1波动方程及其解一维简谐波详解
一维波动方程推导PPT课件

桩端的运动速度可以通过桩顶实测结果计算出来,设由桩顶下行的力波在t时刻到达 桩底,则
Vtoe(t) F (t L / c) / Z F (t L / c) / Z
(F(t1) ZV (t1) R) / Z
(49)
Rd Jc (F (t1) ZV (t1) R)
由于
R Rs Rd
2u t 2
c2
2u22u源自 222u(8)
将式(5)~式(8)代入式(4)
2u 0
(9)
对式(9)连续两次积分得到方程的通解:
u , f g
(10)
ux,t f x ct g x ct
(11)
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数,由波动的初始条件确定。
(35)
将式(20)和(24)代入式(35),可得
F1
Z2 Z1 Z1 Z2
F1
2Z1 Z1 Z2
F2
F2
2Z2 Z1 Z2
F1
Z1 Z1
Z2 Z2
F2
图2 阻抗变化引起的反射波 (36)
当只有下行波通过界面时:
(36)
F1
Z 2 Z1 Z1 Z 2
F1
F2
2Z2 Z1 Z 2
F1
F1 F2 Rx / 2
F2 F1 Rx / 2
(43) (44)
式(44)表示,下行入射波通过x截面时,由于阻力作用,将在界面处产生幅值均为
Rx/2的向上传播的压力波和向下传播的拉力波。
同理,可以推出
V1 V2 Rx / 2Z V2 V1 Rx / 2Z
(45)
式(45)表示,下行入射波通过x截面时,阻力将使速度曲线下降Rx/2Z。
一维波动方程

a a u 0 x t x t
ut au x v
按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解,我们也可以获得
D’Alembert公式(2.8).
§2 一维波动方程 7
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的
《偏微分方程教程》
第四章 双曲型方程
特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法,
这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知,
方程(2.1)的特征方程是
dx a dt 0
2 2 2
由此求得特征曲线为
c 其中 1 c2为任意常数. 为了将方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换
满足初始条件 u ( x 0) ( x)
ut ( x 0) ( x)
x x ,
(2.2)
其中a 是一个正常数,函数 ( x) C 2 ( x) C1 是定义在区 间
( ) 上的已知函数.
§2 一维波动方程 2
§2 一维波动方程
9
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对 求积分, 便得方程(2.11)的通解 u ( ) ( )d 1 ( ) 写成 其中1 ( )是 的任意函数. 若令 2 ( ) ( )d , 上式可
u( ) 1 ( ) 2 ()
其中 x 和 y 都是其变元的任意连续可微函数. 变回到原来的 变量1 和 2 , 便得到方程(2.10)的通解为
x u ( x y ) 1 ( xy ) xy 2 ( ) y
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数1 和 2.首先,容 易得到下面两个等式: 1 ( x) x2 ( x) ( x) (2.15)
7-6-7波动方程和能量1详解

即
驻波方程
振幅为零的位置:波节,对应于
即
结论:凡是 偶数倍处为波腹,奇数倍处为波节
*
(4)驻波的能量:
(a) 质点处于最大位移时,驻波能量为势能,且分布在波节附近;
(b) 质点在平衡位置时,驻波的能量为动能,且分布在波腹附近;
(d)由于驻波是两列振幅相等,方向相反的两列行波合成的,故两列波的平均能流密度相等,方向相反,所以驻波的能流密度为零,即驻波不传播能量。
*
(2)干涉减弱的条件:
A =A1A2
(3) 若1 = 2,则有
干涉加强
干涉减弱
称为波程差。
*
(4)无论是干涉加强还是干涉减弱,该质点仍然是振动的,只是振幅不同而已。但是如果干涉相消,那么该质点是静止不动的。即:
若 A1=A2时,
A=0 干涉相消
(5)干涉现象不改变波的能量,只是改变空间的能量分布。干涉加强处能量增加,干涉减弱处能量减少。
又
(2)
*
小 结
一. 平面简谐波的波函数
注意:1. 如波线与x轴的方向一致,x 前取负号, 否则取正号;
2. 坐标原点的选取与波源的位置无关;
3. 当x 一定时,波函数表示了距原点为x 处的质点在不同时刻的位移。即x 处质点的振动方程;
4.当t 一定时,波函数表示了给定时刻Ox轴上各质点的位移分布情况;
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程,某质元具有的能量w是时间t的周期函数
振动过程,质元总能量不变
传播能量
不传播能量
和 同相变化
最大时、 为0
最大时、 为0
*
第二节 平面简谐波波动方程

