安庆市高三数学模拟考试

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安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案

2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。

安徽省安庆市2024年数学(高考)统编版模拟(评估卷)模拟试卷

安徽省安庆市2024年数学（高考）统编版模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A．若e a+2a=e b+3b，则a＞bB．若e a+2a=e b+3b，则a＜bC．若e a-2a=e b-3b，则a＞bD．若e a-2a=e b-3b，则a＜b第(2)题已知命题在命题①中，真命题是A．①③B．①④C．②③D．②④第(3)题若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(4)题如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(6)题用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（）A．8人B．6人C．4人D．2人第(7)题设集合，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3，4}D．{0，1，2，3，4}第(8)题已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（）A．B．C．或D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知在直三棱柱中，，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则（）A．直三棱柱的体积为B．点到平面的距离为C．当点为线段的中点时，平面平面D．E，F分别为棱上的动点，当取得最小值时，第(2)题共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献､建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，当取到最大值时，则下列说法正确的是（）A．的最大值是B．的最大值是C．D．第(3)题已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（）A．数列是等比数列B．数列的所有项之和为729C．数列是等差数列D．数列的最大项为20三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

安徽省安庆市2023届安庆第一中学高考三模数学试题

(1)当 x 1时， f x g x ，求实数 a 的取值范围；
(2)已知 n N* ，证明： sin 1 sin 1 L sin 1 ln2 .
n1 n 2
2n
试卷第 4 页，共 4 页
A．
1 e
,
B． (1, )
C．
2 e
,
D． (e, )
二、多选题
9．函数 f x Asin x （其中 A 0, 0, ）的图像如图所示，则下列说法
2 正确的是（）
A．函数 f x 的最小正周期是 2
B． 3
C．为了得到
g
x
cos
2x
3
的图像，只需将
f
x
的图像向左平移
2
个单位长度
D．为了得到
g
x
cos
2x
3
的图像，只需将
f
x
的图像向左平移
4
个单位长度
10．若甲组样本数据
x 1
，
x 2
，…，
xn
（数据各不相同）的平均数为
2，方差为
4，乙组
样本数据 3x1 a ， 3x2 a ，…， 3xn a 的平均数为 4，则下列说法正确的是（）
A．a 的值为-2
安徽省安庆市 2023 届安庆第一中学高考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 A 2,0,1, 2, B {x∣x 2 或 x 2}，则 AðR B （）
A．2
B．1
C． 2, 0,1
2
(1)记小明答 3 题累计得分为 X ，求 X 的分布列和数学期望； (2)若小明连续答题获得的分数的平均值大于 2 分，即可获得优秀奖.现有答 2n 和 2n 2 道题两种选择，要想获奖概率最大，小明应该如何选择？请说明理由.

2023-2024学年安徽省安庆市高三下学期第一次模拟试题数学试卷(含解析)

2023-2024学年安徽省安庆市高三下学期第一次模拟试题数学试卷．．．．．给出下列命题，其中不正确的命题为（①若样本数据1210,,x x x ⋅⋅⋅，的方差为2101,21,,21x x --⋅⋅⋅-的方差为②回归方程为0.60.2ˆ5yx =-具有负的线性相关关系；③随机变量X 服从正态分布0.64，则(23)0.07P X ≤≤=A．33B9c∈8．若实数a，b，(0,1)大小关系是（）A．c>b>a B二、多项选择题（本大题共项中有多项是符合题目要求的，漏选得9．如图，在棱长为1的正方体BC是异面直线A．直线DP与1CP平面1A BDB．//+的最小值是2 C．1A P PBD．当P与1B重合时，三棱锥PCD平面QAB (1)证明：平面//(1)求双曲线E 的方程；(2)设1A 、2A 为双曲线E 实轴的左、右顶点，若过(4,0P 点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．22．已知函数()ln f x x x =-，2(e )x g x x=，其中0x >.3．A【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算故选：A.关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，关键.8．B【分析】注意到0.80.8e e a a =， 1.21.2e e b b =，e c c =小.后构造()22e e x x x x g x --=-可比较0.820.80.820.8,e e --【详解】由0.8e 0.8e a a =， 1.2e 1.2e b b =， 1.6e c 得0.80.8e e a a =， 1.21.2e e b b =， 1.61.6e ec c =，令()f x 当1x <时，()0f x ¢>，当1x >时，()f x '<在()1,+∞上是减函数，于是()()1.2 1.6f f >又b ，()0,1c ∈，所以b c >；0.80.8 1.60.80.80.80.80.8 1.60.80.820.8e e e e e e e e e a c a c ⨯-=-=-=⨯⨯因为4956252512=>=，所以445522>⨯，于是()()f a f b <，又a ，()0,1b ∈，所以a b <；综上b a c >>.故选.B关键点睛：本题考查构造函数比较代数式大小，难度较大.对于不好估值的代数式，常通过观察构造适当的函数，利用函数单调性得到大小关系.9．ABD【分析】选项A ，利用平面11BB C C 可说明直线DP 与1BC 是异面直线；选项B ，先证明平面11//CB D 平面1A BD ，再由CP ⊂平面11CB D ，得//CP 平面1A BD ；选项C ，通过作辅助线，将1A P PB +的最小值转化为求BM 的值，在BMN 中，利用勾股定理求出BM 的值；选项D ，认识到当P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正方体来求外接球半径.【详解】A 选项，因为直线DP 与平11BB C C 交于点1B ，直线1BC 在平面11BB C C 内，所以由线线位置关系知，直线DP 与1BC 是异面直线，故选项A 正确；B 选项，连接1CB ，1CD ，由正方体性质，易知，11//A D BC ，11AD BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，有11//CD A B ，又1CD ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，所以1//CD 平面1A BD ，同理可证1//CB 平面1A BD ，又1CD ，1CB 都在平面11CB D 内，且相交于点C ，所以平面11//CB D 平面1A BD ，又CP ⊂平面11CB D ，所以//CP 平面1A BD ，故选项B 正确；D 选项，当P 与1B 重合时，三棱锥又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为正确.故选：ABD.10．AD【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可【详解】如图建立平面直角坐标系，11．AC【分析】利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断周期性研究函数()f x 在区间[]0,π上的最值、以及单调性，判断【详解】由题知，()f x 定义域为R ()ππsin cos 63f x x x ⎛⎫⎛-=-+--+ ⎪ ⎝⎭⎝πππ分别取AD 、AC 的中点O 、M 由题意知OM ⊥平面ABC ,所以因为AB BC =,所以BM AC ⊥，即18．（1）123n n a -=⨯（2）不存在【分析】（1）由题意知{}n a 为等比数列，取（2）根据题意结合第一问先写出如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，所以132,,22PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，132,,22AQ ⎛=- ⎝ 因为PC ⊄平面QAB ，AC ⊂平面QAB ，所以又//AB CD ，CD ⊄平面QAB ，AB ⊂因为PC CD C ⋂=，,PC CD ⊂平面PCD ，所以平面//PCD 平面QAB .延长CA 与DB 交于1F ，因为则(1tan tan πF AB ACB ∠=-∠令()130BF t t =>，则AB =所以，2211AF AB BF =+=由题意可得222320Δ24144m m ⎧-≠⎪⎨=-⎪⎩由韦达定理可得123y y m +=-易知点()12,0A -、()22,0A ，则直线1A M 的方程为11y y my =+。

安徽省安庆市2023届高三模拟考试(二模)数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知直线m ，n 和平面α，，则“”是“n 与m 异面”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 设且，“z 是纯虚数”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件条件D ．即非充分又非必要条件3. 二项式的展开式中常数项为（）A ．5B ．10C ．-20D ．404.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设点，若在圆上存在点N ，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间上单调递增B ．在区间上单调递增C ．在区间上单调递增D．在区间上单调递增7. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（）A ．4B ．6C．D ．88. 已知“x >2”是“<1”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R ，令，若存在正整数k 使得，且当0<j <k 时，，则称是的一个周期为k 的周期点.若，下列各值是周期为1的周期点的有（）A ．0B．C．D ．110. 下列说法正确的是（）A ．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B．数据的第60百分位数为9C ．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8D ．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题(1)安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题(1)三、填空题四、解答题11.已知点、、、，若这四个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的可能值为（）A．B．C．D．12. 设动直线l：（）交圆C ：于A ，B 两点（点C 为圆心），则下列说法正确的有（）A ．直线l 过定点（2，3）B．当取得最大值时，C ．当∠ACB最小时，其余弦值为D ．的最大值为2413.在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是________.14. 如图，在中，点D 在BC 边上，BD 的垂直平分线过点A ，且满足，，则的大小为__________．15. 设为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．16. 如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2.(1)证明：.(2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.17. 已知数列，，且，.(1)若为等比数列，求；(2)若为等比数列，求.18. 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．19. 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆交于，两点，交于点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度.20. 已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值．21. 已知正项数列满足：，数列的前项和为，且满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.。

