小学奥数知识讲解 一笔画问题

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学而思名师奥数一笔画问题

学而思名师奥数一笔画问题

把河的两岸、两个小岛看成四个点 把七座桥看成是七条线 转化成数学模型后如图所示
A
D C
B
分析:: A
C
图中四个点都是奇点,所以不能一笔画,那么 既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥是 不可能的!
D
B
在七桥问题中,如果允许你再架一座桥,能否不重复地一次走遍这八座桥?这座 桥应该架在哪里?请你试一试!
通过今天的学习,你有哪些收获呢?
学而思名师奥数一笔画问题
“一笔画”是指笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复而 画成的图形。
你能一笔画出下列图形吗?
下列图形你还能不能一笔画呢?
理论研究

与奇数条边相连的点叫做奇


偶 点
与偶数条边相连的点叫做偶 点
①凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成;画时可 以任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。
②凡是只有两个奇点(其余均为偶点)的连通图,一定可 以一笔画成;画时必须以一个奇点为起点,另一个奇点为 终点。
③其他情况的图,都不能一笔画成。
到底能不能一笔画成呢?
凡是由偶点组成或只有两个奇点组成(其余均为偶点)的连通图,一定可 以一笔画。


奇 点
一 笔 画


绿












画时必须以一个奇点为起点,另一个奇点为终点。
能不能既不重复又不遗漏 地一次相继走遍这七座桥?
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛,还有七座桥把 这两个小岛与河岸联系起来,那里风景优美,游人众多.
在这美丽的地方,人们议论着一个有趣的问题:一个游人怎样才能不重复地一次 走遍七座桥,最后又回到出发点呢?

