第4章-可测函数(习题)

第四章 可测函数
习题 4-1-P108
P108
1、证明 E 上的两个简单函数的和与乘积都还是 E 上的简单函数 .
证明：设
i ( x)
mi
ck( i )
k1
E
( k
i
)
(x) ,
i
1,2 ,为 E 上的两个简单函数 ,
那么 E
m1
E (1) k
k1
m1
E (2) k
k1
1 (x)
2 (x)
m1
ci(1)
证明： f (x) M ( E) f (x) M ( E)
非负简单函数列 { k (x)} s.t. f (x) lim k ( x) k
简单函数列 k ( x) k ( x) k (x) s.t.
f (x)
f ( x)
lim
k
k ( x)
lim
k
k ( x) , 即 f ( x)
lim
k
k ( x) .
xi f (x1, x2 ,
, xn )
lim
k
k ( x) ,
所以
f (x1, x2 , , xn ) , i 1,2, ,n , 都是 Rn 上的可测函数 .
xi
习题 4-2-P113
P113
1、举例说明 Egoroff 定理中的条件 mE
一般说来是不能取消的 .
Egoroff 定理：设 (1) mE
显然 lim fm (x) 0 , 当然 lim fm (x) 0 a.e. E , 由于
m
m
m[ x; fm ( x) 1] m[ m 1, m] 1, 有 mE[ x; fm (x) 1]
,
m1
可见逆命题不成立 .
5、设 mE
, f (x) 在 E 上非负可测 , 证明对任意 y , E y E[ x; f ( x) y]
的非负可测函数 . 证明：由条件知
a R , E[ x; f (x) a, x E1 ] M n , E[ x; f ( x) a, x E2]
于是
E[ x; f ( x) a, x E1 E2] E[ x; f ( x) a, x E1 ] E[ x; f ( x) a, x E1] M n 所以 f ( x) 也是 E1 E2 上的非负可测函数 .
都是可测的 ,进而证明使 mEy 0 的 y 最多有可数多个 .
证明： (1) 由条件知 , k N , E[ x; y f ( x) y 1 ] M ,则
k
Ey E[ x; f ( x) y]
E[ x; y
f (x)
y
1 ]
M.
k1
k
(2) 由于 y1 y 2 时 , E y1 E y2
,记 Bk { y | mEy 1} ,于是 k
0
f ( x)
M.
4、设 { fm (x)} 是可测集合 E 上的非负可测函数序列 , 证明：如果对任意
0,
都有 mE[ x; fm ( x) ]
m1
, 则必有
lim
m
fm(x)
0 a.e. E . 又问这一命题
的逆命题是否成立？
证明： (1) x D { x | lim fm (x) 0 , x E} , 0 0 , N N , m N m
E2 上 Mn,
3 、设 mE
, f ( x) 是 E 上的几乎处处有限的非负可测函数
,证明对任意
0 , 都有闭集 F E ,使 m( E F ) ,而在 F 上 f ( x) 是有界的 .
证明：显然 Dm E[ x; f ( x) m] M , D E[ x; f (x)
]
Dm E ,
m1
由于 mE
f1( x) lim i ( x) , x E1 , f2 ( y) lim j (x) , y E2 ,
i
j
当然 ( x, y) E1 E2 时,上两式也成立 , 由 P70.1.知 i (x) j ( y) 都是简单函数 ,
因 f1( x), f 2( y) 在 E E1 E2 上几乎处处有意义 ,有
,有 lim mDm m( Dm ) mD 0 , m m1
于是
0 , M N s.t. mDM ,
2
对于 E M E DM M , 闭集 F EM E s.t. m(EM F ) , 2
有 m(E F ) m(E EM ) m( EM F ) mDM m(EM F ) ,
显然在 F
EM
D
c M
上,
9、证明；当 f1( x) 是 E1 R p , f 2( y) 是 E2 R q 中的可测函数 ,且 f1(x), f2 ( y) 在 E E1 E2 上几乎处处有意义时 , f1(x) f 2( y) 是 E 上的可测函数 . 证明：由条件及上题知 , 简单函数列 i (x) , j ( y) s.t.