安徽省安庆市2023届高三模拟考试(二模)数学试题

一、单选题1. 《九章算术》商功章中记载的几何体“堑堵”，是指底面为直角三角形的直棱柱，现有堑堵，其中，，且异面直线与所成角的正弦值为，则该堑堵的体积为（）A ．1B ．2C ．3D ．42. 已知关于x 的不等式对任意的都成立，则实数k 的最大值为（）A．B．C ．D．3. 若，则（）A．B．C．D．4. 已知双曲线的一个焦点在直线上，且双曲线的一条渐近线与直线：垂直，则该双曲线的方程为A．B．C．D．5. 设，是非零向量，“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7. 图形是信息传播､互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面､左面､上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（）安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题二、多选题三、填空题A．B．C．D．8. 在中,如果,那么的形状为（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定9. 一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A．B ．事件A 和事件B 互为对立事件C．D ．事件A 和事件B 相互独立10. 已知圆锥曲线，则下列说法可能正确的有（）A ．圆锥曲线的离心率为B．圆锥曲线的离心率为C ．圆锥曲线的离心率为D ．圆锥曲线的离心率为11.已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（）A ．若，的斜率分别为，，则B．C．的最小值为D ．的最小值为12. 如图，直角三角形ABC 中，D ，E 是边AC 上的两个三等分点，G 是BE 的中点，直线AG 分别与BD ， BC 交于点F ，H 设，，则（）A．B．C．D．四、解答题13.已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是_____．14. 在长方体中，，直线与平面所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为______.15. 设函数.①给出一个的值，使得的图像向右平移个单位后得到的函数的图像关于原点对称，则ω的一个取值为___________；②若在区间上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是___________.16.如图，在三棱柱中，，，平面平面，为中点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于的亩数；(3)将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于的亩数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．18.已知数列中，，，记数列的前项的乘积为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.19. 作为重要的文化传播媒介，电影不仅可以拓宽青少年的视野，还能提高其艺术鉴赏能力．进电影院看电影是当下许多年轻人喜爱的休闲娱乐方式．某电影院IMAX 巨幕放映厅第一排有8个座位，从第二排起，每一排都比它的前一排多1个座位，共有10排．试问该放映厅一共有多少个座位？20. 已知的内角所对的边分别为.(1)若，求证:是等边三角形;(2)已知的外接圆半径为，求的最大值.21. 已知函数，，其中.(1)若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；(2)当时，，，，且在上有极值，求的取值范围.。

安徽省安庆市高三数学模拟考试试题文(安庆市三模,扫描版)

D3、解析：由11<x知1>x 或0<x ，故选D. 4、解析：由图可知b a <<<10，故函数)(xg 单调递增，排除A,D ，结合a 的范围选B. 9、解析：将向量投影到,上，即过点P 作AC AB ,的平行线，分别交AB AC ,于点.,E D 由系数,5152的几何意义知，2,51=AC AD AB AE 于是,252=⋅=∆∆AC AD AB AE S S ABC ADE 又APE ADEP ADE S S S ∆∆==21 数学试题参考答案（文）（共6页）第1页所以.252=∆∆ABC APE S S 而,51==∆∆AB AE S S ABP APE 所以.52=∆∆ABC ABP S S 故选C. 10、解析：采用特殊值法，令直线为2=y ，则2||||==CD AB ，于是4||||=⋅CD AB ，选A.15、解析：圆心O 到直线l 的距离为13||c ，当113||<c 即1313<<-c 时，圆O 上有四个不同点到直线l 的距离为1；当13±=c 时，圆O 上恰有三个不同点到直线l 的距离为1；当3913<<c 或1339-<<-c 时，圆O 上恰有两个不同点到直线l 的距离为1；当39±=c 时，圆O 上只有一个点到直线l 的距离为1.故①②⑤正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-故 1cos 2A =-，∴∈),,0(πA A= 32π ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知23)21(sin 2sin 2sin 21sin 22cos )(22+--=+-=+=x x x x x x f数学试题参考答案（文）（共6页）第2页因为R x ∈，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，)(x f 有最大值32. 当1sin -=x 时，)(x f 有最小值-3，所以所求函数)(x f 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ……………………12分11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 共9种．所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93155= . ……12分两式相减得01)1()2(1=+----n n a n a n ，于是01)1(1=+--+n n na a n两式相减得n n n a a a 211=+-+（2≥n ）。

