数学建模算法方差分析
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。
关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。
在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。
一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。
通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。
本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。
1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数)实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ⎰⎰,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。
方差分析 数学建模
学号姓名班级学院学院编号成绩05010101郭强050101机械187 ********张旭鹏050101机械171 05010103李桂艳050101机械175 ********杨功050101机械178 ********禹善强050101机械176 ********刘达050101机械166 ********刘中晗050101机械161 05010108王振波050101机械167 05010109赵长亮050101机械182 ********石增辉050101机械174 05010111过建奇050101机械172 05010112王振春050101机械171 05010113刘旸洋050101机械179 05010114邳亚山050101机械176 ********李志敏050101机械176 ********马红梅050101机械164 05010117李新澎050101机械171 05010118靳颖050101机械173 ********刘占文050101机械170 05010120关晓月050101机械172 05010121郑元秀050101机械169 05010122李宁050101机械179 05010123张廉050101机械170 05010124朱勇050101机械177 ********李亚娟050101机械172 05010126王大成050101机械178 ********徐延050101机械186 ********徐岩050101机械173 ********刘喆050101机械184 ********魏邈050101机械166 ********汪薇050102机械182 ********刘叶050102机械161 05010203李丹霞050102机械172 05010204王璟050102机械155 ********陈兴华050102机械180 ********王倩050102机械165 05010207杨昭胜050102机械164 05010208白力坤050102机械165 05010209尹娜050102机械177 ********孙超050102机械166 ********李瑛050102机械168 05010212刘湉050102机械179 05010213苗宇050102机械173 ********闫巍050102机械184 ********崔翼050102机械159 ********王红维050102机械17105010217邱倩倩050102机械174 05010218刘瑛050102机械174 05010219张雷050102机械180 ********费腾飞050102机械163 05010221孟昭福050102机械168 05010222苏友朋050102机械148 05010223韩冬050102机械187 ********宓晓庆050102机械179 05010225谢昆050102机械178 ********高学明050102机械163 05010227金鑫050102机械169 05010228巴志堃050102机械164 05010229钟尹050102机械172 05010230刘丽050102机械180 ********杨成050103机械175 ********薛立鹏050103机械177 ********沃娜050103机械176 ********梁宪050103机械178 ********高洁050103机械182 ********吴惠青050103机械175 ********段宝龙050103机械165 05010308郭晓城050103机械174 05010309陈武050103机械164 05010310魏锋050103机械184 ********葛彦050103机械160 05010312范柏铭050103机械169 05010313李辉050103机械174 05010314刘家祺050103机械172 05010315杨爽050103机械180 ********姜斌050103机械173 ********刘宝050103机械166 ********周若璞050103机械177 ********赵婉莹050103机械164 05010320孟宪娟050103机械176 ********彭飞050103机械175 ********赵建平050103机械166 ********杨廷江050103机械165 05010324韩卓050103机械164 05010325李永录050103机械164 05010326周建国050103机械165 05010327齐静050103机械187 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05030827孙嘉琳050308化工382 05030828袁予钊050308化工376 05030829王彬彬050308化工390 