第八章 第六节 椭圆
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第八章 第六节 椭圆
1.(2009·陕西高考)“y 轴上的椭圆”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n ＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m ＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反
之， 若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1
m ＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．
答案：C
2．(2009·广东高考)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________． 解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 2
36＋y
2
9 1.
答案：x 236＋y 2
9
＝1
3．(2009·北京高考)椭圆x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|
＝________；∠F 1PF 2的大小为________． 解析：依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7. 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6， ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2.
又|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27.
在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－1
2，
∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°
4.(2010·郑州模拟)如图，A 、B 、C 分别为椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)
的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( ) A.
－1＋5
2
B ．1－
22 C.2－1 D.22
解析：∵∠ABC ＝90°，∴|BC |2＋|AB |2＝|AC |2，
∴c 2＋b 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2，又b 2＝a 2－c 2， ∴e 2＋e －1＝0，e ＝5－1
2
. 答案：A
5．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴
的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶 点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是 ( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，∴a 1c 2 6．(2009·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭 圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若A P ＝2PB ，则椭圆的离心率是 ( ) A. 32 B.22 C.13 D.12 解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B (－c ，±b 2 a )． ∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c . 又∵A P ＝2PB ，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12 . 答案：D 7．(2009·重庆高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若 椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ________． 解析：在△PF 1F 2中，由正弦定理知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2| |PF 1|， ∵a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ， ∴ |PF 2||PF 1|＝a c ＝1 e ，即|PF 1|＝e |PF 2|. ① 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 将①代入得|PF 2|＝2a e ＋1 (a －c ，a ＋c )， 同除以a 得，1－e ＜2 e ＋1＜1＋e ，得2－1＜e ＜1. 答案：(2－1,1) 8.过椭圆x 2 6＋y 2 5＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方 程是 ( ) A ．5x －3y －13＝0 B ．5x ＋3y －13＝0 C ．5x －3y ＋13＝0 D ．5x ＋3y ＋13＝0 解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则2 2 1122 221 65 1 6 5 x y x y ⎧+=⎪⎪ ⎨ ⎪+ =⎪⎩ ，且x 1 ＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， ∴23(x 1－x 2)－2 5(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53 . ∴弦所在直线方程为y ＋1＝5 3(x －2)， 即5x －3y －13＝0. 答案：A 9．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22y 2 ＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设 直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1 2 解析：设直线m 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程， 得(1＋22 1k )x 2＋82 1k x ＋82 1k －2＝0， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－ 21 2 1 812k k +， ∴y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝2 2x ， ∴P (－ 21 2 1 412k k +， 1 2 1 212k k +)，∴k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－1 2.