2023-2024学年安徽省安庆市高考三模数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省安庆市高考三模数学模拟试题一、单选题1．设集合{}2,0,1,2,{2A B xx =-=≤-∣或2}x >，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}2-B ．{}1C ．2,0,1-D ．{}0,1,2【正确答案】D【分析】根据集合的运算求解.【详解】由{2B xx =≤-∣或2}x >得：R {22}B x x =-<≤∣ð，而{}2,0,1,2A =-，所以(){}R 0,1,2A B = ð.故选:D.2．复数20232i z =-+的共轭复数z =（）A ．2i +B ．2i-+C ．2i--D ．2i-【正确答案】B【分析】根据虚数单位i 的性质求复数z ，再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因为()2023202032i 2i i 2i z =-+=-+⋅=--，所以2i z =-+.故选：B.3．已知两个非零向量a ，b 满足3a b = ，()a b b +⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．12B ．12-C ．13D ．13-【正确答案】D【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.【详解】因为()a b b +⊥，所以()0a b b +⋅= ，所以20a b b ⋅+= ，所以2a b b ⋅=- ，221cos ,33b b a b a b a b a b b b--⋅〈〉====-⋅⋅⋅，故选:D.4．在等比数列{}n a 中，2345674,16a a a a a a ==，则8910a a a =（）A ．4B ．8C ．32D ．64【正确答案】D【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】由2345674,16a a a a a a ==可得33364,16a a ==，又2639a a a =，故633639a a a =，则239164a =，解得3964a =，即891064a a a =.故选：D5．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径12cm AB =，圆柱体部分的高6cm BC =，圆锥体部分的高4cm CD =，则这个陀螺的表面积（单位：2cm ）是（）A ．(144π+B ．(144π+C ．(108π+D ．(108π+【正确答案】C【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式求解.【详解】由题意可得圆锥体的母线长为l =，所以圆锥体的侧面积为112π2⋅⋅=，圆柱体的侧面积为12π672π⨯=，圆柱的底面面积为2π636π⨯=，所以此陀螺的表面积为()()272π36π108cm ++=+，故选：C.6．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知ABC 的面积为4，b =4，8BA AC ⋅=，则a =（）A B ．C ．D 【正确答案】C【分析】由题中的两个等式解得A 与c 的值，再由余弦定理解得a 的值.【详解】∵4b =，||||cos()cos 8BA AC BA AC A bc A π⋅=-=-= ，1=sin 42ABC S bc A =△∴cos 2c A =-①，sin 2c A =②，∴由①②得tan 1A =-，∵(0,)A π∈∴3=4A π∴c =∴22232cos 16824404a b c bc A π=+-=+-⨯⨯=，∴a =故选：C.7．在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言.现用抽签的方式决定发言顺序，事件()19,k A k k ≤≤∈N 表示“第k 位发言的是女同学”，则()82P A A =∣（）A ．14B ．712C ．16D ．13【正确答案】A【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】由题意，()27378299A A 61A 7212P A A ===，()1838299A A 1A 3P A ==所以()()()828221112143P A A P A A P A ===∣，故选：A8．已知函数2()e 2ln ax f x x x ax =--+，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(e,)+∞【正确答案】C【分析】依题意可得22ln e 2ln e 2ln ax x ax x x x +>+=+，进而可得2ln xa x>在()0,x ∈+∞上恒成立，构造函数2ln ()xh x x=，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】()0f x >等价于22ln e 2ln e 2ln ax x ax x x x +>+=+．令函数()e x g x x =+，则()e 10x g x '=+>，故()g x 是增函数．2ln e e 2ln ax x ax x +>+等价于2ln (0)ax x x >>，即2ln xa x>．令函数2ln ()xh x x =，则222ln ()x h x x -'=．当(0,e)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增：当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．max 2()(e)eh x h ==.故实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：C.二、多选题9．函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>><）的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．3πϕ=C ．为了得到()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将()f x 的图像向左平移2π个单位长度D ．为了得到()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将()f x 的图像向左平移4π个单位长度【正确答案】BD【分析】根据函数图像结合三角函数性质，根据周期，初相判断A,B 选项，根据平移判断C,D 选项即可.【详解】对A ，由图可知，1A =，最小正周期T 满足7πππ41234T =-=，所以πT =，所以函数()f x 的最小正周期是π，故A 错误；对B ，2π2πω==，即()()sin 2f x x ϕ=+，将7π12x =代入可得7π3π22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，得π2π3k ϕ=+，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，故B 正确；对C ，由上述结论可知()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到()πππ5πcos 2sin 2sin233212g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，应将函数()f x 向左平移π4个单位长度.故C 错误，D 正确.故选：BD.10．若甲组样本数据1x ，2x ，…，n x （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据13x a +，23x a +，…，3n x a +的平均数为4，则下列说法正确的是（）A ．a 的值为-2B ．乙组样本数据的方差为36C ．两组样本数据的样本中位数一定相同D ．两组样本数据的样本极差不同【正确答案】ABD【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.【详解】由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则甲组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选：ABD.11．如图，已知四边形,ABCD BCD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中正确的是（）A ．BD PC⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．四面体PBCD 33D ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45 【正确答案】ABC【分析】由折叠平面的变与不变性，对于A ，取BD 中点M ，可得BD ⊥面PMC ，A 选项可判断；对于B ，假设DP 与BC 垂直，则BC ⊥面PCD ，再根据题目所给长度即可判断；对于C ，当面PBD ⊥面BCD 时，此时四面体PBCD 的体积的最大,计算最大体积即可;对于D ，当面PBD ⊥面BCD 时，此时直线DP 与平面BCD 所成角最大，判断即可.【详解】对于A ，如图所示，取BD 的中点M ，连接,PM CM ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，BD CM ∴⊥，ABD △为等边三角形，BD PM ∴⊥，又,,PM CM M PM CM =⊂ 面PMC ，BD ∴⊥面PMC ，又PC ⊂面PMC ，BD PC ∴⊥，故A 正确.对于B ，假设DP BC ⊥，又,,,BC CD CD DP P CD DP ⊥=⊂ 面PCD ，BC ∴⊥面PCD ，又PC ⊂面PMC ，BC PC ∴⊥，又2,2PB BC ==331PC ⎡⎤∈⎣⎦，当2PC =222BC PC PB +=，故DP 与BC 可能垂直，故B 正确.对于D ，当面PBD ⊥面BCD 时，面PBD 面BCD =BD ，,BD PM PM ⊥⊂平面PBD ，此时PM ⊥面,BCD PDB ∠即为直线DP 与平面BCD 所成角，此时60PDB ∠= ，故D 错误.对于C ，易知当面PBD ⊥面BCD 时，此时四面体PBCD 的体积最大，此时的体积为：1113323BCDV SPM ⎛=⋅=⨯= ⎝，故C 正确.故选：ABC.12．已知数列{}n a 满足328a =，()()1122nn n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则下列说法正确的是（）A ．4221a a =B ．1216a a ⋅=C ．数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．满足不等式50n S ->的正整数n 的最小值为63【正确答案】ABD【分析】由328a =和递推公式()112nn n a n a --⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦→28a =→12a =，4168a =→A 选项正确，B 选项正确；()()1122n n n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦→()112nn n a n a --=+→()212212222n n n a n n a --=+=+为单调递增的等差数列→C 选项不正确；22log 1n n b n +=+→22log 52n n S +=>→62n >→D 选项正确【详解】因为328a =，所以()313222328a a a -=⋅+=，所以28a =，则()21211228a a a -=⋅+=，解得12a =，()4143324168a a a -=⋅+=，所以4221a a =，1216a a ⋅=，所以A 选项正确，B 选项正确；因为()()1122n n n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，所以()()1122n n n a n n a --=+≥，所以()212212222n n n a n n a --=+=+，又*n ∈N ，所以22221232222n n n n a a n n a a ----=+-=，*n ∈N 所以221n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列，则数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调递增的等差数列，所以C 选项不正确；()221222122224n n n a n n a +-++=++=+，则()()2221222212221222212log log log log 1n n n n n n n n n a a n b a a a a a a n +-+-++⋅+=-⋅==+，222222341234122log log log log log log 52312312n n n n n n S n n n n +++++⎛⎫=++++=⨯⨯⨯⨯=> ⎪++⎝⎭ ，解得62n >，又*n ∈N ，所以正整数n 的最小值为63，所以D 选项正确．故选：ABD ．数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法.三、填空题13．已知某地最近10天每天的最高气温（单位：C ）分别为10,9,13,15,17,16,18,17,20,12，则这10天平均气温的80%分位数为___________C .【正确答案】17.5【分析】根据百分位数的定义求解.【详解】这10天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：9,10,12,13,15,16,17,17,18,20,1080%8,⨯= ∴这10天平均气温的80%分位数为171817.5C 2+= .故17.5.14．已知7sin cos 5αα+=，则tan α=________.【正确答案】43或34【分析】利用平方关系式和商数关系式转换求解即可得tan α的值.【详解】解：将7sin cos 5αα+=两边平方得4912sin cos 25αα+=，所以12sin cos 25αα=，所以22sin cos 12sin cos 25αααα=+分式上下同除2cos α得：2tan 12tan 125αα=+整理得：212tan 25tan 120αα-+=，解得：4tan 3α=或3tan 4α=故答案为:43或34.15．已知非负数,x y 满足1x y +=，则1912x y +++的最小值是___________.【正确答案】4【分析】根据题意124x y +++=，再构造等式利用基本不等式求解即可.【详解】由1x y +=，可得()19119124,1212412x y x y x y x y ⎛⎫+++=+=++++ ⎪++++⎝⎭()911219412x y x y ⎛⎫++=+++ ⎪++⎝⎭11044⎛ ≥+= ⎝，当且仅当()231y x +=+，即0,1x y ==时取等号.故416．抛物线22(0)x pyp =>上一点)(1)A m m >到抛物线准线的距离为134，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点E ，点F 为内切圆上任意一点，则•OE OF的取值范围为__________．【正确答案】[3【详解】因为点)A m 在抛物线上，所以3322pm m p=⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p =．当6p =时，114m =<，故6p =舍去，所以抛物线方程为2x y=，∴3)(3)A B ，，所以OAB 是正三角形，边长为22(2)1x y +-=，如图所示，∴32E ⎫⎪⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F θθ+，（θ为参数），则3π·cos 33226OE OF θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴·[33OE OF ∈ ．本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到OAB ∆为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点E 的坐标，可利用内切圆的方程设出点F 含参数的坐标，进而得到π·336OE OF θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.四、解答题17．已知函数()21cos 3cos 2f x x x x =+⋅-.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【正确答案】(1),36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）(2)最大值为1，最小值为-12.【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.【详解】（1）()f x =1cos23131cos2sin 2222226x x x x x π+⎛⎫+-=+=+ ⎪⎝⎭.因为y ＝sin x 的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），令22,2622x k k πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），得,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.（2）因为x ∈［0，2π］，所以2x ＋7,666πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.当2x ＋6π=2π，即x ＝6π时，()f x 最大值为1，当2x ＋6π=76π，即x ＝2π时，()f x 最小值为-12.18．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a -33a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的通项公式与前n 项和n T .【正确答案】(1)12n n a -=(2)()2212n n b n =--，21222n n T n +=-+【分析】（1）先根据1n n n a S S -=-得到12n n a a -=，利用1a ，21a -33a -成等比数列，可得11a =，可判断数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可得12n n a -=.（2）由12n n a -=得()2212n n b n =--，利用分组求和法可得.【详解】（1）由已知12n n S a a =-，有()11222n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即()122n n a a n -=≥，从而212a a =，32124a a a ==，又因为1a ，21a -33a -成等比数列，即()()221313a a a -=-，所以()()21112143a a a -=-，解得11a =，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故12n n a -=.（2）因为12n n b a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以()11212n n b a n +=+-，所以数列{}n b 的通项公式为()2212nn b n =--，()()1221321222nn T n ⎡⎤=+++--+++⎣⎦ ()()2121212212nn n -⎡⎤+-⎣⎦=--21222n n +=-+.19．如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面,,ABCD AD BC N ∥为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上,32,4AM MD AD BC ==,证明:MN 平面PCD ;(2)若4,5,6PA AB AC AD BC =====,求二面角D AC N --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取PC 中点F ,连接,NF DF ,根据已知条件证明四边形NFDM 是平行四边形,即可证明;（2）取BC 中点Q ,根据条件可以证明AQ AD ⊥,所以,,AQ AD AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,分别求出平面ACN 的法向量和平面ACD 的法向量,再利用公式求解即可.【详解】（1）如图所示:取PC 中点F ,连接,NF DF ,因为2MD AM =,所以23MD AD =,又34AD BC =,所以12MD BC =,因为AD BC ∥,所以MD BC ∥,又因为N 为PB 的中点,所以NF BC ∥且12NF BC =,即有NF MD ∥且NF MD =,所以四边形NFDM 是平行四边形,所以MN DF ∥,又因为MN ⊄平面,PCD DF ⊂平面PCD ，所以MN平面PCD .（2）连接NC ,因为5AB AC ==,所以ABC 为等腰三角形,取BC 中点Q ,连接AQ ,则有AQ BC ⊥,又因为AD BC ∥,所以AQ AD ⊥,又因为PA ⊥底面ABCD ,如图,以,,AQ AD AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间坐标系,因为4,5,6PA AB AC AD BC =====,则有()()()30,0,0,0,5,0,4,3,0,2,,22A D C N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()32,,2,4,3,02AN AC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,设平面ACN 的法向量为(),,n x y z =r,则有43032202x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,则()3,4,6n =-- ,因为PA ⊥底面ABCD ,取平面ACD 的法向量()0,0,1m =,设二面角D AC N --的大小为(θθ为钝角),则有cos cos ,m n m n m n θ⋅===-⋅,即二面角D AC N --的余弦值为61-.20．已知双曲线2222:1x y E a b -=的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线0x y -=相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP FQ ⋅为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22:13x E y -=(2)存在，定值为1，()3M -【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得a 的只，再根据焦距，求得b 即可求解；(2)假设存在满足条件的点M ，先在直线垂直于y 轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线不垂直于y 轴时，求得此定值的情况，从而得出结论.【详解】（1）原点到直线0x y -=的距离d ==，∴2,c a ==1b ∴=，∴双曲线E 的方程为22:13x E y -=；（2）假设存在点(,0)M m 满足条件，①当直线l 方程为0y =时，则())(),,2,0P Q F -，∴())2,02,01FP FQ ⋅=⋅=；②当直线l 方程不是0y =时，可设直线:l x ty m =+，(t ≠代入22:13x E y -=整理得()(2223230t y mty m t -++-=≠，*由0∆>得223m t +>，设方程*的两个根为1y ，2y ，满足212122223,33mt m y y y y t t -+=-=--，∴()()11222,2,FP FQ ty m y ty m y ⋅=++⋅++()()()()221212122t y y t m y y m =++++++222212153t m m t ---=-，当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1，解得3m =-，3m =-不满足对任意t 贡0∆>，∴不合题意，舍去．而且3m =-满足0∆>；综上得：过定点()3M -任意作一条直线l 交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP FQ ⋅为定值1．21．某校组织“青春心向党，喜迎二十大”主题知识竞赛，每题答对得3分，答错得1分，已知小明答对每道题的概率是12，且每次回答问题是相互独立的.(1)记小明答3题累计得分为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若小明连续答题获得的分数的平均值大于2分，即可获得优秀奖.现有答2n 和22n +道题两种选择，要想获奖概率最大，小明应该如何选择？请说明理由.【正确答案】(1)分布列见解析，数学期望：6(2)小明选择答22n +道题时，获奖的概率更大，理由见解析【分析】（1）由X 的取值为3，5，7，9，再利用独立重复试验求得概率，然后列出分布列进而求得数学期望；（2）分别求出小明选择答2n 道题与22n +道题获得优秀奖的概率，再进行比较即可.【详解】（1）由题意知()303113C 28P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2131135C 228P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2231137C 228P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333119C 28P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X3579P18383818()1331357968888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由题意可知甲同学答一题得3分的概率为12，得1分的概率为12，若选择答2n 道题，此时要能获得优秀奖，则需2n 次游戏的总得分大于4n ，设答2n 道题中，得3分的题数为m ，则()324m n m n +->，则m n >，易知12,2m B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故此时获优秀奖的概率：11222122122211111()C C C 22222n n n n nn n n n nn P P m n +-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=⨯⨯+⨯⨯++⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21222221CCC2nn n n nnn++⎛⎫=+++⨯ ⎪⎝⎭，()()2201222222222C 11111C C C C 2C 1222222nnn n n n n nn n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可以求出当选择答22n +道题，获优秀奖的概率为122222C 1122n n n P +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()()()()()()()()2222112222222!C 4!!214C 4(1)2122!C C 22212121!1!n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++====>++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦，所以1222222C C 22n n n n n n +++>，则12P P <，所以小明选择答22n +道题时，获奖的概率更大.22．已知函数()()ln 1f x x =+，()2g x ax x =+.(1)当1x >-时，()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围；(2)已知*n ∈N ，证明.111sin sin sin ln2122n n n+++<++ 【正确答案】(1)0a ≥(2)证明见解析【分析】（1）证明出()ln 1x x ≤+，在0a ≥时，可得出()2ln 1x ax x +≤+，在a<0时，010x a=->，分析可知()()00f x g x >，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）变形可得()1ln 11x x x ≥->，令111t x =-，可得出()()1ln ln 11t t t t--≥>，可得出()()1ln ln 1n k n k n k≤+-+-+，{}0,1,2,,k n ∈ ，证明出()sin 0x x x <>，可得出()()1sinln ln 1n k n k n k<+-+-+，{}0,1,2,,k n ∈ ，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）解：令()()()ln 11h x x x x =+->-，则()1111x h x x x '=-=-++，当10x -<<时，()0h x '>，则函数()h x 在()1,0-上单调递增，当0x >时，()0h x '<，则函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以，()()max 00h x h ==，即()ln 1x x ≤+，所以，当0a ≥时，()2ln 1x x ax x +≤≤+，即()()f x g x ≤，当a<0时，取010x a=->，由于()0ln 1ln10x +>=，而2200110ax x a a a⎛⎫+=⋅--= ⎪⎝⎭，得()2000ln 1x ax x +>+，故()()00f x g x >，不合乎题意.综上所述，0a ≥.（2）证明：当0a =时，由（1）可得()ln 1x x ≤+，则ln 1≤-x x ，可得11ln1x x ≤-，即1ln 1x x -≤-，即()1ln 11x x x≥->，令111t x =-，所以，1t x t =-，所以，1ln1t t t ≥-，即()()1ln ln 11t t t t --≥>，所以，()()1ln ln 1n k n k n k≤+-+-+，{}0,1,2,,k n ∈ ，令()()sin 0g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g >=，则()sin 0x x x <>，所以，()()11sin ln ln 1n k n k n k n k<≤+-+-++，{}0,1,2,,k n ∈ ，所以，111sinsin sin 122n n n+++++()()()()()ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21n n n n n n <+-++-+++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ln 2ln lnln 2nn n n=-==.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

