两个向量的叉积.pdf

§1.8 两向量的向量积

定义1.8.1 两个向量a 与b 的向量积（外积）是一个向量，记作a ×b ，它的模是

|a ×b | = |a | |b | sin θ

其中θ 为a 与b 间的夹角. a ×b 的方向与a 与b 都垂直，并且按a ，b ，a ×b 的顺序构成右手标架{O ；a ，b ，a ×b }（下图）.

a

b

a b

a b θ

定理1.8.1 两个不共线向量a 与b 的向量积的模，等于以a 与b 为边所构成的平行四边形的面积.

定理1.8.2 两向量a 与b 共线的充要条件是a ⨯ b = 0.

证 当a 与b 共线时，由于sin(a 、b ) = 0，所以 |a ⨯b |=|a | |b | sin(a 、b ) = 0，从而a ⨯b =0；反之，当a ⨯b = 0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或sin(a 、b ) = 0，a // b ，因零矢可看成与任向量都共线，所以总有a // b ，即a 与b 共线.

定理1.8.3 向量积满足下面的运算律:

(1) 反交换律

a ⨯

b = −b ⨯ a ， (2) 分配律

(a + b ) ⨯ c = a ⨯ c + b ⨯ c ，c ⨯ (a + b ) = c ⨯a + c ⨯ b . (3) 数因子的结合律 (λa ) ⨯ b = a ⨯ (λb ) = λ(a ⨯ b ) (λ为数). 证 （略）.

定理1.8.4 设a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k ，则

a ⨯

b = (a y b z −a z b y )i ＋(a z b x −a x b z )j ＋(a x b y −a y b x )k .

证 由向量积的运算律可得

a ⨯

b = (a x i + a y j + a z k ) ⨯ (b x i + b y j + b z k )

=a x b x i ⨯ i + a x b y i ⨯ j + a x b z i ⨯ k

＋a y b x j ⨯ i ＋ a y b y j ⨯ j ＋ a y b z j × k

＋a z b x k ⨯ i + a z b y k ⨯ j +a z b z k ⨯ k .

由于 i ⨯i = j ⨯j = k ⨯k = 0，i ⨯j = k , j ⨯k = I ， k ⨯ i = j ,

所以 a ⨯b = (a y b z −a z b y )i ＋(a z b x −a x b z )j ＋(a x b y −a y b x )k .

为了帮助记忆，可利用三阶行列式符号将上式形式地写成

z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯

使用时可按第一行展开.

例1 设a = (2, 1, −1)，b =(1, −1, 2)，计算a ⨯b .

解 2

11112−−=⨯k j i b a = i －5j －3k .

例2 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.

解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积

→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆.

由于→

AB =(2, 2, 2), →

AC =(1, 2, 4), 因此

→→421222k j i =⨯AC AB =4i −6j +2k .

于是

142)6(42

1|264|21222=+−+=+−=∆k j i ABC S . 例3 设刚体以等角速度ω 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M 的线速度.

解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量n 表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是n 的方向.

设点M 到旋转轴l 的距离为a , 再在l 轴上任取一点O 作向量r =OM , 并以θ 表示n 与r 的夹角, 那么

a = |r | sin θ .

设线速度为v , 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v 的大小为

|v | =| n |a = |n ||r | sin θ

v 的方向垂直于通过M 点与l 轴的平面, 即v 垂直于n 与r , 又v 的指向是使n 、r 、v 符

合右手规则. 因此有

v = n ⨯r .