高级中学数学蒙日圆及其证明

蒙日圆及其证明

高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22

22:1(0)

x y C a b a b

+=>>

的一个焦点为

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．

答案：(1)22

194

x y +=；(2)2213x y +=．

定理 1 曲线1:22

22=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆

2222b a y x +=+.

定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：

定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.

当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是

)0)((00≠-=-k x x k y y .

由⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=+

)(10022

22x x k y y b y a x ，得

0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a

由其判别式的值为0，得

)0(02)(22

022*******≠-=++--a x b y k y x k a x

因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以

2

2

02

2

0a

x b y k k PB

PA -+=⋅ 由此，得

222

0201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅

进而可得欲证成立.

定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.

当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .

得直线1:

2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+b

y

y a x x PB b y y a x x PA .所以：

212

1221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PB

PA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-= PB

PA OB

OA k k a b k k 44

= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:22

22=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+b

y y a x x AB 上，所以

2

20202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a

x x b y a x i i 0)(2)(2

204002

22

22

04=-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a x

y b y a i

i

i

i

所以 PB

PA OB

OA k k a b b y a a x b x x y y k k 44

220422

042121)()(=

--== 2

2

02

2

0a

x b y k k PB

PA --= 由此，可得

222

020b a y x PB PA +=+⇔⊥

进而可得欲证成立.

再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.

引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).

图1

证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点

P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l

上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：

图2

在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得

2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'

再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.

引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.

证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .

图3

由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以

a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(2

1

)(21.

引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).

引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．