微元法在自主招生考试中的应用
2015自主招生辅导(运动学与力学综合)答案
10自主招生 力学训练一．运动学1．如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D 。
BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v解法一：应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BB ’，如图所示。
过B ’点作B ’E ⊥BD 。
当Δt →0时，∠BDB ’极小，在△BDB ’中，可以认为DE =B ’D 。
在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BB ’+BE ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度。
由图可知：BE =θcos 'BB ①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBB t s ∆∆∆'=1 ② 人拉绳子的速度v 0=t BB t BE BB t s ∆∆∆∆)cos +1('=+'=2α ③ 由①②③解之：v 物=θcos +10v解法二：应用合运动与分运动的关系物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v 物。
根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。
也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD 绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v 物cos a因此绳子上总的速度为v 物+v 物cos =v 0，得到v 物=θcos +10v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功设该时刻人对绳子的拉力为F ，则人对绳子做功的功率为P 1=Fv 。
绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD 绳对物体做功的功率为P 2=Fv 0cos ，BC 绳对物体做功的功率为P 2’=Fv 0由P 1=P 2+P 2’得到v 物=θcos +10v2.如图所示，一个半径为R 的轴环O 1立在水平面上，另一个同样的轴O 2以速度v 从这个轴环旁边滑过，试求两轴环上部交叉点A 的速度V A 与两轴环中心之距离d 的关系，轴环很薄，且第二个轴环紧靠第一个轴环滑过．[解析]对本题而言，分解时可以引入圆心O 2交点对参照系，A 相对圆环O 1的运动方向V A 可分解为A 相对圆心O 2的速度V ´和圆心O 2相对于圆心O 1的速度V即有A V V V '=+［解］由于两圆环是相同的圆环，所以交点相对两环的速度大小相等。
知识讲解 物理学中微元法的应用
物理学中微元法的应用【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
“微元法”在高中物理教学中的应用探讨
“微元法”在高中物理教学中的应用探讨作者：唐宝东来源：《教育界·中旬》2013年第05期【摘要】近些年来高考题目愈发多样，但是万变不离其宗，比如物理试卷中有很多省份的考卷都没有离开“微元法”这个概念。
尤其是江苏的高考试卷已经连续几年有所涉及。
由于类似此题所占分数比值较大，所以在一定程度上可以直接决定考生成绩等级。
因此理解并领悟“微元法”的基本思想并且学会用此思想来解决应试题目是很有必要的。
【关键词】高考题目物理试卷微元法微元法在数学上称为“微分”，在物理上称为“微元”。
由此可见其实各科知识都是可以互通的。
数学对“微元法”的定义，就是先寻找函数的微分，求出这个函数或这个函数在某点的值。
而微元法是物理研究中基本的方法之一，物理中对于微元法的定义，通俗来说，是指将研究对象分为无数个无限小的部分，然后取出其中某些有代表性的部分进行分析研究，接着从局部到全体进行综合考虑分析的科学思维方式。
因此其实从这个定义里也可以简单的看出数学里“积分”的思想。
这一类思想近些年来在各种物理竞赛、高考试题和其他的自主招生考试中都有涉及。
所以学好“微元法”的思想，对于学生应试提高考试成绩是很有必要的。
高中的物理教学主要在于培养学生高效的学习能力和解决问题的能力。
在物理的学习中，学生通常容易出现思维受阻或者停滞的情况，遇到解题瓶颈，这个时候便无法顺利的完成学习任务。
此时应该适时的转换思路，利用微元思想将整体化为细小的若干部分，然后对每一部分都按照熟悉的思路去解决，这样就可以有效的提升学生的记忆能力和分析能力，大大的提高他们的学习能力，实现高中课堂的最大效果。
所以“微元法”在高中的物理教学中都有广泛及重要的应用，对教学效果的提升和学生的学习能力都起到了至关重要的作用。
一、微元法的定义上面所说的关于“微元法”的定义都是一些很通俗的定义。
而准确详细一点的定义是将研究的对象分为若干个微小的过程，称为“元对象”抑或“元过程”。
微元法在高考物理中的应用汇总(可编辑修改word版)
微元法在高考物理中的应用河南省信阳高级中学陈庆威2013.10.06微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。