§ 9.2 平面简谐波的波动方程一、平面简谐波波动方程简谐波:如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动,这种波称为简谐波。
平面简谐波:波面为平面的简谐波。
平面简谐波也称为一维简谐波,其表达式也称波函数(wave function)沿+x 方向传播的一维简谐波 (波速u ,振动角频率为ω),假设媒质无吸收(质元振幅均为A )介质中任一质点(坐标为 x )相对其平衡位置的位移(坐标为 y )随时间的变化关系,即 称为波动方程。
设O 点处质点的振动方程为波线上坐标为x 的任意点P 处质点的振动方程振动从O 点传到P 点所需的时间为t 时刻点 P 的振动与 t-x/u 时刻点O 的振动状态相同,只是落后了Δt 点P 振动方程 式中称上式为沿x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程(,)y x t cos O y A tω=(,)P y f x t ==?x t u∆=cos ()P xy A t uω=-2πων=u λν=xo任一点p参考点a波速u波方程的其它表示式讨论:(1)如果原点的初相位不为零设:点O振动方程则:波动方程为(2)如果平面简谐波沿x轴负方向传播则P点处质点相位比O点处质点的相位超前波动方程为二、波动方程的物理意义由从几方面讨论1 当x 一定时(设x =x0,即考察波线上某一点x0) 给出x =x0处质点的振动方程即x0处质元的振动表达式,表示x处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变化情况,由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。
2 当t一定时(设t = t0,即在某一时刻t0),给出t= t0时刻各质点的位移y分布情况反映t0时刻各不同x处质元的位移状况,即同一时刻x轴上各个质点离开它们平c o s2π()xy A tνλ=-[]c o sOy A tωϕ=+c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+c o s[2π()]xy A tνϕλ=++c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+()y y t=()y y x=c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+2c o s()y A t xπωλ=-c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦衡位置的位移分布,由它画出的曲线即t 0时刻的波形曲线。
简谐波的波动方程求导物理意义

一、简谐波的定义和特性简谐波是指在振动过程中,物体做简谐运动时所产生的波动。
简谐波具有周期性、均匀性和单一频率等特性。
在数学上,简谐波可以用正弦函数或余弦函数来描述,通常表示为y=Acos(ωt+φ),其中A为振幅,ω为角频率,t为时间,φ为初相位。
简谐波在自然界和科学研究中具有广泛的应用,例如机械振动、光学波动、电磁波等领域。
二、简谐波的波动方程简谐波的波动方程是描述简谐波在空间中传播过程的数学表达式。
在一维情况下,简谐波的波动方程可以用如下形式表示:y(x, t) = Acos(kx - ωt + φ)其中,y(x, t)表示波动函数的取值,A表示振幅,k表示波数,ω表示角频率,φ表示初相位,x表示空间坐标,t表示时间。
波数和角频率之间的关系为k = ω/v,其中v是波的速度。
根据这个波动方程,我们可以推导出简谐波的一系列物理参数和特性。
三、简谐波的物理意义1. 波动方程的物理参数在简谐波的波动方程中,振幅A代表了波动的幅度,反映了波动的强度,其单位通常是长度。
角频率ω代表了波动的频率,是指波动每秒钟所经历的角度变化,其单位是弧度每秒。
波数k代表了波动的空间变化率,其倒数即为波长,反映了波动在空间中周期性变化的距离。
初相位φ则影响了波动的相位和起始位置。
2. 波速和波长的关系根据简谐波的波动方程,我们可以推导出波速和波长之间的关系。
由波数和角频率的定义可知,波速v等于角频率ω与波数k之间的比值,即v = ω/k。
根据这个关系式,我们可以得到简谐波的波长λ等于波速v与角频率ω之间的比值,即λ = v/ω。
这个关系说明了波长与波速、角频率之间的定量关系,有助于我们进一步理解简谐波在空间中的传播特性。
3. 波动速度和波阵面简谐波的波动方程也给出了描述波动速度和波阵面的关系。
波动速度是指波动在空间中的传播速度,它等于波数k与角频率ω之间的乘积,即v = kω。
而波阵面则是指波动在空间中的等相位面,其法向方向与波速v的方向相同,反映了波动的传播方向和速度。
《一维波动方程》课件