05030901苏捷050309化工374 05030902卢垚050309化工367 05030903陈旭050309化工385 05030904许国贺050309化工386 05030905杨玉美050309化工390 05030906肖迪050309化工386 05030907叶晟050309化工393 05030908周赢050309化工380 05030909徐锋050309化工394 05030910李玲050309化工396 05030911卢紫筠050309化工380 05030912王晓磊050309化工388 05030913王立利050309化工390 05030914莫小河050309化工392 05030915高雅春050309化工379 05030916焦强050309化工385 05030917肖尧050309化工392 05030918杨文凯050309化工387 05030919徐庆艳050309化工392 05030920贾梦瑶050309化工378 05030921汪培俊050309化工388 05030922徐子剑050309化工397 05030923王兵050309化工377 05030924魏学刚050309化工371 05030925许宜阳050309化工387 05030926刘博050309化工381 05030927陈京超050309化工394 05030928郝宇050309化工37905030929项立勇050309化工374 05031001陈小赛050310化工383 05031002卢珊050310化工391 05031003季浩岩050310化工382 05031004刘宇050310化工375 05031005梁冰050310化工379 05031006赵丹050310化工377 05031007陈琦全050310化工368 05031008于平平050310化工381 05031009李享050310化工389 05031010冯超050310化工381 05031011邵安琪050310化工375 05031012叶志青050310化工390 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05031128方麒麟050311化工394 05031129张瑶瑶050311化工383 05031201包婷婷050312化工382 05031202王卓然050312化工383 05031203胡力050312化工366 05031204刘燕琼050312化工392 05031205李彬050312化工390 05031206张昊050312化工384 05031207尚伟050312化工375 05031208殷虹050312化工376 05031209王欣050312化工367 05031210张洋050312化工380 05031211范加嘉050312化工382 05031212佟磊050312化工385 05031213宋澜波050312化工347 05031214毛瑾050312化工371 05031215杨正海050312化工379 05031216刘欣050312化工376 05031217幸福050312化工393 05031218焦健050312化工392 05031219陈锐昌050312化工394 05031220刘玥050312化工372 05031221王倩050312化工371 05031222易致高050312化工381 05031223尹航050312化工381 05031224江会臣050312化工384 05031225冯括050312化工375 05031226李洋050312化工377 05031227王莹鑫050312化工376 05031228张琳浩050312化工370 05031229李宁050312化工368 05031230李琳050312化工380 05040101许欢虹050401环境468 05040102凌崇050401环境492 05040103乔雪050401环境477 05040104李彤彤050401环境473 05040105王大为050401环境477。
方差分析建模
因为p=0.0029<0.01，故不同饲料对鱼的增重效 ， 因为 果极为显著 .
四种不同饲料对鱼的增重效果极为显著 ，那么 哪一种最好呢？ 哪一种最好呢？请看下图
35 Values
30
25
1
2 3 Column Number
4
此时， 此时，第一个图对应第一种饲料且离盒子图中 心线较远，效果最突出。 心线较远，效果最突出。如果从原始数据中去掉第 一种饲料的试验数据， 一种饲料的试验数据，得到的结果为各种饲料之间 对鱼的增重效果不显著 .
3. 多重比较的 多重比较的MATLAB实现 实现 为方便找到具有显著差异的方案， 为方便找到具有显著差异的方案，我们给出 多重比较的MATLAB命令。 命令。 多重比较的 命令 C=multcompare(s) 其中输入s，由[p,c,s]=anova1(b);得到输出的结果； 得到输出的结果； 其中输入 ， 得到输出的结果 输出C共有 共有5列 其中前两列给出样本编号， 输出 共有 列，其中前两列给出样本编号，后三列分 别为两个样本均值差的置信区间与估计量. 别为两个样本均值差的置信区间与估计量 练习：对于例 ，利用多重比较命令进行分析， 练习：对于例3.1，利用多重比较命令进行分析， 关键理解输出的含义。 关键理解输出的含义。
b=a’; % MATLAB只对各列进行分析 只对各列进行分析 [p,c,s]=anova1(b); % 方差分析 c=multcompare(s) % 多重比较
从方差分析表可知：四个实验室生产有差异，那么 从方差分析表可知：四个实验室生产有差异， 如何比较？软件输出c如下所示 如下所示： 列表示比较的 如何比较？软件输出 如下所示：1,2列表示比较的 实验室号码， ， 实验室号码，3，5 列分别为置信区间左右端点 ， 列是均值差的统计量观测值. 第4 列是均值差的统计量观测值
数学建模之方差分析.
