知识讲解 单调性与最大小值 基础

单调性与最大（小）值【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．【要点梳理】要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间DA?：如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.要点诠释：（1）属于定义域A内某个区间上；（2）任意两个自变量12,xx且12xx?；（3）都有1212()()(()())fxfxfxfx??或；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义. 3．函数的最大（小）值一般地，设函数()yfx?的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI?，都有()fxM?（或()fxM?）；(2) 存在0xI?，使得0()fxM?，那么，我们称M是函数的最大值（或最小值）. 要点诠释：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x，使0()fx等于最值；②对于定义域内的任意元素x，都有0()()fxfx?（或0()()fxfx?），“任意”两字不可省；③使函数()fx取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④函数()fx在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12xx，是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx?；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.5.函数单调性的判断方法(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数??yfgx?????，若??tgx?在区间??ab，上是单调函数，则??yft?在区间??()()gagb，或者??()()gbga，上是单调函数；若??tgx?与??yft?单调性相同（同时为增或同时为减），则??yfgx?????为增函数；若??tgx?与??yft?单调性相反，则??yfgx?????为减函数．要点二、基本初等函数的单调性1.正比例函数(0)ykxk??当k>0时，函数ykx?在定义域R是增函数；当k<0时，函数ykx?在定义域R是减函数. 2.一次函数(0)ykxbk???当k>0时，函数ykxb??在定义域R是增函数；当k<0时，函数ykxb??在定义域R 是减函数. （2）反比例函数(0)kykx??当0k?时，函数kyx?在区间????,0,0,????上是减函数；当0k?时，函数kyx?在区间????,0,0,????上是增函数.4.二次函数2(0)yaxbxca????若a>0，在区间(]2ba???，，函数是减函数；在区间[)2ba??，+，函数是增函数；若a<0，在区间(]2ba???，，函数是增函数；在区间[)2ba??，+，函数是减函数．要点三、一些常见结论(1)若()fx是增函数，则()fx?为减函数；若()fx是减函数，则()fx?为增函数；(2)若()fx和()gx均为增（或减）函数，则在()fx和()gx的公共定义域上()()fxgx?为增（或减)．函数；(3)若()0fx?且()fx为增函数，则函数()fx为增函数，1()fx为减函数；若()0fx?且()fx为减函数，则函数()fx为减函数，1()fx为增函数. 【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】例1.已知：函数1()fxxx??（1）讨论()fx的单调性. （2）试作出()fx的图象.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 【解析】（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1<x2，则12121211f(x)f(x)x(x)xx?????121211(xx)()xx????211212xx(xx)xx????12121212121(xx)(1)xxxx1(xx)()xx??????①当121xx???时，x1-x2<0，1<x1x21212xx10xx???，故121212xx(xx)()0xx?????，即f(x1)-f(x2)<0∴x1<x2时有f(x1)<f(x2)??1f(x)xx????在区间-,-1上是增函数.②当-1<x1<x2<0 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1 ∵0<x1x2<1 1212xx10xx???故121212xx(xx)()0xx?????，即f(x1)-f(x2)>0 ∴x1<x2时有f(x1)>f(x2)??1f(x)xx???在区间-1,0上是减函数.同理：函数??1f(x)xx??在区间0,1是减函数, 函数??1f(x)xx???在区间1,+是增函数.（2）函数1()fxxx??的图象如下【总结升华】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？(作差)（3）如何判断一个式子的符？(对差适当变形) 举一反三：【变式1】（2014 福建南安期中）已知函数()(0)1axfxax???．（Ⅰ）判断函数()fx在(1,1)?上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（Ⅱ）若1a?，求函数()fx在11,22???????上的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）11,3???????【解析】（Ⅰ）当0a?时，任取1211xx????，121212()()11axaxfxfxxx?????2112(),(1)(1)axxxx????因为110x??，210x??，21()0axx??，所以2112()0(1)(1)axxxx????，得12()()fxfx?，故函数()fx在(1,1)?上是减函数；（Ⅱ）当1a?时，由（1）得()1xfxx??在(1,1)?上是减函数, 从而函数()1xfxx??在11,22???????上也是减函数，min()fx?1()12f??,max()fx?11()23f??.由此可得，函数()fx在11,22???????上的值域为11,3???????．类型二、求函数的单调区间例2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)2|1|(-2)yxx???【思路点拨】对x进行讨论，把绝对值和根去掉，画出函数图象。

