1波动方程及其解一维简谐波详解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x p x k 3 4 cm
4） y p ( x , t )
2.0 cos(100 t x / 2) cm
a b k（ x b x a ） k x u 3）波速u : 任一位相的速度——相速度 k T
k
相位落后 4）原点初相为 5）波型曲线
2
波速ｕ b a · x x
2
o
u
t
求原点下一时刻振动方向
x
例：简谐波如图，波速 u =100cm/s，求：1）O、P、Q各点 下时刻的运动方向；2）波函数； 3）P点的坐标；4）以 P 为坐标 原点的波函数 解： 作下时刻的波形线 1）O、Q点向下；P 点向上 2）四个参量
波动方程及其解
1 波动方程
2 波动方程的解（波函数）及物理意义
一维简谐波表达式(波函数)
波
动
§1
波动方程及其解
一.固体棒中某截面处的应力、应变关系 x+x x o x = l 自由状态 x截面 t 时刻 F1
x x+x截面 质量体 密度
(x,t) l+ l
平均形变 x 处截面应变（ x0）：/x
2
O
y(cm)
u 1.0cm
t=0
源自文库
A 2 .0 cm
2 .0 cm -2.0
P
Q
x(cm)
4 uk 100 / s k 2 / cm y ( x , t ) 2 .0 cos(100 t x / 4 ) cm p 2 3 2 o p 3 4 3）P 点的初相
( x , t0 )
1 ( ut 0 x )2 1
(x,t0)
0 x
( x , t0 ) A cos( x ut 0 )
o
x
考察位移为某一定值
2
= 0 的时空点( x, t )
若
2 2 2 u x2 t
u
2
Y
( x, t ) f (u t x ) 0 要求 ut x 常 数 位移（取定值）的运动表达式 dx u 位移运动的速度： v dt
(x+x, t)
平均应变 相对形变 虎克定律
l / l =[(x+ x,t) - (x,t)] / x
F 应力（内力） F(x,t)/S Y ——产生形变 S x Y -杨氏模量 比较 F k x
二.
波动方程
ma F2 F1 质量体密度
( S x ) 2 t
2 2
n
6 简谐波 质元作简谐振动，该振动（位相）就将传播
构造
( t ) A cos( t ) ( x , t ) A cos( t kx )
波函数
( x , t ) A cos{k [( / k ) t x ] }
要求 k = / u
2
o
F1
x1
x
x
x2 x
F2
x2截面
F2 F1
· ·
(x,t)
截面S x1截面 虎克 x 定律
2 t2
F2 F1 S S
Fi Y( )i S x
i 1,2
Y ( / x ) 2 ( / x )1 2 x t
2 t
4 波函数的物理意义
物理量（位移）以速度u运动（传播）——行波 某一质元（波源）率先以某种方式运动时，这一 运动方式将以速度u传播 当
( x, t ) f (u t x ) ( x, t ) f (u t - x )
波速为 -u
波速为 +u
5 波的叠加性
i 2 i = ai i 而 若 u i 1 t 2 2 x2 2 Y 2 2 则 u u 2 2 t x
2
2
x0
u
2
Y
x
2
2
u
2
2 x2
波动方程
Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解
2 d f 存在，则 若 dy 2
2
2 2 u 2 2 x t
u
2
Y
( x, t ) f (u t x ) f ( y )
证明
是方程的解——称为波函数
t
2
2
u
2
d f dy
2
2
u
2
x
2
2
u
2
d f dy
2
2
( 1)2 u
d2 f dy
2
2 d f 2
dy 2
例： f ( y ) 2 y 1
1
f ( y ) A cos y
存在，
( x, t )
1 ( ut x ) 1
2
k----波数： 单位距离包含的相位(差)
§2 一维简谐波表达式(波函数)各量的物理意义 2 2 ( x , t ) A cos( t kx ) A A cos{ cos(k [ utt x] x} ) T
1） 每个质元振动的 A 2)
相同
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 波长 : 两相邻同相点间的距离 o
( x , t ) A cos(ut x )
是方程解
波动方程有无穷多个波函数形式
2 各个质元的运动形式 对于固定点x0
2
2 2 u 2 2 x t
u
2
Y
( x0 , t ) f (u t x0 )