• 比如，每种颜色饮料的销售量必须服从正态分布
2.各个总体的方差必须相同
• 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
的。
• 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同。
3.不同水平下的样本相互独立
一、数学模型
1.2 单因素方差分析
设因素A有s个水平A1 , A2 ,, As , 在水平A j ( j 1,2,, s )下, 进行n j ( n j 2)次独立试验, 得到如下表 的结果. 表1 水平 A1 A2 As 观察结果 X 1s X 11 X 12 X 2s X 21 X 22 Xn 1 Xn 2 X ns s 1 2 样本总和 T1 T2 T s 样本均值 X s X 1 X 2 s 1 2 总体均值
可以控制 的试验条 件
2.水平：因子在实验中的不同状态。 如：例1中橘黄色、粉色、绿色和无色透明四 种颜色就是因素的四个水平。
3.交互影响：如果因子间存在相互作用，称之为 “交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称 为无交互影响。 4.观察值：在每个因素不同水平下得到的样本值。 如例1中每种颜色饮料的销售量就是观察值。
因为X ij ～N ( j , 2 ), 所以X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij , 表示随机误差, 那么X ij 可写成
ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 . 单因素试验方差分析的数学模型 需要解决的问题 H 0 : 1 2 s , 1.检验假设 H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
数学建模中的统计分析工具
数学建模中的统计分析工具1. 比较——方差分析比较不同总体间均值有无显著差异.方差分析是处理试验数据的一种常用统计方法，其基本思想是：把指标数据的总变差（总离差平方和），分解为由所考察因素引起的变差（因素变差或组间离差平方和）和随机因素引起的变差（随机变差或组内离差平方和），然后通过比较这些变差来推断因素对指标影响是否显著．因为判定因素对指标影响是否显著时，是从指标的总变差入手，将之分解为由各因素引起的变差和随机波动引起的变差，所以称此类分析为方差分析．在方差分析中，影响指标的因素称为因子，因子的取值称为水平． 例如，考察学生性别对学习成绩的影响时，学习成绩是所考察的指标，性别是影响指标的因子，而性别的取值“男”和“女”是性别因子的水平．实质上，此处是要比较男生和女生学习成绩有无显著差异，属两组比较问题，是方差分析的特殊情况，一般的方差分析研究的是多组比较问题．试验中如果只考虑一个因子对指标的影响，这种试验称为单因子试验，相应的方差分析称为单因子方差分析．若试验中同时考虑两个因子，则称相应的试验为两因子试验，所做的方差分析称为两因子方差分析．类似地可以定义三因子、多因子试验和方差分析．① 为研究新药的降糖效果，某医院用40名病人同期随机对照实验。
实验者将病人随机等分成实验组和对照组，分别测得实验开始前和8周后空腹血糖，算得空腹血糖下降值的均数，见下表，能否认为新药对空腹血糖的降糖效果显著？(检验水平0.05α=)实验组1X -0.7 -5.6 2.0 2.8 0.7 3.5 4.0 5.8 7.1 -0.5 20人2.5 -1.6 1.73.0 0.44.5 4.6 2.5 6.0 -1.4 对照组2X3.7 6.5 5.0 5.2 0.8 0.2 0.6 3.4 6.6 -1.1 20人 6.0 3.8 2.0 1.6 2.0 2.2 1.2 3.1 1.7 -2.0② 某养鸡场为提高经济效益，研制了三种鸡饲料配方．为比较三种饲料在养鸡增肥上的效果，分别用每种饲料喂养10只小鸡，60天后测量鸡重．请通过试验数据分析，三种饲料在养鸡增肥效果上有无显著差异（检验水平皆取0.05α=）？2.相关与回归分析在生产实践中，人们关心的某项重要指标往往受一个或多个变量的影响，此时令人关注的是变量与指标之间的关系．线性回归分析研究的是一维因变量（也称响应变量）Y与回归变量（也称解释变量或自变量）之间的线性相关关系，其中回归变量是可观测或可控制的①为确定运动员耗氧量与其他因素的关系，对31个人测量了年龄age、体重weight、跑完1.5公里的时间runtime、静态心率rstpulse、跑动时心率runpulse、跑步时最大Maxpulse、每公斤体重每分钟耗氧量oxy，数据见\Sas_Ex\oxy.txt，试以oxy为因变量作回归分析。
统计建模(假设检验、方差分析、协方
两个总体均值和方差的检验 解 性状是否已达到稳定要取决于第5代和第6代株高的 方差和均值是否相等。编写SAS程序并输入在程序编 辑窗口; data ex;input c$ x@@; cards; a 66 a 65 a 66 a 68 a 62 a 65 a 63 a 66 a 68 a 62 b 64 b 61 b 57 b 65 b 65 b 63 b 62 b 63 b 64 b 60 ; proc ttest;class c;var x; run;
华中农业大学数学建模基地
单因素方差分析--计算 例1.2《药剂处理》用4种不同的药剂处理 水稻种子，发芽后观测到苗高(单位：cm)如下：
处理 1 2 3 4
苗 高 19, 23, 21, 21, 24, 27, 20, 18, 19, 22, 25, 27,
13 20 15 22
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双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
华中农业大学数学建模基地
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5; input x @@;output;end;end; cards; 53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48 ; proc anova;class a b;model x=a b; means a b/duncan cldiff;run;