三维波动方程
描述空间波的传播
三维波动方程适用于描述在三维空间 中波的传播,例如声波、电磁波等。
物理应用广泛
三维波动方程在物理、工程等领域有 广泛的应用,如地震波传播、电磁波 传播等。
多维波动方程的解法
数值解法
对于多维波动方程,由于其复杂性, 通常采用数值解法来求解。常见的数 值解法包括有限差分法、有限元法等 。
解的物理意义
通过求解一维波动方程,可以得到波在空间中传播时的具体形式和性质,如波速、波长、振幅和相位 等。这些解具有明确的物理意义,可以用于描述和分析各种波动现象。
03
一维波动方程的解法
Chapter
分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为多个常微分 方程,逐个求解,得到波动方程的解。
VS
详细描述
03
三维波动方程
描述三维空间中波的传播和变化规律,一般形式为:∂²u/∂t² = c² *
(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) + f(x, y, z, t)。
02
一维波动方程的建立
Chapter
一维波动方程的推导
波动现象的观察
波动现象在自然界中广泛存在,如声波、光波和水 波等。通过对这些现象的观察,可以发现波动具有 传播、干涉和衍射等特性。
有限差分法
总结词
通过将一维波动方程离散化,转化为差分方程组,然后求解差分方程组得到波 动方程的近似解。
详细描述
有限差分法是一种通过将一维波动方程离散化,转化为差分方程组的方法。在 离散化的过程中,需要考虑差分方程的稳定性和精度。然后利用数值计算方法 求解差分方程组,得到波动方程的近似解。
04
1波动方程及其解一维简谐波

1) 每个质元振动的 A 相同
波速u
2)
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 a
b·
波长 : 两相邻同相点间的距离
k 2
相位落后 a b
o
k( x b
xa
x
) kx
x
3)波速u : 任一位相的速度——相速度
u
kT
4)原点初相为
5)波型曲线
2
求原点下一时刻振动方向
o
u
t
x
例:简谐波如图,波速 u =100cm/s,求:1)O、P、Q各点
F1 S
x
虎克 定律
Fi S
Y ( x )i
i 1,2
2
t2
Y
(
/
x)2 ( x
/
x )1
x0
2
t2
Y
2
x2
u2
2
x2
波动方程
u2 Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解 若 d2 f 存在,则 dy2
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
( x, t) f (u t x) f ( y) 是方程的解——称为波函数
= 0 的时空点( x, t )
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
若 (x,t) f (ut x) 0
要求 ut x 常 数
位移(取定值)的运动表达式
位移运动的速度: v dx u dt
4 波函数的物理意义
物理量(位移)以速度u运动(传播)——行波 某一质元(波源)率先以某种方式运动时,这一 运动方式将以速度u传播
3)P 点的初相 p 2 3 2 o p 3 4 x p x k 3 4 cm
第六章_波动方程

一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系:
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符,并作用在波函数上:
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子,结果对了,这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成: i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4:
3-4:
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值,是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν,最低能级是 hν/ 2 而不是0! 许多物理问题可以简化为简谐振子问题,这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动,所以辐射场的 能量子是一份一份的,每一份的能量为hν,这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程(wave equation)是一种重要的偏微分方程,主要 描述自然界中的各种的波动现象,例如声波,光波和水波。波动方 程抽象自声学,电磁学,和流体力学等领域。
历史上许多科学家,如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V=∞,1式写为:
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
波动方程

1.1 波动方程的形式一维波动方程(描述弦的振动或波动现象的)()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 二维波动方程(例如薄膜振动)()t y x f y u x u a t u ,,2222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂ 三维波动方程(例如电磁波、声波的传播)()t z y x f z u y u xu a t u ,,,222222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1.2 波动方程的定解条件(以一维波动方程为例)(1)边界条件 ①第一类边界条件(又称Dirichlet 边界条件):弦振动问题中,弦的两端被固定在0=x 及l x =两点,因此有()0,0=t u ,()0,=t l u 。
②第二类边界条件(又称Neumann 边界条件):弦的一端(例如0=x )处于自由状态,即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动,未受到垂直方向的外力,此时成立0=∂∂=ox xu。
也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0,其中()t μ是t 的已知函数。
③第三类边界条件:弦的一端固定在弹性支承上,不放考虑在l x =的一端,此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。
也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ,其中()t v 是t 的已知函数。
1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ (1) 利用叠加原理求解上述初值问题,叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响,可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。
物理学中的波动方程解析