安徽省安庆市2023届安庆第一中学高考三模数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 在复平面内，对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设向量，，，且满足，则（）A．B．C．D ．23.如图，四面体中，和都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）A．B．C．D．4. 已知向量，，若，则（）A．B．C．D．5.已知数列满足，，则（）A．B．C ．35D．6. 若、、均为正数，且，则（）A．B．C．D．7. 已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为A．B ．2C ．4D ．68. 如图，在中，，点在线段上，，，则（）.A．B．C．D．9. 设，向量，向量，则（）A ．必不互为平行向量B ．必不互为垂直向量C ．存在，使D．对任意10.如图，在正方体中，E 为棱上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（）安徽省安庆市2023届安庆第一中学高考三模数学试题(2)安徽省安庆市2023届安庆第一中学高考三模数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．当E为的中点时，平面B ．平面与平面的交线垂直于C ．直线，与平面所成的角相等D．点在平面上的射影在正方体的外部11. 已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（）A ．1是的极大值，也是的极大值B ．1是的极大值，也是的极小值C ．1是的极小值，也是的极小值D ．1是的极小值，也是的极大值12. 设，为正实数，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．13.若，则_____.14. 已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.15.曲线围成的封闭图形的面积为__________，若直线与恰有两个公共点，则的取值范围为__________.16. 已知函数f （x ）=+2sinx.(1)求函数f (x )的定义域和最小正周期；(2)若f (α)＝2，α∈[0，π]，求f （α+）的的值.17. 已知函数，，且的解集为（1）求的值；（2）若，且，求证18. 已知等比数列是递增函数，并且满足，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，，求.19.记为数列的前n 项和，已知，是公差为2的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．20. 2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅游的外地游客人数（单位：万人），并绘制成下图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.（1）用模型①，②分别拟合与的关系，根据散点图判断，哪个模型的拟合效果最好?（不必说理由）（2）根据（1）中选择的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01）；（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元?参考数据：下表中，.2 32.1560 3.5884.521.31参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.21. 已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.(1)求实数的取值范围；(2)若的两个零点分别为，，证明：.。

安徽省安庆市2023届高三模拟考试(二模)数学试题(2)

