7.7全同粒子体系的波函数 泡利原理
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具有同样的本征能量 E i j
(7.7-6)
表示体系能量本征值是简并的,称为交换简并
• 注意：(q1, q2 ) 是否具有交换对称性？ (q1 , q2 ) 具有交换对称 当 i j 时， 对应玻色子 当 i j 时，（7.7-4）与（7.7-6）虽是本征方 程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子 波函数的条件 （1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子 是对称的，所以当 i j 时，归一化的对称波函数 构成如下 1
N个全同粒子体系的波函数 设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量 H ˆ 0 不显 含时间，以 i 和 i 表示 H ˆ 0 的第i个本征值和本征函数，则 N个全同粒子体系的哈密顿量为
ˆ ˆ ˆ H H () q H () q H ( q ) H () q 0 0 0 1 0 2 N i
1 q [ q j (q q j (q A( 1,q 2) i( 1) 2) i( 2) 1)] 2 q q 1 i( 1) i( 2) q 2 j (q 1) j( 2)
由上式可以看出，当 i j 时，则 A 0 ，所以两个费米子 处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能 有两个或两个以上的费米子处于同一状态
q k( 1) k (q 2)
如果交换任何两粒子在行列式中就是两列相互调换，就 使得行列式改变符号，所以（7.7-8）式是反对称的。 三、泡利不相容原理 如果N个单粒子态 i, j, k 中有两个单粒子态相同，则 （7.7-8）行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。这个结果称
§ 7.7
一 、两个粒子体系
全同粒子体系的波 函数 泡利原理
(7.7-1) (7.7-2)
ˆ ˆ( ˆ( H H q ) H ) 0 1 0q 2
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1 H0 (q2)j (q2) jj (q2)
当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，体系的能量
(, q q ) [() ( q ) ( q ) () q ] S 1 2 iq 1 j 2 i 2 j 1 2
当 i j 时
(, q q ) () q ( q ) S 1 2 i 1 i 2
（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对 称的，归一化的反对称波函数构成如下
Ei j
波函数为
(7.7-3) (7.7-4)
( qq ,2 ) ( q ) ( q ) 1 i 1 j 2
相应的本征方程
( qq ,2 ) ( q ) ( q ) 1 j 1 i 2
(7.wk.baidu.com-5)
当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于i态时，波函数为
ˆ Hq (1 , q ) E ( q , q ) 2 1 2
费米子体系,每个粒子有四个可能的单粒子态
i ,j ,k ,l
费米子体系的归一化波函数
i (q 1) 1 j (q 1) 4! k (q 1) l (q 1)
i (q2) j (q2) k (q2) l (q 2)
i (q3) j (q3) k (q3) l (q3)
N i 1
对应本征值 E i j N 的本征态
( q ,, q ) ( q ) ( q )k ( q ) 1 2q N i 1 j 2 N
体系的本征方程为
H E
由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒 子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解 了。 ( qq ,2 , q )并不满足全同粒子体系波函数交换对称 1 N 但 性的要求，还须作变换。 （1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒 子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用 P P 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为 N ! ， 所以玻色子系统的对称波函数是
1 (, q q , q ) P ( 1 )j ( 2 ) () N S 1 2 N i k N ! P
• （2）对于N个费米子，若它们分别处于 i, j, 反对称的波函数为
q i( 1) i (q 2) 1 j (q 1) j (q 2)
N!