单因素方差分析—理论
设
1 xi ni
x ,
j 1 ij
ni
1 1 x x ij ni x i n i 1 j 1 n i 1
实验设计与统计建模方差分析与线性回归的设计公式
实验设计与统计建模方差分析与线性回归的设计公式在实验研究中，为了得到准确的结果和可靠的推断，合理的实验设计和统计建模方法是至关重要的。
方差分析和线性回归是常用的统计建模方法，它们有着不同的设计公式和应用场景。
本文将详细介绍方差分析和线性回归的设计公式和使用方法。
一、方差分析的设计公式方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值是否存在差异的方法。
通常将实验设计成不同处理组和一个或多个控制组，然后利用方差分析方法来检验不同组之间均值是否有显著差异。
进行方差分析时，需要计算各组均值、总均值、组内平方和以及组间平方和。
这些值用来计算F值，用于判断组间的均值差异是否显著。
方差分析的设计公式如下：总平方和（SST）= 组间平方和（SSB）+ 组内平方和（SSW）组间平方和（SSB）= Σ(每组均值 - 总均值)² ×每组样本数组内平方和（SSW）= Σ(每个观测值 - 对应组均值)²F值 = 组间均方（MSB）/ 组内均方（MSW）通过计算F值和查表或进行假设检验，可以判断组间差异是否显著。
二、线性回归的设计公式线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的统计模型。
简单线性回归模型的设计公式为：Y = β₀ + β₁X + ε其中，Y为因变量，X为自变量，β₀和β₁为回归系数，ε为误差项。
在实际应用中，为了根据样本数据估计回归系数，并进行参数推断，需要计算回归系数的最小二乘估计值。
对于简单线性回归模型，回归系数的最小二乘估计值的计算公式如下：β₁ = ∑((Xⱼ - X)(Yⱼ - Ȳ))/∑(Xⱼ - X)²β₀ = Ȳ - β₁X其中，Xⱼ和Yⱼ分别表示第j个样本的自变量和因变量值，X和Ȳ分别表示自变量和因变量的样本均值。
通过计算回归系数的最小二乘估计值，可以得到线性回归模型的方程。
在实际应用中，可以利用该模型进行预测、推断和变量关系分析。
总结：实验设计与统计建模中的方差分析和线性回归是两种常用的统计方法。
方差分析(数学建模)
第二节 双因素方差分析
•
例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同 型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次 试验，得数据如表2所示。 • 表2 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 燃料4 58.2 49.1 60.1 75.8 推进器2 56.2 54.1 70.9 58.2 推进器3 65.3 51.6 39.2 48.7
第二节 双因素方差分析
•
例3（双因素方差分析）设火箭的射程在其它条件基本 相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃 料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭两次， 得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的 射程有显著影响？
表3 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 推进器2 56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 推进器3 65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7
H 0 : 1 2 s
是否成立
第一节 单因素方差分析
例1（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教 学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。 把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一 段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下 表。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。
• • • • • •
第二节 双因素方差分析
• • • • • • • disp1=[58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7]'; p=anova2(disp1,1) 输出结果：方差分析表 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 157.59 3 52.53 0.43059 0.73875 Rows 223.8467 2 111.9233 0.91743 0.44912 • Error 731.98 6 12 1.9967 • Total 1113.4167 11 • 由于燃料和推进器对应的p值均大于0.05，所以可以接受 零假设H0 A和H0 B，认为燃料和推进器对火箭的射程没有显著影响。
数学建模-方差分析
6
7 8
72
83 79
83
72 73
69
73 69
69
65 69
79
76 84
现欲检验种子品种（因素A）对收获量（试验 指标）的影响是否显著。
２、四支温度计 T1 , T2 , T3 和 T4 被用来测定氢 化奎宁的熔点 x( 0C ) ，得如下结果： T1 T2 T3 T4 温度计
174.0 173.0 172.0 171.5 171.0 173.5 171.0
s
r
s
要检验的统计假设为：
H 01 : 1 2 r 0 H 02 : 1 2 s 0 H 03 : ij 0, i 1, 2, , r; j 1, 2, , s.