一、单选题二、多选题1.在等差数列中，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．2. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是（）A．B．C．D．3. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．5. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）A ．2盏B ．3盏C ．4盏D ．5盏6.已知离散型随机变量的分布列如下表所示.则（）A．B．C．D．7. 已知，，，则（）A．B．C．D．8.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，则的值是A ．1B ．2C．D ．09. 对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“”是“”的充要条件B ．“”是“”的充分条件C ．“”是“”的必要条件D ．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件10. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，将分别绕边，，所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，则（）A．B．安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题(2)安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题(2)三、填空题四、解答题C．D．11. 若，是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（）A．B．C．D．12.已知抛物线的准线，直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（）A ．若，则以为直径的圆与相交B．若，则为坐标原点C．过点分别作抛物线的切线，，若，交于点A，则D ．若，则点到直线的距离大于等于13. 函数的值域为____________.14. 在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X 表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X 的数学期望为______；设A 为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A 发生的概率为______.15.在中，内角的对边分别为，若，则__________．16. 某超市在2017年五一正式开业，开业期间举行开业大酬宾活动，规定：一次购买总额在区间内者可以参与一次抽奖，根据统计发现参与一次抽奖的顾客每次购买金额分布情况如下：(1)求参与一次抽奖的顾客购买金额的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留到整数）；(2)若根据超市的经营规律，购买金额与平均利润有以下四组数据：购买金额x (单位:元)100200300400利润:(单位:元)15254060试根据所给数据，建立关于的线性回归方程，并根据1中计算的结果估计超市对每位顾客所得的利润参考公式:，17. 如图，三棱锥中，，底面为正三角形．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若平面，，，求三棱锥的体积．18. 在等比数列中，，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求满足的的最小值.19. 如图，在三棱锥中，平面，是等边三角形，点，分别为，的中点，，.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.20. 已知将函数图像上各点的横坐标缩短至原来的一半，再向左平移个单位，得到的图像．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的值域．21. 如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面(1)证明：是圆柱下底面的直径；(2)若为中点，为中点，求平面与平面所成二面角的正弦值.。

2023-2024学年安徽省安庆市第一中学高考热身模拟数学试题+答案解析

2023-2024学年安徽省安庆市第一中学高考热身模拟数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集，则图中阴影部分所表示的集合为()A. B. C. D.2.已知复数为纯虚数，则实数m的值为()A. B.1 C.1或 D.或03.已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄年之间的古树为二级，树龄年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树.林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列.现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为米，靠近树芯的第5个年轮宽度为，靠近树皮的第5个年轮宽度为，则估计该大树属于()A.一级B.二级C.三级D.不是古树5.连续抛掷一枚骰子2次，则第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字大的概率为()A. B. C. D.6.已知函数满足，且是偶函数，当时，，则()A. B.3 C. D.7.已知，则的值为()A. B.C. D.8.已知分别是双曲线的左､右焦点，过点作直线交C 于A ，B 两点.现将C 所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后A ，B 两点的对应点分别为，且若，则C 的离心率为()A. B. C.3 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列关于棱柱的说法正确的是()A.棱柱的两个底面一定平行B.棱柱至少有五个面C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D.正四棱柱一定是长方体10.正割及余割这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割已知函数，给出下列说法正确的是()A.的定义域为；B.的最小正周期为；C.的值域为；D.图象的对称轴为直线11.已知点，点B 在上运动，边长为的正方形BCDE 的顶点C ､D ､位于圆O外，则的值可能是()A.0B.C.8D.1012.已知是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为的倾斜角为，且的夹角为，则下列说法正确的有()A. B.C.若，则D.与的交点可能在第三象限三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安安徽省安庆市示范高中2024届高三联考(三模)数学试题含答案

