6.4 电子气的比热容

的表达式不改变其结果 因此把上式左边加入
∆U = ∫ (ε − ε F ) f (ε ) D(ε )dε + ∫ (ε F − ε )[1 − f (ε )]D(ε )dε
εF
0
εF
5
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
C / T = γ + AT 2
y = γ + Ax
这是一条直线，斜率为 A，截距为 γ 。 γ 被称为 这是一条直线， ， 索末菲参量
13
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
的观测值具有所预期的量级， 系数 γ 的观测值具有所预期的量级，但和下式
π2 2 Cel = D(ε F )k BT 3 对质量为 m 的自由电子所作的计算结果符合得不 是很好
三维自由电子气随温度的变化曲线
8
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
当 kBT<<εF 时，可 以忽略化学势 µ 对温度 的依赖性， 的依赖性，并用常量 εF 代替， 代替，则有
df ε − ε F e (ε −ε F ) / k BT = ⋅ (ε −ε F ) / k BT 2 dT k BT [e + 1]2
CeAl3 600
16
从而
1 2 T Cel = π Nk B 2 TF
TF 称为费米温度，但它与实际上的电子温度没 称为费米温度， 有任何关系， 有任何关系，只是一种方便的符号而已
11
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
6.4. 1 .
金属比热容的实验结果
在温度远低于德拜温度和费米温度的情况下， 在温度远低于德拜温度和费米温度的情况下， 金属热容可以写成电子和声子两部分贡献之和
C = γT + AT 3
是标识材料特征的常数。 其中 γ 和 A 是标识材料特征的常数。电子贡献的 的线性函数， 部分是温度 T 的线性函数，并在足够低的温度下 占据主导地位
12
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
实验上一般将 C 的实验值通过 C/T 关于 T2 的 函数关系给出
εF
∆U = ∫ (ε − ε F ) f (ε ) D(ε )dε + ∫ (ε F − ε )[1 − f (ε )]D(ε )dε
εF
0
∞
位于能量 ε 附近 dε 范围 内的轨道上的电子数 第一个积分表示将电子由 εF 激发到 ε >εF 轨道所需 的能量， 的能量，第二个积分表示 将电子由能量 εF 以下的轨 道激发到 εF 所需的能量
一维和三维自由电子气的化学势
令 x=(ε−εF)/kBT ，可得
x 2e x 2 Cel = k BTD (ε F ) ∫ dx −ε F / k BT (e x + 1) 2
∞
对于一般的金属， 对于一般的金属，室 温时有 τ/εF≈0.01，这 ， 样 µ 就近似等于εF
9
固体物理导论 固体物理导论 物理
π2 2 Cel = D(ε F )k BT 3
10
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
π2 2 Cel = D(ε F )k BT 3 对于自由电子气， 对于自由电子气，令 kBTF=εF，则由前面导出的态 密度公式， 密度公式，得
D(ε F ) = 3 N / 2ε F = 3N / 2k BTF
第 6 章 自由电子费米气
6.4 .
∞
电子气的比热容
x 2e x 2 Cel = D(ε F )k BT ∫ dx x 2 −ε F / k BT (e + 1)
如果考虑低温情形， 如果考虑低温情形，如 εF/kBT≥100，那么被积函 ， 就变得非常小， 数中的 ex 就变得非常小，这样积分下限可用 -∞ 代替， 代替，所以上式积分部分变为 ∞ x 2e x π2 ∫−∞ (e x + 1) 2 dx = 3 因此得到电子气的热容为
在实际应用中， 在实际应用中，通常将电子热容的观测值与 自由电子的热容之比表示为热有效质量与电子质 量之比 mth γ (观测) = (Q γ ∝ m) m γ (自由)
14
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
因为 所以
h 3π N εF = V 2m
15
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
6.4. 2 .
重费米子
一些重金属化合物往往具有很大的电子热容常 数 γ，其值比一般金属的电子热容常数高 2~3 个数 量级， 量级，这些材料称为重费米子金属
金属化合物 CeCu2Si2 mth/m 460
UBe13 300
3
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
电子热容定量表达式的推导
当 N 个电子构成的系统由 0 K 加热到 T 时， 其总能量的增加为
∆U = ∫ εD(ε ) f (ε )dε − ∫ εD(ε )dε
0 0 ∞
εF
= − ∫ εD(ε )[1 − f (ε )]dε + ∫ εD(ε ) f (ε )dε
0
εF
∞
εF
为单位能量间隔内的轨道数目， 式中 D(ε) 为单位能量间隔内的轨道数目， f(ε) 为 费米-狄拉克函数 费米 狄拉克函数 1 f (ε ) = (ε − µ ) / k BT e +1
4
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
系统总的轨道数目为
表示一个电子离开能 量为 ε 的轨道的概率
6
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
的积分可算得电子热容。 由 ∆U 对温度 T 的积分可算得电子热容。在 ∆U 中只有 f(ε) 与温度有关，因此 与温度有关，
Cel = ∫
∞ 0
df (ε ) (ε − ε F ) D(ε )dε dT
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
经典理论无法解释传导电子热容
N 个自由运动电子对热容的贡献 经典理论预测 室温下观测
能量均分定理
3 Nk B 2 3 < 1% × Nk B 2
所以经典理论无法解释自由电子对晶体热容 的贡献， 的贡献，我们必须运用量子理论来处理此问题
2 2
2/3
π2 π 2 3N 2 2 γ = D(ε F )k B = ⋅ kB ∝ m 3 3 2ε F
热有效质量与电子质量之比不等于1的原因： 热有效质量与电子质量之比不等于1的原因：
• 传导电子同刚性晶格周期势场的相互作用 电子在这种势场中的有效质量被称为能带有效质量 电子在这种势场中的有效质量被称为能带有效质量 • 传导电子与声子的相互作用 • 传导电子之间的相互作用
N = ∫ D (ε ) f (ε )dε = ∫ D(ε )dε
0 0 ∞
εF
上式两边乘以 εF 得
(∫
εF
0
+∫
∞
εF
)ε F D(ε ) f (ε )dε = ∫ ε F D(ε )dε
0
εF
即
∫
∞
εF
0
ε F D(ε )[1 − f (ε )]dε − ∫ ε F D(ε ) f (ε )dε = 0
1
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
电子热容的定性讨论
当样品从绝对零度开始加 热时， 热时，只有能量位于费米 能附近 kBT 范围内的轨道 电子才被热激发， 电子才被热激发，每个被 激发电子所获得的能量量 级正好为 kBT， 所以被激 ， 发电子的比例约为 T/TF， 为电子总数， 设 N 为电子总数，则被激 发的电子数约为 NT/TF
对于金属中感兴趣的温 度区域 kBT/εF<0.01， ，
df (ε ) (ε − ε F ) dT
ε → εF
显著正值峰
7
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
近似： 近似：对电子热容积分式中的态密度取为 εF 处的 D(ε) 进行计算 ∞ df (ε ) dε Cel ≅ D(ε F ) ∫ (ε − ε F ) 0 dT
2
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
个电子中， 在被激发的 NT/TF 个电子中，每个都具有能 的热能， 级为 kBT 的热能，所以总的电子热能的量级为 T U~N k BT TF 于是电子热容为 ∂U T Cel = ~ Nk B TF ∂T 正比于温度 T，与实验结果一致。室温下， TF 约 ，与实验结果一致。室温下， 为 5×104 K，Cel 比经典值 (3/2)NkB 约小两个量级 ，