2-1热传导方程及其定解问题的导出

§1 热传导方程及其定解问 题的导出
1. 热传导方程的导出 2. 定解问题的提法 3. 扩散方程
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场论知识：
, , x y z
哈密顿(Hamilton)算子
若 u u( x, y, z)是标量函数,
则 u gradu u , u , u 梯度 x y z
Hamilton算子与一般微分算子具有相同的运算法则， 例如：
Q1 c[u( x, y, z,t2 ) u( x, y, z,t1 )]dxdydz
c
t2 t1
u(
x, y t
,
z
,
t
)
dt
dxdydz
t2 t1
c
u(
x, y, t
z,
t
)dxdydzdt
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②由 Fourier 热传导定律 ：热流向量 q与温度的梯度
成正比，即 q ku k(u , u , u) x y z
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习题(P48)
1．一均匀细杆直径为 l，假设它在同一截面上的温度 是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从 规律
dQ k1(u u1 )dSdt 又假设杆的密度为 ，比热为c ，热传导系数为k ，式 导出此时温度 u满足的方程。
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解：任取细杆中的一段( x1 , x2 )，从时刻t1 到时刻t 2 热
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Ⅲ、第三类边界条件：已知通过边界 与周围介质有
热交换
或：
k
u n
a0 ( g0
u)
u u g( x, y, z,t)
n
这里 g0表示周围介质温度，a0表示热交换系数，
a0 0。 k
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定解问题： 设G是R3中的有界区域，由方程（1）或（2）以及 初始条件和某一类边界条件组成的定解问题称为 混合（初边值）问题。 若G≡R3, 则由方程（1）或（2）及初始条件组成 的定解问题称为初值问题或Cauchy问题。
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注：考虑热传导问题中，当物体是均匀细杆时，假如 其侧面 是绝热 的，且温度 分布 在同一 截面 相同 ，则 u u( x,t)，得一维热传导方程：
ut a 2uxx
当物体是均匀薄片时，假如其侧面是绝热的，则 u u( x, y,t)，得二维热传导方程：
ut a 2 (uxx uyy )
负号表明热量是由高温向低温流动，
q
n
k 是导热系数，这里为常数。
设 n为 的单位外法向量，则
Q2
t2 dt q nds
t1
t2 dt ku nds
t1
t2 t1
dt
k
nuds
t2 dt kudxdydz t2 dt kudxdydz
t1
t1
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③ 设物体内部热源密度为 F ( x, y, z,t)，则
(uv) uv vu
(
AB)ຫໍສະໝຸດ ABBA2
2 2 2 x2 y2 z 2 拉普拉斯(Laplace)算子
若
A
u
gradu
u
,
u
,
u
x y z
则
A
(u)
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
高斯公式：
A
dS
( A
n)dS
AdV
如果 A u 由高斯公式：
u
dS
nudS
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在G 内任取一小块区域 ，其边界为闭曲面 。
热量 － 热量 ＝ 通过边界的流入量 ＋ 热源的生成量
t=t2
t=t1
t1≤ t ≤t2
t1≤ t ≤t2
Q1
Q2
Q3
数学推导：
①在时间间隔[t1 , t2 ]内，物体的温度由u( x, y, z, t1 )变 到u( x, y, z, t2 )所需要的热量为Q1：
c
c
u a 2u f t
或写为： ut a 2 (uxx uyy uzz ) f
(1)
若物体内部无热源，则 f 0 ，得齐次热传导方程
u a 2u t
或写为： ut a 2 (uxx uyy uzz )
(2)
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2.定解问题的提法
初始条件：已知初始温度分布 t 0 : u ( x, y, z), ( x, y, z) G
udV
udV
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1.热传导方程的导出
物理模型：在三维空间中，考虑一均匀、各向同 性的物体 G （其边界为分片光滑曲面 ），假定其内 部有热源，并且与周围介质有热交换。研究物体内部 温度的分布和变化。
物理定律：物体内部由于各部分温度不同，产生热 量的传递。热传导过程中遵循 能量守恒定律，即，物 体内部热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与 由物体内部的热源所产生的热量的总和：
Q1 c( x, y, z)( x, y, z)[u( x, y, z, t2 )
u( x, y, z, t1 )]dxdydz
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其中c( x, y, z)，( x, y, z)分别为点( x, y, z)处的比热与质 量体密度。由于考虑的是均匀、各向同性的物体，因此 c( x, y, z) c(常数)，( x, y, z) (常数)。
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3.扩散方程
物理模型：考虑分子在介质中的扩散。
若 u( x, y, z,t)表示分子的浓度， c取为 1，导热系数 k( x, y, z)换为扩散系数 D( x, y, z)，介质 内部由于各部 分分子浓度 不同，产生 分子的扩散 。扩散过程中遵循 质量守恒定律及扩散定律，当扩散系数为常数 D 时， 可导出u( x, y, z,t)满足方程（2），其中a 2 D。若分子 在扩散的同时还与介质发生反应，则可导出u( x, y, z,t) 满足方程（1），其中f 表示反应项。所以方程（1）或 （2）又称为反应扩散方程
边界条件：
Ⅰ、第一类边界条件（Dirichlet 边界条件）：已知上的 温度分布
u g(x, y, z,t) 这里 [0,)，若 g 为常数指边界上保持恒温。
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Ⅱ、第二类边界条件（Neumann 边界条件）：已知单 位时间内通过边界 的热流量
u n g( x, y, z, t ) 这里n为的外法向量， g 0表示流入， g 0表示流 出， g 0表示绝热。
Q3
t2 dt
t1
F ( x, y, z,t)dxdydz
由能量守恒律，得：
t2 dt c u dxdydz t2 dt ku F( x, y, z, t)dxdydz
t1
t
t1
由[t1 , t2 ]及的任意性知： c u ku F ( x, y, z,t ) t
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记a 2 k ， f F ，得三维热传导方程