函数的最大值和最小值

(3) 单调性法：利用函数的单调性求最值. (4) 不等式法：利用基本不等式求最值.
一正、二定、三相等
(5) 换元法：利用变量代换将不易求的函数解析式化为易求最 值的解析式而求之.
注意换元后新变量的范围
函数的最大值与最小值
3 1、设 x 是正实数，求函数 y = x + x + 的最小值. x
2
解： 本题可利用配方法先求出 y 的下界，然后再说明这个下界
2 2 +
π
函数的最大值与最小值
3、设函数f ( x) = log 2 ( x + 1)，且当点( x, y )在y = f ( x)的图像上运 x y 动时，点( , )在y = g ( x)的图像上运动，求函数ϕ ( x) = g ( x) 3 2 − f ( x)的最大值. y x 1 x 由题意，y = log 2 ( x + 1), = g ( ) ⇒ log 2 ( x + 1) = g ( ) 解： 2 3 2 3 1 x ∴ g ( x) = log 2 (3x + 1), 用" x "替换上式的" " 3 2 1 ∴ϕ ( x) = g ( x) − f ( x) = log 2 (3 x + 1) − log 2 ( x + 1) 2 1 3x + 1 = log 2 . 2 2 ( x + 1)
解： 由题意，y = x − a + x + 19 + a + 96 − x = x + 115 ≤ 211
其最大值为 211.
(2)函数y = x 2 − 4 x + 7 在区间[0,3] 上的最大值与最小值的和等 于 ____ .
∵ y = ( x − 2) 2 + 3, ymin = 3, y (0) = 7, y (3) = 4, ymax = 7, 解： ∴ ymax + ymin = 10.
当 − 7 ≤ x < 0时，y = − x 2 − 2 x + 1 = −( x + 1) 2 + 2
⇒ y (−1) = 2为最大； ∴ y 的最大值为16.
函数的最大值与最小值
8、填空题 x +1 的最大值为 _____ . (3)函数y = 2 x +3
1 1 x +1 = ≤ , ∵ 解： y = 2 ( x + 1) − 2( x + 1) + 4 x + 1 + 4 − 2 2 x +1 当 x = 1时等号成立，
1 ∴ y 的最大值为 . 2
解： 由题意，y = x − a + x + 19 + a + 96 − x = x + 115 ≤ 211
其最大值为 211.
(2)函数y = x 2 − 4 x + 7 在区间[0,3] 上的最大值与最小值的和等 于 ____ .
二次函数的最值在顶点或区间端点处取得
函数的最大值与最小值
8、填空题 (1)已知函数y = x − a + x + 19 + x − a − 96 ，其中a 为常数，且 满足19 < a < 96. 当自变量 x的取值范围为 a ≤ x ≤ 96时，y 的 最大值为 ______ .
化成m( y ) x 2 + n( y ) x + p ( y ) = 0的形式, 再利用x ∈ R,由Δ ≥ 0 求出y的取值范围, 但需注意两点 : 1、要分m( y ) = 0和m( y ) ≠ 0两种情况讨论, 只有m( y ) ≠ 0时, 才 可利用判别式; 2、在求出y的取值范围后, 要注意" = "能否取到.
解：去分母得，(a − y ) x 2 + bx + 6 − 2 y = 0
y ≡ a，否则 y 为常数，不合题意. /
b2 ∵ Δ = b 2 − 4(a − y )(6 − 2 y ) ≥ 0，即 y 2 − (a + 3) y + 3a − ≤ 0, 8 由题意， ≤ y ≤ 6 ⇒ ( y − 2)( y − 6) ≤ 0，即 y 2 − 8 y + 12 ≤ 0 2
函数的最大值与最小值
8、填空题
(4)当 x + 1 ≤ 6时，函数 y = x x − 2 x + 1的最大值是 _____ .
∵ 解： x + 1 ≤ 6, ∴−7 ≤ x ≤ 5
当0 ≤ x ≤ 5时，y = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2
⇒ y (5) = 16 为最大；
本题求最值的方法是换元法结合了配方法.
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 4、求函数y = 2 的最大值和最小值. 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
ax 2 + bx + c 新课标提醒：求形如y = 2 ( x ∈ R )的值域 dx + ex + f 常可利用"去分母"的方法,
函数的最大值与最小值
xy + 2 yz 7、设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数，求 2 的最大值. 2 2 x +y +z
xy + 2 yz ≤ k ⇒ xy + 2 yz ≤ k ( x 2 + y 2 + z 2 ) x2 + y2 + z 2
∵ x 2 + ay 2 ≥ 2 axy, (1 − a ) y 2 + z 2 ≥ 2 1 − a yz ,
函数的最大值与最小值
8、填空题 (1)已知函数y = x − a + x + 19 + x − a − 96 ，其中a 为常数，且
满足19 < a < 96. 当自变量 x的取值范围为 a ≤ x ≤ 96时，y 的 最大值为 ______ .
根据已知条件, 去掉绝对值.
函数的最大值与最小值
8、填空题 (1)已知函数y = x − a + x + 19 + x − a − 96 ，其中a 为常数，且 满足19 < a < 96. 当自变量 x的取值范围为 a ≤ x ≤ 96时，y 的 最大值为 ______ .