六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练:-第八讲-一笔画问题

六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练:-第八讲-一笔画问题

第八讲一笔画问题一、一笔画问题问题1 你能一笔画出一个“田”字吗?所谓一笔画出的意思就是在一张纸上(不允许折叠)笔不离纸,而且每一笔划(或称线段)只能画一次,不准重复.对于“串”字或“品”字呢?结果会怎样?(参看图 8-1)通过各种尝试发现,“田”字总也不能一笔画成,而“串”字却可以一笔画成.由于“品”字中的三个“口”字不连在一起,显然也不能一笔画成.我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画.一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成.例 1 下列图形哪些能一笔画成?哪些不能一笔画成?经过尝试,你会发现,图 8-2(a)、(c)、(e)是可以一笔画成的.而且图(c)、(e)可从任意一点出发,一笔画成回到出发点,而图(a)只能从A (或D)点出发,一笔画成到 D(或A)点结束.如果图形非常复杂,用这种逐一尝试的方法,则所花的时间较多,且有时还无法下结论.有没有一种简便的判断方法呢?下面就来研究这个问题.上面研究的图形都是由点和线段(或弧)组成的,在数学中叫做图.图形中的点叫图的结点,线段(或弧)叫做图的边.作为一个图,其图形还必须满足以下条件:(1)每条边都有两个端点(可以重合)作为结点;(2)各条边之间互不相交.一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定,而与边的曲直长短无关.图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数.度数为偶数的结点叫做偶结点.例如,图 8-3 中结点 C、D、E 都是偶结点.度数为奇数的结点叫做奇结点.例如,图 8-3 中结点A、B、F、G 都是奇结点.任何两点间都有线连接的图称作连通图.(如图8-3 中D 与G 可通过DB、BA、AG 连接)观察例 1 中的五个图,其结点的奇偶性可列成下表:从表中可以发现,一个图能否一笔画成,与图的奇结点的个数有密切联系, 人们总结出如下规律:一个图若是一笔画必定是个连通图.一个连通图,若没有奇结点(即全是偶结点),那么这个图一定可以一笔画成,而且可以从任一偶结点出发,一笔画成回到出发点.一个连通图,若只有两个奇结点,那么这个图也可以一笔画成.而且只能从某一奇结点出发一笔画成,到另一奇结点结束.一个图,若奇结点个数多于两个,那么这个图就不能一笔画成. 例 2判断下列各图是否能一笔画出来.解:其中(b)、(d)、(e)三个图无奇结点,所以可从任一点出发,一笔画成, 并且回到出发点;(a)、(f)两图各有两个奇结点,所以可从其中一个奇结点出发,一笔画成,到另一个奇结点结束;而图(C)的八个结点都是奇结点,所以不能一笔画出来.当作练习,请把例 2 中能够一笔画的图一笔画出来.二、七桥问题和欧拉定理问题 2 七桥问题.关于一笔画,曾有一个颇为著名的哥尼斯堡七桥问题.事情发生在 18 世纪的哥尼斯堡,有一条河流从这个城市穿过,河中有两个小岛 A、B,河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸(参看图 8-5),那里的居民在星期日有散步的习惯.有的人想,能不能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点?这个问题似乎不难,谁都想试一试,但谁也没有找到答案.后来有人写信请教著名的瑞士数学家欧拉.欧拉的头脑比较冷静,千百人的失败使他猜想:也许那样的走法根本就不存在.1936 年他证明了自己的猜想.欧拉解决七桥问题的方法独特,思想新颖,非常富有启发性.他用点表示小岛和两岸,用连结两点的线段表示连结相应两地的桥,得到由七条线段连结四个点而成的图形(参看图8-5(b)).这样七桥问题就变成了一个一笔画问题:能不能一笔画出这个图形,并且最后返回起点?前面我们虽然通过对例 1 的分析归纳出了一个连通图是否能一笔画出来的三条结论,但并没有证明,没有说明这是为什么.下面我们简要说明其中的道理.一个连通图能否一笔画成主要是与结点的边数(也称度数)有关.假定某个图能一笔画成,如果结点 P 不是起点或终点,而是中间点,那么 P 一定是个偶结点.因为无论何时通过一条边进入 P,由于不能重复,必须从另一条边离开 P,因此与 P 连结的边一定成对出现,所以 P 是偶结点.如果一个结点 Q 是奇结点,那么在一笔画中只能是起点或终点.由此可以看出,在一个一笔画中,奇结点个数至多只能有两个.由于哥尼斯堡七桥问题相应的图中有四个奇结点,所以不能一笔画成.也就是说,七桥问题无解,证实了欧拉的猜想.欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题, 而且得到并证明了更为广泛的上述有关一笔画的三条结论,人们通常称之为欧拉定理.1736 年,欧拉在圣彼得堡科学院作了一次报告,公布了他关于七桥问题的研究成果.欧拉在研究中提出了一种新颖的数学问题及思想方法,它标志着一门崭新的数学学科——图论的诞生.对于一个连通图,通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路.例如,图 8-6(a)中的图无奇结点,可以从 A 点出发,一笔画成回到 A 点, 其路线为A→D→E→H→D→G→H→I→F→E→B→F→C→B→A.图8-6(b)中的图有两个奇结点 C 和E,可以从E 出发一笔画成,到 C 结束.其路线为E→D→C→B→A→C.这两条路线都是欧拉路.应当注意:一个图如果存在欧拉路,那么不一定是唯一的.人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路的图叫做欧拉图.例如,图 8-6(a)所表示的路线就是一条欧拉回路,因此相应的图就是一个欧拉图.例3 图8-7 是一公园的平面图,线段表示路径,要使游客走遍每条路且不重复, 问出入口应设在哪里?分析与解:这个问题实质上是一个一笔画问题.图中只有两个奇结点 C 和E,因此,只要把出入口分别设在这两个奇结点处,游客就能由入口进入公园,不重复地走遍每条路,然后从出口处离开公园.例4 能否一笔画出一条曲线,使它和图 8-8 中的八条线段都只相交一次(不准在端点处相交)?分析与解:尝试几次后,会感到很难下结论.事实上,直接寻找答案并不容易.我们可从七桥问题得到启示.原图形把平面分成了五个部分,分别用 A、B、C、D、E 五个点表示.两个点之间的连线正好用来表示与相应的线段相交一次,如图 8 -8(b).于是,问题就变成了图 8-8(b)中所表示的图能否一笔画成.因为图中A、B、C、D 都是奇结点,因此,它不能一笔画成,即不存在符合题目要求的曲线.例 5 图 8-9 表示一个展览馆的平面图,其中共有五个展览室,每个展览室都有一个门通向室外.能否设计一条参观路线,一次不重复地穿过每一个门并能回到原地.分析与解:如果用 A、B、C、D、E 表示展览室,用F 表示室外,用连线表示相应的门,那么图 8-9(a)就变成了图 8-9(b)于是问题就转化为判断图 8-9(b)是否为欧拉图.由图中可以看出,点 C、D、E、F 都是奇给点,因而图 8-9(b)不具有欧拉回路.所以不是欧拉图.也就是说,不存在题中所要求的那种参观路线.可以进一步考虑,关闭了哪两个门之后,就能设计出符合题中要求的参观路线了?为此,只要使图 8-9(b)变为欧拉图,即使它的奇结点个数为 O 即可.例如抹去线段CD 和EF 后的图就没有奇结点了.也就是说,如果关闭 C、D 之间和E、F 之间的两个门,就能设计出一条参观路线,一次不重复的穿过每一个门,并能回到原地.请你试一试,同时想一想,是否还存在其它的答案,一共有几种?习题八1.判断下列各图是否能一笔画成.2.一个花园的小径如图 8-11 所示,散步者能否不重复地一次走遍全部小径?3.图8-12 中A、B、C、D 是四个防空洞,相邻防空洞之间有地道相通,且每个防空洞各有一条地道与地面相通,能否找到一条路线不重复地走遍所有地道?4.用剪刀能否一次连续剪下图 8-13 所示的纸上的 3 个正方形和2 个三角形?5.一只蚂蚁,从图 8-14 右上角长方形中 P 点出发爬行,它要越过这图中16 条线段.每条线段只能通过一次,且不能通过线段的端点,你认为存在这样的路线吗?806.图8-15 表示一个有九个展室的展览馆平面图,每相邻的展室之间都有一道门相通,能否设计一条参观路线,从入口进去,每道门只通过一次,再由出口出去?如果能,则标出参观路线;如果不能,则考虑至少要增开几道门就可设计出符合要求的路线,并标出“新门”的位置.。

小学四年级奥数讲义专题十八一笔画

小学四年级奥数讲义专题十八一笔画

专题十八 一笔画【专题导引】如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成,那么这个图形就叫一笔画。

我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点。

欧拉的一笔画原理是:(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起);(2)没有奇点的连通图形是一笔画,画时可以以任一偶点为起点,最后仍回到这点;(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画,画时必须以一个奇点为起点,以另一个奇点为终点;(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

哥尼斯堡七桥问题。

哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市,布勒格尔河从城中穿过,河中有两个岛,18世纪时河上共有七座桥连接A ,B 两个岛以及河的两岸C ,D(如下图)。

所谓七桥问题就是:一个散步者要一次走遍这七座桥,每座桥只走一次,怎样走才能成功?【典型例题】【例1】:判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

【试一试】:判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

DC B【例2】: 下列图形中各有几个单数点?能一笔画成吗?【试一试】下列图形中各有几个单数点?能一笔画成吗?【例3】: 判断下面图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?【试一试】判断下面图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?B C D E FABCA【例4】:将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

