函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值
一次函数图象
1．函数的最大值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I ，都有f(x)≤M， ②存在x0∈I，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值
．
准确理解函数最大值的概念
(1)对于定义域内全部元素，都有
f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须满足不等式． (2)定义中M首先是一个函数值，它是 值域的一个元素，注意对②中“存在” 一词的理解
，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值． 【解析】 原函数变为 y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3 2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2) (x＞2)
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重 要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时 ，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值． 【思路点拨】由题目可获取以下主要信息
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值． Nhomakorabea解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单
函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值是数学中重要的概念，它们可以提供函数的极限性质和图像的关键信息。
在本文中，我们将探讨函数的最大值和最小值的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、定义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，$x_0$是$I$的内点，则称$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最大值（或极大值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\leq f(x_0)$成立；同样，$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最小值（或极小值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\geq f(x_0)$成立。
二、计算方法1. 首先，我们需要找到函数$f(x)$的极值点（即导数为0或不存在的点）以及区间$I$的端点。
2. 然后，我们需要比较这些点和端点对应的函数值，找到函数在这些点上的最大值和最小值。
3. 最后，我们需要比较上述最大值和最小值，找到函数在整个区间$I$上的最大值和最小值。
需要注意的是，如果函数在某一点处没有导数或者导数不存在，那么这个点也可能是函数的最大值或最小值。
此时，我们需要通过其他方法（例如使用左极限和右极限）来判断函数在该点上的极值性质。
三、应用函数的最大值和最小值在很多实际问题中都有重要的应用。
以下是几个例子：1. 生产问题：假设一家工厂生产某种产品，每天可生产$x$件。
设$C(x)$是当天生产$x$件产品的总成本（包括生产和运输成本）。
如果我们希望生产最少的产品来达到最低成本，那么需要找到$C(x)$的最小值点，以及在该点处的最小成本。
2. 经济问题：有一种商品的需求量$D(p)$与它的价格$p$相关。
如果我们希望在某一价格范围内销售最大量的商品，那么需要找到$D(p)$的最大值点，以及在该点处的最大需求量。
3. 地理问题：假设一辆汽车可以在不加油的情况下行驶$D$公里。
设$v(x)$是汽车在速度为$x$千米/小时时的油耗。
如果我们希望以最少的油耗行驶最远的距离，那么需要找到$v(x)$的最小值点，以及在该点处汽车的最大行驶距离。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
函数的最大值与最小值
1 1 2 2 思考:证明不等式: 思考 证明不等式 ln x + − ( x − 1) ≥ 1 + (1 − x)3 ( x > 0). x 2 3 1 1 2 2 f ( x) = ln x + − ( x − 1) + ( x − 1)3 ( x > 0). 证:设 设 x 2 3 1 1 2x + 1 ′( x) = − 2 − ( x − 1) + 2( x − 1)2 = ( x − 1)3 ⋅ 2 , 则f x x x
如图,在二次函数 在二次函数f(x)= 思考: 如图 在二次函数 的图象与x轴所 4x-x2的图象与 轴所
y
围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 内接矩形 求这 个矩形的最大面积. 个矩形的最大面积 x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 设 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 故矩形ABCD的面积 从而 故矩形 的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
令 f ′( x) = 0 ,结合 结合x>0得x=1. 得 结合 而0<x<1时, f ′( x) < 0;x>1时, f ′( x) > 0 ,所以 所以x=1是f(x)的 时 时 所以 是 的 极小值点. 极小值点 所以当x=1时,f(x)取最小值 时 取最小值f(1)=1. 所以当 取最小值
复习
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时 判别 0)是极大 小)值的 判别f(x 是极大 是极大(小 值的 当函数 在 处连续时,判别 方法是: 方法是 右侧f ①如果左侧f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 , 如果左侧 ） 右侧 那么,f(x0)是极大值 那么 是极大值; 是极大值 ②如果左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 , 右侧f 那么,f(x0) 是极小值 是极小值. 那么
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
函数的最大值、最小值
因为 2≤x1＜x2≤5， 所以(x1－1)(x2－1)＞0. 又 x1－x2＜0，所以 f(x2)－f(x1)＜0. 2 所以函数 f(x)＝ 在[2，5]上是减函数． x－ 1 1 所以 f(x)在区间[2，5]上的最小值是 ，最大值是 2. 2
函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的 最大值为 f(a)，最小值为 f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的 最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意的
x I ，都有f(x)≥N ；
（2）存在 x0 I ，使得f(x0)=N. 那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值.