安庆示范高中2024届高三联考数学试题（答案在最后）2024.4命题单位：考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知线段AB 是圆O 的一条长为4的弦，则AO AB ⋅= （）A.4B.6C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点C ，连接OC ,根据向量的相关计算性质计算即可.【详解】取AB 中点C ，连接OC ，易知OC AB ⊥，所以()24108AO AB AC CO AB ⋅=+⋅=⨯⨯+=.故选：C ．2.复数z 满足()43i i 2i z ++=-，则z =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，用复数的除法运算求z ，进而求z 即可.【详解】由条件知222i 2i i 43i 43i 55i i iz --+=--=--=---，所以z ==.故选：D ．3.已知圆锥PO 的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（）A.4:1B.3:1C.2:1D.8:1【答案】A 【解析】【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案.【详解】如图，等边三角形PAB 的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，记内切球和外接球的半径分别为r 和R ，则π1sin 62r R ==所以其外接球与内切球的表面积之比为224π4:14πR r=.故选：A ．4.已知一组数据12,,,m x x x 的平均数为x ，另一组数据12,,,n y y y 的平均数为()y x y ≠.若数据12,,x x ，12,,,,m n x y y y 的平均数为()1z ax a y =+-，其中112a <<，则,m n 的大小关系为（）A.m n < B.m n> C.m n= D.,m n 的大小关系不确定【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的定义表示,,x y z ，结合已知列等式，作差比较即可.【详解】由题意可知12m x x x mx +++=L ，12n y y y n y +++=L ，121m x x x y +++++ ()2n y y m n z ++=+ ，于是()mx ny m n z +=+，又()1z ax a y =+-，所以()()()1mx ny m n z m n ax a y ⎡⎤+=+=++-⎣⎦，所以()()(),1m m n a n m n a =+=+-，两式相减得()()210m n m n a -=+->，所以m n >.故选：B5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到其准线的距离为2，点()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上两个不同点，且()()12128x x +-=，则NFMF=（）A.13B.33C.D.3【答案】A 【解析】【分析】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到其准线的距离为p ，又12,22p pMF y NF y =+=+，进而利用()()12128x x +-=得1232y y =+，从而可得NF MF的值.【详解】因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到其准线的距离为2，所以2p =，所以24x y =,即2211224,4x y x y ==,由()()12128x x +-=得221238x x -=，即124128y y -=，则1232y y =+，由焦半径公式可得()22121111313NF y y MFy y ++===++.故选：A .6.已知函数()f x ax x =的图象经过点()2,8，则关于x 的不等式()()2940f x f x+-<的解集为（）A.()(),41,-∞-+∞U B.()4,1-C.()(),14,-∞-⋃+∞ D.()1,4-【答案】C 【解析】【分析】根据图象经过点()2,8得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解.【详解】由题意知()248f a ==，解得2a =，所以()2f x x x =，其在R 上单调递增，又因为()()22f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，()()93f x f x =，所以不等式()()2940f x f x+-<可化为()()()22344f x f x f x<--=-，于是234x x <-，即2340x x -->，解得4x >或1x <-.故选：C ．7.在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点，过点1,,E F C 三点作该正方体的截面，则（）A.该截面多边形是四边形B.该截面多边形与棱1BB 的交点是棱1BB 的一个三等分点C.1A C ⊥平面1C EFD.平面11//AB D 平面1C EF 【答案】B 【解析】【分析】将线段EF 向两边延长，分别与棱CB 的延长线，棱CD 的延长线交于,G H ，连11,C G C H 分别与棱11,BB DD 交于,P Q ，可判断A ；利用相似比可得113BP BG CC GC ==，可判断B ；证明1A C ⊥平面1BC D 即可判断C ；通过证明1A C ⊥平面11AB D ，可判断D .【详解】对于A ，将线段EF 向两边延长，分别与棱CB 的延长线，棱CD 的延长线交于,G H ，连11,C G C H 分别与棱11,BB DD 交于,P Q ，得到截面多边形1C PEFQ 是五边形，A 错误；对于B ，易知AEF △和BEG 全等且都是等腰直角三角形，所以12GB AF BC ==，所以113BP BG CC GC ==，即113BP BB =，点P 是棱1BB 的一个三等分点，B 正确；对于C ，因为11A B ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，1111111,,A B B C B A B B C =⊂ 平面11A B C ，所以1BC ⊥平面11A B C ，因为1AC ⊂平面11A B C ，所以11A C BC ⊥，同理可证1A C BD ⊥，因为11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D ，因为平面1BC D 与平面1C EF 相交，所以1AC 与平面1C EF 不垂直，C 错误；对于D ，易知1111//,//BC AD BD B D ，所以11111,A C AD A C B D ⊥⊥，又1111111,,AD B D D AD B D ⋂=⊂11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，结合C 结论，所以平面1C EF 与平面11AB D 不平行，D 错误.故选：B ．8.若项数均为()*2,n n n ≥∈N的两个数列{}{},nna b 满足()1,2,,kk ab k k n -== ，且集合{}{}1212,,,,,,1,2,3,,,2n n a a a b b b n = ，则称数列{}{},n n a b 是一对“n 项紧密数列”．设数列{}{},n n a b 是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对．A.5B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】根据k k a b k -=可得()()1234123410a a a a b b b b +++-+++=，结合()()1234123436a a a a b b b b +++++++=可得123423a a a a +++=，123413b b b b +++=，然后列举出所有紧密数列对即可.【详解】由条件知112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，于是()()1234123410a a a a b b b b +++-+++=，又()()()12341234818362a a a ab b b b ⨯++++++++==，所以1234123423,13a a a a b b b b +++=+++=，于是“4项紧密数列”有{}{}{}{}:8,5,4,6,:7,3,1,2;:8,4,6,5,:7,2,3,1n n n n a b a b ；{}{}{}{}{}{}:7,3,5,8,:6,1,2,4;:3,8,7,5,:2,6,4,1;:2,7,6,8,:1,5,3,4;n n n n n n a b a b a b {}{}:2,6,8,7,:1,4,5,3n n a b 共有6对.故选：B ．【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，根据定义求得1234123423,13a a a a b b b b +++=+++=，然后据此列举出所有紧密数列对.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合{}2280A x x x =∈--<Z ，集合{}93,,x mB x m x =>∈∈R R ，若A B ⋂有且仅有3个不同元素，则实数m 的值可以为（）A.0B.1C.2D.3【答案】AB 【解析】【分析】解一元二次不等式可得A ，结合指数函数性质可解出B ，结合交集性质即可得解.【详解】由2280x x --<，解得24-<<x ，故{}{}2Z 2801,0,1,2,3A x x x =∈--<=-，由93x m >，可得2mx >，{}93,,,,2x m m B x m x x x m x ⎧⎫=>∈∈=>∈∈⎨⎬⎩⎭R R R R ，要使A B ⋂有且仅有3个不同元素，则012m≤<，解得02m ≤<，故选：AB ．10.已知函数()sin cos 2f x x x =+，则（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C.函数()f x 的最大值为98D.若方程()()f x a a =∈R 在[]π,π-上有且仅有8个不同的实根，则918a <<【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由函数sin y x =与cos2y x =的最小正周期()f x 的周期性即可；B 选项，利用函数的单调性定义求解；C 选项，由倍角公式化简函数解析式，利用二次函数的性质求最大值；D 选项，利用导数讨论函数的单调性，数形结合求a 的取值范围.【详解】由条件可知()sin cos 2sin cos2f x x x x x =+=+，因()()()()πsin πcos2πsin cos2f x x x x x f x +=+++=+=，又函数sin y x =与cos2y x =的最小正周期均为π，所以函数()f x 的最小正周期为π，A 选项正确；π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos2f x x x =+，()01f =，π132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π03f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不可能单调递增，B 选项错误；()2219sin cos22sin sin 12sin 48f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，当1sin 4x =时，函数()f x 取最大值98，C 选项正确；()()()()sin cos 2sin cos2f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，方程()()f x a a =∈R 在[]π,π-上有且仅有8个不同的实根，则在(]0,π上有四个根，此时()sin cos 2f x x x =+，则()()cos 14sin f x x x -'=，设121sin sin 4x x ==12π0π2x x ⎛⎫<<<<⎪⎝⎭令()0f x '>，得()12π0,,2x x x ⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭，令()0f x '<，得()12π,,π2x x x ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭则()f x 在上()10,x 和2π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,πx 上单调递减，又()()1298f x f x ==，()()0π1f f ==，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图所示，若想方程()f x a =在(]0,π上有四个根，则()()10f a f x <<，即918a <<，因此选项D 正确.故选：ACD ．11.直线l 与双曲线22:19y E x -=的左、右两支分别交于A B 、两点，与E 的两条渐近线分别交于C D 、两点，A C D B 、、、从左到右依次排列，则（）A.线段AB 与线段CD 的中点必重合B.AC BD=C.线段,,AC CD DB 的长度不可能成等差数列 D.线段,,AC CD DB 的长度可能成等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】设出直线l 的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段AB 和CD 共中点，可判断A ；从而证得线段AC 与线段BD 的长度始终相等，可判断B ；由等差中项的性质可判断C ；由等比中项的性质可判断D .【详解】设直线()()()()11223344:,,,,,,,,l y kx m A x y B x y C x y D x y =+，联立2219y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2229290k x kmx m ----=，于是212122229,99km m x x x x k k++==---，联立2209y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222920k x kmx m ---=，于是23434222,99km m x x x x k k+==---，所以1234x x x x +=+，因此线段AB 与线段CD 的中点必重合，A 正确；设中点为P ，则,PA PB PC PD ==，所以AC BD =，B 正确；假设线段,,AC CD DB 的长度成等差数列，则2AC DB CD +=，所以3AB CD =，于是12343x x x x -=-，两边同时平方并整理得()()2212123434494x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦，于是22249km k ⎛⎫-⨯ ⎪-⎝⎭2222229294999m km m k k k ⎡⎤---⎛⎫=-⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥⎣⎦，展开整理得2289m k +=，该方程有解，所以存在直线l ，使得线段,,AC CD DB 的长度成等差数列，C 错误；同上推理，当线段,,AC CD DB 的长度相等时，线段AC ，,CD DB 的长度成等比数列，D 正确.故选：ABD．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在6213xy y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，不含字母y 的项为_________．【答案】2135x 【解析】【分析】在6213xy y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项中，若不含字母y ，则只能取2个23xy 与4个1y 相乘，由此即可列式得解.【详解】由条件可知不含字母y 的项为()4242261C 3135xy x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为：2135x .13.一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________．【答案】13【解析】【分析】设事件“甲获胜”为事件A ，事件“乙摸到2号球”为事件B ，由古典概率公式求出()(),P A P AB ，再由条件概率求解即可.【详解】设事件“甲获胜”为事件A ，事件“乙摸到2号球”为事件B ，则()1123115512C C 9C C 25P A ++⋅==⋅，()131155C 3C C 25P AB ==⋅，所以()()()31259A 325P AB P B A P ===，故答案为：13．14.由函数()ln f x x =图象上一点P 向圆22:(2)4C x y +-=引两条切线，切点分别为点A B 、，连接AB ，当直线AB 的横截距最大时，直线AB 的方程为_________，此时cos APB ∠=_________．【答案】①.e 20x y --=②.22e 7e 1-+【解析】【分析】计算以线段PC 为直径的圆，并与圆22:(2)4C x y +-=相减可得直线():ln 22ln 0AB tx t y t +--=，通过导数计算直线AB 横截距最大即可.【详解】设点(),ln P t t ，圆C 的圆心为(0,2)C ，如图所示，则以线段PC 为直径的圆的方程为()()()2ln 0x x t y y t -+--=，整理得()222ln 2ln 0x y tx t y t +--++=，与圆22:(2)4C x y +-=相交，两个圆相减得：直线():ln 22ln 0AB tx t y t +--=，令0y =，则2ln t x t =，构造函数2ln ()t g t t =，0t >对其求导得()221ln ()t g t t -'=，令()0g t '=，则e t =，于是函数()g t 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故函数()g t 最大值为()2e eg =，此时直线AB 的方程为e 20x y --=，且()e,1,ACP PC APC PC=∠==于是cos cos2APB APC ∠=∠=222e 712sin e 1APC --∠=+．故答案为：e 20x y --=，22e 7e 1-+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据()(),1,2,3,,40,2060i i i x y i x =≤≤ ，其中i x 表示年龄，i y 表示脂肪含量，并计算得到48,27x y ==，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为 0.591y bx =+ ．（1）请求出b的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：甲款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数10403020100乙款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数30402010100如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？【答案】（1）b的值为 1.368-，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317（2）应购买甲款健身器材【解析】【分析】（1）根据线性回归直线方程经过样本中心(),x y 求出 1.368b=- ，进而得到线性回归直线方程，再进行预测即可；（2）分别列出甲，乙两款健身器材使用年限的分布列，求出期望，再比较即可.【小问1详解】因线性回归直线方程经过样本中心()x y ，所以将48,27x y ==代入 0.591y bx =+ ，得到270.59148 1.368b=-⨯=- ．于是 0.591 1.368x y =-，当35x =时， 0.59135 1.36819.317y =⨯-=．所以b的值为 1.368-，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317．【小问2详解】以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为X （单位：年），则X 的分布列为X5678P 0.10.40.30.2于是()50.160.470.380.2 6.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．设乙款健身器材使用年限为Y （单位：年），则Y 的分布列为Y 5678P 0.30.40.20.1于是()50.360.470.280.1 6.1E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．因()()E X E Y >，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久．16.如图，在四棱锥P ABCD-中，//,,,33,24,AB CD AB AD AP DP CD AB AD AP PB ⊥⊥=====4AD AE = ，连接,,BE CE PE ．（1）求证：平面PBE ⊥平面PCE ；（2）求直线CE 与平面PCD 所成角正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）已知条件利用余弦定理和勾股定理，求出,,,CE BC BE PE ，由勾股定理证明PE BE ⊥且BE CE ⊥，得证BE ⊥平面PCE ，结合面面垂直判定定理得平面PBE ⊥平面PCE ．（2）以点E 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】因,24AP DP AD AP ⊥==，所以π3PAD ∠=，又4AD AE = ，所以1AE =，根据余弦定理知22212cos 1421232PE AE AP AE AP PAD =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，4=AD ，1AE =，33CD AB ==，则BE CE ==，过B 点作BF CD ⊥，垂足为F ，则4BF AD ==，2CF =,得BC =则有222BE PE PB +=，得PE BE ⊥，222BE CE BC +=，得BE CE ⊥，因PE CE E = ，,PE CE ⊂平面PCE ，所以BE ⊥平面PCE ，又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PCE ．【小问2详解】如图，以点E 为原点，分别以,ED EP 所在直线为y 轴，z轴建立空间直角坐标系．则(()()(),3,3,0,0,3,0,1,1,0P C D B -，于是()3,3,0EC = ，又(()3,3,,3,0,0PC DC == ，设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =，于是33030m PC x y m DC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，则0,x z ==，即(m = ，设直线CE 与平面PCD 所成角为θ，则sin cos ,4EC m EC m EC mθ⋅===⋅ ，所以直线CE 与平面PCD 所成角的正弦值为24．17.已知函数()()ln f x x x ax a =-∈R 在点()()e,e f 处的切线平行于直线0x y -=．（1）若()2e f x mx ≥-对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若0x 是函数()()2h x f x x =+的极值点，求证：()0030f x x +>．【答案】（1）(],2-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据()e f '等于直线0x y -=的斜率可得1a =，然后参变分离，将恒成立问题转化为求()2e ln 1,0g x x x x=-+>的最小值问题，利用导数求解即可；（2）求导，利用零点存在性定理判断()h x '存在隐零点，利用隐零点方程代入()003f x x +化简，结合隐零点范围即可得证.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x x a '=+-，由题知()e 1121f a a =+-=-='，解得1a =．由题意可知2ln e x x x m x-+≥对任意的()0,x ∞∈+恒成立，即2e ln 1x m x -+≥对任意的()0,x ∞∈+恒成立，只需2min c ln 1x m x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，令()2e ln 1,0g x x x x =-+>，则()22221e e x g x x x x-='=-，所以当()20,e x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()2e ,x ∞∈+时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．所以()2min ()e2112g x g ==-+=，于是2m ≤，因此实数m 的取值范围是(],2-∞．【小问2详解】由条件知()2ln h x x x x x =-+，对其求导得()ln 2h x x x ='+，函数()h x '在()0,∞+上单调递增，且()1210,120e e h h ⎛⎫=-+''= ⎪⎝⎭，所以存在01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x '=，即00ln 20x x +=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，于是0x 是函数()h x 的极值点，所以()()20000000003ln 222210f x x x x x x x x x +=+=-+=->，即得证．18.已知数列{}n a 的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且248,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的前n 项的和n S ；（2）设数列{}n b 满足1tan n n b S =且π0,2n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若数列{}n b 的前n 项的和为n T ，求tan n T .【答案】（1）21n S n n =++（2）tan 2n n T n =+【解析】【分析】（1）借助等差数列的性质，等比数列的性质与等差数列求和公式计算即可得；（2）可令tan n c n =，借助两角差的正切公式可得1n n n b c c +=-，即可得n T ，即可得tan n T .【小问1详解】因248,,a a a 成等比数列，所以2428a a a =，即()()2222412a a a +=+，解得24a =，所以当*2,n n ≥∈N 时，2n a n =，又13a =不符合上式，所以数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，因此113S a ==，当*2,n n ≥∈N 时，()()21423462312n n n S n n n -+=++++=+=++ ，又13S =符合上式，所以当*n ∀∈N 时，21n S n n =++；【小问2详解】由（1）知()()211tan 111n n n b n n n n+-==++++，令πtan ,0,2n n c n c ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以()()()1111tan tan tan tan 111tan tan n n n n n n nn n c c b c c n n c c ++++--===-+++，又1ππ0,,0,22n n n b c c +⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1n n n b c c +=-，因此()()()()1232132431n n n n T b b b b c c c c c c c c +=++++=-+-+-++- 11n c c +=-，所以()111111tan tan 11tan tan 1tan tan 112n n n n c c n n T c c c c n n +++-+-=-===++++，于是tan 2n n T n =+.19.已知椭圆221:14x C y +=，圆222:1C x y +=．（1）点B 是椭圆1C 的下顶点，点P 在椭圆1C 上，点Q 在圆2C 上（点,P Q 异于点B ），连,BP BQ ，直线BP 与直线BQ 的斜率分别记作12,k k ，若214k k =，试判断直线PQ 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．（2）椭圆1C 的左、右顶点分别为点12,A A ，点E （异于顶点）在椭圆1C 上且位于x 轴上方，连12,A E A E 分别交y 轴于点,M N ，点F 在圆2C 上，求证：0FM FN ⋅=的充要条件为EF x ∥轴．【答案】（1）过定点，定点坐标为()0,1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，结合题设推出122112x y x y x x -=-，从而求出直线PQ 的方程，化简即可得结论；（2）设()()3344,,,E x y F x y ，设()()0,,0,M m N n ，利用椭圆和圆的方程推出1mn =，然后分充分性以及必要性两方面，结合直线和圆锥曲线的位置关系，进行证明即可.【小问1详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，则222211221,14x y x y +=+=，于是()11221122411,11y x y x x y x y ++=-=---，因点()210,1,4B k k -=，所以()1221411y y x x ++=，于是121211x x y y -=---，整理得122112x y x y x x -=-，又直线PQ 的方程为()211121y y y y x x x x --=--，即2121211221211121212112211y y y y y y x y x y y y y x x y x x x x x x x x x x x x -----=-+=+=+-----，所以直线PQ 过定点，定点坐标为()0,1．【小问2详解】设()()3344,,,E x y F x y ，则222233441,14x y x y +=+=，设()()0,,0,M m N n ，因()12,0A -，所以直线()313:22y A E y x x =++，所以3322y m x =+，因()22,0A ，所以直线()323:22y A E y x x =--，所以3322y n x =--，于是23233322333341422412244x y y y mn x x x x ⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=⋅-=== ⎪+---⎝⎭．先证充分性：当EF x ∥轴时，34y y =，所以2234y y =，即2234114x x -=-，于是4312x x =，设直线NF 交x 轴于点D ，因EF x ∥轴，所以2NE NF NA ND =，又342,2D NE x NFx NA ND x ==，所以34D x x x =，于是1D x =，不妨设点E 在第一象限，点F 在第二象限，则1D x =-，即()1,0D -，所以直线ND 的方程为()1y n x =+，联立()2211y n x x y ⎧=+⎨+=⎩，得()()()221110x n x n +++-=，解得=1x -或2211n x n -=-+，所以22212,11n n F n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，于是2222221212,,1111n n n n FM FN m n n n n n ⎛⎫⎛⎫--⋅=-⋅- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭22222222221221122111111n n n n n n m n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222211011n n n n ⎛⎫⎛⎫--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以充分性成立．再证必要性：当0FM FN ⋅= 时，即()()44440,0,0x m y x n y --⋅--=，整理得()224440x y m n y mn +-++=，又22441x y +=，所以412mn y m n m n+==++，又2,,A N E 三点共线，所以直线2A E 的方程为()22n y x =--，1,,A M E 三分共线，所以直线1A E 的方程为()22m y x =+，联立()()2222n y x m y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去x ，得22E mn y m n m n ==++，即342y y m n ==+，所以EF x ∥轴，即必要性得证．【点睛】难点点睛：第二问是依然是直线和圆锥曲线的位置关系问题，解答的难点在于复杂的计算，并且基本上都是字母参数的运算，因此解答时要保持清晰的解题思路，计算需要十分细心.。

