固体物理 讲习题参考答案

解：（1）由平衡条件

∂U ∂r
r0
=
mα r m+1
−
nβ r n+1
=
0 ，得
1
平衡间距
r0
=

nβ mα
n−m
（2）将 U(r)理解为晶体中所有其他原子对某一个原子的相互作用
则系统总的内能为对所有原子求和
U
total
2
r0 ∝ q1−n
，
U0
∝
q2 r0
当 q → 2q ，
r0′
=
4−
1 n−1
r0
因为晶格常数 a ∝ r0 ，故晶格常数满足相同的变化规律
n
结合能 W ′ = −U0′ = 4n−1W0
2.3．若一晶体的相互作用能可以表示为
U (r) = − α + β rm rn
试求（1）平衡间距 r0 （2）结合能 W（单个原子的） （3）体弹性模量 （4）若 m=2,n=10,r0=3A,W=4eV，求α,β值。
1.11
证明六角晶体的介电常数张量为

0
ε2
0

0 0 ε2
证
1：六角晶体，设介电常数为

ε ε
xx yx
ε xy ε yy
ε ε
xz yz

，取坐标架如图示
ε zx ε zy ε zz
选电场方向在 x 轴方向，有
Dx ε xx

Dy
0
− sin 60

，可得
ε yy
= ε zz
cos 60
第六讲
2.2．讨论使离子电荷加倍所引起的对 NaCl 晶格常数及结合能得影响。（排斥势看作不变） 解：NaCl 为离子晶体，系统内能可写为
U
=
N (−
A′t 2 r
+
B rn
)
平衡位置由

∂U ∂r
r0
=0
确定，有
（H K L） (001)
G=H2+K2+L2
1
（2）体心立方
(011) 2
(111) 3
(002) 4
(012) 5
(112) 6
(222) 8
(003) (122)
9
(013) 10
(113) 11
几何结构因子 FHKL = f [1 + e−iπ (H +K +L) ]
衍射条件 H+K+L=偶数，由于此限制，在简单立方的列表中去除了 G=1,3,5,9
∴ GBCC = 2, 4, 6,8
（3）面心立方
几何结构因子 FHKL = f [1 + e−iπ (H +K ) + e−iπ (H +L) + e ] −iπ (K +L)
根据上一道题的讨论，衍射条件要求 H,K,L 奇偶性相同
故列表中只取 GFCC = 3, 4,8,11
（4）金刚石
几何结构因子
(k
−
1 2
Kh)⋅
Kh
=
0
即边界方程为
2k
⋅ Kh
−
1 2
Kh
2
=0
3.4．画图作出二维正方格子和二维简单六方晶格的前三个布里渊区。 解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六角格子。 首先根据正格子原胞基矢计算倒格子原胞基矢（略），根据倒格子原胞基矢画出倒格子点阵， 然后画出前三个布里渊区。
表示的晶面，如(111)，在原系统中为 (H K L) = (2 H ′ 2K ′ 2L′) ，即(222)。尽管对简 单立方而言，不存在消光， H ′ K ′ L′ 可任取正整数值，但 H , K , L 却只能取偶数，这
于前面的结果一致。
4.3．证明对立方晶系进行X 射线粉末衍射照相时，如果衍射面指数为 (H K L)， 出现的衍 射线G=H2+K2+L2 的值如下：
第三讲
3.1．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。 证：体心立方基矢取为
a1 a2 a3
= = =
a 2 a 2 a 2
(i + j (−i + (i − j
− k) j +k + k)
)
其中 a 为晶格常数 其倒格子基矢，按定义
b1 =
2π Ω
(a2 × a3 ) =
⇒ ε yx = ε zx = 0
同理，选电场方向在 y 轴、z 轴，绕轴转 180 度为晶体的对称操作，可推出非对角项 为0
ε xy = ε zy = ε xz = ε yz = 0
另，可选电场在图示方向，
E
=
1 2
Eeˆy
+
3 2
Eeˆz
z E
60o y


