桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的张角为 o 75 ，在火车北渡口C处测得大桥南北桥墩的张 o 角为45 ，试求BC的距离。
C
C火车北渡口
450
450
北桥墩A
750
B南桥墩
750 A
B
问题2： △ABC中，根据刚才的求法写出 A 、 C 、 a 、 c 的关系式。并由此猜想与 B 、 b的关系式再给予证明。