若拒绝 H 01 ，则认为因素A的不同水平对试 验结果有显著影响；若拒绝 H 02 ，则认为因素B的 不同水平对试验结果有显著影响；若拒绝 H 03 ， 则认为因素A与B不同水平搭配的交互效应对试验 结果有显著影响；若三者均不拒绝，则认为因素 A与B的不同水平搭配对试验结果无显著影响。
2、偏差平方和分解
1 r s 总样本平均数： x xijk rst i 1 j 1
1 s t Ai 水平下样本平均数： xi.. xijk st j 1 k 1
1 r t B j 水平下样本平均数： x. j . xijk rt i 1 k 1 1 t Ai , B j 搭配下样本平均数： xij . xijk ˆ t k 1
p Sig. P( F F值 )
若Sig.小于给定的显著水平 ，则拒绝原假设， 即认为因素A对试验指标有显著影响；否则认为无 显著影响。通常当 Sig. 0.01 时，称为有非常显 著影响，记为 "" ；当 0.01 Sig. 0.05 时， 称为有显著影响，记为 " 。 "
数学建模算法方差分析
第十一章 方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。
如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。
而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。
可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。
用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance ），记作ANOV A 。
人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。
上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。
处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
§1 单因素方差分析只考虑一个因素A 对所关心的指标的影响，A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A 对指标有无显著影响，即当A 取不同水平时指标有无显著差别。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。
1.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，在水平i A 下总体i x 服从正态分布),(2i N ，r i ,,1 ，这里2, i 未知，i 可以互不相同，但假定i x 有相同的方差。
又设在每个水平i A 下都作了n 次独立试验，即从中抽取容量为n 的样本，记作n j x ji ,,1, ，ji x 服从),(2 i N ，n j r i ,,1,,,1 且相互独立。
数学建模算法数据的统计描述和分析
-122-第十章 数据的统计描述和分析数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据，以下数理统计就简称统计，统计是以概率论为基础的一门应用学科。
数据样本少则几个，多则成千上万，人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的数值来体现数据样本总体的规律。
描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据，使之系统化、条理化，以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。
它是统计推断的基础，实用性较强，在统计工作中经常使用。
面对一批数据如何进行描述与分析，需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计的最基本方法。
我们将用Matlab 的统计工具箱(Statistics Toolbox)来实现数据的统计描述和分析。
§1 统计的基本概念1.1 总体和样本总体是人们研究对象的全体，又称母体，如工厂一天生产的全部产品（按合格品及废品分类），学校全体学生的身高。
总体中的每一个基本单位称为个体，个体的特征用一个变量（如x ）来表示，如一件产品是合格品记0=x ，是废品记1=x ；一个身高170（cm ）的学生记170=x 。
从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本，或子样，如n 件产品，100名学生的身高，或者一根轴直径的10次测量。
实际上这就是从总体中随机取得的一批数据，不妨记作n x x x ,,,21 ，n 称为样本容量。
简单地说，统计的任务是由样本推断总体。
1.2 频数表和直方图一组数据（样本）往往是杂乱无章的，作出它的频数表和直方图，可以看作是对这组数据的一个初步整理和直观描述。
将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次数，称为频数，由此得到一个频数表。
以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。
若样本容量不大，能够手工作出频数表和直方图，当样本容量较大时则可以借助Matlab 这样的软件了。
让我们以下面的例子为例，介绍频数表和直方图的作法。
例1 学生的身高和体重（i）数据输入数据输入通常有两种方法，一种是在交互环境中直接输入，如果在统计中数据量比较大，这样作不太方便；另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件data.txt中，格式如例1的表格，有20行、10列，数据列之间用空格键或Tab键分割，该数据文件data.txt存放在matlab\work子目录下，在Matlab中用load命令读入数据，具体作法是：load data.txt20 个数据的矩阵。
数学建模-方差分析
… … … …… …
…
x1t1 x2t2 …… xrtr
2、任务：检验因素A对试验结果影响 是否显著？（A是否是重要 因素？）
二、基本原理
1、数学模型（数据结构）
（1）设 xi1,xi2,...,xiti iid. N (i, 2)i 1 ,2 ,...,r.
