第五章弹性力学问题
弹性力学第五章
(
τ
xy
)
0
(
2Φ xy
)
0
1 4h
2
(Φ 5
Φ 7
Φ 6
Φ 8
)。
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相容方程
2.相容方程(a)的差分表示，
(4Φ)0 0 化为：
20Φ 8(Φ Φ Φ Φ )2(Φ Φ Φ Φ )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(Φ Φ Φ Φ ) 0.
(e)
9
10
11
12
对每一内结点，Φi 为未知，均应列出式 (e)的方程 。
(2T )0 0 的
差分方程。
F
2F
F
B
2.用差分法计算 a
图中A点的应
x
力分量。
a
a
a
A
y（Z向厚度 ）1
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§5－4 弹性体的形变势能 外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。
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差分法评价
缺点： （1）对于曲线边界和不等间距网格的计算
较麻烦。 （2）差分法比较适用于平面问题或二维问
题。 （3）凡是近似解，在求导运算时会降低精
度。如 Φ 的误差为 o(x3) ，则应力
的误差为o(x) 。
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思考题：
1.试用线性向前或向后差分公式，导出
的 Φ值与从 A（基点）到B面力的合力 距有关， Φ的一阶导数值与A到B的面力
的合力（主矢量）有关；而在区域内， 应力分量与 Φ曲面的曲率、扭率有关。
5弹性力学问题的建立
当边界条件为应力和位移混合边界条件时称为偏微分方 程第三边值问题。
弹性力学问题的待求函数共15 个（ij 、ij、ui），如果 一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组 的定解是不可能的。
为了有效地求解，从15个量中选取一部分作为基本待求 未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的未知 函数，这样使得求解方程减少，且主攻方向明确（求基本未 知量）。
三. 本构方程
应力与应变之关系
1 x x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
yx zx xy
2 1 E 2 1 E 2 1 E
得
22 ij 0
故应力分量一定是双调和函数。 即应力分量只要是双调和函数，则一定满足应变协调方程。 问题归结为在边界条件下求解平衡微分方程及以BeltramiMichell方程为补充方程的数学问题， Beltrami-Michell方程独立个数？ 求得应力后，再由本构方程求应变，最后由几何方程积分 求位移。
第五章
弹性力学问题的建立
§5-1 基本方程和边界条件汇总
§5-2 弹性力学问题的解法
§5-3 弹性力学的一般性原理
§5-4 弹性力学问题的求解方法及其简例
§5-1 基本方程和边界条件汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力 作用时，发生变形（应变）和内力（应力），这些变形和内力 应遵循的三个基本规律，从而导出了待求物理量（应力、应变、 位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
G(ui , j u j ,i ), j ij uk ,kj Fbi 0
《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法
在非线性弹性力学中的应用
解决几何非线性问题
01
通过引入复变函数法，可以更精确地描述和分析材料
的几何非线性行为，如大变形、弯曲和扭转等。
分析材料非线性特性
02 复变函数法可用于研究材料的非线性本构关系，包括
弹性模量、泊松比和屈服强度等随应变变化的规律。
求解非线性弹性力学方程
03
利用复变函数法的数学工具，可以更有效地求解非线
03
典型应力集中问题的 复变函数解法
通过实例详细讲解复变函数法在求解 典型应力集中问题中的应用，如圆孔 、椭圆孔、矩形孔等孔边应力集中的 求解。
裂纹问题的复变函数解法
裂纹问题的定义和 分类
介绍裂纹的概念、分类以及裂 纹对材料和结构的影响，如疲 劳裂纹、脆性裂纹等。
复变函数法在裂纹 问题中的应用
阐述如何利用复变函数法求解 裂纹问题，包括裂纹尖端应力 场的求解、裂纹扩展的判据等 。
在迭代计算过程中，要判断 计算结果的收敛性。如果结 果不收敛，应调整计算参数 或改进算法。误差Fra bibliotek析程序实现
分析计算结果的误差来源， 如模型误差、离散化误差、 舍入误差等。尽量减小误差， 提高计算精度。
编写稳定、可靠的程序，实 现复变函数法的数值计算。 程序应具有良好的可读性和 可维护性。
06 复变函数法在弹性力学中 的拓展应用
04 复变函数法在平面问题中 的应用
应力集中问题的复变函数解法
01
应力集中问题的定义 和分类
阐述应力集中的概念，如孔边应力集 中、缺口应力集中等，以及不同类型 的应力集中对材料和结构的影响。
02
复变函数法在应力集 中问题中的应用
介绍如何利用复变函数法求解应力集 中问题，包括应力函数的构造、边界 条件的处理等。
弹性力学第五章：弹性力学解法
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2
yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x
弹性力学-05第五章 平面问题的复变函数解答
n 1
z0
（7） 设 f(z) 在以 z = z0为圆心的圆内和圆周上是解 析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