【试一试】将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

【例5】:下图是某展览馆的平面图,一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能,请说明理由。

如果能,应从哪开始走?【试一试】从A点出发,走遍右上图中所有的线段,再回到A点,怎样走才能使重复走的路程最短?【例6】:邮递员要从邮局出发,走遍左下图(单位:千米)中所有街道,最后回到邮局,怎样走路程最短?全程多少千米?【试一试】游人在林间小路(如右图)上散步,问能否一次不重复地走遍所有的路后回到出发点?如不能,应选择怎样的路线才能使全程最短,其最短路程是多少?习题十八1.2. 如图是一个大型花池中小路的平面图,你能否不重复地一次走完所有的小路?进出口应设在什么地方?3.将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

五年级奥数专题 一笔画问题二(学生版)

五年级奥数专题 一笔画问题二(学生版)

学科培优数学“一笔画问题二”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画,就是从图形上的某点出发,笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.知识梳理一、一笔画问题(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点;(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点;(4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画.二、多笔画问题我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n个奇点(n为自然数),那么这个图一定可以用n笔画成.【重点难点解析】1. 知道什么样的的是奇点?什么样的点是偶点。

2. 知道什么样的图形可以一笔画出。

3. 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形,多笔画图形的笔画数与什么有关呢?图a NMLK F D ECBA图bODCB A图cGFEDCBA 【竞赛考点挖掘】1.多笔画图形中图形中奇点数等于笔画数的2倍。

2.复杂图形中能否找出全部奇点而不遗漏。

例题精讲【试题来源】【题目】判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画.【试题来源】【题目】下面图形能不能一笔画成?若果能,应该怎样画?【试题来源】【题目】下图中不能一笔画成,请你在下图中添加最少的线段,将其改成一笔画的图形,并画出路线图【试题来源】【题目】下图中的线段表示小路,请你仔细观察,认真思考,能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁?该怎样爬?【试题来源】【题目】下图是儿童乐园的道路平面图,要使游客走遍每条路并且不重复,那么出、入口应设在哪里?【试题来源】【题目】邮递员叔叔向11个地点送信一次信,不走重复路,怎样走最合适?【试题来源】【题目】观察下面的图,看各至少用几笔画成?D C HGEFBA 图cIH G FED C BA 图aH G I KLJ F EDCB A 图b【试题来源】【题目】判断下列图形能否一笔画.若能,请给出一种画法;若不能,请加一条线或去一条线,将其改成可一笔画的图形.【试题来源】【题目】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市,在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区,这条河有两条支流在城市中心汇合,汇合处有一座小岛A 和一座半岛D,人们在这里建了一座公园,公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a).如果游人要一次走过这七座桥,而且对每座桥只许走一次,问如何走才能成功?【试题来源】【题目】右图是某展览厅的平面图,它由五个展室组成,任两展室之间都有门相通,整个展览厅还有一个进口和一个出口,问游人能否一次不重复地穿过所有的门,并且从入口进,从出口出?【试题来源】【题目】一条小虫沿长6分米,宽4分米,高5分米的长方体的棱爬行。

小学奥数 奇妙的一笔画 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

小学奥数  奇妙的一笔画 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 一笔画问题:(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点; (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点; (4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画. 多笔画问题:我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n 个奇点(n 为自然数),那么这个图一定可以用n 笔画成.模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点.下图中,哪些点是偶点?哪些点是奇点?J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I 【答案】奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地,连接营地之间的道路如图所示,贝贝要给每个营地插上一面旗帜,要求相邻营地的旗帜色彩不同,则贝贝最少需要 种颜色的旗子,如果贝贝从某营地出发,不走重复路线就 (填“能”或“不能”)完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【关键词】华杯赛,六年级,初赛,第10题【解析】最少需要3种颜色的旗子。

因为中间的三点连成一个三角形,要使这三点所代表营地两粮相邻,要使相邻营地没有相同颜色的旗子,必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。

小学奥数 奇妙的一笔画 精选例题练习习题(含知识点拨)

小学奥数  奇妙的一笔画  精选例题练习习题(含知识点拨)

所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 一笔画问题:(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点; (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点; (4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画. 多笔画问题:我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n 个奇点(n 为自然数),那么这个图一定可以用n 笔画成.模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点.下图中,哪些点是偶点?哪些点是奇点?J O I H G FED CBA【例 2】 同学们野营时建了9个营地,连接营地之间的道路如图所示,贝贝要给每个营地插上一面旗帜,要求相邻营地的旗帜色彩不同,则贝贝最少需要 种颜色的旗子,如果贝贝从某营地出发,不走重复路线就 (填“能”或“不能”)完成任务.【例 3】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画.图aNML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【例 4】 下面图形能不能一笔画成?若果能,应该怎样画?(1)(2)(3)【例 5】 下面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?【例 6】 右图是某展览厅的平面图,它由五个展室组成,任两展室之间都有门相通,整个展览厅还有一个进口和一个出口,问游人能否一次不重复地穿过所有的门,并且从入口进,从出口出?【巩固】右图是某展览馆的平面图,一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能,请说明理由.如果能,应从哪开始走?E CDB A【例 7】 下图中的线段表示小路,请你仔细观察,认真思考,能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁?该怎样爬?乙甲【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形?【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图,要使游客走遍每条路并且不重复,那么出、入口应设在哪里?IHGFEDC BA【例 10】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信,不走重复路,怎样走最合适?【例 11】 观察下面的图,看各至少用几笔画成?(1)A ED HCF G B (2)(3)【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米.小明沿线段从A 点到B 点,不许走重复路,他最多能走多少米?【例 13】 有16个点排成的44 方阵。