k 态，则
A
i (q N) j (qN) k (q N)
为泡利不相容原理
在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，
• 体系波函数可以写成坐标与自旋分离变量 的形式
( r , r , S ,) Sr ( , r ) ( S ,) S 1 2 1 zz 2 1 2 1 zz 2
对于费米子，故 必须是反对称的，这就要 求 （1） 是对称的， 是反对称的； 或 是反对称的， 是对称的。 （2）
例1 由四个全同玻色子组成的体系,每个粒子有四个 可能的单粒子态 i ,j ,k ,l
当三个粒子处于态 一个粒子处于 态 写出体系的归一化波函数
i
j
若是四个费米子,写出体系的归一化波函数 解：玻色子组成对称波函数
S 1 [ i ( q1 ) i ( q 2 ) i ( q3 ) j ( q4 ) 4 i ( q1 ) i ( q2 ) i ( q4 ) j ( q3 ) i ( q1 ) i ( q4 ) i ( q3 ) j ( q2 ) i ( q3 ) i ( q 2 ) i ( q 4 ) j ( q1 )]
i (q4) j (q4) k (q4) l (q4)
例2 由两个全同粒子组成的体系,设三个单粒子态分别为
求体系所有可能的状态。 （1）粒子为玻色子 （2）粒子为费米子 （3）粒子为经典粒子
1 ,2 ,3
(7.7-6)
表示体系能量本征值是简并的,称为交换简并
• 注意：(q1, q2 ) 是否具有交换对称性？ (q1 , q2 ) 具有交换对称 当 i j 时， 对应玻色子 当 i j 时，（7.7-4）与（7.7-6）虽是本征方 程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子 波函数的条件 （1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子 是对称的，所以当 i j 时，归一化的对称波函数 构成如下 1
N个全同粒子体系的波函数 设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量 H ˆ 0 不显 含时间，以 i 和 i 表示 H ˆ 0 的第i个本征值和本征函数，则 N个全同粒子体系的哈密顿量为
ˆ ˆ ˆ H H () q H () q H ( q ) H () q 0 0 0 1 0 2 N i
1 q [ q j (q q j (q A( 1,q 2) i( 1) 2) i( 2) 1)] 2 q q 1 i( 1) i( 2) q 2 j (q 1) j( 2)
由上式可以看出，当 i j 时，则 A 0 ，所以两个费米子 处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能 有两个或两个以上的费米子处于同一状态
q k( 1) k (q 2)
如果交换任何两粒子在行列式中就是两列相互调换，就 使得行列式改变符号，所以（7.7-8）式是反对称的。 三、泡利不相容原理 如果N个单粒子态 i, j, k 中有两个单粒子态相同，则 （7.7-8）行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。这个结果称
§ 7.7
一 、两个粒子体系
全同粒子体系的波 函数 泡利原理
(7.7-1) (7.7-2)
ˆ ˆ( ˆ( H H q ) H ) 0 1 0q 2
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1 H0 (q2)j (q2) jj (q2)
当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，体系的能量
(, q q ) [() ( q ) ( q ) () q ] S 1 2 iq 1 j 2 i 2 j 1 2
当 i j 时
(, q q ) () q ( q ) S 1 2 i 1 i 2
（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对 称的，归一化的反对称波函数构成如下
Ei j
波函数为
(7.7-3) (7.7-4)
( qq ,2 ) ( q ) ( q ) 1 i 1 j 2
相应的本征方程
( qq ,2 ) ( q ) ( q ) 1 j 1 i 2
(7.wk.baidu.com-5)
当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于i态时，波函数为
ˆ Hq (1 , q ) E ( q , q ) 2 1 2
费米子体系,每个粒子有四个可能的单粒子态
i ,j ,k ,l
费米子体系的归一化波函数
i (q 1) 1 j (q 1) 4! k (q 1) l (q 1)
i (q2) j (q2) k (q2) l (q 2)
i (q3) j (q3) k (q3) l (q3)
N i 1
对应本征值 E i j N 的本征态
( q ,, q ) ( q ) ( q )k ( q ) 1 2q N i 1 j 2 N
体系的本征方程为
H E
由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒 子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解 了。 ( qq ,2 , q )并不满足全同粒子体系波函数交换对称 1 N 但 性的要求，还须作变换。 （1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒 子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用 P P 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为 N ! ， 所以玻色子系统的对称波函数是
1 (, q q , q ) P ( 1 )j ( 2 ) () N S 1 2 N i k N ! P
• （2）对于N个费米子，若它们分别处于 i, j, 反对称的波函数为
q i( 1) i (q 2) 1 j (q 1) j (q 2)
N!
k 态，则
A
i (q N) j (qN) k (q N)
为泡利不相容原理
在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，
• 体系波函数可以写成坐标与自旋分离变量 的形式
( r , r , S ,) Sr ( , r ) ( S ,) S 1 2 1 zz 2 1 2 1 zz 2
对于费米子，故 必须是反对称的，这就要 求 （1） 是对称的， 是反对称的； 或 是反对称的， 是对称的。 （2）
例1 由四个全同玻色子组成的体系,每个粒子有四个 可能的单粒子态 i ,j ,k ,l
当三个粒子处于态 一个粒子处于 态 写出体系的归一化波函数
i
j
若是四个费米子,写出体系的归一化波函数 解：玻色子组成对称波函数
S 1 [ i ( q1 ) i ( q 2 ) i ( q3 ) j ( q4 ) 4 i ( q1 ) i ( q2 ) i ( q4 ) j ( q3 ) i ( q1 ) i ( q4 ) i ( q3 ) j ( q2 ) i ( q3 ) i ( q 2 ) i ( q 4 ) j ( q1 )]
i (q4) j (q4) k (q4) l (q4)
例2 由两个全同粒子组成的体系,设三个单粒子态分别为
求体系所有可能的状态。 （1）粒子为玻色子 （2）粒子为费米子 （3）粒子为经典粒子
1 ,2 ,3