因其近年来在江苏高考物理试题中的频繁出现，尤其是它在2013 年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷I）第25 题中的闪亮登场，让它在我们的高考备考中的地位变得更加重要。
很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛，想集中训练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型，对很多顶尖的学生来说这类问题做起来也往往心有余而力不足。
希望通过以下几个典型的微元法试题的训练，能让你从陌生到熟练。
一、从真题中练方法例题1.（2013全国课标卷I）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。
导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。
导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。
在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。
已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。
忽略所有电阻。
让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：⑴电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。
B【答案】⑴Q=CBLv ⑵v =m (sin-cos)gt C mm +B2L2C【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为θLE =BLv ①平行板电容器两极板之间的电势差为U =E ②设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C =Q ③U联立①②③式得Q =CBLv ④（2）设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为f1=BLi ⑤设在时间间隔(t, t +∆t )内流经金属棒的电荷量为∆Q ，按定义有i =∆Q ⑥∆t∆Q 也是平行板电容器极板在时间间隔(t, t +∆t )内增加的电荷量，由④式得∆Q =CBL∆v ⑦式中，∆v 为金属棒的速度变化量，按定义有a =∆v ⑧∆t金属棒所受的摩擦力方向斜向上，大小为f2=N⑨式中，N 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N =mg cos⑩金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mg sin-f1-f2=ma ⑾联立⑤至⑾式得a =m (sin-cos)g ⑿m +B2L2C由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。
浅析微元法在物理解题中的应用
浅析微元法在物理解题中的应用作者：晁菁媛来源：《魅力中国》2018年第42期微元法是一种深刻的思维方法，先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体的目的。
微元求和思想在高中物理教材中多处出现，如：必修（一）P38页推导匀变速直线运动位移公式时、必修（二）P64页研究重力做功时、必修（二）P69页研究弹簧弹力做功时均用到了微元求和思想。
关于微元法的题目，连续几年出现在各地高考物理试卷中和各大高校的自主招生考试中。
本文拟通过实例探讨微元求和思想在物理解题中的应用。
一、微元法解题分析在变力求功，变力求冲量，变化电流求电量等等情况下，可考虑用微元法解题。
（一）关于微元法一般是以时间和位移为自变量，在时间Δt很短或位移Δx很小时，此元过程内的变量可以认为是定值。
比如非匀变速运动求位移时在时间Δt很短时可以看作匀速运动，在求速度的变化量时在时间Δt很短时可以看作匀变速运动。
运动图象中的梯形可以看作很多的小矩形，所以，vΔt=Δx=Δs。
微元法体现了微分的思想。
（二）关于求和Σ许多小的梯形加起来为大的梯形，即ΣΔs=ΔS，（注意：前面的s为小写，后面的s为大写），比如ΣΔv=v-v0，当末速度v=0时，有ΣΔv=-v0，或v0=0时，有ΣΔv=v，这个求和的方法体现了积分思想。
（三）物理量有三种可能的变化情况（1）不变（大小以及方向）：可以直接求解，比如恒力的功，恒力的冲量，恒定电流的电量和焦耳热。
（2）线性变化（方向不变，大小线性变化）：比如力随位移线性变化可用平均力来求功，力随时间线性变化可用平均力来求冲量，电流随时间线性变化可用平均电流来求电量。
电流的平方随时间线性变化可用平方的平均值来求焦耳热。
（3）非线性变化：可以考虑用微元法。
二、微元法解题程序第1步，取元隔离选择恰当微元（空间元、时间元）作为突破整体研究的对象。
微元可以是：一小段线段、圆弧；一小块面积；一个小体积、小质量；一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
浅谈“微元法”在高考物理题中应用