ε xx
代入

0
0
0
ε yy 0
K： (0,0,0)
(
1 2
,
1 2
,0)
(
1 2
,0,
12 )
( 0,
1 2
,
1 2
)
Cl：
(
1 2
,0,0)
＋[K]coord.
8
∑ 几何结构因子 FHKL =
f e−iKh ⋅rj j
=
f (1 + e−iπ H )[1 + e−iπ (H +K ) + e−iπ (H +L) + e ] −iπ (K +L)
简单立方： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, … 体心立方： 2, 4, 6, 8, 10, 12, … 面心立方： 3, 4, 8, 11, 12, … 金刚石： 3, 8, 11, … 解：（1）简单立方
不存在消光， H , K , L 可任取非负整数（但不同时为 0）
=
4π Kh (π a03 )
∞
r exp(−2r / a0 ) sin Khrdr
0
∫ =
4 K h a03
∞ 0
r
exp(−2r
/
a0 )
1 2i
[exp(iKhr) −
exp(−iKhr)]dr
∫ ∫ =
2 iK h a03
∞
[
0
r
exp(iKhr
−
2r
/
a0
)dr
−
∞ 0
r
exp(−iKhr
正方格子的布里渊区
六角格子的布里渊区
3.5 写出体心立方第一布里渊区图上点Γ,H, N, P, ∆,Σ,Λ,F 的倒格子空间坐标。
布里渊区中心用Γ表示，Δ表示<100>轴，Λ表示<111>轴，Σ表示<110>轴。
Γ(0 0 0)
H
(0
1 2
0)
N
(
1 4
1 4
0)
P
(
1 4
1 4
1 4
)
F
(
1 8
3 8
FHKL
=
f
[1
+
−
e
i
π 2
(
H
+
K
+
L)
]
⋅
[面心立方因子]
即除 H,K,L 奇偶性相同外，还须要求(H+K+L)/2 不能为奇数，由此
i）H,K,L 全为奇数
或 ii）H,K,L 全为偶数，且三者之和是 4 的整数倍
4.4 原子氢的形状因子。对于基态的氢原子，（电子）数目密度是
n(r) = (π a03)−1 exp(−2r / a0 )
3 2 Dz 1 2 Dz

=


−
1 4
ε
yy
+
3 4
ε
zz

E

3 4
ε
yy
+
3 4
ε
zz

该操作也为六角晶体的对称操作，根据 D′ = D ，必有 ε yy = ε zz
因此，介电常数张量可写为
ε1 0 0

0
ε2
0

0 0 ε2
证：设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用 l1 a1 + l2 a2 来描述
绕通过 A 的转轴的任意对称操作，转过角度θ B 点转到 B’点（B’点必有一个格点） A 和 B 两点等价 以通过 B 点的轴顺时针转过θ A 点转到 A’点（A’点必有一个格点）
且有 B ' A ' = n AB （n 为整数）
3.2．证明：倒格子原胞的体积为(2π)3/ Ω ，其中Ω为正格子原胞的体积
证：正格子原胞体积 Ω = a1 ⋅ (a2 × a3 )
倒格子原胞体积
Ω*
=
b1
⋅ (b2
× b3 )
=
b1
⋅[b2
×
2π Ω
(a1
× a2 )]
利用矢量公式 A × (B × C) = ( A ⋅ C) ⋅ B − ( A ⋅ B) ⋅ C
此处a0是玻尔半径。
证明形状因子是
fKh
=
16
/(4
+
K
a2 2
h0
)2
∫ 提示：利用积分公式
∞ 0
xne−α
x dx
=
n! α n+1
∫ 证明：
fKh
∞
= 4π n(r)r2
0
sin Khrdr Khr
（1）
由题意知 n(r) = (π a03)−1 exp(−2r / a0 )
代入（1）式，得
∫ f Kh
0
0

