必修二对数函数对勾函数教案及训练题
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专题：对数
教学目标
理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.
知识梳理
1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数
2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常
使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N
3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.
4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a =
典例精讲
【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）712128
-=
； （2）327a =； （3）1100.1-=；
（4）12
log 325=-； （5）lg 0.0013=-； （6）ln100=4.606.
解：（1）2
1log 7128
=-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-；
（4）51
()322
-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =.
【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln e .
解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg 0.0013=-. （2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =
. 所以，43log 82=. （3）设ln e x =，则x
e e =
，即1
2x
e e =，解得12
x =
. 所以，1ln 2
e =
.
【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M M N N
-=.
证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =. 所以log n a a n =.
（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =. 因为
p p q
q
M a a
N a
-==，则log log log a
a a M p q M N N
=-=-.
所以，log log log a a a
M M N N
-=.
点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.
【例4】试推导出换底公式：log log log c a c b b a
=
（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.
证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =，
则m c b =，n c a =，p
a b =.
从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n
=.
所以，log log log c a c b b a
=
.
点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.
巩固练习
1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 0
1ln10e ==与 B. 1()3
8
1118
log 2
2
3
-=
=-
与
C. 1
23log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.
A. 10
B. 0.01
C. 100
D. 1000 4．设13log 82
x
=，则底数x 的值等于（ ）.
A. 2
B. 12
C. 4
D.
14
5．已知432log [log (log )]0x =，那么12
x -等于（ ）.
A.
13
B.
123
C.
1
22
D.
133
6．若21log 3
x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .
7．计算：3
log 81= ； 6lg 0.1= .
※能力提高
8．求下列各式的值：（1）22
log
8； （2）9
log 3.
9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.