浅谈“微元法”在高考物理题中应用作者：史文杰来源：《理科考试研究·高中》2014年第12期在近几年的高考中时常出现一些涉及物体在变力作用下，做非匀变速运动的问题.学生在解题时，感觉无从下手.因为日常的教学和练习中，大多数情况只讨论恒力作用下的匀变速直线运动，对于变力问题下的非匀变速直线运动只作定性分析，很少进行定量研究.这类问题的解决涉及到“微元法”.一、微元法所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法.它适用于变力作用下做变速运动（非匀变速运动）的情况.用微元法解题目体现了微分和积分的思想.何为微分思想？例如时间Δt很短或位移Δx很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，从v-t图象中的图形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.何为积分思想？如许多小的梯形加起来为大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表总位移），并且Δv=v-v0，当末速度v=0时，有Δv=v0，或初速度v0=0时，有Δv=v，这种求和的方法体现了积分思想.笔者发现采用“微元法”解决的题目虽然很多，情景多变，但其解题的模式是相似的，都采用关系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛顿第二定律和加速度定义式的微元式，学生只要会受力分析和运动分析，写出F合的表达式（与v有关的变力）以及初速度v0和末速度v，根据上面的方程，解出相关的物理量即可.下面谈一谈“微元法”在电磁感应问题和动力学问题中的应用.二、“微元法”在电磁感应问题中的应用一些涉及“电磁感应”的题目，可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生的感应电动势E=BLv，感应电流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因为是变力问题，所以可以用微元法.例1如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其它电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？解析对杆进行受力分析，杆在竖直平面内受到重力、竖直向上的支持力这是一对平衡力，水平方面上向左的安培力是杆受到的合外力.而且F安随速度的变小而变小.这是典型变力作用下求位移的题.解设杆在减速中的某一时刻的速度为v，取一极短时间Δt，发生了一段极小的位移Δx，在Δt时间内，磁通量的变化Δ=BLΔx，感应电流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR，由于Δt极短，可以认为F安=B2L2vR.由牛顿第二定律在t到t+Δt时间内，Δv=aΔt=F合m=Δt （此处体现了微分思想）方程两边求和：Δv=B2L2vmRΔt （此处体现了积分思想）方程变形：Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）即v0-0=B2L2mRx，解得：x=mv0RB2l2三、“微元法”在动力学问题中的应用。
例谈微元法在高中物理中的应用
同,故摩擦力也不同,用 常 规 方 法 无 法 求 解,本 题 利 用 微 元 法 电量?
和对称的特点,巧妙 地 求 出 了 摩 擦 变 力 所 做 的 功。 利 用 微 元
解 :设 某 时 刻 棒 的 速 度 为 v,加 速 度 为 a,则 有 :
法求解变力功的题目还有好多,关键是要 选 好 位 移 元,在 这 段 位 移 内 ,力 可 视 为 恒 力 ,按 照 恒 力 求 元 功 后 ,再 求 和 。
解析:取 软 绳 中 Δl(Δl 趋 近 于 零 )长 为微元段,对应质量元为 Δm。
可以作出俯视受力图,如图4所 示,设 质量元 Δm 两 端 所 受 张 力 为 T,其 合 力 为 F。因为 它 所 对 的 圆 心 角 θ 很 小,所 以 有
图3
sinθ≈θ,即 F=2Tsinθ2 =Tθ。
再 作 出 正 视 受 力 图 ,如 图 5 所 示 ,质 量 元
l R2 +l2
=n(Rk2Q+ll2)3 2 。
所以
EP
=nEx
=
kQl (R2 +l2 )3 2
。
微元法除了求场 强 外,在 电 场 中 电 容 器 充 放 电 时 的 电 荷
量,点电荷电场中求解静电力的功、电势 等 相 关 计 算 在 某 些 情
况下也可用到微元法。
七 、微 元 法 在 电 磁 感 应 中 的 应 用
-B2RL2v=ma。
五 、利 用 微 元 法 解 决 流 体 问 题
例5 水力采煤时,用水 枪 在 高 压 下 喷 出 强 力 的 水 柱,打 在 煤 层 上 ,若 水 枪 出 水 口 的 横 截 面 积 为 S,出 水 口 水 速 为v,水 流射到煤层上,速 率 减 为 零,水 的 密 度 为ρ,求 水 对 煤 层 的 冲 击力。
试论微元法在高中物理解题中的应用
试论微元法在高中物理解题中的应用作者：李俊杰来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第04期微元法是一种从局部求解整体的解题方法。
