初2103 根式的恒等变形

第2103讲根式的恒等变形一、知识和方法要点●表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。

对于根式中的字母的一组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。

根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为与其恒等的根式。

●二次根式具有以下基本性质1）2a=（0a≥）；20 ||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩；3）(b c+0a≥）；4a≥，0b≥）；5=（0a≥，0b≥）；6）n=（0a≥）。

●根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。

通常要对题目中的条件根式和欲变形根式综合考虑，寻求一个简单而清晰运算线路进行变形。

常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，换元法等。

●化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式：1）被开方数（式）的幂指数与根指数互质；2）被开方数（式）的每一个因式的幂指数都小于根指数；3）被开方数（式）不含有分母。

二、典型题例选讲例1。

（复合根式化简；配方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。

可通过配方法进行化简。

应首先变形为适合配方的形式，然后进行配方。

【解答】化简如下=。

【评注】配方法是复合二次根式化简的最常用的方法。

例2+。

（复合根式化简；平方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。

，可通过平方法进行化简。

应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。

【解答】因为==2=。

两式相加得2。

所以，2=原式。

【评注】 为了书写简洁，平方运算在根号下进行。

例3 +。

（复合根式化简；方程法）【分析】 如果设x =+，两边平方可得关于x 的方程220x x --=，解这个方程就可能求出x 的值。

【解答】 设x =+，两边平方，得 22x =+，于是 22x x =+， 即x 满足方程 220x x --=，解方程得 21()x x ==-或舍去。

2+=。

【评注】 +是否收敛，即它是否表示一个实数的问题。

例4 设y 是偶数，最简根式3x y 是同次根式，求y 的值。

（根式概念；分类讨论）【分析】 首先利用偶次根式对根底数大于等于零（本题只能大于零）的要求，解得y 的范围，然后讨论求得满足要求的y 的值。

【解答】 由同次根式的意义，得36x y y +=+，知2x =，于是给定根式为y y ，它们为偶次根式，于是4060y y ->+>，，推得4202y =--，，，或。

1）当4y =-2）当2y =-3）当0y =不是最简根式；4）当2y =所以，所求的2y =。

【评注】 本题考察同次根式、最简根式等基本概念。

例5 已知10x -<<（根式化简；配方法）【分析】 这是一个字母根式的化简问题。

观察知，两个根底数都是完全平方式，而一个数平方再开根号等于这个数绝对值，然后根据已知给出的x 的范围打开绝对值解决问题。

【解答】 化简如下11112||||()()x x x x x x x x x=--+=-++=原式。

【评注】 永远要记住平方再开根号等于绝对值。

例6 设a ，x ，y 22223x xy y x xy y +--+的值。

（根式求值；隐含条件）【分析】 考虑到偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件，容易从条件式解出x ，y 的值，就可以代入欲求值代数式进行简单求值。

【解答】 因为 ()00a x a x a -≥-≥，知0a ≥， ()00a y a a y -≥-≥，知0a ≤， 由此得 0a =。

于是 x y ==-。

所以，222222223133y y y y y y y y --===++原式。

【评注】 从偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件得到解题所需的中间结果。

例7 设55x -<<，且0x ≠。

（根式化简；分式性质）【分析】 观察欲化简根式的特点，注意到5555x xx x+--+与都是正数，且互为倒数，采用将此根式的分子、分母即可一次性去掉根号解决问题。

【解答】 化简如下515515(5)(5)105(5)(5)2x x x x x x x x x x++-=+--++-===+--原式。

【评注】 采用分母有理化解题将比较烦琐。

例8 已知0ab <，且2222a b a b +=，化简：。

（根式化简；分式性质）【分析】 观察所给条件式与欲化简式的特点，利用条件式首先可将欲化简式的根底数化简，这时问题就简单化了。

解：由2222a b a b +=得22111a b +=，即2222111111a b b a-=-=，，所以22222222||||||||00a b b a a a b b aba b a b ab b a ab aba b a b ab a b abab ==--=-⎧+==-<<⎪⎪--=⎨---⎪==<<⎪--⎩原式当当。

【评注】 要对对a ，b 进行讨论。

例9 设a ，b ，c ，x ，y ，z 是非零实数，且222222a b c x y z ax by cz ++=++=++（根式求值；配方法）【分析】 观察所给条件式的特点，可以通过配方法，得到000a x b y c z -=-=-=，，，即a x b y c z ===，，，由此简单求值。

【解答】 由222222a b c x y z ax by cz ++=++=++，得222222(2)(2)(2)0a ax x b by z c cz z -++-++-+=，配方得 222()()()0a x b y c z -+-+-=， 于是 000a x b y c z -=-=-=，，， 即 a x b y c z ===，，。

【评注】 巧妙利用条件式进行配方，妙！例10 设00x y >>，=的值。

（根式求值；因式分解）【分析】解决问题。

【解答】 由条件式得220-=， 分解因式得0=，0+>，故0=， 即=。

2552915053582y y y y y y y y +-===++。

例11（根式化简；配方法）【分析】 观察欲化简的根式，421a a ++用配方法进行化简。

【解答】 因为4242222221(21)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a ++=++-=+-=++-+， 所以原式===【评注】 由于211a a a a ++-+，的判别式都小于零，有21010a a a a ++>-+>，。

例12 设11x -<<，且0x ≠，化简：1||)x +⋅。

（根式化简；提高题）【分析】恒等变形达到化简的目的。

【解答】 化简如下11010||x x x x =+=+====-≤<=-=-<≤原式当当1⎧⎨⎩。

【评注】 一边化简一边观察，寻找下一步的最佳运算方向。

例13 已知3331112341x y z x y z==++=，（根式求值；提高题）【分析】 由第一个条件式，连比设k==x ，y ，z 表示为k 的表达式，代入第二个条件式即可解决问题。

【解答】 令333234x y z k ===，则又x y z ==代入1111x y z++=得1=，解之得=。

【评注】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。

例14已知)2006x y =，求22346681x xy y x y ----+的值。

（根式求值；提高题）【分析】 两边同乘以共轭根式，将已知式化简，从中可解出0x y +=，再将欲求值式因式分解，采用整体代入法解决问题。

【解答】x ，得y x =，y ，得x y ，两式相加得 0x y +=。

所以，()(46)8181x y x y =+--+=原式。

【评注】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。

三、同步练习题1. 已知0a <，那么化简|a 的结果是（ ）。

A. 0B. 2aC. -2aD. 不能确定2. 已知a ，b ，x ，y 都是实数，且满足等式222|1|4|33y a x y b +=--=--，，那么a b x y +++= 。

（2005年上海市初中数学竞赛试题）3. 当32x =+的值。

4.。

5. 设00a b a b >>≠，，。

6. 设00m n >>，=的值。

（根式求值）7. 设000x y z >>>，，，且333200420052006x y z ==求111x y z++的值。

（根式求值）。