（8） 设 f(z) 在以 R1<|z = z0|<R2 为圆环域内处处解析的，那么可展 开成罗朗（Laurent）级数：
2
2
，可知
（5-2）
z z i, 1, y x
z i y
对式（5-1）进一步求导：
（2） 相容方程的复变函数表示 本章中用U（x , y）表示应力函数，同时 将应力函数视为复变数 z, z 的函数，即
U U ( z, z ) U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U z y z y z z y
z x iy
(x,y) y
z x iy z (cos i sin ) ei
(i 1)
O
其中： i ——为虚数单位；
x
(x,-y)
(2) 共轭复数
——复数 z 的模； ——复数 z 的极角。
z x iy -i z (cos i sin ) e
( z ) u ( x, y ) iv( x,y) 解析的充要条件： （a） u ( x, y ), v( x, y ) 在定义域 D 上处处可微；
（b） 满足Cauchy-Riemann方程：
u v u v , x y y x
u ( x, y ), v( x, y )
(3) 复变函数的表示
弹性力学 徐芝纶 第五章
数必须等于3个。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5－2 弹性理论问题的基本解法
应力法 位移法
直接解法：
间接解法：
逆解法 半逆解法
5－3 基本定理
弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于 满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用 下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作 用于弹性体的解答。
弹性力学解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的 作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部 分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平 衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是 唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分 量也是唯一的。
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移 分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。 第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面 的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各 点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部 分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称 为混合边值问题。
2 x 2 0 y 2 y 2 0 x 2 xy 0 xy
一次多项式应力函数对应无应力应力状态。 这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。
二、应力函数为二次多项式
ax2 bxy cy2
x yx X 0 x y
xy x
y y
Y 0
此微分方程组的解为特解与通解的和
特解：
x Xx, x 0,
x Yy, x 0,
xy 0 xy 0
x x Xx Yy
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
位移法求解思想：
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。
根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。
常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。
通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。
边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。
边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。
一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。
位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。
通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。
解方程的方法包括解析方法和数值方法。
解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。
数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。
其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。
弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。
根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。