c ) ( x) ( x) ( 2)
j
Ei(1 )
E
( j
2
)
m1 m2
( ci( 1)
i1 j1
c ) (x) ( 2)
j
Ei(
1
)E
( j
2
)
,
1 (x) 2 (x)
m1
ci(1)
i1
m2
( x) E
(1) i
c(j 2)
j1
( x) E
( j
2)
m1 m2
c c (1) (2) ij
i1 j1
均有 f ( x) N ( f (x0), ) G , 从而 x f 1(G ) ,
于是 N ( x0, ) f 1(G) , 那么 f 1(G ) O M .
由于 f 1(G ) { x | f ( x) a, x E} E f 1(G ) M ,
所以 f ( x) M (E ) .
7、设 f ( x) 是 R 上的单调递增实函数 ,试证明 : f ( x) M ( R) . 证明： a R , 记 m inf { f ( x)} , Ea { x | f (x) a, x R} ,
解：取 E R , mE
, f ( x) 0 , fk (x) [ k 1,k ] ( x) M ( E ) aF ( E) ,
E
显然 f ( x) lim f k ( x) , 当然 f (x) ~ lim f k ( x) ,
k
k
取
1
,
E
M , 虽然满足 E
E , m(E E )
,
2
但 k N , 记 I k [ k 1, k ] , 由于 1 mI k m(E I k ) m(E c I k ) m(E
对 R 中任意 Borel 集 B , f 1(B ) 是 Borel 集 .
11、设 f (x) 是 E 上的可测函数 , g( y) 是 R 上的连续函数 ,证明 g[ f ( x)] 是 E 上
的可测函数 .
证明： a R , 因 g(y) C( R) ,若 G ( , a) O ,有 g 1(G) { y | g( y) a} O
而得到的集合 ,因此本题只要对开集证明即可 .
(1) f ( x) M (E )
a b R , f 1( B) { x | a f ( x) b} M
1
对 R 中任意开集 B , f (B)
M
1
对 R 中任意 Borel 集 B , f (B)
M.
(2) 如果 f (x) C( Rn) , B O , f 1( B) O
xi f ( x1, x2, , xn ) , i 1,2, , n 都是 Rn 上的可测函数 . 证明：因 f ( x) 可微当然连续 , k N ,由上题知 ,
k ( x) k[ f ( x1, x2, , xi 1 , , xn ) f ( x1 , x2, , xi , , xn )] k
可测 ,因 f ( x) 可微 ,有
证明： E M , a R ,显然 G (a, ) O , 下面证明 f 1(G ) M .
x0 f 1(G ) { x | f ( x) a, x R n} ,
因 f ( x0 ) G O ,
0 s.t. f (x0) N ( f ( x0 ), ) G ,
这样对于
0,
0 , s.t . x N (x0, ) ,
f1( x) f2 ( x)
lim
i
i
(
x
)
lim
j
j (x)
lim lim
ij
i ( x) j ( x) a.e. E ,
所以 f1( x) f 2 ( y) 是 E 上的可测函数 .
10、证明：如果 f (x) 是定义于 Rn 中上的可测子集 E 上的函数 ,则 f ( x) 在 E 上
可测的充要条件是对 R 中任意 Borel 集 B , f 1 (B) { x | f (x) B} 都是 E 的
I k ) m( E c )
有 m( E I k ) 1 m(E c ) 1 m(E E ) 1
1
,
2
可见 k N , 必 x E I k E s.t. | fk (x) f ( x) | 1,
说明 f k ( x) 在 E 上不一致收敛于 f ( x) .