且 xij iij ij N(0,2)
著影响，记为 " " ；当 0.01Sig.0.05时，
称为有显著影响，记为" " 。
三、基本计算
1. 建立数据文件 a、定义试验指标变量 x 和因素变量kind； b、输入数据； c、保存数据文件。 2．选择统计方法
按Analyze→Compare means→One-Way ANOV 顺 序选择菜单或菜单项。
（显著水平 0.01）？
单因素方差分析要注意的两点：
1、模型的条件
x ij N ( i , 2 )
x ij i ij
ij N (0 , 2 )
（1）、x i j 服从正态分布；
（2）、r 个总体方差相等？（要求验证） 2、多重比较
H 0:12 r
SPSS统计软件应用基础
第七章 方差分析
• 一、什么是方差分析？
常用语言：检验一个或多个因素对试验结果 的影响是否显著。
统计语言：检验多个方差相等的正态总体的 均值是否相等。
二、几个术语
1、试验指标－－衡量试验结果的量 (定量、定性) （必须是数量）。
2、因素 －－ 影响试验指标的条件， (不)可控 记作A,B,C……
SE (nr) 称为随机均方。
５、 具体判断
利用公式（7.1.6）计算出 F 的值，记为F值，并根 据 F 分布计算出相应的显著性概率
统计建模-方差分析
单因素方差分析
例1.饲料比较数据(weight.sav), n=19头猪, 用 p=4种饲料喂养一段时间后的重量增加. 问题: 四种饲料是否不同?
饲料 A 133.8 125.3 143.1 128.9 B 151.2 149.0 162.7 143.8 C 193.4 185.3 182.8 188.5 D 225.8 224.6 220.4 212.3
i 1 j 1 i 1 j 1 p q p q
其中, SSA 有自由度 p-1, SSB有自由度 q-1, SSE 有自由度 (p-1)(q-1),在正态分布的假设下, 如果各组增重均值相等(零假设), 则
MSA SSA /( p 1) MSB SSB /(q 1) FA ; FB MSE SSE /( p 1)( q 1) MSE SSE /( p 1)( q 1)
Descriptives WEIGHT
N
Mean
Std. Deviation
Std. Error
95% Confidence Interval for Mean Lower Bound
124.9068
Minim um
Upper Bound 141.8132 125.3
Maxim um
A
5
133.36
Sig. .000 .000 .000
• 促销(promot)的F检验统计量(其自由度来自 promot 和 error 的 自 由 度 :2,20) 取 值 为 13.880,p- 值 为 0.000( 更 精 确 些 是 0.0001658). 而售后服务的 F 检验统计量为 25.497 ， p- 值 为 0.000( 更 精 确 些 是 0.00006135). R2为0.981.
方差分析_精品文档
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2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
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例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
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其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
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例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
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根据例1， s 2se2 2*9.112.13
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1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
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例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
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• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
数学建模优秀方法之方差分析
1.某企业在制定某商品的广告策略时， 收集了该商品在不同地区采用不同的 广告形式促销后的销售额数据，希望 对广告形式和地区是否对销售额产生 影响进行分析。
(j)
无色(A1) 粉色(A2) 橘黄色(A3) 绿色(A4)
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
25.1
29.6
3
25.1
30.8
28.5
32.4
4
29.1
27.9
24.2
31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
合计
136.6
147.8
132.2
157.3
573.9
水平均值 x1 =27.32 x2=29.56 x3=26.44 x4=31.46 总均值
二、构造检验的统计量
(计算全部观察值的总均值 )
1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数
2. 计算公式为
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1 i1
n
n
式中：n n1 n2 nk
二、构造检验的统计量
(前例计算结果 )
表5-2 四种颜色饮料的销售量及均值
超市
水平A ( i )
表5-1 该饮料在五家超市的销售情况 超市 无色 粉色 橘黄色 绿色
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
数学建模 统计分析
x 0 H 0 t ~ t (n 1), s n
取检验的水平为
，则检验的拒绝域为：
t t 2 (n 1).
例：
clear n=20; mu0=0; x=randn(1, n); % 样本观测值 xbar=mean(x); s=std(x); t=sqrt(n)*(xbar-mu0)/s; if abs(t)>2.093 % 2.093是临界值 c=1; else c=0; end c
exprnd
x , x 0.
(lambda)
% 1个随机数
exprnd
(lambda, m, n)
4. 卡方分布的随机数
(df )
2
chi2rnd chi2rnd
(df) (df, m, n)
5. t分布的随机数
t ( df )
trnd
trnd
(df) (df, m, n)
p:
检验的p-值
简单用法：h=kstest(x)
clear n=30; N=5000; for i=1:N x=randn(1, n); h=kstest(x); if h==1 a(i)=1; else a(i)=0; end end sum(a)/N
% 结果是什么?
clear n=80; N=5000; for i=1:N x=trnd(1, 1, n); %样本来自于t(1) a(i)= kstest(x); end sum(a)/N %结果是什么?