平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。
相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。
根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。
相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。
构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。
通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。
综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。
本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。
弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。
⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。
根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。
弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。
应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。
三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。
主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。
本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。
弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。
弹性力学知到章节答案智慧树2023年浙江大学
弹性力学知到章节测试答案智慧树2023年最新浙江大学第一章测试1.从下面哪个假设出发（），可以认为物体内部的应力、应变和位移等都是连续的。
参考答案:连续性假设2.理想弹性假设只考虑应力和应变成线性关系的情形。
（）参考答案:对3.物体在外界荷载作用下发生变形，当外界荷载被消除后，该变形可完全恢复的性质称为弹性。
（）参考答案:对4.根据连续性假设，弹性力学问题的应力、应变和位移可表示成坐标的连续函数。
（）参考答案:对5.在研究下面对象的宏观力学行为时，各向同性假设不成立的是（）。
参考答案:纤维增强复合材料;木材6.下面属于研究弹性力学问题基本假设的是（）。
参考答案:均匀性假设;连续性假设;完全弹性假设;各向同性假设第二章测试1.已知矢量，张量，按照求和约定，表达式的值是（）。
参考答案:22.已知物体内一点的应力张量为，下面叙述正确的是（）。
参考答案:三个主应力分别是（3，0，-2），最大切应力 2.53.在给定应力状态下，一点的主应力方向必相互垂直。
（）参考答案:错4.物体内一点的主应力仅与该点的应力状态有关，与所选取的参考坐标系无关。
（）参考答案:对5.过一点的任意截面上的应力分量相互独立。
（）参考答案:错6.如图所示三角形水坝刚性固结在基础上，坝高为h，坝基底宽为l，水位线离坝顶O点距离为h0，水的密度为，若略去坝体自重，下面关于坝体应力边界条件描述正确的是（）。
参考答案:OB边上各点的应力分量有：当时，;OA边上各点的应力分量有：;OA边上各点的应力分量有：;OB边上各点的应力分量有：当时，第三章测试1.已知位移场为,,，对应的应变张量为（）。
参考答案:2.下面的应变分量中，哪个可能发生（）。
参考答案:3.在一定的应变状态下，物体内任一点的三个应变主方向必相互垂直。
（）参考答案:错4.如果物体是单连通的，应变分量满足应变协调方程是保证物体连续的充分必要条件。
（）参考答案:对5.下面关于三个主应变叙述正确的是（）。
弹性力学_第五章 弹性力学边值问题
整理后可得到位移分量表达的静力边界条件为
u u u v w u px l G l m n G l m n y z x x x x
v u v v v w p y m G l m n G l m n x y z y y y
•若物体表面的位移 u, v, w 已知，则位移边界条件为
u u,
v v,
ww
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件
§5-1 基本方程
第五章 弹性力学边值问题
§5-1 基本方程 §5-2 问题的提法 §5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性 §5-4 圣维南原理 §5-5 叠加原理
§5-2 问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件 下，就十五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求 解十五个基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量 作为基本未知量。
§5-2 问题的提法
•在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题， 数学上称为偏微分方程的边值问题。
代入
zx z zx f z y z x
同理，等号右 边还可写为 根据平衡微分 方程
yz yz y z yx y yz
•若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解 是唯一的。
§5-2 问题的提法
位移解法 ——以位移函数作为基本未知量
应力解法
——以应力函数作为基本未知量
混合解法