利用微元法求解可以将复杂的物理过程转变成数学的物理规律，从而保证问题的顺利解决。
下面举例分析。
1.求解质量问题微元法的关键是先將整体分解成多个微小单元，再对各个单元进行分析，最后达到解决整体的目的。
在求解一些复杂的质量问题时，利用微元法可以很好地简化计算，提高解题效率。
例1 一辆汽车在水平地面上加速运动，汽车中有一杯水，水面与水平面间的倾斜角是臼，试求汽车启动的加速度大小及方向。
解析：本题中可以将倾斜的水面看成是研究对象，其受力情况如图l所示，F合=△mgtanθ，由牛顿第二定律得F合=△ma，解得a=gtanθ，方向与汽车的启动方向相同。
2.求解动力学问题当遇到非匀变速运动力学问题时，如果采用一般的运动类解题方法，不仅需要很大的运算量，而且容易出错。
若是利用微元法，从局部人手，就能快速求解。
例2质量为m的物体从地面以初速度vo向上垂直抛出，该物体的运动速率随时间t的变化关系如图2所示，若该物体受到的空气阻力与速度成正比，求：（1）该物体在整个运动过程中空气阻力做的功。
（2）物体抛出瞬间的加速度。
（3）物体在t1时刻的高度。
3.求解位移问题求解导体在匀强磁场中的光滑轨道上的位移问题时，利用微元法将运动过程分成多个时间内的匀速运动过程，可以快速得出答案。
例3质量为m的金属块位于光滑的平行轨道上，轨道的宽度为L，磁感应强度为B的均匀磁场垂直于轨道平面，轨道左侧连接阻值为R的电阻，其他电阻不计，如图3所示。
当金属块从初速度v0水平向右运动时，金属块最远能移动多远？。
【自主招生解题方法】高三物理：【自主招生解题方法】高三物理第1讲 微元法
第1讲微元法所谓微元法就是利用微分思想去分析解决物理问题的一种方法。
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将研究的对象或过程进行无限细分，以达到化变为恒、化曲为直。
注意，研究的对象或过程分解为众多的“微元”，每个“微元”所遵循的规律是相同的，研究任意选取的某一微小单元，运用相关物理规律进行讨论，再将这些“微元”相加，从而找出被研究的对象或过程的变化规律。
在高中物理中，计算变速直线运动的位移，采用了微元法，得出了变速直线运动的速度图象与横轴所围面积表示位移。
探究弹力做功，采用微元法得出F—x图象与横轴所围面积表示弹簧弹力做的功。
高考试题和自主招生试题中多次出现与微元法相关的试题，且能力要求较高。
解题的主要思想方法将研究对象分解为很多“微元”或其将运动过程分解成许多微小的“元过程”（对应的物理量微元可以为时间微元、速度微元、位移微元、电量微元等），分析每个“元过程”遵循的物理规律，然后将每个“元过程”相关的物理量累加求和，从而使问题得到解决。
问题解读凡是极短时间或极小位移上物体状态变化不太大时，都可以运用微元法把过程分割为无限多个微小过程，然后相加，得出整个过程的物理量。
典例1：蹦床比赛分成预备运动和比赛动作。
最初，运动员静止站在蹦床上.。
在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段。
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx(x为床面下沉的距离，k为常量)。
质量m=50kg 的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m；在预备运动中，假设运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x l。
自主招生物理竞赛物理讲解
③第1s、第2s、…第ns的位移之比：
x : x : : xN 1: 3 : : (2n 1) ④前1m、前2m、…前nm所用时间之比：
t1 : t2 : : tn 1: 2 : : n
⑤第1m、第2m、…第nm所用时间之比：
t : t : : tN 1: ( 2 1) : : ( n n 1)
r2 min
(v12
v22
2v1v2 cos )L2 L2 (v1 v2 (v12 v22 2v1v2 cos )
cos )2
L2v22 sin2
v12 v22 2v1v2 cos
故此过程中两质点间距离的最小值为
rmin
Lv2 sin v12 v22 2v1v2 cos
自主招生物理辅导
P从A到B1：
v12
-
v
2 0
-（2 g
sin
g
cos）L
②
P从B1到B2： v12 2g sin L
联立以上三式求解得：
v1
mg sin mg cos
3 3
v0
③
tan
所以从B1回到A的过程中，P做匀速直线运动。
自主招生物理辅导
例7．（北约2013题19．12分）某车辆在平直路面上作行驶测试，
vA vB 3 2
vA 6 vB
vB vC 6 2
vC 12 vB
vB
vA2 vC2 2
自主招生物理辅导
方法三：图像法
v/ms-1
vC
6 vB
23 3 vA
o
t/s
t1
t2
自主招生物理辅导
（3）中间时刻速度法 •中间时刻的瞬时速度等于全程的平均速度。有些题目中应用 它可以避免常规解法中应用位移公式列出的含有时间的平方 的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速度。
物理自主招生-常见解题方法
微元法：试题
电量������ 均匀分布在半径为������的圆环上，求在圆环轴线上距圆心������点为 ������ 处的������点的电场强度.