物理学中的波动方程解析波动是物理学中常见的一种现象,波动方程是描述波动现象的数学方程。
在物理学中,探索和解析波动方程是研究波动现象的基础。
本文将介绍波动方程的概念、求解方法以及应用领域。
一、波动方程的概念波动方程是描述波动现象的数学方程,通常可以用偏微分方程的形式表示。
对于一维波动,其波动方程可以写作:∂²u/∂t² = v² ∂²u/∂x²其中,u是波动的位移,t是时间,x是空间坐标,v是波速。
这个方程描述了波动的传播规律,通过求解这个方程,我们可以获得波动的解析表达式。
二、波动方程的解析求解方法波动方程的解析求解方法主要有分离变量法、变量分离法和叠加法等。
这些方法的基本思想都是通过将波动方程转化为一些较简单的方程,然后逐步求解,最终得到波动的解析表达式。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解波动方程的方法。
它的基本思想是将波动方程中的变量分开,并将其作为多个方程来求解。
例如,对于一维波动方程,我们可以将其分离为两个一维方程,一个关于时间的方程,一个关于空间的方程。
然后,对这些方程进行求解,最后通过叠加原则得到波动的解析表达式。
2. 变量分离法变量分离法是另一种常用的求解波动方程的方法。
它的基本思想是假设波动的解可以表示为两个变量的乘积形式,然后将波动方程中的变量分离。
例如,对于一维波动方程,我们可以假设波动的解可以表示为u(x, t) = X(x)T(t),然后将波动方程中的x和t分离,并将其化简为两个分别关于x和t的常微分方程。
最后,通过求解这些方程,可以得到波动的解析表达式。
3. 叠加法叠加法是一种常用的求解波动方程的方法。
它的基本思想是将波动方程中的初始条件分解为一系列简单波的叠加,然后利用叠加原理求解波动方程。
例如,对于一维波动方程,我们可以将初始条件分解为一组正弦波的叠加,然后将这些正弦波的解表达式代入波动方程进行计算,最终得到波动的解析表达式。
一维波动方程的推导

一维波动方程可用如下的方式推导:一列质量为m的小质点,相邻质点间用长度h的弹簧连接。
弹簧的劲度系数(又称“倔强系数”)为k:
其中u(x) 表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。
施加在位于x+h处的质点m上的力为:
其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力,代表根据
胡克定律计算的弹簧作用力。
所以根据分析力学中的达朗贝尔原理,位于x+h处质点的运动方程为:
式中已注明u(x) 是时间t的显函数。
若N个质点间隔均匀地固定在长度L = N h的弹簧链上,总质量M = N m,链的总体劲度系数为K = k/N,我们可以将上面的方程写为:
取极限N, h就得到这个系统的波动方程:
在这个例子中,波速。
1波动方程及其解一维简谐波详解

是方程的解——称为波函数
t
2
2
u
2
d f dy
2
2
u
2
x
2
2
u
2
d f dy
2
2
( 1)2 u
d2 f dy
2
2 d f 2
dy 2
例: f ( y ) 2 y 1
1
f ( y ) A cos y
存在,
( x, t )
1 ( ut x ) 1
2
2
2
x0
u
2
Y
x
2
2
u
2
2 x2
波动方程
Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解
2 d f 存在,则 若 dy 2
2
2 2 u 2 2 x t
u
2
Y
( x, t ) f (u t x ) f ( y )
(x+x, t)
平均应变 相对形变 虎克定律
l / l =[(x+ x,t) - (x,t)] / x
F 应力(内力) F(x,t)/S Y ——产生形变 S x Y -杨氏模量 比较 F k x
二.
波动方程
ma F2 F1 质量体密度
( S x ) 2 t
a b k( x b x a ) k x u 3)波速u : 任一位相的速度——相速度 k T
k
相位落后 4)原点初相为 5)波型曲线
2
波速u b a · x x
ห้องสมุดไป่ตู้
一维波动方程推导PPT课件

