DSP9 DFT深入理解 (3-频谱混叠,频谱泄露,频率分辨率)

深入理解DFT（3频谱混叠，频谱泄露）

两个单频复正弦信号

j

4

1

(n)e n

x

π

=，

5

8

2

(n)j n

x e

π

=，共同做N=8点的DFT。出来确是

两种情形。

1(n)

x与预期相同，在k = 1处有单根谱线，但是

2(n)

x却有两根谱线。如图

频谱泄露的定义：单频复正弦信号DFT不是如预想的一样只会出现一根谱线，而是在相邻的两个谱线上有较大的值，这样的现象叫做频谱泄露

出发点1，从DFT 信号与系统的角度分析

从上节滤波器组的角度来看，造成频谱泄露的原因很清楚，主要是因为DFT 所等效的N 个滤波器组中，没有一个滤波器的中心频点和信号的频点一致，导致单频复正弦信号在滤波器的主瓣内幅度有所抑制，信号能量有一部分散落在滤波器的副瓣内。

在DFT 中，频谱泄露是正常的，因为只有当信号频率为：

020,1,2w m m N

π== 这有限的N 个取值时，信号的频率才可能落在某个滤波器的中心频点上，此时不会发生频谱泄露。对于其他任意频率，都存在不同程度的频谱泄露，最严重的情况是落在相邻两个滤波器的中心频率中间如上图58

2(n)j n x e π=，此时相邻的两根幅度比较大的谱线相等，与不泄露情况相比，幅度下降超过一半。

出发点2，从数据截短，频率混叠的角度

（1）什么是频率的混叠失真？

频率的混叠失真由三个原因组成：

1、若抽样频率不满足抽样定理，即2s h f f <= 则频域周期延拓分量会在0.5s f f =(w π=)处产生频谱混叠失真。如下图

这种混叠现象是由信号的高频分量与延拓信号的低频分量的交叠而形成，其影响更为严重。

2.一般来说，由于时域的突变也会造成频域的拖尾现象，如矩形信号，因而总会产生轻微的混叠失真。

3另外，信号中的高频噪声干扰，也可能造成频域混叠。

下面主要考虑由频谱泄露造成的频谱的混叠失真。

综合考虑这种因素影响后，选取s f 时，应使/2f fs <= 的范围内包含98%以上的信号能量，在fs=(3~6)fh 的范围内选取fs 。再有在抽样之前采用截止频率为/2fs 的限带低通滤波器，即抗混叠滤波器。

（2）从截断的角度谈频谱泄露 这就是时域截断后为有限长序列时的截断效应（因为DFT 是基于有限长序列的）

设模拟信号()x t ，抽样后得到序列()()|x n x t t nT == 如同将其截断为一个N 点长的序列()N x n ，这相当于()x n 乘上一个N 点长的窗函数()N w n

()()()N N x n x n w n =

由此可以看出。频率分辨率是由加的窗决定的，即窗长N决定的，窗长N也就是有效数据的长度

从DFT的滤波器组的角度看：也是这样的，他分辨不出来w1,w2到底是属于0，还是2*pi/N