小学二年级奥数一笔画

小学二年级奥数一笔画

A
单数点(

双数点(

B
C




A
D B
C




单数点(

双数点(









单数点(

双数点(

由以上图形可以得出:








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3、下列图形中各有几个单数点?能一笔画成吗?
单数点(

双数点(





A B C
( (
F E D ) )
单数点(

双数点(

由以上图形可以得出:
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小学奥数:一笔画
【专题简析】 1.概念:一笔画是指笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
2.图中的点可分两大类: (1)双数点:从这点出发的线的数目是双数的,叫双数点。 (2)单数点:从这点出发的线的数目是单数的,叫单数点。
3.规律 ---- 一个图形能否一笔画成,关键在于图中单数点的多少。 (1)凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。 ( 2)凡是图形中只有两个单数点, 一定可以一笔画成, 画时必须从一个单数点为起点, 最后以另一单数点为终点。 (3)凡是图形中单数点的个数多于两个时,此图肯定是不能一笔画成。
【题目】 1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。
单数点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)( )
双数点(
) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

小学奥数教程:奇妙的一笔画_全国通用(含答案)

小学奥数教程:奇妙的一笔画_全国通用(含答案)

所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 一笔画问题:(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点; (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点; (4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画. 多笔画问题:我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n 个奇点(n 为自然数),那么这个图一定可以用n 笔画成.模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点.下图中,哪些点是偶点?哪些点是奇点?J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I 【答案】奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地,连接营地之间的道路如图所示,贝贝要给每个营地插上一面旗帜,要求相邻营地的旗帜色彩不同,则贝贝最少需要 种颜色的旗子,如果贝贝从某营地出发,不走重复路线就 (填“能”或“不能”)完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,六年级,初赛,第10题 【解析】 最少需要3种颜色的旗子。

因为中间的三点连成一个三角形,要使这三点所代表营地两粮相邻,要使相邻营地没有相同颜色的旗子,必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。

小学奥数—奇妙的一笔画

小学奥数—奇妙的一笔画
4-1-5.奇妙的一笔画
知识点拨
所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次, 不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢? 下面,我们就来探求解决这个问题的方法.
什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 一笔画问题: (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形; (2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点; (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点; (4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画. 多笔画问题: 我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于 任意的连通图来说,如果有 2n 个奇点(n 为自然数),那么这个图一定可以用 n 笔画成.
【例 17】 下图中不能一笔画成,请你在下图中添加最少的线段,将其改成一笔画的图形,并画出路线图.
A
E
D
G
H
B
C
F
【例 18】 如图所示,某小区花园的道路为一个长 480 米,宽 200 米的长方形;一个边长为 260 米的菱形和十 字交叉的两条道路组成.一天,王大爷 A 处进入花园,走遍花园的所有道路并从 A 处离开.如果
【巩固】如下图所示,两条河流的交汇处有两个岛,有七座桥连接这两个岛及河岸.问:一个散步者能否一 次不重复地走遍这七座桥?
【例 21】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示,图中的数字表示各条街道的千米数,他从邮局出发, 要走遍各街道,最后回到邮局.怎样走才能使所走的行程最短?全程多少千米?

小学奥数一笔画演示版.ppt

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5
下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
图1
图2
图3
连通的图形有可能一笔画
图4
图5 .精品课件.
6
你能用一笔画出下列图形吗?
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7
两条相交的线处都有一个交点。
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8
数一数下列图形各有几个交点?
(4 )个
( 2 )个
(9 )个
( 5 )个
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9
交点分为两种
(1)从这点出发的线的数目 是双数的,叫双数点(偶点)。 (2)从这点出发的线的数目 是单数的,叫单数点(奇点)。
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10
我们刚才画的图形都有几个交点? 几个双数点?几个单数点?
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11
一个图形能否一笔画成,关键在于图 中单数点的多少。 (1)凡是图形中没有单数点的一定可以 一笔画成。 (2)凡是图形中只有一个或者两个单数 点,一定可以一笔画成。画时必须从一个 单数点为起点,以另一单数点为终点。 (3)凡是图形中单数点的个数多于两个 时,此图肯定是不能一笔画成。
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18
根据今天学习知识,先判断下列图 形能不能一笔画成?再想一想该从 哪里开始画?最后再动手画画看。
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19
脑筋急转弯: 想一想
一笔能写出1000吗?
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20
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21
一笔画问题
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1
你能一笔画出来吗?
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2
不重复的路
——一笔画
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3
“一笔画”是指笔不 离开纸,而且每条线 都只画一次不准重复 而画成的数学游戏,那么什么 样的图形可以一笔画成 呢?试一试,画一画, 发挥你的想象力,发现 一笔画的规律。

一笔画奥数

一笔画奥数


笔画
【知识要点】 1.概念:一笔画是指笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2.分类:图中的点可分两大类:(1)双数点:从这点出发的线的数目是双数的,叫双数点。

(2)单数点:从这点出发的线的数目是单数的,叫单数点。

3.规律:一个图形能否一笔画成,关键在于图中单数点的多少。

(1)凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

(2)凡是图形中只有两个单数点,一定可以一笔画成,画时必须从一个单数点为起点,最后以另一单数点为终点。

(3)凡是图形中单数点的个数多于两个时,此图肯定是不能一笔画成。

【题目】
1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

2
3
45
6
789
10 11
12重复。

13.如图,是一个名画展厅的平面图,入口应设在哪里? 14B 15.能用一根铁丝弯成下面的图形吗? 16条街道,你能帮帮他吗?
17 18.你能用一笔画成4条线段把下图的919.下图能否一笔画成?如果能,应怎样画?A
20.如图,在一个六面体的顶点A和B处各有一只蜗牛,它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C
21
22
最后到达C
23
23
24
25
26
27
28
通道?。