公式(32)、(33)、(34)表示应力波到达固定端后,将产生一个与 入射波相同的反射波,即入射的压力波产生压力反射波,入射的拉力波产 生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。
1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波
当基桩或杆件阻抗发生突变时,如图2所示, 由变阻抗处的连续条件可得:
F1 F1 F2 F2 V1 V1 V2 V2
桩端的运动速度可以通过桩顶实测结果计算出来,设由桩顶下行的力波在t时刻到达 桩底,则
Vtoe(t) F (t L / c) / Z F (t L / c) / Z
(F(t1) ZV (t1) R) / Z
(49)
Rd Jc (F (t1) ZV (t1) R)
由于
R Rs Rd
杆单元受力图
L dx x
x
u
u
u t
dt
x
x
dx
x
以单元dx为对象,建立x方向的平衡方程得
xA
x
x
x
dx
A
Adx
2u t 2
由材料力学知识得:
x
E
u x
x
x
E
2u x2
将式(2)带入式(1):
2u E 2u
t 2
x 2
令
c2 E ,即得著名的一维波动方程
c2 2 x 2u
x 2
t 2
波的规律与自由端类似。
(25)、(28)
V V V 2V
(30)
即在杆端由于波的叠加,使杆端质点速度增加一倍。
当杆或桩的端部为固定端时,其边界条件为
V V V 0
(31)
V V
(32)
将式(20)和式(24)带入式(31)得
波动光学WaveOptics光波的基本性质一维波动方程One

四、波叠加原理
对于线性微分方程,叠加原理成立:如果 和 分别满足 某一微分方程,那么 同样也满足该方程。 如果 得到 波的叠加原理是光的干涉与衍射特性的理论基础。 • 一个波可以具有周期性,但不必要是简谐波, 如激光光波不一定是单色波; • 但是具有周期性的波总可以写成简谐行波的 线形组合; • 正向传播和反向传播的行波是相互独立,不 能互相表达。 ,并且
• 球坐标下单位体积表示为: • 球坐标下Laplacian算符表示为:
• 最后坐标独立的微分波动方程为:
选择哪个坐标体系视具体问题的对称情况而定
六、三维波动方程
平面波:介质的特性在与波传播方向垂直的任何一个平面上都相同 • 三维平面波方程可写为 • 在笛卡尔坐标 (Cartesian)下, • 波前 (wavefront):定义 为 2π的整数倍的平面,与传播方向垂直; • 平面波的复数表达: 满足三维波动方程:其中 , 其中 ;
• Huygens advanced several new concepts concerning the propagation of light waves. • Young championed the wave theory of light and discovered the principle of optical interference.
五、波的复数表达形式
复数在经典光学的讨论中可以带来代数运算方面的便捷。 虚数: ;复数: ,其中x和y分别为实部和虚部;
Euler relation:
Tayler series:
复平面
共轭复数:
conjugate complex c.c.
五、波的复数表达形式
复数运算
简谐波的复数表达 (方便三角函数计算):
大学物理 平面简谐波的波函数