安徽省安庆市2024高三冲刺(高考数学)部编版摸底(评估卷)完整试卷

安徽省安庆市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，则（）A．0B．C．1D．2第(2)题在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题若数列满足，，则其前2023项和为（）A．1360B．1358C．1350D．1348第(5)题2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（）A．B．76cm C．94cm D．第(6)题设椭圆C：的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：与C有四个公共点，依次连接这四点组成一个正方形，则（）A．B．C．D．第(7)题如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（）A．B．C．D．第(8)题5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A．由题中数据可知，变量y与x正相关B．线性回归方程中C．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）D．时，残差为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（）A．若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同B．若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值C．若函数，则函数的值域为D．若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为第(2)题下列结论正确的是（）A．若随机变量服从两点分布，，则B．若随机变量的方差，则C．若随机变量服从二项分布，则D．若随机变量服正态分布，，则第(3)题如图，在边长为3的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A．与所成角的余弦值为B．过三点的正方体的截面面积为C．在线段上运动，则三棱锥的体积不变D．为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若时，恒成立，则实数k的取值范围是_____.第(2)题已知向量满足，则________．第(3)题已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，角、、所对的边分别为、、，已知.(1)证明：；(2)若，，求的面积.第(2)题如图，在三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，，，点分别在棱上，，且三棱锥的体积为.(1)求的值；(2)若点满足，求直线与平面所成角的余弦值.第(3)题在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图.(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.第(4)题如图，四棱锥中，平面平面，且，底面为矩形，点、、分别为线段、、的中点，是上的一点，.直线与平面所成的角为.(1)证明：平面；(2)设，求二面角的余弦值.第(5)题如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.(1)求线段的长；(2)求异面直线与所成的角.。