单因素方差分析表：
2. 两因素方差分析的Matlab实现：
p=anova2(x, 1)
% 括号中的1表示每个水平组合下只有一次观测，此 时不考虑交互效应。
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-134-第十一章 方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。
如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。
而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。
可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。
用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance ），记作ANOV A 。
人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。
上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。
处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
§1 单因素方差分析只考虑一个因素A 对所关心的指标的影响，A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A 对指标有无显著影响，即当A 取不同水平时指标有无显著差别。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。
1.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，在水平i A 下总体i x 服从正态分布),(2σμi N ，r i ,,1 =，这里2,σμi 未知，i μ可以互不相同，但假定i x 有相同的方差。
又设在每个水平i A 下都作了n 次独立试验，即从中抽取容量为n 的样本，记作n j x ji ,,1, =，ji x 服从),(2σμi N ，n j r i ,,1,,,1 ==且相互独立。
将这些数据列成下表（单因素试验数据表）的形式：1A 2A … r A1 11x 12x … r x 12 21x 22x … r x 2n 1n x 2n x … nr x将第i 列称为第i 组数据。
判断A 的r 个水平对指标有无显著影响，相当于要作以下的假设检验r H μμμ=== 210:；r H μμμ,,,:211 不全相等 由于ji x 的取值既受不同水平i A 的影响，又受i A 固定下随机因素的影响，所以将它分解为ji i ji x εμ+=，r i ,,1 =，n j ,,1 = （1）-135-其中),0(~2σεN ji ，且相互独立。
记∑==ri i r 11μμ，μμα-=i i ，r i ,,1 = （2）μ是总均值，i α是水平i A 对指标的效应。
由（1）、（2）模型可表为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=∑=n j r i N x ji r i i jii ji ,,1,,,1),,0(~021σεαεαμ （3） 原假设为（以后略去备选假设）0:210====r H ααα （4）1.2 统计分析记∑==n j ji i x n x 11，∑∑∑=====r i r i nj ji i x rn x r x 11111 （5）i x 是第i 组数据的组平均值，x 是总平均值。
考察全体数据对x 的偏差平方和∑∑==-=ri nj ji x x S 112)( （6）经分解可得∑∑∑===-+-=r i nj i ji r i i x x x x n S 11212)()(记∑=-=ri i A x x n S 12)( （7） ∑∑==-=r i nj i ji E x x S 112)( （8）则E A S S S += （9）A S 是各组均值对总方差的偏差平方和，称为组间平方和；E S 是各组内的数据对均值偏差平方和的总和。
A S 反映A 不同水平间的差异，E S 则表示在同一水平下随机误差的大小。
对E S 和A S 作进一步分析可得2)1(σ-=n r ES E （10） ∑=+-=ri iA n r ES 122)1(ασ （11）当0H 成立时2)1(σ-=r ES A （12）-136-可知若0H 成立，A S 只反映随机波动，而若0H 不成立，那它就还反映了A 的不同水平的效应i α。
单从数值上看，当0H 成立时，由（10）、（12）对于一次试验应有1)]1(/[)1/(≈--n r S r S E A而当0H 不成立时这个比值将远大于1。
当0H 成立时，该比值服从自由度11-=r n ，)1(2-=n r n 的F 分布，即))1(,1(~)]1(/[)1/(----=n r r F n r S r S F E A （13）为检验0H ，给定显著性水平α，记F 分布的α-1分位数为))1(,1(1---n r r F α，检验规则为))1(,1(1--<-n r r F F α时接受0H ，否则拒绝。
以上对S S S E A ,,的分析相当于对组间、组内等方差的分析，所以这种假设检验方法称方差分析。
1.3 方差分析表最后一列给出的概率相当于1-α。
方差分析一般用的显著性水平是：取01.0=α，拒绝0H ，称因素A 的影响（或A 各水平的差异）非常显著；取01.0=α，不拒绝0H ，但取05.0=α，拒绝0H ，称因素A 的影响显著；取05.0=α，不拒绝0H ，称因素A 无显著影响。