小学奥数奇妙的一笔画

小学奥数奇妙的一笔画

所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.一笔画问题:(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点;(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点;(4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画.多笔画问题:我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n个奇点(n为自然数),那么这个图一定可以用n笔画成.【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点.下图中,哪些点是偶点?哪些点是奇点?【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画.N MLKFDECBA图bODCBAGFECBA【例 3】下面图形能不能一笔画成?若果能,应该怎样画?例题精讲奇妙的一笔画【例 4】下面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?【例 5】下图中不能一笔画成,请你在下图中添加最少的线段,将其改成一笔画的图形,并画出路线图.【例 6】下图中的线段表示小路,请你仔细观察,认真思考,能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁?该怎样爬?【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形?【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图,要使游客走遍每条路并且不重复,那么出、入口应设在哪里?【例 9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信,不走重复路,怎样走最合适?【例 10】观察下面的图,看各至少用几笔画成?【例 11】判断下列图形能否一笔画.若能,请给出一种画法;若不能,请加一条线或去一条线,将其改成可一笔画的图形.IFCA图aHGIK LJCADCHGFBA图c【例12】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市,在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区,这条河有两条支流在城市中心汇合,汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ,人们在这里建了一座公园,公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a ).如果游人要一次走过这七座桥,而且对每座桥只许走一次,问如何走才能成功?【巩固】如下图所示,两条河流的交汇处有两个岛,有七座桥连接这两个岛及河岸.问:一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥?【例 13】 右图是某展览厅的平面图,它由五个展室组成,任两展室之间都有门相通,整个展览厅还有一个进口和一个出口,问游人能否一次不重复地穿过所有的门,并且从入口进,从出口出?【巩固】右图是某展览馆的平面图,一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能,请说明理由.如果能,应从哪开始走?E CDB A【例 14】一条小虫沿长6分米,宽4分米,高5分米的长方体的棱爬行.如果它只能进不能退,并且同一条棱不能爬两次,那么它最多能爬多少分米?【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5,4,3厘米(见右图),有一只甲虫从A点出发,沿棱爬行,每条棱不允许重复,则甲虫回到A点时,最多能爬行多少厘米?【例 15】如图是某餐厅的平面图,共有五个小厅,相邻两厅之间有门相通,并且设有入口.请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门.如果可以,请指明穿行路线,如果不能,应关闭哪个门就可以办到?【例 16】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米.小明沿线段从A点到B点,不许走重复路,他最多能走多少米?【例 17】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示,图中的数字表示各条街道的千米数,他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局.怎样走才能使所走的行程最短?全程多少千米?。

小学奥数 奇妙的一笔画 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

小学奥数  奇妙的一笔画 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 一笔画问题:(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点; (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点; (4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画. 多笔画问题:我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n 个奇点(n 为自然数),那么这个图一定可以用n 笔画成.模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点.下图中,哪些点是偶点?哪些点是奇点?J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I 【答案】奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地,连接营地之间的道路如图所示,贝贝要给每个营地插上一面旗帜,要求相邻营地的旗帜色彩不同,则贝贝最少需要 种颜色的旗子,如果贝贝从某营地出发,不走重复路线就 (填“能”或“不能”)完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【关键词】华杯赛,六年级,初赛,第10题【解析】最少需要3种颜色的旗子。

因为中间的三点连成一个三角形,要使这三点所代表营地两粮相邻,要使相邻营地没有相同颜色的旗子,必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。

【小学奥数知识讲解】第一讲 一笔画问题

【小学奥数知识讲解】第一讲  一笔画问题

1第一讲 一笔画问题小朋友们,你们能把下面的图形一笔画出来吗?如果用笔在纸上连续不断又不重复,一笔画成某种图形,这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢?这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题例【1】 下面这些图形,哪个能一笔画?哪个不能一笔画?2(1) (2) (3) (4)分析 图(1)一笔画出,可以从图中任意一点开始画该图,画到同一点结束。

经过尝试后,可以发现图(2)不能一笔画出。

图(3)不是连通的,显然也不能一笔画出。

图(4)也可以一笔画出,且从任何一点出发都可以。

通过观察,我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。

由一点发出有偶数条线,那么这个点叫做偶点。

相应的,由一点出发有奇数条数,则这个点叫做奇点。

再看图(1)、(4),其中每一点都是偶点,都可以一笔画,且可以从任意一点画起。

而图(2)有4个奇点,2个偶点,不能一笔画成。

这样我们发现,一个图形能否一笔画和这个图形奇点,偶点的个数有某种联系,到底存在什么样的关系呢,我们再看一个例题。

3例【2】 下面各图能否一笔画成?(1) (2) (3)分析 图(1)从任意一点出都可以一笔画成,因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图(2),经过反复试验,也可找到画法:由AB CAD C 。

图中B 、D 为偶点,A 、C 为奇点,即图中有两个奇点,两个偶点。

要想一笔画,需从奇点出发,回到奇点。

经过尝试,图(3)无法一笔画成,而图中有4个奇点,5个偶点。

解 图(1)、(24这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。

如果图形只有偶点,可以以任意一点为起点,一笔画出。

如果只有两个奇点,也可以一笔画出,但必须从奇点出发,由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个,则图形不能一笔画出。

例【3】 下面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?分析 图(1)有两个奇点,两个偶点,可以一笔画,须由A5开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。