电荷元 ������ ������������ = ������������������ 2������������ 在������点产生的电场的场强的������ 分量为 ������������������ = ������ ������������ ������������������������ cos������ = ������ ������ 2 2������������(������2 + ������ 2 ������ ������2 + ������ 2
������ ������0 ������ ������ ������0 ������������ ������������
2
������
������������
������
min=
������0 cos������ =
+ ������������
2
������������
������������������ ������ ������ + 2
2
= ������������������
−2������������ ������ 2 2 ������ − 4
2
������ = ������������
������������ ������ = 2 ������
2������������ 2 ������ 2 ������ = ������5
微元法：自招真题
[2013华约] 汽车速度较高时，空气阻力不能忽略．将汽车简化为横 截面积约1m2 的长方体，并以此模型估算汽车以60km/h行驶时为 克服空气阻力所增加的功率．已知空气密度������ = 1.3kg/m3 ．
人大附中深圳学校2020自主招生面试试题(1)
自主招生综合能力测试(请注意：本测试共计3道题目，共2页。
考生有30分钟准备时间)1. 人们常用速度随时间变化的图像（v-t图）直观地描述物体的速度随时间变化的规律。
如图1所示为物体做匀速直线运动的v-t图。
图2中阴影面积是多少？你能说出阴影面积有什么意义吗？图1 图2在实际生活中，变速运动随处可见，我们可以用微元法分析和处理变速运动的实际问题。
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而解决问题。
有这样一种直线运动，速度随时间均匀变化，其v-t图像如图3所示。
如果我们像图4一样，把这种运动分成5个小段，每小段起始时刻的速度由相应起始时间的纵坐标表示，那么在每一小段，可以粗略的认为物体以这个速度做匀速直线运动。
因此，我们以每小段的起始速度乘以时间2秒，近似地当作各小段的路程。
在v-t图像中，各段的路程可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。
5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个直线运动过程中的路程，显然路程就少算了。
类似的，把运动分成10个小段，如图5所示，则可以用10个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个直线运动过程中的路程。
那么，对比图4和图5，哪一种矩形面积之和更接近物体在整个变速直线运动过程中的总路程？若想要准确得到物体在此变速直线运动的总路程，你有什么办法？能得到怎样的结论？图3 图4 图5利用你得到的结论解决下面的实际问题：2019年12月7日，我国第一艘国产航空母舰“山东舰”正式交付海军，表明我国已经彻底掌握制造航空母舰的技术。
某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，飞机发动机使飞机做加速运动，若加速运动的过程速度随时间均匀增加，2.4秒后起飞时的速度达到70m/s，求飞机起飞滑行的距离是多少？图62. 2020年新冠病毒疫情期间，深圳某公司要在会议室对应聘者进行面试。
高考物理微元法解决物理试题试题类型及其解题技巧及解析
高考物理微元法解决物理试题试题类型及其解题技巧及解析一、微元法解决物理试题1．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平．若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为4110kW ⨯，排泥量为31.4m /s ，排泥管的横截面积为20.7 m ，则泥泵对排泥管内泥浆的推力为（ ） A ．6510N ⨯ B ．7210N ⨯C ．9210N ⨯D ．9510N ⨯【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】设排泥的流量为Q ，t 时间内排泥的长度为：1.420.7V Qt x t t S S ==== 输出的功：W Pt =排泥的功：W Fx =输出的功都用于排泥，则解得：6510N F =⨯故A 正确，BCD 错误．2．如图所示，某个力F ＝10 N 作用在半径为R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F 做的总功为（ ）A ．0B ．20π JC ．10 JD ．