——以部分位移和部分应力分量
作为基本未知量
第五章 弹性力学边值问题
§5-1 基本方程 §5-2 问题的提法 §5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性 §5-4 圣维南原理 §5-5 叠加原理
弹性力学第五章
dW = σ ij d ε ij
(5.3) (5.4) (5.5)
W = ∫ σ ij d ε ij
0
ε ij
从式(5.3)或(5.4)，可得
∂W σ ij = ∂ε ij
∂W σ ij = ∂ε ij
(5.5)
上式称为格林(Green)公式。只要已知应变能密度的具体函数形 式，就可用Green公式求出应力和应变之间的关系，即弹性材料的 本构关系。 把无应变的自然状态作为加载前物体的平衡状态，并假定这一 自然状态是稳定的平衡状态。加载后的平衡状态称为变形状态或干 扰状态。根据稳定平衡状态的定义可知，在准静态变形过程中，从 稳定的平衡状态到相邻的变形状态，外力必须做正功。从式(5.1)得
ε ij = Cijklσ kl
(5.12)
其中Cijkl称为柔度系数张量，它也有类似于式(5.8)所表示的对称性。
§5.3
各向异性弹性体
如果材料在各个方向的性质不相同，我们就说这种材料是各向 异性的。对极端各向异性弹性体，上一节已经证明只有21个独立的 弹性常数。对工程中用到的材料而言，或多或少存在一些材料性质 的对称性。下面将讨论几种常见的各向异性弹性体。 为叙述方便起见，把本构关系(5.10)改写成如下形式。 ⎧σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z + C14γ xy + C15γ yz + C16γ zx ⎪ ⎪σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ xy + C25γ yz + C26γ zx ⎪σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z + C34γ xy + C35γ yz + C36γ zx ⎪ ⎨ (5.13) ⎪τ xy = C41ε x + C42ε y + C43ε z + C44γ xy + C45γ yz + C46γ zx ⎪τ yz = C51ε x + C52ε y + C53ε z + C54γ xy + C55γ yz + C56γ zx ⎪ ⎪τ zx = C61ε x + C62ε y + C63ε z + C64γ xy + C65γ yz + C66γ zx ⎩ 其中C11=E1111, C12=E1122, C14=E1112,等。由于Eijkl=Eklij,故Cij=Cji。 注意，Cij不是一个二阶张量。
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§5.5 叠加原理3
半逆解法
——对于给定的弹性力学问题，根据弹性 体的几何形状，受力特征和变形特点，或 已知简单结论，如材料力学解，假设部分 应力分量或者部分位移分量的函数形式为 已知，由基本方程确定其他的未知量，然 后根据边界条件确定未知函数中的待定系 数。
§5.5 叠加原理4
逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中 介绍，其求解过程带有“试算”的性质。 偏微分方程边值问题求解困难 难以确定弹性力学问题的解析解 显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半 逆解法的理论依据。
§5.2 问题提法3
•第三类边值问题：已知弹性体内的体力分 量，以及物体表面的部分位移分量和部分 面力分量，边界条件在面力已知的部分， 为面力边界条件，位移已知的部分为位移 边界条件。称为混合边界条件。 •以上三类边值问题，代表了一些简化的实 际工程问题。 •若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问 题的解是唯一的。
§5.2 问题提法2
•在给定的边界条件下，求解偏微分方程组 的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。
•按照不同的边界条件，弹性力学有三类边 值问题。 •第一类边值问题： 已知弹性体内的体力和 其表面的面力分量为 Fsx 、 Fsy 和 Fsz ， 边界条 件为面力边界条件。 •第二类边值问题 ： 已知弹性体内的体力分 量以及表面的位移分量，边界条件为位移边 界条件。
§5.1 基本方程2
弹性力学基本方程 1. 平衡微分方程
x yx zx Fbx 0 x y z xy y zy Fby 0 x y z z yz z Fbz 0 x y z
ij ,i Fbj 0
• 位移解法的基本未知量为3个位移函数
• 基本方程为3个拉梅方程
• 对于位移边界条件，位移解法是十分的合 适的。
u u, v v, ww
§5.3 基本解法3
但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂
u u u u v w Fsx l ( l m n) ( l m n) x y z x x x v v v u v w Fsy m ( l m n) ( l m n) x y z y y y w w w u v w Fsz n ( l m n) ( l m n) x y z z y z
推导位移函数描述的基本方程
• ——位移表达的平衡微分方程
§5.3 基本解法2
( ) 2 u Fbx 0 x 2 ( ) ui Fbi 0 kk , i ( ) 2 v Fby 0 y ( ) 2 w Fbz 0 z
§5.3 基本解法5
• 应力函数作为基本未知量求解的方法 称为应力解法
• 应力解法的基本方程
• • 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程
§5.3 基本解法6
• 应力解法的基本未知量为6个应力分量；
