奥本海姆信号与系统中文版课后习题答案

1．对一个LTI 系统，我们已知如下信息：输入信号2()4()t

x t e u t =-；输出响应

22()()()t t y t e u t e u t -=-+

(a) 确定系统的系统函数H(s)及收敛域。 (b) 求系统的单位冲激响应h(t)

(c) 如果输入信号x(t)为(),t

x t e t -=-∞<<+∞ 求输出y(t)。 解：(a) 4114

(),Re{}2,(),2Re{}2222(2)(2)

X s s Y s s s s s s s ---=

<=+=<-<--+-+ 1

(),Re{}22

H s s s =

>-+ (b) 2()()t

h t e u t -= (c) ()2()()t t y t e e u d e τ+∞

---τ--∞

=ττ=⎰

; ()(1)t t y t H e e --=-=.

2. 已知因果全通系统的系统函数1()1

s H s s -=+，输出信号2()()t

y t e u t -= (a) 求产生此输出的输入信号x(t). (b) 若已知

dt ∞

∞

<∞⎰

+－|x(t)|，求输出信号x(t).

(c) 已知一稳定系统当输入为2()t

e u t -时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出

系统的单位冲激响应h(t).

解：(a) 1

()2

Y s s =

+。Re{}2s >-，()1()()(1)(2)Y s s X s H s s s +==-+ 由于()H s 的ROC 为Re{}1s >-，()X s ∴的ROC 为2Re{}1s -<<或Re{}1s > 若 1ROC 为-2

()()()33

t t x t e u t e u t -=-- 若2ROC 为Re{s}>1，221()(2)()3

t

t x t e e u t -=+ (b) 若

dt ∞

∞

<∞⎰

+－|x(t)|，则只能是1()()x t x t =

即：212

()()()33

t t x t e u t e u t -=

-- (c) 212

()()()()33

t t y t x t e u t e u t -==

--; 1(),2Re{}1(1)(2)s Y s s s s +=

-<<-+

()1

()()1

Y s s H s X s s +∴=

=-, 这就是(a)中系统的逆系统。 由于系统稳定∴ROC 为()c u t Re{}1s <

()()2()t h t t e u t =δ--

()Y s 的ROC 为Re{}2,()s X s >-∴的ROC 为2Re{}1s -<<

21()()2()3

t

t x t e u t e u t -=

-- 22()*()()2()*()t t t y t h t e u t e u t e u t --=--

当t>0时，0

22()

21()*()()3

t

t

t t e u t e u t e e d e u t τττ-----∞

-=

=⎰ 当t<0时，22()

21()*()()3

t t t t t e u t e u t e e d e u t τττ-----∞-==-⎰

212

()*()()()()33

t t y t h t e u t e u t x t -∴=--=

从而证明该系统当输入为()y t ，输出为()x t

3. 对差分方程 )1(2

1

)()2(61)1(65)(-+=-+-+

n x n x n y n y n y 所确述的LTI 稳定系统，确定

（a ）系统函数； （b ）单位脉冲响应； （c ）若系统输入)()(n u n x =，求系统的响应)(n y ；

（d ）如果系统输出)(])2

1(3)3

1(2[)(n u n y n

n

---=，求系统输入信号)(n x 。

解：（a ）1

2113

11161651211)()()(----+=

+++

==z z z z z X z Y z H , ROC: 13z > （b ）)()3

1()(n u n h n

-=

（c ）)3

1131

11(43311111)(1

1

11----++-=+⋅-=z z z z z Y , ROC: 1z > )()3

1(41)(43)(n u n u n y n

-+=

（d ）

11

1

1123

()111132

21

11(1)(1)

32

Y z z z z z z -----=

--+-=

-+, ROC: 12z > 11111

(1)(21)

()3()11()(1)(1)32

z z Y z X z H z z z ----+-==

-+,

4. 某离散时间LTI 因果系统在z 平面上的零极点如图P7.17所示。已知系统的单位脉冲响应

)(n h 的初值1)0(=h 。

（a ） 确定系统函数；

（b ） 求系统的单位脉冲响应； （c ） 写出系统的差分方程；

（d ） 若系统的响应)()2

1()(n u n y n

-=，求系统激励)(n x ； （e ） 求出一个满足该系统差分方程的稳定系统的单位脉冲响应。 解：（a ）)

21)(211()(11

---+=

z z k

z H .1=k 得由1)0(=h

（b ）)314

2111(41)(1

1---++=z z z H )(2)()21(41)(n u n u n h n

n +-=

（c ）)()2()1(2

3

)(n x n y n y n y =----