三年级奥数专题:一笔画

三年级奥数专题:一笔画

三年级奥数专题:一笔画(一)如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成,那么这个图形就叫一笔画.显然,在下面的图形中,(1)(2)不能一笔画成,故不是一笔画,(3)(4)可以一笔画成,是一笔画.同学们可能会问:为什么有的图形能一笔画成,有的图形却不能一笔画成呢?一笔画图形有哪些特点?关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题.哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市,布勒格尔河从城中穿过,河中有两个岛,18世纪时河上共有七座桥连接A,B两个岛以及河的两岸C,D(如下图).所谓七桥问题就是:一个散步者要一次走遍这七座桥,每座桥只走一次,怎样走才能成功?当时的许多人都热衷于解决七桥问题,但是都没成功.后来,这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣,许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题:是否根本就不存在这样一条路线呢?经过认真研究,欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题,并发现了一笔画原理.欧拉是怎样解决七桥问题的呢?因为岛的大小,桥的长短都与问题无关,所以欧拉把A,B两岛以及陆地C,D用点表示,桥用线表示,那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了.我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点.如下图中,A,B,C,E,F,G,I是偶点,D,H,J,O是奇点.欧拉的一笔画原理是:(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起);(2)没有奇点的连通图形是一笔画,画时可以以任一偶点为起点,最后仍回到这点;(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画,画时必须以一个奇点为起点,以另一个奇点为终点;(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画.利用一笔画原理,七桥问题很容易解决.因为图中A,B,C,D都是奇点,有四个奇点的图形不是一笔画,所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥.顺便补充两点:(1)一个图形的奇点数目一定是偶数.因为图形中的每条线都有两个端点,所以图形中所有端点的总数必然是偶数.如果一个图形中奇点的数目是奇数,那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数),与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数),于是得到所有端点的总数是奇数,这与前面的结论矛盾.所以一个图形的奇点数目一定是偶数.(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成.例如:下页左上图中的房子共有B,E,F,G,I,J六个奇点,所以不是一笔画.如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条,那么这两个奇点都变成了偶点,如果能去掉两条这样的连线,使图中的六个奇点变成两个,那么新图形就是一笔画了.将线段GF和BJ去掉,剩下I和E两个奇点(见右下图),这个图形是一笔画,再添上线段GF和BJ,共需三笔,即( 6 ÷2)笔画成.一个K(K>1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢?我们知道K笔画有2K个奇点,如果在任意两个奇点之间添加一条连线,那么这两个奇点同时变成了偶点.如左下图中的B,C两个奇点在右下图中都变成了偶点.所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个,从而变成一笔画.到现在为止,我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画,以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画.练习281.下列图形分别是几笔画?怎样画?2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形?3.从A点出发,走遍右上图中所有的线段,再回到A点,怎样走才能使重复走的路程最短?4.如下图所示,两条河流的交汇处有两个岛,有七座桥连接这两个岛及河岸.问:一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥?答案与提示练习281.(1)(3)是一笔画,(2)是两笔画.2.能,因为是一笔画.3.见右图,走法不唯一.4.能.例如下图的走法.第29讲一笔画(二)利用一笔画原理,我们可以解决许多有趣的实际问题.例1右图是某展览馆的平面图,一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能,请说明理由.如果能,应从哪开始走?分析与解:我们将每个展室看成一个点,室外看成点E,将每扇门看成一条线段,两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连,于是得到右图.能否不重复地穿过每扇门的问题,变为右图是否一笔画问题.右图中只有A,D两个奇点,是一笔画,所以答案是肯定的,应该从A或D展室开始走.例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题,就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样.例2一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示,图中的数字表示各条街道的千米数,他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局.怎样走才能使所走的行程最短?全程多少千米?分析与解:图中共有8个奇点,必须在8个奇点间添加4条线,才能消除所有奇点,成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画.在距离最近的两个奇点间添加一条连线,如左上图中虚线所示,共添加4条连线,这4条连线表示要重复走的路,显然,这样重复走的路程最短,全程30千米.走法参考右上图(走法不唯一).例3右图中每个小正方形的边长都是100米.小明沿线段从A点到B 点,不许走重复路,他最多能走多少米?分析与解:这道题大多数同学都采用试画的方法,实际上可以用一笔画原理求解.首先,图中有8个奇点,在8个奇点之间至少要去掉4条线段,才能使这8个奇点变成偶点;其次,从A点出发到B点,A,B两点必须是奇点,现在A,B都是偶点,必须在与A,B连接的线段中各去掉1条线段,使A,B成为奇点.所以至少要去掉6条线段,也就是最多能走1800米,走法如下页上图.或例2与例3的图中各有8个奇点,都是通过减少奇点个数,将多笔画变成一笔画的问题,但它们采用的方法却完全不同.因为例2中只要求走遍所有的线段,没有要求不能重复,所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路),将奇点变为偶点,使多笔画变成一笔画.而在例3中,要求不能走重复的路,所以不能添加线段,只能通过减少线段的方法,将奇点变为偶点,使多笔画变成一笔画.区别就在于能否重复走!能“重复”就“添线”,不能“重复”就“减线”. 例4在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图),它们比赛看谁能爬过所有的棱线,最终到达终点D.已知它们的爬速相同,哪只蚂蚁能获胜?分析与解:许多同学看不出这是一笔画问题,但利用一笔画的知识,能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱,没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同,如果一只不重复地爬遍所有的棱,而另一只必须重复爬某些棱,那么前一只蚂蚁爬的路程短,自然先到达D点,因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E,D两个奇点,所以从E到D可以一笔画出,而从B到D却不能,因此E点的蚂蚁获胜.练习291.邮递员要从邮局出发,走遍左下图(单位:千米)中所有街道,最后回到邮局,怎样走路程最短?全程多少千米?2.有一个邮局,负责21个村庄的投递工作,右上图中的点表示村庄,线段表示道路.邮递员从邮局出发,怎样才能不重复地经过每一个村庄,最后回到邮局?3.一只木箱的长、宽、高分别为5,4,3厘米(见右图),有一只甲虫从A点出发,沿棱爬行,每条棱不允许重复,则甲虫回到A点时,最多能爬行多少厘米?答案与提示练习291.50千米,走法见左下图.2.见右上图.3.最多爬行34厘米.提示:8个点都是奇点,故至少要少爬4条棱.少爬3厘米的棱和4厘米的棱各两条是最合理的(见右图).。