2
说明：本题中" x = 1, y = 5"的说明是必不可少的，否则可能会 导致错误的结果.
1 例：y = ( x − 2 x + 1) + 3( x + + 2) − 7 x 1 2 2 ) − 7 ≥ −7, = ( x − 1) + 3( x + x
2
事实上 y 是取不到 − 7的，即 y 的最小值并不是 − 7.
函数的最大值与最小值
主讲人：贺才兴
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值的常用求法：
(1) 配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和， 从而估计出函数的上、下界，进而求出其最大、小值.
(2) 判别式法：把所求最值的函数放到某一个一元二次方程的 系数上，利用判别式求出该函数的上界或下界，从而求得 最值.
函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
三角换元： 若 u 2 + v 2 = 1，可令 u = sin t , v = cos t , t ∈ [0, 2π )； 若u , v ∈ R ，u + v = 1，可令 u = sin t , v = cos t , t ∈ (0, ). 2
函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
a b π 2 2 解： 设 = sin t , = cos t , t ∈ (0, ). x y 2 a b x+ y = + = a csc 2 t + b sec 2 t sin 2 t cos 2 t
又当x = y = 2 时，f ( x, y ) = 6，故f max ( x) = 6; 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ∵ xy ≥ − ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≥ ( x + y ) ≥ , 2 2 2 2 2 1 1 ,y =− 又当x = 时，f ( x, y ) = ，故f min ( x) = . 2 2 2 2
函数的最大值与最小值
3x + 1 解： u = 令 ， 2 ( x + 1) 3( x + 1) − 2 3 2 1 3 2 9 9 则u = = − = −2( − ) + ≤ , 2 2 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) x +1 4 8 8 1 3 1 9 9 = ，即x = 时，u = , ∴ umax = , 当 x +1 4 3 8 8 1 1 9 3 故ϕ ( x)的最大值为ϕ ( ) = log 2 = log 2 3 − . 3 2 8 2
∴Δ = ( y + 1) 2 − 4(2 y − 1)( y − 2) ≥ 0，即7 y 2 − 22 y + 7 ≤ 0
11 − 6 2 11 + 6 2 1 ⇒ ≤ y≤ ,( y ≠ ). 7 7 2
1 注意最后要除去y = 2
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 4、求函数y = 2 的最大值和最小值. 2x − x + 1
注意根据已知条 件设定参数的范围
= a + b + a cot 2 t + b tan 2 t
来自百度文库构造积为定值
≥ a + b + 2 a cot 2 t ⋅ b tan 2 t = a + b + 2 ab 当 x = a + ab , y = b + ab 时等号成立， 故x + y 的最小值为 a + b + 2 ab .
xy + 2 yz x2 + y 2 + z 2
∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 axy + 2 1 − a yz
为了得到 这个形式
1 2 令 2 a = 1 − a，即a = ，则x 2 + y 2 + z 2 ≥ ( xy + 2 yz ). 5 5
函数的最大值与最小值
xy + 2 yz 7、设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数，求 2 的最大值. 2 2 x +y +z
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值. 1 2 3 2 2 2 2 ∵ xy ≤ ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≤ ( x + y 2 ) ≤ 6, 解： 2 2
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 的最大值和最小值. 4、求函数y = 2 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
去分母得， y − 1) x 2 − ( y + 1) x + y − 2 = 0 (2
1 当y = 时，x = −1； 因为x ∈ R, 所以只须Δ ≥ 0. 2 1 当y ≠ 时，此为关于x的一元二次方程，且x, y 均为实数， 2
解： 11 − 6 2 , ∵当x = −1 − 2时，y = 7
11 + 6 2 , 当x = −1 + 2时，y = 7 ∴ ymin 11 − 6 2 11 + 6 2 , ymax = . = 7 7
函数的最大值与最小值
ax 2 + bx + 6 的最小值是 2，最大值是 6，求实数 5、设函数 y = 2 x +2 a, b的值.
⎧a + 3 = 8 ⎪ ∴⎨ ⇒ a = 5, b = ±2 6. b2 ⎪3a − = 12 8 ⎩
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值.
本题可用不等式法，先用不等式估计出 f ( x, y ) 的上， 下界，再说明可取得上， 下界即可.
是可以取到的.
1 y = ( x − 2 x + 1) + 3( x + − 2) + 5 x 1 2 2 ) +5≥5 = ( x − 1) + 3( x − x
2
当 x = 1时，y = 5，故 y 的最小值为5.
函数的最大值与最小值
3 1、设 x 是正实数，求函数 y = x + x + 的最小值. x
1 2 2 4 2 4 2 解： x + y ≥ ∵ xy, y + z ≥ yz 5 5 5 5 2 xy + 2 yz 5 2 2 2 ( xy + 2 yz ) ⇒ 2 ∴x + y + z ≥ ≤ . 2 2 x +y +z 2 5
2
∵当x = 1, y = 5, z = 2时，等号成立，
xy + 2 yz 5 的最大值为 . ∴ 2 2 2 x +y +z 2