效用函数方法

§4 效用函数方法

一、效用的概念

有时有些问题, 用前节方法不一定很合理. 例6 问题1 有两方案A 1, B 1,

A 1: 稳获100元;

B 1 : 41%获250元, 59%获0元. 问题2

A 2: 稳获10000元;

B 2 : 掷硬币,直到正面,获2N 元. 直观上,一般在问题1中, 选A 1, 在问题2中, 选A 2. 理论上,

问题1中, 选B 1,因为

11()0.412500.590102.5100()

E B E A =⨯+⨯=>=

在问题2中, 选B 2, 因为

222211()22...10000()22

E B E A =⨯+⨯+=∞>= 所以, 期望最大原则, 此处不尽合理.

例7 设用20元买彩票,中奖率0.5, 奖金80,E=20元, 甲经济暂时较拮据, 几天没吃饱, 视20元效用大; 乙经济较宽松, 并不认为20元效用很大, 很可能买. 这就是货币的效用值, 给人提示为:

(1) 决策者应结合实际进行决策;

(2) 可以根据效用值来进行决策.

二、效用曲线的确定及类别

1. 货币效用函数 最初描述对货币量的感受度

效用值U =log a (货币量M ).

可推广运用到决策中.

2. 确定效用函数基本方法

因为这是一种主观量,所以,

一般设最喜欢决策(或某一货币量M), 效用值为1, 最不喜欢的决策(或某一货币量m), 效用值为0, 其它的决策(或货币量k), 效用值为0~1中的数. U

效用M 货币量O

应用时, 将各因素折合为效用值, 计算各方案的综合效用值, 然后选择效用值最大的方案.

3. 效用曲线的具体确定

(1) 直接提问法

向决策者提问:你企业获利100,200,…万元, 你的满意度各是多少? 效用曲线.(不很准,不常用)

(2) 对比提问法

A 1: 可无风险得到一笔金额x ;

A 2: 以概率P 得到一笔金额y ,或以1P -得到z 且z x y >>,(或y x z >>)

各效用表示(),(),()U z U x U y .

设两种方案等价, 则有

()(1)()()PU y P U z U x +-=.

上式有4个变量, 知道其中3, 就可确定第4个量. 通过提问可确定, 有4种:

(1) 固定,,y x z , 问P 取何值时, 1A 与2A 等价,

(2) 固定,,P y z , 问x 取何值时, 1A 与2A 等价,

(3) 固定,,P x y , 问z 取何值时, 1A 与2A 等价,

(4) 固定,,P x z , 问y 取何值时, 1A 与2A 等价;

例8 设0.5P =,610z =,5

510y =-⨯, 且

()1,()0U z U y ==, 如下图所示.

(i) 首问当x 何值时, 有 0.5()0.5()()U y U z U x +=

若答为250000x =-⇒ 则()0.5U x =

(ii) 二问当x '何值时, 有 0.5()0.5()()U x U z U x '+=

若答75000x '=, 则()0.75U x '= (iii) 三问当x ''何值时,有0.5()0.5()()U y U x U x ''+= 若答420000x ''=-, 则()0.25U x ''=, 从而可绘出效用曲线. 属于保守型. 8y

5

10z 2-10.5()

U x 货币x x 'x ''

4. 效用曲线的大致分类 *

5. 效用曲线的应用举例 例 设某石油企业的

效用函数如右图. 欲试验钻井采油, 情况如下树.

试根据决策者的 效用曲线进行决策

解由效用曲线, 查得纯收入与效用值的对应值, 标O x 1保守型效用货币风险型中间型混合型20000-10000-100002000030000x O 1U 0.613000|-27000|0.98-3000-0.270.68

在决策树边(纯收入=收入—支出).

300010000[1](1)[2](2)270000.980.60.85--∆∆∆效用值

纯收入试验好钻井出油0.15不出油130000∆-不钻井0.4不好[3]10000-∆钻井(3)0.10出油0.90不出油不试验10000[4](4)0.55-∆钻井出油不钻井0.45不出油270000.98∆130000∆-不钻井30000.6∆-30000.6∆-300001∆100000.27∆-00.68

∆0.0980.833期望效用值0.67250.8330.60.68

在事件状态点(2),(3),(4)效用期望值分别为 2max (0.833,0.60)0.833

=3max (0.098,0.60)0.60=

4max (0.672,0.68)0.68=

在事件状态点(1)效用期望值为

0.60.8330.40.60.7398⨯+⨯=

1max (0.7398,0.68)0.7398=⇒试验

最后决策: (1)试验; (2)若好, 则钻井;不好,则不钻井.

*6. 其它效用曲线函数 线性112()()U x c a x c =+- 指数23()11()(1)a x c U x c a e -=+- 双指数3322()()11()(2)a x c a x c U x c a e e --=+-- 指数+线性22()1133()(1)()a x c U x c a e a x c -=+-+- 幂函数41213()[()]a

U x a a c x a =+- 对数函数1132()log()U x c a c x c =+-