可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的
一个，并且是能够取到的.
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最
M
B
o
图2
x0
x
思考1 这两个函数图象有何共同特征？ 【提示】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有 最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函
数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【提示】 f(x)≤M
最高点的纵坐标即 是函数的最大值！
y
4
1 O 1
3
x
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
函数的最大值与最小值
题型二 利用函数的单调性求最值 求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值与最小值．
2．(1)函数 f(x)＝2－3x，当 x∈[－2,3]时，f(x)的最小值为________，最大值 为________；
(2)已知函数 f(x)＝x2＋－1x，x∈[3,5]，求函数 f(x)的最大值和最小值．
【反思与感悟】 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从 函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：
a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
[课堂小结]
题型一 图象法求函数的最值 如图所示为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值
及单调区间．
[基础自测]
1．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
() A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
【方法总结】
图象法求最值的一般步骤
【方法总结】
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，
最小值为 f(b)．
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，
最小值为 f(a)．
[注意] 求最值时一定要注意所给区
题型三 二次函数最值 求函数 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[规范解答] f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为 x＝a.2 分 (1)当 a<0 时，由图(1)可知， f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.4 分
函数最大值最小值
函数最大值最小值函数的最大值和最小值是数学中的重要概念，也是实际问题中常见的优化目标。
在求解函数的最大值和最小值时，我们需要通过数学方法来分析函数的性质，找到函数的极值点以及边界点，并通过比较它们的函数值来确定函数的最大值和最小值。
我们需要了解什么是函数的极值点。
函数的极值点是指函数的导数为0的点，也就是函数的斜率为0的点。
在这些点上，函数的值可能是一个最大值或最小值。
因此，我们需要通过求解函数的导数来找到这些点。
在求导的过程中，我们需要运用一些基本的求导规则，例如常数求导、幂函数求导、指数函数求导、三角函数求导等。
接下来，我们需要找到函数的边界点。
边界点是指函数在定义域的边界处的点。
例如，如果一个函数在定义域的左边界处有定义，那么这个点就是一个边界点。
在求解函数的最大值和最小值时，我们需要将极值点和边界点的函数值进行比较，最终确定函数的最大值和最小值。
在实际问题中，我们经常需要求解函数的最大值和最小值。
例如，在生产过程中，我们需要求解某个产品的成本函数的最小值，以便在保证质量的前提下，减少生产成本。
在经济学中，我们需要求解某个企业的利润函数的最大值，以便在市场竞争中获得更大的利润。
在物理学中，我们需要求解某个物体的能量函数的最小值，以便找到物体的平衡位置。
为了求解函数的最大值和最小值，我们需要掌握一些基本的求解方法。
例如，我们可以通过画出函数的图像来找到极值点和边界点，或者通过使用微积分的方法来求解函数的导数和极值点。
在实际问题中，我们还需要运用一些特定的数学工具，例如拉格朗日乘数法、约束优化法、线性规划法等。
函数的最大值和最小值是数学中的重要概念，也是实际问题中常见的优化目标。
在求解函数的最大值和最小值时，我们需要通过数学方法来分析函数的性质，找到函数的极值点以及边界点，并通过比较它们的函数值来确定函数的最大值和最小值。
在实际问题中，我们还需要运用特定的数学工具来求解函数的最大值和最小值，以便解决实际问题。
函数的极大(小)值和最大(小)值
§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使)||0()()(00δ<-<<x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点0x 取到极大值)(0x f ，并称点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x .因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件．! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．．).需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x =(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是：第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数δ，使(见图2-24)⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则)(0x f 是极大值； 图2-23x图2-21[或] [或]⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值；[或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ]⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值.当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数0)(0≠''x f ，则⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值.[当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论]证 根据例22（§2-5），则有222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++于是得 20001()()[()(1)]2f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时，0()f x h +0()f x -=000,()00,()0f x f x ''<<⎧⎨''>>⎩ 这就是要证的结论.例23 求函数1323-+=x x y 的极值.解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值.【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)(x f 在所有临界点上的函数值.(1) 0图2-24 (2)(3)第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)；⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)；⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则)(c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值.