【答案】（1）f(x)在3--2???????，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2???????，上递增. （2）f(x)在????-12+??，上递减，在，上递增. 【解析】(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在3--2???????，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2???????，上递增. (2)-23 (1)|1||-2|1 (12)2-3 (2)xxyxxxxx??????????????∴图象为∴f(x)在????-12+??，上递减，在，上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)121yx??；(3)21yx?；（4）y=|x2-2x-3|. 【答案】（1）函数的减区间为??1,???，函数的增区间为(-1，+∞)；（2）11,,,22????????????????在上为减函数；（3）2x1y?单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；(4)单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．【解析】(1)???????????)1x(1x)1x(1xy 画出函数图象，∴函数的减区间为??1,???，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为u1y,1x2u,2121,????????????????????，设，其中u=2x-1为增函数，u1y?在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则??????????????????,21,21,1x21y在上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2x1y?单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；【高清课堂：函数的单调性 356705 例3】（4）先画出y=x2-2x-3，然后把x轴下方的部分关于x轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■【总结升华】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化?复合函数为增函数；内外层函数反向变化?复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例3. 已知函数()fx是定义域为R的单调增函数．（1）比较2(2)fa?与(2)fa的大小；（2）若2()(6)fafa??，求实数a的取值范围．【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成()()fxfy?的形式，再依据函数()fx的单调性把f符脱掉得到关于字母的不等式再求解。

【答案】（1）2(2)(2)fafa??；（2）3a?或2a??．【解析】（1）因为2222(1)10aaa??????，所以222aa??，由已知，()fx是单调增函数，所以2(2)(2)fafa??．（2）因为()fx是单调增函数，且2()(6)fafa??，所以26aa??，解得3a?或2a??．例4. 求下列函数的值域：(1)2-12xyx??； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)2-28yxx???；(3)43-1-2yxx??；(4)1-2yxx??.【思路点拨】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.【答案】（1）1）919[,]712，2）1(-)(7)3????，，；（2）[0,3]；（3）2-,3????????；（4）??-,1?．【解析】(1)2(2)-5-5-522xyyxxx??????+2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712yff?即；2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3yff?????????即，，；(2) 2222-(-1)9 (-1)0-(-1)00-(-1)99[0,3]yxxxxy???????????，，，，；(3)13-10,3xx???，经观察知，112,()-333yyf???????????在上单增，，2-,3y??????????；(4)令??2221-1111-20 --(-1)1,-,12222txtytttty?????????????. 举一反三：【变式1】已知2()3125,fxxx???当()fx的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值. （1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.【答案】（1）在区间[0，3]上，当2x?时，min()7fx??；当0x?时，max()5fx?. （2）在区间[-1，1]上，当1x?时，min()4fx??；当1x??时，max()20fx?. （3）在区间[3，+∞）上，当3x?时，min()4fx??；在这个区间上无最大值.【总结升华】由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数在闭区间上的最大（小）值的关键.例5．（2015 西安周至县一模）已知函数2()22fxx ax???，x∈[―5，5]，（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数．【思路点拨】（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；（2）要使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数，只需当区间[―5，5]在对称轴的一侧时，即满足条件．【解析】（1）222()22()2fxxaxxaa???????，其对称轴为x=―a，当a=1时，2()22fxxx???，所以当x=―1时，f（x）min=f（―1）=1―2+2=1；当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1．（2）当区间[―5，5]在对称轴的一侧时，函数y=f（x）是单调函数．所以－a≤―5或―a≥5，即a≥5或a≤―5，即实数a的取值范围是（―∞，－5]∪[5，+∞）时，函数在区间[－5，5]上为单调函数．【总结升华】本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值，以及单调性的运用等有关基础知识，同时考查分析问题的能力．举一反三：【变式1】（2015秋江苏盐城期末）已知函数2()2(1)2fxxax????在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________【答案】[―3，+∞）【解析】∵2()2(1)2fxxax 在[4，+∞）上是增函数，∴对称轴1―a≤4 即a≥―3，故答案为：[―3，+∞）．。