三年级奥数详解答案第十七讲一笔画问题

三年级奥数详解答案第十七讲一笔画问题

三年级奥数详解答案第⼗七讲⼀笔画问题第⼗七讲⼀笔画问题⼩朋友们,你们能把下⾯的图形⼀笔画出来吗?知识点:1.⼀笔画的概念:如果⽤笔在纸上连续不断⼜不重复,⼀笔画成某种图形,这种图形就叫⼀笔画。

那么是不是所有的图形都能⼀笔画成呢?这⼀讲我们就⼀起来学习⼀笔画的规律。

2.⼀笔画的规律3.奇点和偶点例【1】下⾯这些图形,哪个能⼀笔画?哪个不能⼀笔画?(1)(2)(3)(4)分析图(1)⼀笔画出,可以从图中任意⼀点开始画该图,画到同⼀点结束。

经过尝试后,可以发现图(2)不能⼀笔画出。

图(3)不是连通的,显然也不能⼀笔画出。

图(4)也可以⼀笔画出,且从任何⼀点出发都可以。

通过观察,我们可以发现⼀个⼏何图形中和⼀点相连通的线的条数不同。

由⼀点发出有偶数条线,那么这个点叫做偶点。

相应的,由⼀点出发有奇数条数,则这个点叫做奇点。

再看图(1)、(4),其中每⼀点都是偶点,都可以⼀笔画,且可以从任意⼀点画起。

⽽图(2)有4个奇点,2个偶点,不能⼀笔画成。

这样我们发现,⼀个图形能否⼀笔画和这个图形奇点,偶点的个数有某种联系,到底存在什么样的关系呢,我们再看⼀个例题。

例【2】下⾯各图能否⼀笔画成?(1)(2)(3)A EC D B CD A ABCD BF分析图(1)从任意⼀点出都可以⼀笔画成,因为它的每⼀个点都是与两条线相连的偶点。

关于图(2),经过反复试验,也可找到画法:由 A B C AD C 。

图中B 、D为偶点,A 、C为奇点,即图中有两个奇点,两个偶点。

要想⼀笔画,需从奇点出发,回到奇点。

经过尝试,图(3)⽆法⼀笔画成,⽽图中有4个奇点,5个偶点。

解图(1)、(2)可以⼀笔画。

这样我们可以发现能否⼀笔画和奇点、偶点的数⽬有着紧密的关系。

如果图形只有偶点,可以以任意⼀点为起点,⼀笔画出。

如果只有两个奇点,也可以⼀笔画出,但必须从奇点出发,由另⼀点结束。

如果图形的奇点个数超过两个,则图形不能⼀笔画出。

例【3】下⾯的图形,哪些能⼀笔画出?哪些不能⼀笔画出?分析图(1)有两个奇点,两个偶点,可以⼀笔画,须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。

一笔画问题例题加解析

一笔画问题例题加解析

一笔画问题例题加解析一、什么是一笔画问题。

一笔画问题呀,就像是一个超有趣的小谜题呢。

简单来说,就是在一个图形里,能不能一笔就把这个图形画出来,而且笔不能离开纸,也不能重复画已经画过的线。

这就像是在走迷宫,但是这个迷宫是用线条画出来的。

比如说,一个圆形,那肯定能一笔画出来,就顺着圆的边画一圈就好啦,简单得很。

二、一笔画问题的小规则。

这里面可是有小秘密的哦。

有个叫欧拉的超级聪明的人发现了一些规律。

对于一个连通图(就是这个图里的各个部分都是连着的,没有分开的小块),如果这个图里的奇点(就是从这个点出发的线的数量是奇数条的点)个数是0或者2的时候,这个图就能一笔画出来。

要是奇点个数是0呢,就可以从任何一个点开始画,最后还能回到这个点;要是奇点个数是2呢,就得从其中一个奇点开始画,然后到另一个奇点结束。

三、例题来啦。

1. 比如说这个三角形,我们来看看它能不能一笔画出来呢。

三角形的每个顶点,都有两条线连着,那就是说,它的奇点个数是0。

按照我们刚刚说的规则,它肯定能一笔画出来啦。

怎么画呢?就从三角形的一个顶点开始,顺着边画,绕一圈就画好啦,是不是很容易呢?2. 再看这个正方形加上一条对角线的图形。

这个图形的四个顶点本来都是有两条线连着的,但是加上对角线之后呢,对角线的两个端点就变成了奇点,这时候奇点个数是2。

那按照规则,我们从其中一个奇点开始,沿着边画,就能一笔画出来啦。

四、解析例题。

1. 对于三角形那个例子,因为每个顶点都是偶点(从这个点出发的线的数量是偶数条的点),所以我们在画的时候,就可以很顺畅地绕着图形走一圈,不会出现画不下去或者必须重复的情况。