质元可作无穷多个函数形式的运动
3 波型曲线 固定 t, (t = t0 )
4） y p ( x , t )
2.0 cos(100 t x / 2) cm
a b k（ x b x a ） k x u 3）波速u : 任一位相的速度——相速度 k T
k
相位落后 4）原点初相为 5）波型曲线
2
波速ｕ b a · x x
2
o
u
t
求原点下一时刻振动方向
x
例：简谐波如图，波速 u =100cm/s，求：1）O、P、Q各点 下时刻的运动方向；2）波函数； 3）P点的坐标；4）以 P 为坐标 原点的波函数 解： 作下时刻的波形线 1）O、Q点向下；P 点向上 2）四个参量
波动方程及其解
1 波动方程
2 波动方程的解（波函数）及物理意义
一维简谐波表达式(波函数)
波
动
§1
波动方程及其解
一.固体棒中某截面处的应力、应变关系 x+x x o x = l 自由状态 x截面 t 时刻 F1
x x+x截面 质量体 密度
(x,t) l+ l
平均形变 x 处截面应变（ x0）：/x
2
O
y(cm)
u 1.0cm
t=0
源自文库
A 2 .0 cm
2 .0 cm -2.0
P
Q
x(cm)
4 uk 100 / s k 2 / cm y ( x , t ) 2 .0 cos(100 t x / 4 ) cm p 2 3 2 o p 3 4 3）P 点的初相
( x , t0 )
1 ( ut 0 x )2 1
(x,t0)
0 x
( x , t0 ) A cos( x ut 0 )
o
x
考察位移为某一定值
2
= 0 的时空点( x, t )
若
2 2 2 u x2 t
u
2
Y
( x, t ) f (u t x ) 0 要求 ut x 常 数 位移（取定值）的运动表达式 dx u 位移运动的速度： v dt
(x+x, t)
平均应变 相对形变 虎克定律
l / l =[(x+ x,t) - (x,t)] / x
F 应力（内力） F(x,t)/S Y ——产生形变 S x Y -杨氏模量 比较 F k x
二.
波动方程
ma F2 F1 质量体密度
( S x ) 2 t
2 2
n
6 简谐波 质元作简谐振动，该振动（位相）就将传播
构造
( t ) A cos( t ) ( x , t ) A cos( t kx )
波函数
( x , t ) A cos{k [( / k ) t x ] }
要求 k = / u
2
o
F1
x1
x
x
x2 x
F2
x2截面
F2 F1
· ·
(x,t)
截面S x1截面 虎克 x 定律
2 t2
F2 F1 S S
Fi Y( )i S x
i 1,2
Y ( / x ) 2 ( / x )1 2 x t
2 t
4 波函数的物理意义
物理量（位移）以速度u运动（传播）——行波 某一质元（波源）率先以某种方式运动时，这一 运动方式将以速度u传播 当
( x, t ) f (u t x ) ( x, t ) f (u t - x )
波速为 -u
波速为 +u
5 波的叠加性
i 2 i = ai i 而 若 u i 1 t 2 2 x2 2 Y 2 2 则 u u 2 2 t x
2
2
x0
u
2
Y
x
2
2
u
2
2 x2
波动方程
Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解
2 d f 存在，则 若 dy 2
2
2 2 u 2 2 x t
u
2
Y
( x, t ) f (u t x ) f ( y )
证明
是方程的解——称为波函数
t
2
2
u
2
d f dy
2
2
u
2
x
2
2
u
2
d f dy
2
2
( 1)2 u
d2 f dy
2
2 d f 2
dy 2
例： f ( y ) 2 y 1
1
f ( y ) A cos y
存在，
( x, t )
1 ( ut x ) 1
2
k----波数： 单位距离包含的相位(差)
§2 一维简谐波表达式(波函数)各量的物理意义 2 2 ( x , t ) A cos( t kx ) A A cos{ cos(k [ utt x] x} ) T
1） 每个质元振动的 A 2)
相同
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 波长 : 两相邻同相点间的距离 o
( x , t ) A cos(ut x )
是方程解
波动方程有无穷多个波函数形式
2 各个质元的运动形式 对于固定点x0
2
2 2 u 2 2 x t
u
2
Y
( x0 , t ) f (u t x0 )
质元可作无穷多个函数形式的运动
3 波型曲线 固定 t, (t = t0 )