例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x .证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为)0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数]所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x .例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ölder)不等式:11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p qp q ⎛⎫≤+>>>>+= ⎪⎝⎭ 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10<<x 时， 0)1()(1>-='-ααx x f [即)(x f 增大]，当+∞<<x 1时， 0)1()(1<-='-ααx x f [即)(x f 减小]，所以α-=1)1(f 是最大值.其次，令q p b a x p ==-,1α，则111qp p p p p q p q q q a a a f ab a b b b p b p --⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而根据上述结论，即α-≤1)(x f ，则得不等式111(1)11q p q p aba b f p p q α---≤=-=-= 两端同乘q b ，并注意1=-p q q ，则得要证的不等式q p b qa p ab 11+≤. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长l 为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S 为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为x ，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)()2l S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 02l x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)()2S l x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ )0(+∞<<x 这样，问题就变成求函数)(x S 的最大值或求函数)(x l 的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势E 、内阻r 和纯电阻负载E 所构成.若E 和r 是已知常数，问负载R 为何值时，电流的电功率最大？解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为R I P 2=(I 为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度R r E I +=. 因此，电功率为 22)(R r R E P += (自变量为R ) 由0='P ，即由0)()()()(2)(324222=+-=++⋅-+⋅='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=.例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高)今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为222x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=⎡⎤⎣⎦ 则得驻点x d=根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为d dd x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/=x h .图2-26在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2.例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为21()2500020040C x x x =++(元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2=+-='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为=)(x L (收入)x 500-(成本))40120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040x x =-+- 让020300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值.⑴x x x f -=3)(； ⑵242)(x x x f -=； ⑶122)(2-+-=x x x x f ；⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻3231)1()(x x x f -=.答案：⑴max minf f ⎛= ⎝；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0(m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑸1m ax e )1(-=f ；⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值：⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦ ⑸211,1,12x y x +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦. 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=ni i a x x f 12)()(取最小值？答案：n a a a x n +++=21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数||11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案：21a a++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ⎛⎫+>> ⎪+⎝⎭ ⑶ );0(arctan 33><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c满足什么条件时，方程有:⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶]答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2-<c 或2>c .7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵042723<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间：⑵ 第6题图⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ；⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>.答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ；⑶当0<k 时有一个实根，在)1,0(内；当1e0-<<k 时有两个实根，+∞<<<<21e ,e 1x x ； 当1e -=k 时有一个实根e =x ；当1e ->k 时没有实根.