2023-2024学年安徽省安庆市高三模拟考试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年安徽省安庆市高三模拟考试数学试题的。

1.已知集合，，则( )A.B.C.D.2.若复数z 满足是虚数单位，z 的共轭复数是，则的模是( )A.B. 4044C. 2D. 03.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长单位：分钟分成6组：第一组第二组第三组第四组第五组第六组，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为( )A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 50分钟4.已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为( )A.B.C. D.5.已知第二象限角满足，则的值为( )A.B. C.D.6.已知等差数列满足，则不可能取的值是( )A.B.C.D.7.已知函数，若函数恰有3个零点，则实数k 的取值范围是( )A. B.C. D.8.一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成角的平面所截如图，O为底面圆的中心，为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且，则点B到底面的距离是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象．则下列说法中正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象有一条对称轴为C. 函数的单调递增区间为D. 函数在区间上的值域为10.在三棱锥中，G，E，P，H分别是，，，的重心．则下列命题中正确的有( )A. 平面ABDB.C. 四条直线AG，BE，CP，DH相交于一点D.11.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列．已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是( )A. B.C.是等比数列 D.12.已知A、B为抛物线上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，设以A，B为切点的抛物线的切线斜率为，，过A，B的直线斜率为，则以下结论正确的有( )A. ，，成等差数列;B. 若点P的横坐标为，则C. 若点P在抛物线的准线上，则不是直角三角形;D. 若点P在直线上，则直线AB恒过定点;三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省安庆市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(评估卷)完整试卷

安徽省安庆市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题执行如图所示的程序框图，则输出的值与下面的哪个数最接近（）A．B．C．D．第(2)题点在椭圆的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题在正项等比数列中，若，则（）A．5B．7C．9D．11第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(6)题执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，则输出的S=（）A．3B．4C．-2D．-3第(7)题已知集合，，那么为区间（）A．B．C．D．第(8)题复数，则z在复平面内对应的点不可能在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法错误的有（）A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列第(2)题设定义在R上的可导函数与导函数分别为和，若，与均为偶函数，则（）A．B．C．D．第(3)题阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（）A．的方程为B．的方程为C．的最小值为D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是___________.第(2)题在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，，都是整数，则_______________，______________．第(3)题函数的最小值是_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知正实数，函数，，为的导函数.(1)若，求证：；(2)求证；对任意正实数m，n，，有.第(2)题某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：阅读名著的本数12345男生人数31213女生人数13312（1）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（2）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（3）试比较该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．第(3)题已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：.第(4)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与的交点为，且，求.第(5)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心过椭圆左顶点的圆与直线相切于，且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．。

安徽省安庆市2024高三冲刺(高考数学)部编版模拟(预测卷)完整试卷

安徽省安庆市2024高三冲刺（高考数学）部编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是A．B．C．D．第(2)题已知等差数列的公差为d,前n 项和为,则“d>0”是A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第(3)题已知集合或，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知四面体外接球的球心与正三角形外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为，则该四面体外接球的体积为（）A．B．C．D．第(5)题如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线的一部分，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若，且，则（）A ．1B ．2C ．3D ．4第(6)题已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第(7)题已知双曲线的一个焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(8)题设实数，对任意的，不等式恒成立，则λ的最小值为（）A．e B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角为30°第(2)题为了调查学生对两会相关知识的了解情况，某高校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A．若全校参与该活动的学生共2000人，则得分在内的人数约为650B．全校参与知识问答活动的学生的平均分约为65分C．该校学生得分的分位数约为77.7（结果精确的到0.1）D．若此次知识问答的得分，则第(3)题设等比数列{a n}的公比为q，其前和项和为S n，前n项积为T n，且满足条件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项正确的是（）A．0＜q＜1B．S2020+1＜S2021C．T2020是数列{T n}中的最大项D．T4041＞1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你不是第一名.”对乙说：“你和甲都不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列有________种不同情况；第(2)题已知点为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线与交于点，，则（为坐标原点）的面积为___________.第(3)题设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则A ，B ，C 三个事件________（填“是”或“不是”）两两独立，且________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．第(2)题已知数列满足，．求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，有；（Ⅲ）当时，有．第(3)题如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.第(4)题国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2000人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到下面的列联表：单位：人性别运动时间合计运动达人非运动达人男生11003001400女生400200600合计150********零假设为：运动时间与性别之间无关联.根据列联表中的数据，算得，根据小概率值的独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因.(2)采用样本性别比例分配的分层随机抽样抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为：男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差.附：，其中.临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828第(5)题在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l过点，且倾斜角为．(1)若l经过C上纵坐标最大的点，求l的参数方程；(2)若l与C交于A，B两点，且，求的值．。

安徽省安庆市2024高三冲刺(高考数学)部编版摸底(押题卷)完整试卷

安徽省安庆市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是A．(-3，+)B．(-1，+)C．(-，-3)D．(-，-1)第(2)题已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（）A．B．9C．16D．25第(3)题已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（）A．B．C．D．第(4)题已知全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．第(5)题A．B．C．D．第(6)题若关于的方程恰有3个不同的根，其中且，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6第(7)题已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．第(8)题设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知向量，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．第(2)题下列说法正确的的有（）A．已知一组数据的方差为10，则的方差也为10B．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是C．已知随机变量服从正态分布，若，则D ．已知随机变量服从二项分布，若，则第(3)题在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则（）A．B．直线与平面所成角的正弦值是C．异面直线与所成的角是D．四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题多项式的展开式中，的系数是______.第(2)题写出一个周期为2的奇函数：________．第(3)题调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，三棱柱中､四边形是菱形，且，，，，(1)证明：平面平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值；第(2)题如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．（1）求线段的长；（2）求的面积．第(3)题如图，在梯形中，已知，，，，，求：(1)的长；(2)的面积．第(4)题研究人员发现，某种特别物质的温度 (单位:摄氏度)随时间 (单位:分钟)的变化规律是: y=m·2x+21－x (x≥0，m>0).（1）如果，求经过多少时间，该物质的温度为摄氏度;（2）若该物质的温度总不低于摄氏度，求的取值范围.第(5)题为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若，求i的最小值.。

安徽省安庆市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(评估卷)完整试卷

安徽省安庆市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（）A．1B．C．2D．2023第(2)题命题“”的否定是（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（）A．B．C．D．第(6)题集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(8)题从1，2，3，4，5中任取两个不相同的数，则这两个数的和为质数的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，，（）A．B．C．D．第(2)题现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（）A ．，，，B ．，，，C ．，，，D．，，，第(3)题已知函数，下列说法正确的是（）A．若函数图象过原点，则B．若函数图象关于轴对称，则C．若函数在零点处的切线斜率为1或，则其最小正周期为D．存在，使得将函数图象向右平移个单位后与原函数图象在轴的交点重合三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表．序号（i）分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）1[4,5) 4.560.122[5,6) 5.5100.203[6,7) 6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是．第(2)题2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于___________________．第(3)题已知菱形的边长为，，点分别在边上，，.若，则的值为__________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和．第(2)题对于无穷数列的某一项，若存在，有成立，则称具有性质.（1）设，若对任意的，都具有性质，求的最小值；（2）设等差数列的首项，公差为，前项和为，若对任意的数列中的项都具有性质，求实数的取值范围；（3）设数列的首项，当时，存在满足，且此数列中恰有一项不具有性质，求此数列的前项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值.第(3)题已知函数.(1)若，恒成立，求的取值范围；(2)证明：；(3)证明：当时，.第(4)题为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y36132545100(1)判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，3.50322.8517.530712.12（ⅰ）证明：对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即为常数）；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．第(5)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的普通方程及直线的极坐标方程；（2）直线与曲线和直线分别交于，（，均异于点）两点，求的取值范围．。

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