第五章弹性力学问题

• 位移解法的基本未知量为3个位移函数
• 基本方程为3个拉梅方程
• 对于位移边界条件，位移解法是十分的合 适的。
u u, v v, ww
§5.3 基本解法3
但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂
u u u u v w Fsx l ( l m n) ( l m n) x y z x x x v v v u v w Fsy m ( l m n) ( l m n) x y z y y y w w w u v w Fsz n ( l m n) ( l m n) x y z z y z
第五章 弹性力学边值问题
本章任务
总结对弹性力学基本方程
讨论求解弹性力学问题的方法
目录 §5.1 弹性力学基本方程
§5.2
§5.3 §5.4 §5.5
问题的提法
弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 圣文南原理 叠加原理
§5.1 弹性力学基本方程
总结弹性力学基本理论；
讨论已知物理量、基本未知量；以及物 理量之间的关系——基本方程和边界条 件。
应变表示
x 2 x y 2 y z 2 z xy xy yz yz xz xz
x
xy yz xz
xy
G
yz
G
xz
G
基本方程：平衡微分方程；几何方程和本 构方程以及变形协调方程。
§5.3 基本解法10
•体力为常量，体积应力和体积应变均 满足拉普拉斯（Laplace)方程。
•体积应力函数和体积应变函数为调和 函数。
•位移分量，应变分量和应力分量均满 足双调和方程， •位移分量，应变分量和应力分量为双 调和函数。
§5.4 圣文南原理
• 局部影响原理——
•物体任意一个小部分作 用一个平衡力系，则该平 衡力系在物体内部所产生 的应力分布，仅局限于力 系作用的附近区域。在距 离该区域相当远处，这种 影响便急剧减小。
3. 变形协调方程
2 y
2 2 2 x xy 2 2 x y xy 2 2
z y yz 2 2 y z yz 2 x 2 z 2 xz 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y xBaidu Nhomakorabeay z xz yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
§5.5 叠加原理3
半逆解法
——对于给定的弹性力学问题，根据弹性 体的几何形状，受力特征和变形特点，或 已知简单结论，如材料力学解，假设部分 应力分量或者部分位移分量的函数形式为 已知，由基本方程确定其他的未知量，然 后根据边界条件确定未知函数中的待定系 数。
§5.5 叠加原理4
逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中 介绍，其求解过程带有“试算”的性质。 偏微分方程边值问题求解困难 难以确定弹性力学问题的解析解 显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半 逆解法的理论依据。
推导位移函数描述的基本方程
• ——位移表达的平衡微分方程
§5.3 基本解法2
( ) 2 u Fbx 0 x 2 ( ) ui Fbi 0 kk , i ( ) 2 v Fby 0 y ( ) 2 w Fbz 0 z
Fbi kk ni u i , j n j u j , i ni
这一边界条件几乎不可能实现
§5.3 基本解法4
•总之，位移解法以位移为基本未知函数， 归结为在给定的边界条件下求解位移表示 的平衡微分方程，即拉梅方程。
•位移分量求解后，可通过几何方程和物理 方程求出相应的应变分量和应力分量。
2. 几何方程
u v w x , y , z , x y z v u w v u w xy , yz , zx x y y z z x
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
§5.1 基本方程3
§5.1 基本方程5
• 边界条件
• 若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知 • 则面力边界条件为：
Fsx x l xy m xz n Fsy xyl y m zy n Fsz xzl yz m z n
Fsi ij n j
§5.2 问题提法4
位移解法
——以位移函数作为基本未知量
应力解法
——以应力函数作为基本未知量
混合解法
——以部分位移和部分应力分量作为基 本未知量
§5.3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性
• 选取位移函数作为基本未知量求解的方法
称为位移解法。
• 主要工作：
•
•
利用位移函数u,v,w表达其他未知量；
位移作为基本未知 量时，变形协调方 程自然满足。
§5.1 基本方程4
3.本构方程——广义胡克定律
应力表示
1 1 [ x v( y z )] [(1 v) x v] E E 1 1 y [ y v( x z )] [(1 v) y v] E E 1 1 z [ z v( x y )] [(1 v) z v] E E
§5.2 问题提法2
•在给定的边界条件下，求解偏微分方程组 的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。
•按照不同的边界条件，弹性力学有三类边 值问题。 •第一类边值问题： 已知弹性体内的体力和 其表面的面力分量为 Fsx 、 Fsy 和 Fsz ， 边界条 件为面力边界条件。 •第二类边值问题 ： 已知弹性体内的体力分 量以及表面的位移分量，边界条件为位移边 界条件。
§5.2 问题提法3
•第三类边值问题：已知弹性体内的体力分 量，以及物体表面的部分位移分量和部分 面力分量，边界条件在面力已知的部分， 为面力边界条件，位移已知的部分为位移 边界条件。称为混合边界条件。 •以上三类边值问题，代表了一些简化的实 际工程问题。 •若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问 题的解是唯一的。
•若物体表面的位移u, v, w 已知，则位移边界 条件为
u u, v v, ww
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则 为混合边界条件
§5.1 基本方程6
总结：
弹性力学基本方程和边界条件
§5.2 问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下， 就十五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十 五个基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为 基本未知量。
§5.3 基本解法9
体力为常量时一些物理量的特性
• 弹性力学的基本未知量位移、应力和应变 等在体力为常量时具有一些特性。
• 掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力 学问题。
• 物理量特性
2 0 2 0
ui 0
2 2
ij 0
2 2
ij 0
2 2
§5.1 基本方程2
弹性力学基本方程 1. 平衡微分方程
x yx zx Fbx 0 x y z xy y zy Fby 0 x y z z yz z Fbz 0 x y z
ij ,i Fbj 0
§5.3 基本解法7
混合解法
根据问题性质和边界条件，选择不同的基本 未知量求解称为混合解法。
§5.3 基本解法8
解的唯一性原理——
弹性体受已知体力作用。在物体的边界上， 或者面力已知；或者位移已知；或者一部分 面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平 衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对 于后两种情况，位移也是唯一的。 证明1 2
§5.3 基本解法5
• 应力函数作为基本未知量求解的方法 称为应力解法
• 应力解法的基本方程
• • 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程
§5.3 基本解法6
• 应力解法的基本未知量为6个应力分量；
• 基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协 调方程。 • 应力解法适用于面力边界条件。 • 总而言之，在以应力函数作为基本未知量 求解时，归结为在给定的边界条件下，求 解平衡微分方程和应力表达的变形协调方 程所组成的偏微分方程组。
•证明1 2
§5.5 叠加原理
解的叠加原理——
小变形线弹性条件下，作用于物体的若 干组载荷产生的总效应（应力和变形等）， 等于每组载荷单独作用效应的总和。
§5.5 叠加原理2
逆解法
—— 根据问题的性质，确定基本未知量 和相应的基本方程，并且假设一组满足 全部基本方程的应力函数或位移函数。 然后在确定的坐标系下，考察具有确定 的几何尺寸和形状的物体，其表面将受 什么样的面力作用或者将有什么样的位 移。