⑷当4e 02<<a 时有一个实根，在)0,(-∞内；当4e 2>a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞.9.设有二阶导数)(a f ''. 证明：⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ；⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f .10.设函数21()22sin (0),(0)2f x x x f x ⎛⎫=-+≠= ⎪⎝⎭. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的).11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值.⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值.⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径r 与高h 各为多少时，用料最省？⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11⑸题图⑵ ⑴ 第11⑹题图x⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时，折线ABC 的长度最短.⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的成本为13+=x C (万元).（i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量；（ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(；⑶1∶2；⑷r h ==⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t .。
函数的最大值与最小值》课件
在资源分配、投资决策等场景中，企业需要找到 最优决策，这通常涉及到最大化或最小化某个目 标函数。
在物理中的应用
能量最小化
01
在物理问题中，能量通常是最小化的目标，例如在弹性力学中，
物体的变形能就是最小化的目标。
振动分析
02
在分析物体的振动时，通常需要找到振幅的最大值和最小值，
这涉及到求函数的极值问题。
率至关重要。
电流的最大值和最小值取决 于电路中的电阻、电压和电
感等参数。
通过分析电路中的电流最大值 和最小值，工程师可以优化电 路设计，提高电路的性能和稳
定性。
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凹凸性判定法
在极值点处，函数的凹凸性发生改变。
如果函数在某点之前为下凸，之后为上凸，则该点为极大值点；如果函数在某点之前为上凸，之后为下 凸，则该点为极小值点。
凹凸性可以通过绘制函数图像或计算二阶导数来判断。
特殊函数的极值判定法
对于一些特殊函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以根据函数的特性直接判断极值点。
商品价格的最优策略分析
在商品价格最优策略分析中，企业需要确定商品 价格的最大值和最小值，以实现利润最大化。
企业பைடு நூலகம்以根据市场需求、竞争状况、成本等因素， 制定最优的商品价格策略。
商品价格的最优策略需要考虑市场需求的变化、 竞争对手的价格策略以及成本等因素。
电路中的电流最大值与最小值分析
在电路分析中，电流的最大值 和最小值对于电路的安全和效
二阶导数判定法
01
二阶导数大于0的点可能是极 小值点，二阶导数小于0的点 可能是极大值点。
02
在二阶导数等于0的点两侧， 判断函数的凹凸性，如果凹凸 性发生改变，则该点为极值点 。
函数的最大值、最小值
2x 2
3
2x 2
1
5 2x1
5
）＜0,
所以f(x1)＜f(x2),
所以f(x)是增函数，则f(x)的最小值为 f（ 3） 1 .
22
方法二：f(x)有意义，则满足
2x 2x
3 5
00，, 得x
3. 2
则f(x)的定义域为[ 3 ,+∞).
2
由于y=2x+3是递增的，所以y= 2x 3 也是递增的；而y=2x+5在
min
24
max
【延伸探究】
题2(2)改为求f(x)在［0,m］(m＞0)上的最小值. 【解题指南】注意分对称轴 x 1 在区间［0,m］内、外两种情
2
况讨论.
【解析】当m≥ 1 时，对称轴x= 1 ∈［0,m］，
2
2
此时函数f(x)的最小值为f( 1 )= 3；
24
当m＜ 1 时，f(x)在区间［0,m］上单调递减，此时函数f(x)
3.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则函
数的最小值为
;最大值为
.
【解析】观察图象,由图知最低点的纵坐标为
-1,最高点的纵坐标为2.
答案:-1 2
4.函数f(x)= 2 ,x∈［2,4］，则f(x)的最大值为______；最
x
小值为______.
【解析】由函数f(x)= 2 (x∈［2,4］)的图象可知，函数f(x)
3a .某市一家报刊摊点,从该市报社买进该市的晚报价格是每份
0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不出的报纸以每份0.05元的
价格退回报社.一个月按30天算,其中有18天每天可以卖出400
函数的最大值和最小值例子
函数的最大值和最小值例子1.引言1.1 概述在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。
函数是一种对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数的最大值和最小值分别指的是函数在定义域范围内取得的最大和最小的输出值。
最大值和最小值在很多实际问题中都有着重要的应用。
例如，在经济学中，我们经常需要找到某个函数表示的利润、成本或效益的最大值或最小值。
在物理学中，我们可能需要找到某个函数描述的物理量的最大或最小值，比如速度、加速度等。
要找到函数的最大值和最小值，需要使用微积分的一些基本概念和方法。
其中，一阶导数和二阶导数对于确定函数的极值点非常重要。
通过求解导数为零的方程，我们可以确定可能的最大值和最小值的位置。
然后，通过求解二阶导数的符号，我们可以确定这些极值点是最大值还是最小值。
在本文的正文部分，我们将介绍一些函数的最大值和最小值的例子，并详细说明如何求解这些极值点。
通过这些例子，读者将更加深入地理解函数的最大值和最小值的概念，以及如何在实际问题中应用它们。
总之，函数的最大值和最小值是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
通过研究函数的极值点，我们可以更好地理解函数的特性，并在实际问题中做出准确的判断和决策。
下面，我们将详细介绍函数的最大值和最小值的例子，以帮助读者更好地掌握这个概念。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以写成如下形式：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。
在概述中，我们可以简要介绍函数的最大值和最小值的概念以及其在数学和实际问题中的重要性。
在文章结构中，我们将展示本文的整体结构，为读者提供一个全局的认知。
在目的部分，我们将明确说明本文旨在通过例子来介绍函数的最大值和最小值的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
正文部分分为函数的最大值和函数的最小值两个小节。
在函数的最大值小节中，我们将通过具体的例子来介绍最大值的概念，并阐述求解最大值的方法，如导数法和二次函数法。
函数的最大值与最小值
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
例1: 如图,在二次函数f(x)= y 2 4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
三、例题选讲
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 值. 3 y 4 x 4 x. 解: 令 y 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.
