应物11-1变摆长单摆运动的模拟

东北石油大学课程设计

2015年3月16日

东北石油大学课程设计任务书

课程计算物理和MATLAB课程设计

题目变摆长单摆运动的模拟

专业应用物理学姓名王士愚学号110901340107

主要内容、基本要求、主要参考资料等

主要内容：

设计基于MATLAB的变摆长单摆运动的模拟。单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成．摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆。

基本要求：

1.贯彻事件驱动的程序设计思想。

2.功能明确，操作方便；可以增加其他功能或修饰。

3.代码应适当缩进，并给出必要的注释，以增强程序的可读性。

主要参考资料：

[1]Steven E.Koonin,秦克诚译.计算物理学.北京：高等教育出版社，1993.

[2]马文淦等.计算物理学.合肥：中国科学技术大学出版社，1992.

[3]张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航空航天大学出版社，2003.

完成期限2015.3.27

指导教师董向国

专业负责人

2015年3月16日

目录

第1章绪论 (1)

1.1基本概念 (1)

1.2设计分析 (1)

第2章基本设计 (2)

2.1完全理想条件下单摆的数学模型 (2)

2.2现实情况下单摆的数学模型 (4)

2.3理想条件下特殊摆动的数学模型 (5)

第3章结论 (7)

参考文献 (8)

附录 (9)

第1章绪论

1.1基本概念

单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成．摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆。在满足偏角<10°的条件下，单摆的周期：

()g

=1-1

2π

L

T/

用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。模拟单摆运动，主要是使单摆能够在最低点左右摆动动，用来在物理课的时候让同学能够更直接的感受到单摆的运行轨迹以及运行周期与初始角。

对于单摆运动，在大学物理和理论力学教材中有很多例子，主要研究了包括摆长和摆角的不同以及存在的阻尼对单摆运动的影响。

1.2设计分析

首先根据理想条件,摆线质量忽略不计,空气阻力忽略不计。

设摆线长度为l,摆球质量为m,重力加速度为g,系统的初始时刻为t=0,在任意t≥0时刻摆球的线速度为v(t),角速度为ω(t),角位移θ(t),以单摆的固定位置为坐标原点建立直角坐标系,水平方向为x轴方向。示意图1-1所示：

图1-1

在t时刻，摆锤所受切向力()t f t是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即

()()t

=1-1

sin

mg

t

f tθ

第2章基本设计

2.1完全理想条件下单摆的数学模型

根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：

()()t g t a θsin =2-1因此得到单摆的运动微分方程组：

()t g dt t dv θsin )(=2-2

l

t v t dt t d )()()(-=-=ωθ2-3使用欧拉算法求解：将d v (t )= v (t + d t )- v (t )和d θ(t )= θ(t + d t )-θ(t )代入式2-2及式2-3中，并以仿真步进量Δ作为d t 的近似，得到基于时间的递推方程：

()()()∆+=∆+t g t v t v θsin 2-4

()()()∆-

=∆+l

t v t t θθ2-5注:本递推方程仅适合于摆角θ≤2

π，也就是要求无论初始速度多少，摆角的最大幅度不能超过90度，如果超过90度比并且初始速度为0时放手小球会自由下落一段时间才能摆动，本递推方程无法描述。

据此编写仿真程序：（程序见附录）

在以上假设条件下得到仿真图形如图2-1：

图2-1完全理想条件下单摆的运动模拟

在其他条件不变的情况下，仅仅改变细线的长度L=3，再次进行仿真，仿真图象如图2-2：

图2-2完全理想条件下L=3单摆的运动模拟

对比两幅图象可以看出，在理想条件下，同样摆角下，单摆的摆臂变化，影响单摆的最大线速度以及单摆的周期，当摆臂增加时,最大线速度增加，同时单摆的周期也增加，此结论正好与最初单摆理想条件下的试验结论一致。

θ)，单摆的摆动可以看作是简谐运动，现在实际情况中，当摆幅很小(05<

更改单摆的初始摆角为05情况，也就是令th0=0.011，L依然为1.8，仿真结果如图2-3：

图2-3摆幅很小条件下单摆的运动模拟

2.2现实情况下单摆的数学模型

现实情况下，绳子的质量，摆球的半径，空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响。这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动，为简单起见，可设单摆在摆动中受到阻力f z ，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：

()()()t kv t f v f f z z -==,2-6

上式中，k >0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力f t -f z 产生，根据牛顿第二运动定律，有

()()()t kv t g t a -=θsin 2-7因此得到修正后的单摆运动微分方程组:

()()()m t kv t g dt t dv -=θsin 2-8

()()l

t v dt t d -=θ2-9仍然使用欧拉算法求解：将()()()t v dt t v t dv -+=和d θ(t )()()()t dt t t d θθθ-+=代入式2-8及式2-9中，并以仿真步进量∆作为d t 的近似，得到基于时间的递推方程：

()()()()∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∆+m t kv t g t v t v θsin 2-10

()()()∆-

=∆+l

t v t t θθ2-11据此编写仿真程序见附录