17
3)写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度,加速度 角波数 k 2 π
(wave number)
y x v A sin[ (t ) ] t u
分析:
2 3 ( D) 2
( B)
,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上(如图示)
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: (C)
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
在t=1/v时刻:
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
波动方程的简谐平面波解
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波动方程的简谐平面波解在建立了波动方程之后,我们来讨论其解的形式及其特性。
1、 简谐平面波(1)波动方程的简谐平面波解声波在空间中传播,其传播方向和波阵面垂直。
平面波是波阵面是平面的声波,而简谐平面波是波阵面(对简谐波而言,波阵面也是等相位面)是平面的简谐声波。
具有任意波形的声波可以通过付里叶变换分解为多个具有不同频率的简谐平面波的叠加。
因此,简谐波传播是波动传播的基础。
一般简谐平面波的声压幅值在等相面上有一定的分布。
这里只讨论声压幅值在等相面上处处相同(均匀平面波)的简单情况,较为复杂的非等声压幅值平面波(非均匀平面波)在后面的学习中会遇到。
对一维均匀简谐平面波,声压幅值可以只用一个坐标来描述。
若取平面波的传播方向为x 轴正方向,假设波动方程中c 为常数,则波动方程的均匀简谐平面波解可以分离变量有如下形式:(,)()()p x t p x T t =, (2-23)其中,()p x 和()T t 分别为(,)p x t 的空间坐标相关因子和时间相关因子。
将(2-23)式代入到 (2-15)中,并分离变量,得2222221()()()()d T t c d p x T t dt p x dtω==-, (2-24) 其中,2ω-为分离常数。
由(2-24)式可得两个方程:222()()0d T t T t dtω+=, (2-25) 222()()0d p x k p x dt+=。
(2-26) 其中,222k c ω=,为常数。
(2-25)式的两个特解为j t e ω和()j t e ω-,后者描述具有“负频率”的振动,无实际意义,只保留j t e ω;(2-26) 式的两个特解为jkx e 和jkx e -。
由此得到波动方程的简谐平面波解为j[t-kx]j[t+kx](,)(,)(,) =Aeep x t p x t p x t B ωω+-=++ 。
(2-27)对推导过程中几个量物理意义的讨论:① 由(2-25)的解j t e ω可以看出,ω是简谐波的圆频率,也可以理解为:在简谐波传播的过程中,介质中某一质点经过单位时间变化的相位值(对应着周期数)。
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n
6 简谐波 质元作简谐振动,该振动(位相)就将传播
构造
( t ) A cos( t ) ( x , t ) A cos( t kx )
波函数
( x , t ) A cos{k [( / k ) t x ] }
要求 k = / u
(x+x, t)
平均应变 相对形变 虎克定律
l / l =[(x+ x,t) - (x,t)] / x
F 应力(内力) F(x,t)/S Y ——产生形变 S x Y -杨氏模量 比较 F k x
二.波动方程mFra bibliotek F2 F1 质量体密度
( S x ) 2 t
( x , t ) A cos(ut x )
是方程解
波动方程有无穷多个波函数形式
2 各个质元的运动形式 对于固定点x0
2
2 2 u 2 2 x t
u
2
Y
( x0 , t ) f (u t x0 )
质元可作无穷多个函数形式的运动
3 波型曲线 固定 t, (t = t0 )
2
2
x0
u
2
Y
x
2
2
u
2
2 x2
波动方程
Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解
2 d f 存在,则 若 dy 2
2
2 2 u 2 2 x t
u
2
Y
( x, t ) f (u t x ) f ( y )
a b k( x b x a ) k x u 3)波速u : 任一位相的速度——相速度 k T
k
相位落后 4)原点初相为 5)波型曲线
2
波速u b a · x x
2
o
u
t
求原点下一时刻振动方向
x
例:简谐波如图,波速 u =100cm/s,求:1)O、P、Q各点 下时刻的运动方向;2)波函数; 3)P点的坐标;4)以 P 为坐标 原点的波函数 解: 作下时刻的波形线 1)O、Q点向下;P 点向上 2)四个参量
x p x k 3 4 cm
4) y p ( x , t )
2.0 cos(100 t x / 2) cm
4 波函数的物理意义
物理量(位移)以速度u运动(传播)——行波 某一质元(波源)率先以某种方式运动时,这一 运动方式将以速度u传播 当
( x, t ) f (u t x ) ( x, t ) f (u t - x )
波速为 -u
波速为 +u
5 波的叠加性
i 2 i = ai i 而 若 u i 1 t 2 2 x2 2 Y 2 2 则 u u 2 2 t x
k----波数: 单位距离包含的相位(差)
§2 一维简谐波表达式(波函数)各量的物理意义 2 2 ( x , t ) A cos( t kx ) A A cos{ cos(k [ utt x] x} ) T
1) 每个质元振动的 A 2)
相同
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 波长 : 两相邻同相点间的距离 o
2
o
F1
x1
x
x
x2 x
F2
x2截面
F2 F1
· ·
(x,t)
截面S x1截面 虎克 x 定律
2 t2
F2 F1 S S
Fi Y( )i S x
i 1,2
Y ( / x ) 2 ( / x )1 2 x t
2 t
( x , t0 )
1 ( ut 0 x )2 1
(x,t0)
0 x
( x , t0 ) A cos( x ut 0 )
o
x
考察位移为某一定值
2
= 0 的时空点( x, t )
若
2 2 2 u x2 t
u
2
Y
( x, t ) f (u t x ) 0 要求 ut x 常 数 位移(取定值)的运动表达式 dx u 位移运动的速度: v dt
证明
是方程的解——称为波函数
t
2
2
u
2
d f dy
2
2
u
2
x
2
2
u
2
d f dy
2
2
( 1)2 u
d2 f dy
2
2 d f 2
dy 2
例: f ( y ) 2 y 1
1
f ( y ) A cos y
存在,
( x, t )
1 ( ut x ) 1
2
2
O
y(cm)
u 1.0cm
t=0
A 2 .0 cm
2 .0 cm -2.0
P
Q
x(cm)
4 uk 100 / s k 2 / cm y ( x , t ) 2 .0 cos(100 t x / 4 ) cm p 2 3 2 o p 3 4 3)P 点的初相
波动方程及其解
1 波动方程
2 波动方程的解(波函数)及物理意义
一维简谐波表达式(波函数)
波
动
§1
波动方程及其解
一.固体棒中某截面处的应力、应变关系 x+x x o x = l 自由状态 x截面 t 时刻 F1
x x+x截面 质量体 密度
(x,t) l+ l
平均形变 x 处截面应变( x0):/x