第八章 第六节 椭圆

第八章 第六节 椭圆
1.(2009·陕西高考)“y 轴上的椭圆”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n ＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m ＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反
之， 若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1
m ＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．
答案：C
2．(2009·广东高考)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________． 解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 2
36＋y
2
9 1.
答案：x 236＋y 2
9
＝1
3．(2009·北京高考)椭圆x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|
＝________；∠F 1PF 2的大小为________． 解析：依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7. 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6， ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2.
又|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27.
在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－1
2，
∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°
4.(2010·郑州模拟)如图，A 、B 、C 分别为椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)
的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( ) A.
－1＋5
2
B ．1－
22 C.2－1 D.22
解析：∵∠ABC ＝90°，∴|BC |2＋|AB |2＝|AC |2，
∴c 2＋b 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2，又b 2＝a 2－c 2， ∴e 2＋e －1＝0，e ＝5－1
2
. 答案：A
5．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴
的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶 点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是 ( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，∴a 1c 2<a 2c 1. ∴不正确的为D. 答案：D
6．(2009·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭
圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若A P ＝2PB
，则椭圆的离心率是
( )
A.
32 B.22 C.13 D.12
解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B (－c ，±b 2
a )．
∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a
c
.
又∵A P ＝2PB ，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12
.
答案：D
7．(2009·重庆高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若
椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1
，则该椭圆的离心率的取值范围为
________．
解析：在△PF 1F 2中，由正弦定理知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|
|PF 1|，
∵a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1
，
∴
|PF 2||PF 1|＝a c ＝1
e
，即|PF 1|＝e |PF 2|. ① 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 将①代入得|PF 2|＝2a
e ＋1
(a －c ，a ＋c )，
同除以a 得，1－e ＜2
e ＋1＜1＋e ，得2－1＜e ＜1.
答案：(2－1,1)
8.过椭圆x 2
6＋y
2
5＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方
程是
( )
A ．5x －3y －13＝0
B ．5x ＋3y －13＝0
C ．5x －3y ＋13＝0
D ．5x ＋3y ＋13＝0
解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则2
2
1122
221
65
1
6
5
x y x y ⎧+=⎪⎪
⎨
⎪+
=⎪⎩
，且x 1
＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， ∴23(x 1－x 2)－2
5(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53
.
∴弦所在直线方程为y ＋1＝5
3(x －2)，
即5x －3y －13＝0. 答案：A
9．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22y 2
＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设
直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1
2
解析：设直线m 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程， 得(1＋22
1k )x 2＋82
1k x ＋82
1k －2＝0，
设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则
x 1＋x 2＝－
21
2
1
812k k +，
∴y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝2
2x ， ∴P (－
21
2
1
412k k +，
1
2
1
212k k +)，∴k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－1
2.
答案：D
10.(2010·广州调研)设椭圆C ：a 2＋b 21(a >b >0)的离心率为e ＝2
2，点A 是椭圆上的一
点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 上一动点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．
解：(1)依题意知，2a ＝4，∴a ＝2. ∵e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝a 2－c 2
＝ 2.
∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)∵点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎨⎧
y 0－y
1x 0
－x 1×2＝－1，y 0
＋y 1
2＝2×x 0
＋x
1
2
.
解得：x 1＝
4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 0
5
. ∴3x 1－4y 1＝－5x 0.
∵点P (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1上，
∴－2≤x 0≤2，则－10≤－5x 0≤10. ∴3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．
11．已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F (4,0)，长轴端点到较近焦点的距离为1，A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)为椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的方程；
(2)若x 1＋x 2＝8，在x 轴上是否存在一点D ，使|D A |＝|D B
|？若存在，求出D 点
的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题设知c ＝4，a －c ＝1，∴a ＝5，b ＝3. ∴所求方程为x 225＋y 2
9
＝1.
(2)假设存在点D (x 0,0)，由|D A |＝|D B
|，
则点D 在线段AB 的中垂线上， 又线段AB 的中点为⎝⎛⎭
⎫
4，
y 1＋y 22，
∴线段AB 的中垂线方程为： y －
y 1＋y 22＝－x 1－x 2
y 1－y 2
(x －4)． ① 又
2
1
25
x ＋
2
19
y ＝1，
2
2
25
x ＋
2
29
y ＝1，
∴
2
2
2
2
12
12
25
9
x x y y --+
＝0.
∴
x 1－x 2y 1－y 2＝－259·y 1＋y 2
8
. 在①中令y ＝0，∴－y 1＋y 22＝25(y 1＋y 2)
72
(x 0－4)． ∴x 0＝
6425
，∴存在点D 为⎝⎛⎭⎫64
25，0.
12．(理)(2009·山东高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ，b ＞0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O
为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)将M 、N 的坐标代入椭圆E 的方程得
⎩⎨⎧
4a 2
＋2
b 2＝1，6a 2
＋1
b 2
＝1，
解得a 2＝8，b 2＝4，
所以椭圆E 的方程为x 28＋y
2
4
＝1.
(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为 x 2
＋y 2
＝R 2
，其中0＜R ＜2.
设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时， 令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， ①
将其代入椭圆E 的方程并整理得 (2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 由根与系数的关系得
x 1＋x 2＝－4km
2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2
－82k 2＋1.
②
因为OA ⊥OB
，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.
③
把①代入③并整理得
(1＋k 2
)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝0. 联立②得m 2＝83
(1＋k 2
)．
④
因为直线AB 和圆相切，因此R ＝
|m |1＋k
2
，
由④得R ＝26
3
，
所以存在圆x 2＋y 2＝8
3
当切线AB 的斜率不存在时，易得21x ＝2
2x ＝83，
由椭圆E 的方程得21y ＝2
2y ＝83，显然OA ⊥OB .
综上所述，存在圆x 2＋y 2
＝83满足题意．
法一：当切线AB 的斜率存在时，由①②④得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2
(－4km 2k 2＋1)2
－4×2m 2－82k 2＋1 ＝4 2
k 2＋12k 2＋1
1－23×k 2
＋12k 2＋1
.
令t ＝k 2＋12k 2＋1，则1
2
＜t ≤1，
因此|AB |2＝32t (1－23t )＝－643(t －3
4)2＋12.
所以32
3
≤|AB |2≤12， 即
46
3
≤|AB |≤2 3. 当切线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝46
3，
所以
46
3
≤|AB |≤2 3. 综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2
＝83满足题意，且463≤|AB |≤2 3.
法二：过原点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，则D 为切点， 设∠OAB ＝θ，则θ为锐角，
且|AD |＝263tan θ，|BD |＝26
3
tan θ.
所以|AB |＝263(tan θ＋1
tan θ)．
因为2≤|OA |≤22，所以2
2
≤tan θ≤ 2. 令x ＝tan θ，易证：当x ∈[
2
2
，1]时， |AB |＝263(x ＋1x
)单调递减．
当x ∈[1，2]时，|AB |＝263(x ＋1
x )单调递增．
所以46
3
≤|AB |≤2 3.。