10π J【答案】B 【解析】本题中力F 的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，可以考虑把圆周分割为很多的小段来研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致，故所求的总功为W ＝F ·Δs 1＋F ·Δs 2＋F ·Δs 3＋…＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…）＝F ·2πR ＝20πJ ，选项B 符合题意.故答案为B ．【点睛】本题应注意，力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由W =FL 求出．3．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与mn 、和v 的关系正确的是（ ）A ．216nsmv B ．213nmvC ．216nmv D ．213nmv t ∆【答案】B 【解析】 【详解】一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ∆=，如图所示，以器壁上面积为S 的部分为底、v t ∆为高构成柱体，由题设可知，其内有16的粒子在t ∆时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数16N n Sv t =⋅∆，t ∆时间内粒子给器壁的冲量21·3I N I nSmv t =∆=∆，由I F t =∆可得213I F nSmv t ==∆，213F f nmv S ==，故选B ．4．如图所示，半径为R 的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m 的小球，在大小恒为F 、方向始终与轨道相切的拉力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时，此时小球的速率为v ，已知重力加速度为g ，则( )A ．此过程拉力做功为22FRB ．此过程拉力做功为4FR πC ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为12FvD Fv 【答案】B 【解析】 【详解】AB 、将该段曲线分成无数段小段，每一段可以看成恒力，可知此过程中拉力做功为1144W F R FR ππ=•=，故选项B 正确，A 错误；CD 、因为F 的方向沿切线方向，与速度方向平行，则拉力的功率P Fv =，故选项C 、D 错误。
微元法的应用2
解析：设某时刻 小环运动速度 解析：设某时刻t小环运动速度 为v时加速度为 a=(µmg+kv)/m 时加速度为
kv
f
取一段时间微元∆t， 取一段时间微元∆t，a=∆v/∆t 有： ∆v=(µ g∆t + kv∆t/m ) =(µ g∆t + k∆x/m ) ∑ ∆v=(µ g ∑ ∆t + k /m∑ ∆x ) v0=µgt0＋kx/m x=m(v0–µgt0)/k 4Q1q m( − µgt0 ) 3ml x= k
（一）微元法在力学中的应用 所示， 例1：如图 所示，一个质量为 的钢性圆环套在一根 ：如图1所示 一个质量为m的钢性圆环套在一根 固定的足够长的水平直杆上， 固定的足够长的水平直杆上，环的半径略大于杆的半 环与杆之间的动摩擦因数为µ。 时刻给环一个 径。环与杆之间的动摩擦因数为 。t=0时刻给环一个 向右的初速度v 向右的初速度 0，同时对环施加一个方向始终竖直向 上的力F，已知力F的大小为 的大小为F=kv， (k为大于 的常数 为大于0的常数 上的力 ，已知力 的大小为 ， 为大于 且已知， 为环的运动速度 且有kv 为环的运动速度)， 且已知，v为环的运动速度 ，且有 0＞mg，t=t1时刻 ， 环开始沿杆做匀速直线运动。试求： 环开始沿杆做匀速直线运动。试求：在0～t1时间内， ～ 时间内， 环沿杆运动的距离。 环沿杆运动的距离。
E = ∑ ∆E x = kQx 2π ( R 2 + x 2 ) 3
∑ ∆θ =
ϕPi =
kQx 2π ( R 2 + x 2 ) 3
2π =
kQx (R 2 + x 2 )3
电荷元在P点的电势为 电荷元在 点的电势为
ϕP = ∑ϕPi =
微元法在高考物理中的应用汇总
微元法在高考物理中的应用河南省信阳高级中学 陈庆威 2013.10.06微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。
因其近年来在江苏高考物理试题中的频繁出现，尤其是它在2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷I ）第25题中的闪亮登场，让它在我们的高考备考中的地位变得更加重要。
很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛，想集中训练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型，对很多顶尖的学生来说这类问题做起来也往往心有余而力不足。
希望通过以下几个典型的微元法试题的训练，能让你从陌生到熟练。
一、从真题中练方法例题1.（2013全国课标卷I ）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L 。
导轨上端接有一平行板电容器，电容为C 。
导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面。
