立体几何一

中科教育学科教师辅导讲义

讲义编号： zk_mayanlong012

学员编号： 年 级：高三 课时数：2 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师:马彦龙

课 题 空间几何体的结构、三视图和直观图

授课日期及时段

2015 年 月 日 :00 — :00

教学目的

1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；

2.考查三视图、直观图及其应用．．

．

1．多面体的结构特征

(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似． 2．旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到． 3．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图． 4．空间几何体的直观图

(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；

(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.

[难点正本 疑点清源]

2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．

3．空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．

1．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．(写出所有正确的序号)

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图

是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．

2．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．

3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )

A．圆柱B．圆锥

C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

4．(2012·湖南)某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能

．．．是( )

5.如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该

三棱锥的主视图是( )

题型一空间几何体的结构特征

例1设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．

思维启迪：利用有关几何体的概念判断所给命题的真假． 答案 ①④

解析 命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．

探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．

以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 题型二 几何体的三视图

例2 如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为1

2

，则该几何体的俯视图可以是

( )

思维启迪：对于三视图的有关问题，一定要抓住“投影”这个关键词，把握几何体的 形状． 答案 C

解析 若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B ，则该

几何体的体积为π4，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C ，则该几何体的体积为1

2

，满足题意；若该几何体

的俯视图是选项D ，则该几何体的体积为π

4，不满足题意．故选C.

探究提高 对于几何体的三视图，要注意以下几点： ①三视图的排放位置．

主视图、左视图分别放在左、右两边，俯视图放在主视图的下边． ②注意实虚线的区别．

一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为

( )

例3 已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．

思维启迪：按照直观图的画法，建立适当的坐标系将三角形A ′B ′C ′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律．

解 建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，A ′B ′边在x 轴上，

把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A 、B 点即为A ′、B ′点，长度不变． 已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，

由正弦定理得OC ′sin∠OA ′C ′＝A ′C ′

sin 45°，

所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝6

2a ，

所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62

a 2

.

探究提高 对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S 与其直观图面积S ′之间的关系S ′

＝2

4

S ，并能进行相关问题的计算． 正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．

三视图识图不准确致误

典例：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．