1.4 Matlab 实现Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的命令是anoval ，用法为： p=anoval(x)返回值p 是一个概率，当p α>时接受0H ，x 为r n ⨯的数据矩阵（如上面的单因素试验数据表形式），x 的每一列是一个水平的数据。
另外，还给出一个方差表和一个Box 图。
例1 为考察5名工人的劳动生产率是否相同，记录了每人4天的产量，并算出其平均值，如下表。
你能从这些数据推断出他们的生产率有无显著差别吗？工人 1A 2A 3A 4A 5A 天1 256 254 250 248 2362 242 330 277 280 2523 280 290 230 305 2204 298 295 302 289 252-137-平均产量 269.00 292.25 264.75 280.50 240.00 解 编写程序如下：x=[256 254 250 248 236 242 330 277 280 252 280 290 230 305 220 298 295 302 289 252]; p=anova1(x)求得05.01109.0=>=αp ，故接受0H ，即5名工人的生产率没有显著差异。
方差表对应于上面的单因素方差分析表的5~1列，262.2=F 是)15,4(F 分布的p -1分位数，可以验证fcdf(2.262,4,15)=0.8891=1-p Box 图反映了各组数据的特征。
注：接受0H ，是将5名工人的生产率作为一个整体进行假设检验的结果，并不表明取其中2个工人的生产率作两总体的均值检验时，也一定接受均值相等的假设。
实际上，读者可以用ttest2对本题作520:μμ=H 的检验，看看会得到什么结果。
1.5 非均衡数据的方差分析上面所讨论的情况是r 个样本的容量即各组数据个数相等，称为均衡数据。
若各组数据个数不等，称非均衡数据。
非均衡数据的方差分析，其数学模型和统计分析的思路和方法与上面一样。
anova1也能处理非均衡数据，与处理均衡数据的区别仅在于数据输入的不同： p=anova1(x,group)x 为数组，从第1组到第r 组数据依次排列；group 为与x 同长度的数组，标志x 中数据的组别（在与x 第i 组数据相对应的位置处输入整数),,2,1(r i i =）。
例2 用4种工艺生产灯泡，从各种工艺制成的灯泡中各抽出了若干个测量其寿命，结果如下表，试推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异。
工艺 1A 2A 3A 4A 序号1 1620 1580 1460 15002 1670 1600 1540 15503 1700 1640 1620 16104 1750 1720 16805 1800 解 编写程序如下：x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800];x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)];g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; p=anova1(x,g)求得 0.01<p=0.0331<0.05，所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异。
1.6 多重比较 在灯泡寿命问题中，为了确定哪几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异，我们先算出各组数据的均值：-138-工艺 1A 2A 3A 4A均值 1708 1635 1540 1585虽然1A 的均值最大，但要判断它与其它几种有显著差异，尚需作两总体均值的假设检验。
用ttest2检验的结果如下：原假设 21μμ= 31μμ= 41μμ=h 0 1 1p 0.1459 0.0202 0.0408即1A 与43,A A 有显著差异（)05.0=α，但与2A 无显著差异，要想进一步比较优劣，应增加试验数据。
以上作的几个两总体均值的假设检验，是多重比较的一部分。
一般多重比较要对所有r 个总体作两两对比，分析相互间的差异。
根据问题的具体情况可以减少对比次数。
§2 双因素方差分析如果要考虑两个因素B A ,对指标的影响，B A ,各划分几个水平，对每一个水平组合作若干次试验，对所得数据进行方差分析，检验两因素是否分别对指标有显著影响，或者还要进一步检验两因素是否对指标有显著的交互影响。
2.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，B 取s 个水平s B B B ,,,21 ，在水平组合),(i j B A 下总体ij x 服从正态分布),(2σμij N ，s i ,,1 =，r j ,,1 =。
又设在水平组合),(i j B A 下作了t 个试验，所得结果记作ijk x ，ijk x 服从),(2σμij N ，s i ,,1 =，r j ,,1 =，t k ,,1 =，且相互独立。
将这些数据列成下表的形式：1A 2A … r A1B t x x 11111 t x x 12121 … rt r x x 111 2B t x x 21211 t x x 22221 … rt r x x 212s B t s s x x 111 t s s x x 221 … srt sr x x 1将ijk x 分解为ijk ij ijk x εμ+=，s i ,,1 =，r j ,,1 =，t k ,,1 = （14） 其中),0(~2σεN ijk ，且相互独立。