在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。
已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g 。
忽略所有电阻。
让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。
【答案】⑴Q=CBLv ⑵ ()22sin cos m gt v m B L C θμθ-=+【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为E BLv = ①平行板电容器两极板之间的电势差为U E = ②设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有Q C U= ③ 联立①②③式得Q CBLv = ④（2）设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t ，通过金属棒的电流为i ，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为1f BLi = ⑤设在时间间隔(),t t t +∆内流经金属棒的电荷量为Q ∆，按定义有Q i t∆=∆ ⑥ Q ∆也是平行板电容器极板在时间间隔(),t t t +∆内增加的电荷量，由④式得Q CBL v ∆=∆ ⑦式中，v ∆为金属棒的速度变化量，按定义有v a t∆=∆ ⑧ 金属棒所受的摩擦力方向斜向上，大小为2f N μ= ⑨式中，N 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有cos N mg θ= ⑩金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a ，根据牛顿第二定律有12sin mg f f ma θ--= ⑾联立⑤至⑾式得()22sin cos m a g m B L Cθμθ-=+ ⑿ 由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。
知识讲解 物理学中微元法的应用
物理学中微元法的应用编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
自主招生(物理竞赛)物理讲解课件
A.t t1, d S
C.t
1 2
t1, d
1 2
S
B.t
1 2
t1, d
1 4
A
v v cos 30 3 v 2
s 3a 3
t s 2a
B
v 3v
v’ C
自主招生物理辅导
二．匀变速直线运动
1.二个概念：速度和加速度
lim v x v
x dx a v vt v0
t
t0 t dt
t t
2.三个规律
（1）速度-时间规律 vt v0 at
下表为控制中心的显示屏的数据
收到信号时间 与前方障碍物的距离（单位：m）
9:10:20
52
9:10:30
32
发射信号时间 给减速器设定的加速度（单位：m/s2）
9:10:33
2
收到信号时间 与前方障碍物的距离（单位：m）
9:10:40
12
自主招生物理辅导
已知控制中心的信号发射与接收设备工作速度极 快．科学家每次分析数据并输入命令最少需要3 s．问：
距离52m 距离32m 距离?m。(22m) 距离12m。 距离2m。
初速2m/s，距离2m，加速度a=-1m/s2 。 9:10:43发出减速指令，加速度为1m/s2。
自主招生物理辅导
例6．（北约2013题17，共8分）如图所示，与水平地面夹角 为锐角的斜面底端A向上有三个等间距点B1、B2和B3，即 AB1=B1B2=B2B3。小滑块P以初速v0从A出发，沿斜面向上运 动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑块到达B3位置刚 好停下，而后下滑。若设置斜面AB1部分与滑块间有处处相同 的摩擦，其余部位与滑块间仍无摩擦，则滑块上行到B2位置 刚好停下，而后下滑。滑块下滑到B1位置时速度大小为 __________，回到A端时速度大小为____________。
2019届高考总复习：高中物理中微元法的应用
高中物理中微元法的应用随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识归纳】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法归纳】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【应用归纳】一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
物
理
教
学
探
讨
第２ ８卷 总 第 ３ ５期 ８ ２１ ０ ０年 第 ７期 （ 半 月） 上
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐ ｙ ｉｓ Ｔｅ ｃ ｉｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｈ ｓｃ ａ ｈｎ
１—’— ｒ 『
，
即 Ｆ —
一
一２ ｚ
故 Ｎ 亍 Ｆ＋ ｐ ｘ 一 ３ｇ ｇ ｐｘ
当柔 绳将 要全 部掉 到秤 盘上 时 ， 盘 的读 数 秤
最大 为 ３ ｇ。 ｍ
ｒ Ｐ
Ｉ
ｒ