这就像是在一个没有障碍的小路上散步,一路畅通无阻。

2. 在正方形加对角线的例子里,由于有两个奇点,这就像是两个特殊的出入口。

我们从一个奇点这个特殊的入口进去,然后沿着图形的边和线走,最后到达另一个奇点这个出口,就刚好把整个图形一笔画完了。

如果我们不按照这个规则,从别的点开始画,就会发现画到一半就会走不下去,或者必须要重复画某些线了。

一笔画(奥数)教学内容

一笔画(奥数)教学内容

一笔画(奥数)一笔画【知识要点】1.概念:一笔画是指笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2.分类:图中的点可分两大类:(1)双数点:从这点出发的线的数目是双数的,叫双数点。

(2)单数点:从这点出发的线的数目是单数的,叫单数点。

3.规律:一个图形能否一笔画成,关键在于图中单数点的多少。

(1)凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

(2)凡是图形中只有两个单数点,一定可以一笔画成,画时必须从一个单数点为起点,最后以另一单数点为终点。

(3)凡是图形中单数点的个数多于两个时,此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

2 下列图形中各有几个单数点?能一笔画成吗?3 判断下面图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?4下面图形能不能一笔画成?这什么?ADEA B CC A B A B C DE F ADCBB C A5 如图是一个大型花池中小路的平面图,你能否不重复地一次走完所有的小路?进出口应设在什么地方?6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7.将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8.下图中的线段代表小路,请小朋友想一想,能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁?该怎么爬?9.为迎接2008年奥运会在北京召开,你能一笔画出奥运会的五环图案吗?10.下图是一个公园的平面图,应怎样走才能使游客走通每条路而不重复,设计一条最佳路线。

11 一个公园的平面图如下,请你设计好入口、出口,并给出一条浏览路线,要求走遍每一条路且不重复。

12不重复。

A BHCG FE D13.如图,是一个名画展厅的平面图,要使参观者不重复地走遍每一条画廊,问:出口、入口应设在哪里?14.黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

黑色的鱼在A 点位置,白色的鱼在B 点位置。

哪条鱼能不重复地游遍所有的河道?15.能用一根铁丝弯成下面的图形吗?16.一个邮递员投递信件要走的街道如图,为节约时间,他想自己设计一条线路,可以不重复的走遍每一条街道,你能帮帮他吗?17.一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路,应从哪里出发,到哪里结束?18.你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗?19.下图能否一笔画成?如果能,应怎样画?20.如图,在一个六面体的顶点A 和B 处各有一只蜗牛,它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C点。

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第一讲一笔画问题
小朋友们,你们能把下面的图形一笔画出来吗?
如果用笔在纸上连续不断又不重复,一笔画成某种图形,这种图 形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢?这一讲我们 就一起来学习一笔画的规律。

分析 图(1) 一笔画出,可以从图中任意一点开始画该图,画 到同一点结束。

经过尝试后,可以发现图(2)不能一笔画出。

图(3)不是连通的,显然也不能一笔画出。

图(4)也可以一笔 画出,且从任何一点出发都可以。

例【1】 F 面这些图形,哪个能一笔画?哪个不能一笔画
?
(1
) (2) (3) (4)
通过观察,我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条
数不同。

由一点发出有偶数条线,那么这个点叫做偶点。

相应的,由一点出发有奇数条数,则这个点叫做奇点。

再看图(1)、(4),其中每一点都是偶点,都可以一笔画,且可以从任意一点画起。

而图(2)有4个奇点,2个偶点,不能一笔画成。

这样我们发现,一个图形能否一笔画和这个图形奇点,偶点的个数有某种联系,到底存在什么样的关系呢,我们再看一个例题。

例【2】下面各图能否一笔画成?
(1)(2)
(3)
分析图(1 )从任意一点出都可以一笔画成,因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图(2),经过反复试验,也可找到画法:由A —B —*C —A k D — C。

图中B、D为偶点,A、C为奇点,即图中有两个奇点,两个偶点。

要想一笔画,需从奇点出发,回到奇点。

经过尝试,图(3)无法一笔画成,而图中有4个奇点,5个偶点。

解图(1 )、(2)可以一笔画。

(1)
例【4】 下图中,图(1) 至少要画几笔才能画成?
D
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关 系。

如果图形只有偶点,可以以任意一点为起点,一笔画出。

如果只
有两个奇点,也可以一笔画出,但必须从奇点出发,由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个,则图形不能一笔画出。

分析 图(1)有两个奇点,两个偶点,可以一笔画,须由
A
开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。

图(2)有10个奇点,大于2,不能一笔画成。

图(3)有4个奇点,1个偶点,因此也不能一笔画成。

解图(1)的画法见下图
例【3】 F 面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出
?
C
分析图(1 )有4个奇点,所以不能一笔画出。

如果把它分成几个部分,而每个部分是一笔画图形,则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。

按照这样的要求,每个部分最多含有两个奇点,可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法,该奇点就变成偶点。

经观察,图(1)可以切分成图(A)、(B)两个图形。

这两部分都可以一笔画出,所以图(1)至少用两笔画出。

解将图(1)分成图(A )、(B),则图(A)可由A-B-O-D-A-C-D
一笔画成,图(B)由B-C 一笔画成,所以图(1)至少要两笔画完。

D D
B C
(B)
小结能否一笔画成,关键在于判别奇点、偶点的
个数。

一、只有偶点,可以一笔画,并且可以以任意一点作为起点。

二、只有两个奇点,可以一笔画,但必须以这两个奇点分别作为起点和终
点。

三、奇点超过两个,则不能一笔画。

对于一些比较复杂的路线问题,
可以先转化为简单的几何图形,然后根据判定是否能一笔画的
方法进行解答。

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