，有
ε zz
0
Dx

Dy

=

Dz



1 2
ε
yy

E

3 2
ε
zz

绕电场方向为轴转 180 度，电场不变




0

0


Dx′ Dy′ Dz′

=

−
1 2 Dy + 3 2 Dy +
证 2：设转动操作的变换矩阵为 T，在该操作下二阶张量的变换为 ε ' = TεT −1 若该操作为对称操作，应满足 ε = ε ′
1 0 0
取对称操作为绕
x
轴转
180
度， T
=

0
−1
0

代入上式，有
0 0 −1
(ε )
=

ε xx 0
0 ε yy
0
ε
yz

2π
1 2
a3
⋅
a2 4
i −1 1
j 1 −1
k
1 1
=
2π a
(i
+
j)
=
b 2
(i
+
j)
b2
=
2π Ω
(a3
× a1 )
=
b 2
(
j
+
k)
b3
=
2π Ω
(a1
× a2 ) =
b 2
(i
+
k)
可见，体心立方的倒格子是晶格常数为 b = 4π 的面心立方。 a
同理可证，面心立方的倒格子是晶格常数为 4π 的体心立方。 a
1 8
)
∆
(0
1 4
0)
Σ
(
1 8
1 8
0)
Λ
(
1 8
1 8
1 8
)
第四讲
4.1．倒格子矢量为 Kh = h1b1 + h2 b2 + h3 b3，证明布里渊区边界方程为：
2k
⋅ Kh
−
1 2
Kh
2
=0
证明此方程就是波在晶体中(h1h2h3) 晶面族上发生全反射的布喇格方程。
证：布里渊区边界垂直且平分倒格矢 K h ，故该边界面上任一矢量满足
−
2r
/
a0
)dr]
∫ 利用积分公式
∞ 0
xne−α
x dx
=
n! α n+1
得
fKh
=
2 iK h a03
[(
2 a0
− iKh )−2
−( 2 a0
+ iKh )−2 ]
=
(4
+
16
K
2 h
a02
)2
第五讲
5.1 由于晶体周期性的限制，证明晶体旋转对称轴的转角只能是 2π/n ;n=1, 2,3, 4,6 ，五种。
并利用性质 ai ⋅ a j = 2πδ ij ，可得
Ω*
= b1
⋅ a1
⋅
2π Ω
⋅ 2π
=
8π 3 Ω
3.3．倒格子矢量为 Kh = h1b1 + h2 b2 + h3 b3，证明布里渊区边界方程为：
2k
⋅ Kh
−
1 2
Kh
2
=0
证：布里渊区边界垂直且平分倒格矢 K h ，故该边界面上任一矢量满足
0 ε zy ε zz
−1 0 0
再取对称操作为绕
y
轴转
180
度， T
=

0 0
1 0
−01 代入上式，有
(ε )
=

ε xx 0
0 ε yy
0
0

0 0 ε zz
1
最后，取绕
z
轴转
120
度， T
=

0 0
0 cos 60 sin 60
2d sinθ = nλ 即 Bragg 公式。
4.2．讨论KCl晶体的几何结构因子及消光条件。提示,K+ 和Cl- 有相同的电子壳层结构和相 同的原子形状因子。
解：K＋，Cl－电子壳层结构相同，具有相同的原子形状因子， fK+ = fCl− = f
单胞中 4 个 K＋，4 个 Cl－，各自排为面心结构，设其坐标分别为
(k
−
1 2
Kh)⋅
Kh
=
0即边界方程为来自2k⋅ Kh−
1 2
Kh
2
=0
取 K h 方向最短的倒格矢为 K 0 ， K h = nK 0
将面间距公式 d = 2π 代入边界方程，有 K0
2 ⋅ 2π cosϕ − 2π ⋅ n = 0
λ
d
其中， ϕ
为
k
与
K h 的夹角。取其余角，θ
=
π 2
−ϕ
，上式化为
B ' A' = AB(1− 2 cosθ ) 1− 2 cosθ = n cosθ : −1 ∼ +1 n = −1, 0,1, 2,3
θ = 0o , 60o , 90o ,120o ,180o