表 垂直 ， 与地球 同步转 动 。 地 球质 量 为 Ｍ ， 并 设 半 径 为 尺， 梯 长 为 Ｌ， 密 度 为 』 整个 天 梯质 量 天 线 Ｄ ， — ｅ 在距 地心 ｒ Ｌ， 处取 一小 段天 梯 Ａ ， 引力 ｒ其
关键词 ： 自主 招 生考 试 ； 元 法 ； 用 微 应
中图 分 类 号 ： ６ ３ ７ Ｇ ３ ．
文献标识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ３ ６４ （０Ｏ ７ Ｓ ０ ４ １０ — １ ８ ２ １ １ （ １ ０４— ２
●
大学 自主 招 生考 试 已试 点 多年 ， 观 近 几 纵
分析 ， 以供 读者参 考 。 微 元法 微 元法 是物 理学 中分 析 问题 和解 决 问题 常用 的一种方法 ， 基本 思 路是将 复 杂 的 其 物理过 程（ 对象 ） 成若 干 个 微 小 的“ 过 程 （ 分 元 对 象） ， ” 比如一小 段时 间 △ 、 小 段 长度 Ａ 、 一 ｘ 一小 段 圆弧 △ 一 小量 面 积 Ａ 一 小 量 电荷 △ 等 Ｌ、 Ｓ、 Ｑ
解 析 如 图 ２所示 ， 圆环 上 取 一 小 段 圆 在
等， 然后对 “ 过程 （ 元 对象 ） ”进行 分 析 ， 出其 物 找 理规律 ， 将此 规律通 过 一定 的数 学方法 或 物理 再
思想运 用到整 个过程 ， 而解 决 问题 。 进
１ 在 运动 学 中的应用
弧， 对应 的圆心 角为 Ａ （ ０ Ｏ ， 部 分 质量 可 ０Ａ 一 ） 这
解 析 设 经一 小段 时 间 Ａ （ ｔ Ｏ 光 点 由 ｔＡ — ）
Ａ 点移 动到 Ｂ 点 ， 图 １ 示 。 Ａ 的长度 如 所 弧 Ｃ
， ，
ｚ： ＿
△￡ 。
在 △一 ０ 时弧 ＡＣ可认 为是直 线 ， 且可认 为
Ａ 上 Ｂ 则Ａ 一 ＳＩ 一 ｂＵ Ｃ Ｃ， Ｂ ｎＯＵ Ｓ１ ｎ Ａ， ｔ
（） ７ ２ １ Ｓ ． ０ ０
． ５ ４．
试 分 析说 明 ： １ （ ）该太 空站 （ 同步 卫星 ）与 通 常意
义上的地球同步卫星相比， 离地面的高度哪个更
大 ？２ （ ）按照 “ 太空 电梯 ”的 构想 ， 太 空 电梯 ”的 ‘ ‘
地 面基 站 能否设 在 中国境 内 ？ 解 析 （ ）天梯 只能 位 于 赤 道 上 某 处 与 地 １
所 以 ＝
＝
一
一 丁ｎ ８ ｄ ｎ
６ ． ｍ／ ， Ｂ。 ９ ８ ｓ选
第２ ８卷 总第 ３ ５期 ８ ２１ ０ ０年 第 ７期 （ 上半 月）
物
理
教
学
探
讨
Ｖｏ ＿ ８ Ｎｏ ３８ ｌ２ ． ５
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈｙ ｉｓ Ｔｅ ｃ ｎｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｓｃ ａ ｈｉ
年知名 高校 自主招生 物理 试题 ， 不难 发 现其 难度
介 于高考 和竞赛 之 间 。 过 分 析 历年 试 题 可 知 ， 通 微元 法 的应 用尤 为重 要 ， 由于 高 中学 习和 应 用微
元 法解题较 少 ， 不少参 加 自主招 生 考试 的考 生不
会应 用微元 法解 题 。 文 以历年 试题 为例 做 浅要 本
２ 在 力学 中的应 用
Ａ
图 １
图
２
例 ２ （０ ６ ２ ０ 同济 ） 一均 匀分 布 的圆 环 ， 其质 量 为 Ｍ ， 径 为 Ｒ， 何转 轴 与水 平面 垂 直 。 它 半 几 若 能经受 的最 大 张力 为 Ｔ， 求此 圆环 可以绕 几 何轴
旋 转 的最大 角速 度 。
表示为 △ — Ｍ Ａ ｍ ０
，
例 ｌ （ ０ ９同济）距河 岸 （ ２０ 看成 直线 ） ０ ｍ ５０ 处有一 艘 静 止 的 船 ， 上 的探 照 灯 以转 速 一 船
由牛顿 定律得
２ ｉ （ ）： Ａｍｗ￣ Ｔｓｎ Ｒ
ｌ／ ｎ转 动 。 ｒｍｉ 当光束 与岸 边 成 ６ 。 时 ， 束 沿 Ｏ角 光
ｌ ｝ ． 薪 ｛ 考试． Βιβλιοθήκη 究 ｊ—■ — Ｌ ， ，
微元法在自 主招生考试中的应用
曾 国平 ， 金 华 魏
江 西 省 赣 州 市 赣 县 中学 ， 西 省 赣 州 市 ３ １０ 江 ４ １０
摘
要 ： 文 以历 年 大 学 自主 招 生试 题 为例 ， 析 微 元 法 在 自主 招 生考 试 中 的应 用 。 本 分
岸边移 动 的速 率 为（ ）
Ａ． ２ ３ ｓ ５ ． ｍ／
Ｂ． ９ ８ ｓ ６ ． ｍ／ Ｃ． ． ４× １ 。 ｓ ３１ ０ ｍ／
‘
因为 Ａ 很 小 ， 以 ０ 所
ｓｎ ）≈ Ａ ｉ（ ｏ
， ， ．
Ｄ． ． ８× １ 。 ｓ ４１ ０ ｍ／
得 一√
３ 在 万 有引力 中的应 用 例 ３ （ ０ ９ 海交 大 ）俄 罗斯 科 学 家 根据 ２０ 上 同步 卫 星在地 球 同步轨 道 上 的 飞行 原 理 首先 提 出了“ 空 电梯 ”的构 想 ， 太 以方 便 向 太 空 实 验室 ．
运送 人员 或补 充物 资 。 国科 幻作 家 阿瑟 ・克拉 英
克 在他 １ ７ 出版 的小 说《 ９ ８年 天堂 喷泉 》中使这 一 构 想广 为人 知 。 空电梯 的主体 是一 个永 久 性 连 太
接 太空 站 （ 步卫 星 ）和地 球 基 站 的 缆 绳 ， 过 同 通 太 阳能驱 动 的“ 爬行 器”沿 着 缆 绳 可 爬 上 太 空 。