• 基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协 调方程。 • 应力解法适用于面力边界条件。 • 总而言之，在以应力函数作为基本未知量 求解时，归结为在给定的边界条件下，求 解平衡微分方程和应力表达的变形协调方 程所组成的偏微分方程组。
应变表示
x 2 x y 2 y z 2 z xy xy yz yz xz xz
x
xy yz xz
xy
G
yz
G
xz
G
基本方程：平衡微分方程；几何方程和本 构方程以及变形协调方程。
§5.3 基本解法9
体力为常量时一些物理量的特性
• 弹性力学的基本未知量位移、应力和应变 等在体力为常量时具有一些特性。
• 掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力 学问题。
• 物理量特性
2 0 2 0
ui 0
2 2
2
•若物体表面的位移u, v, w 已知，则位移边界 条件为
u u, v v, ww
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则 为混合边界条件
§5.1 基本方程6
总结：
弹性力学基本方程和边界条件
§5.2 问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下， 就十五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十 五个基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为 基本未知量。
§5.3 基本解法7
混合解法
根据问题性质和边界条件，选择不同的基本 未知量求解称为混合解法。
§5.3 基本解法8
解的唯一性原理——
弹性体受已知体力作用。在物体的边界上， 或者面力已知；或者位移已知；或者一部分 面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平 衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对 于后两种情况，位移也是唯一的。 证明1 2
2. 几何方程
u v w x , y , z , x y z v u w v u w xy , yz , zx x y y z z x
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
§5.1 基本方程3
•证明1 2
§5.5 叠加原理
解的叠加原理——
小变形线弹性条件下，作用于物体的若 干组载荷产生的总效应（应力和变形等）， 等于每组载荷单独作用效应的总和。
§5.5 叠加原理2
逆解法
—— 根据问题的性质，确定基本未知量 和相应的基本方程，并且假设一组满足 全部基本方程的应力函数或位移函数。 然后在确定的坐标系下，考察具有确定 的几何尺寸和形状的物体，其表面将受 什么样的面力作用或者将有什么样的位 移。
第五章 弹性力学边值问题
本章任务
总结对弹性力学基本方程
讨论求解弹性力学问题的方法
目录 §5.1 弹性力学基本方程
§5.2
§5.3 §5.4 §5.5
问题的提法
弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 圣文南原理 叠加原理
§5.1 弹性力学基本方程
总结弹性力学基本理论；
讨论已知物理量、基本未知量；以及物 理量之间的关系——基本方程和边界条 件。
§5.1 基本方程5
• 边界条件
• 若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知 • 则面力边界条件为：
Fsx x l xy m xz n Fsy xyl y m zy n Fsz xzl yz m z n
Fsi ij n j
§5.2 问题提法4
位移解法
——以位移函数作为基本未知量
应力解法
——以应力函数作为基本未知量
混合解法
——以部分位移和部分应力分量作为基 本未知量
§5.3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性
• 选取位移函数作为基本未知量求解的方法
称为位移解法。
• 主要工作：
•
•
利用位移函数u,v,w表达其他未知量；
3. 变形协调方程
2 y
2 2 2 x xy 2 2 x y xy 2 2
z y yz 2 2 y z yz 2 x 2 z 2 xz 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y x y z xz yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
§5.3 基本解法10
•体力为常量，体积应力和体积应变均 满足拉普拉斯（Laplace)方程。
•体积应力函数和体积应变函数为调和 函数。
•位移分量，应变分量和应力分量均满 足双调和方程， •位移分量，应变分量和应力分量为双 调和函数。
§5.4 圣文南原理
• 局部影响原理——
•物体任意一个小部分作 用一个平衡力系，则该平 衡力系在物体内部所产生 的应力分布，仅局限于力 系作用的附近区域。在距 离该区域相当远处，这种 影响便急剧减小。
位移作为基本未知 量时，变形协调方 程自然满足。
§5.1 基本方程4
3.本构方程——广义胡克定律
应力表示
1 1 [ x v( y z )] [(1 v) x v] E E 1 1 y [ y v( x z )] [(1 v) y v] E E 1 1 z [ z v( x y )] [(1 v) z v] E E
Fbi kk ni u i , j n j u j , i ni
这一边界条件几乎不可能实现
§5.3 基本解法4
•总之，位移解法以位移为基本未知函数， 归结为在给定的边界条件下求解位移表示 的平衡微分方程，即拉梅方程。
•位移分量求解后，可通过几何方程和物理 方程求出相应的应变分量和应力分量。