函数的最大值 与最小值
一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f ( x) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
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函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
a b π 2 2 解： 设 = sin t , = cos t , t ∈ (0, ). x y 2 a b x+ y = + = a csc 2 t + b sec 2 t sin 2 t cos 2 t
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 的最大值和最小值. 4、求函数y = 2 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
去分母得， y − 1) x 2 − ( y + 1) x + y − 2 = 0 (2
1 当y = 时，x = −1； 因为x ∈ R, 所以只须Δ ≥ 0. 2 1 当y ≠ 时，此为关于x的一元二次方程，且x, y 均为实数， 2
函数的最大值与最小值
主讲人：贺才兴
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值的常用求法：
(1) 配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和， 从而估计出函数的上、下界，进而求出其最大、小值.
(2) 判别式法：把所求最值的函数放到某一个一元二次方程的 系数上，利用判别式求出该函数的上界或下界，从而求得 最值.
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值. 1 2 3 2 2 2 2 ∵ xy ≤ ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≤ ( x + y 2 ) ≤ 6, 解： 2 2
2 2 +
π
函数的最大值与最小值
3、设函数f ( x) = log 2 ( x + 1)，且当点( x, y )在y = f ( x)的图像上运 x y 动时，点( , )在y = g ( x)的图像上运动，求函数ϕ ( x) = g ( x) 3 2 − f ( x)的最大值. y x 1 x 由题意，y = log 2 ( x + 1), = g ( ) ⇒ log 2 ( x + 1) = g ( ) 解： 2 3 2 3 1 x ∴ g ( x) = log 2 (3x + 1), 用" x "替换上式的" " 3 2 1 ∴ϕ ( x) = g ( x) − f ( x) = log 2 (3 x + 1) − log 2 ( x + 1) 2 1 3x + 1 = log 2 . 2 2 ( x + 1)
xy + 2 yz x2 + y 2 + z 2
∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 axy + 2 1 − a yz
为了得到 这个形式
1 2 令 2 a = 1 − a，即a = ，则x 2 + y 2 + z 2 ≥ ( xy + 2 yz ). 5 5
函数的最大值与最小值
xy + 2 yz 7、设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数，求 2 的最大值. 2 2 x +y +z
函数的最大值与最小值
8、填空题 x +1 的最大值为 _____ . (3)函数y = 2 x +3
1 1 x +1 = ≤ , ∵ 解： y = 2 ( x + 1) − 2( x + 1) + 4 x + 1 + 4 − 2 2 x +1 当 x = 1时等号成立，
1 ∴ y 的最大值为 . 2
解： 由题意，y = x − a + x + 19 + a + 96 − x = x + 115 ≤ 211
其最大值为 211.
(2)函数y = x 2 − 4 x + 7 在区间[0,3] 上的最大值与最小值的和等 于 ____ .
二次函数的最值在顶点或区间端点处取得
函数的最大值与最小值
8、填空题 (1)已知函数y = x − a + x + 19 + x − a − 96 ，其中a 为常数，且 满足19 < a < 96. 当自变量 x的取值范围为 a ≤ x ≤ 96时，y 的 最大值为 ______ .