2、设 mE
E
, fm ( x)
aF (E ) , fk (x) M ( E) , k
由于 x { x | g[ f ( x)] a} g[ f (x)] a f ( x) g 1(G ) x f 1[ g 1(G )] ,
于是 { x | g[ f ( x)] a} f 1[ g 1(G )] M , 所以 g[ f ( x)] M ( E ) .
12、证明：如果函数 f (x) f (x1, x2 , , xn ) 是 Rn 上的可微函数 ,则
i1
m1 m2
E E (1) ( 1)
i
j
,于是
i1 j1
( x ) Ei(1)
m2
c
( j
2)
j1
( x) E
(2 j
)
m1
m2
c(1) i
i1
j1
( x) ( x) Ei( 1)
E(j 2)
m2
m1
c( 2) j
j1
i1
( x) ( x) Ei( 1)
E(j 2 )
m1 m2
( ci( 1)
i1 j1
( x) Ei( 1 )
(x) E
( j
2
)
m1 m2
c c (1) (2 ) ij
i1 j1
( x) Ei( 1) E
(2 j
)
,
所以 1 (x) 2 (x) 与 1( x) 2( x) 都是 E 上的简单函数 .
2、证明当 f (x) 既是 E1 上又是 E2 上的非负可测函数时 , f ( x) 也是 E1
xR
因 f (x) 递增 ,若 Ea ,则 Ea [ , ) M , 若 Ea ,则 Ea ( , ) M ,所以 f (x) M (E ) .
inf
xR
E
a
,
8、证明 Rn 中可测子集 E 上的函数 f ( x) 可测的充要条件是存在上的一串简单
函数
k ( x) ,使 f ( x)
lim
k
k (x)于 E .
, f k ( x), f ( x) aF ( E ) ；
E
(2) f k (x) M ( E ) , k N ； (3) f ( x) ~ lim f k ( x) , x E ； k
则
0 , 均 E M , 满足 E E , m(E E ) , 且 fk (x) 在 E 上一
致收敛于 f ( x) .
A { E y | mEy 0} ~ B { y | mEy 0}
Bk ,
k1
又因 mE
,则 Bk 只能是有限集 ,否则必有可数 yi
1
E
E yi , mE m( E yi )
i1
i1
mE yi
i1
i 1k
Ek s.t.
,
于是 Bk a ,所以 A B
Bk a .
k1
6、设实函数 f (x) C(Rn) ,证明 : E M ,均有 f ( x) M ( E ) .
s.t. f m ( x) 0 , 即 D
E[ x; fm (x) 0 ] ,
mN
因 E[ x; f m( x) 0]
,有
m1
mD
mE[ x; fm ( x) 0 ] 0 , N
wenku.baidu.commN
, 即 mD 0 ,
所以
lim
m
fm (x)
0 a.e. E .
(2) 取非负 f m (x) [ m 1,m ] ( x) M , E R ,
k
k N , 取 Ek
Di
D k E , Ek M , 且
m 1i m
{ f m ( x)} 在 Ek 上一致收敛于 f (x) , 由于
m( E
Di ) m[
(E
m 1i m
m 1i m
m( E
D
c i
)
m( E Di )
im
im
D
c i
)]
1 i m 2i
可测子集 ,如果 f (x) 还是连续的 , 则 f 1( B) 还是 Borel 集 .
证明：已知
Bi , B
R ,有
1c
1
c
f ( B ) [ f (B)] ,
f 1( Bi )
f 1(Bi ) ,
i1
i1
f 1 ( Bi )
f 1(Bi ) ,
i1
i1
又已知 Rn 中 Borel 集是由开集经过一系列取余集 ,作可数交 ,作可数并
N
, lim m
f m (x) ~ 0 , 证
明 Ek E,{ Ek } 收敛于 f (x) .
M , s.t. mE lim mEk , 且在每个 Ek 上 { fm (x)} 都一致 k
证明： i N , D i M , 满足 Di
1 E , m(E Di ) 2i , 且
{ f m ( x)} 在 Di 上一致收敛于 f (x) ,