解： 由题意，y = x − a + x + 19 + a + 96 − x = x + 115 ≤ 211
其最大值为 211.
(2)函数y = x 2 − 4 x + 7 在区间[0,3] 上的最大值与最小值的和等 于 ____ .
∵ y = ( x − 2) 2 + 3, ymin = 3, y (0) = 7, y (3) = 4, ymax = 7, 解： ∴ ymax + ymin = 10.
⎧a + 3 = 8 ⎪ ∴⎨ ⇒ a = 5, b = ±2 6. b2 ⎪3a − = 12 8 ⎩
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值.
本题可用不等式法，先用不等式估计出 f ( x, y ) 的上， 下界，再说明可取得上， 下界即可.
(3) 单调性法：利用函数的单调性求最值. (4) 不等式法：利用基本不等式求最值.
一正、二定、三相等
(5) 换元法：利用变量代换将不易求的函数解析式化为易求最 值的解析式而求之.
注意换元后新变量的范围
函数的最大值与最小值
3 1、设 x 是正实数，求函数 y = x + x + 的最小值. x
2
解： 本题可利用配方法先求出 y 的下界，然后再说明这个下界
函数的最大值与最小值
8、填空题 (1)已知函数y = x − a + x + 19 + x − a − 96 ，其中a 为常数，且
满足19 < a < 96. 当自变量 x的取值范围为 a ≤ x ≤ 96时，y 的 最大值为 ______ .
根据已知条件, 去掉绝对值.
函数的最大值与最小值
8、填空题 (1)已知函数y = x − a + x + 19 + x − a − 96 ，其中a 为常数，且 满足19 < a < 96. 当自变量 x的取值范围为 a ≤ x ≤ 96时，y 的 最大值为 ______ .
函数的最大值与最小值
xy + 2 yz 7、设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数，求 2 的最大值. 2 2 x +y +z
xy + 2 yz ≤ k ⇒ xy + 2 yz ≤ k ( x 2 + y 2 + z 2 ) x2 + y2 + z 2
∵ x 2 + ay 2 ≥ 2 axy, (1 − a ) y 2 + z 2 ≥ 2 1 − a yz ,
又当x = y = 2 时，f ( x, y ) = 6，故f max ( x) = 6; 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ∵ xy ≥ − ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≥ ( x + y ) ≥ , 2 2 2 2 2 1 1 ,y =− 又当x = 时，f ( x, y ) = ，故f min ( x) = . 2 2 2 2
当 − 7 ≤ x < 0时，y = − x 2 − 2 x + 1 = −( x + 1) 2 + 2
⇒ y (−1) = 2为最大； ∴ y 的最大值为16.
函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
三角换元： 若 u 2 + v 2 = 1，可令 u = sin t , v = cos t , t ∈ [0, 2π )； 若u , v ∈ R ，u + v = 1，可令 u = sin t , v = cos t , t ∈ (0, ). 2
函数的最大值与最小值
3x + 1 解： u = 令 ， 2 ( x + 1) 3( x + 1) − 2 3 2 1 3 2 9 9 则u = = − = −2( − ) + ≤ , 2 2 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) x +1 4 8 8 1 3 1 9 9 = ，即x = 时，u = , ∴ umax = , 当 x +1 4 3 8 8 1 1 9 3 故ϕ ( x)的最大值为ϕ ( ) = log 2 = log 2 3 − . 3 2 8 2
注意根据已知条 件设定参数的范围
= a + b + a cot 2 t + b tan 2 t
构造积为定值
≥ a + b + 2 a cot 2 t ⋅ b tan 2 t = a + b + 2 ab 当 x = a + ab , y = b + ab 时等号成立， 故x + y 的最小值为 a + b + 2 ab .
本题求最值的方法是换元法结合了配方法.
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 4、求函数y = 2 的最大值和最小值. 2x − x + 1