偏微分方程基本理论(王明新编著)思维导图
(整理)偏微分方程word电子讲义.
偏微分方程偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。
就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。
从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。
十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。
在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。
到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。
随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。
我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。
众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。
偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。
通常考虑以下问题1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。
在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。
2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。
3．解的正则性或光滑性。
是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。
通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。
5．定解区域与影响区域。
常微分方程(思维导图)
常微分方程一阶微分方程可分离变量形式=dxdy f(x)g(y)=∫g(y)dy f(x)dx∫齐次方程=dxdy f()xy令，，则=xy U=dxdy u+x=dxdu f(u)⇒=dxdu[f(w)−x1u]一阶非齐次线性y+′p(x)y=q(x)积分因子法：y=e q(x)e dx+C−p(x)dx∫[∫p(x)dx∫]伯努利方程y+′p(x)y=q(x)y nS1除：S2换:令，则S3带回:y⋅′+y n1p(x)y=1−n q(x)y=1−n z=dxdx=dydzdxdy(−n)yy n1′+1−n1dxdz P(x)z=2(x)⇒+dxdz(1−n)P(x)z=q(x)判断一阶方程类型➡可分离➡齐次方程➡是否头重脚轻=dxdy∗∗∗Y：一阶非齐次方程/伯努利方程N：倒过来再次判断二阶微分方程二阶可降阶微分方程不含x不含y二阶常系数齐次线性微分方程求特征值，带入方程二阶常数非齐次线性方程①求齐次通解② 设非齐次特解，并带入其中③通解=C1齐+C2齐+非奇特非齐次特解的设法形式1形式2三阶齐次微分方程类比二阶算线性方程解的关系非奇特是刻进DNA中的不变化叠加原理认识它解决它。
《偏微分方程》课件
非线性偏微 分方程：方 程中含有偏 导数，且偏 导数项的系 数不是常数
椭圆型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数
抛物型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 不是常数
双曲型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数，但 方程的解不 是实数
边界条件：确定求解区域和边界条件，如Dirichlet边界条件、 Neumann边界条件等
初值条件：确定求解区域的初值条件，如Cauchy问题、初边值问题等
稳定性和收敛性：分析求解方法的稳定性和收敛性，确保解的准确性和 可靠性
应用实例：通过具体实例，展示求解方法的应用和效果
课件结构
课件目录
偏微分方程的应用
物理领域：描述 流体力学、热力 学、电磁学等现 象
工程领域：解决 结构力学、材料 力学、电子工程 等问题
生物领域：模拟 生物系统的生长、 扩散、反应等过 程
经济领域：用于 金融、经济模型、 风险管理等方面
偏微分方程的求解方法
分析法：通过分析方程的性质，寻找解的性质和形式
数值法：通过数值计算，求解偏微分方程的数值解
偏微分方程的求解方法：展示偏微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等
公式素材
偏微分方程的 定义和性质
偏微分方程的 应用实例
偏微分方程的 求解方法
偏微分方程的 扩展和研究进
展
动画素材
动画类型：2D动画、3D动画、Flash动画等 动画内容：偏微分方程的求解过程、应用实例等 动画风格：简洁明了、生动有趣、易于理解 动画时长：根据课件内容需要，控制在5-10分钟以内
偏微分方程PPT课件
(高等数学)偏微分方程
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
偏微分方程简介
偏微分方程简介偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中许多现象的一个重要数学工具。
它涉及到物理、工程、经济、生物等领域的许多问题的建模与求解。
本文将对偏微分方程进行简要介绍。
一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是函数的偏导数与自变量之间的关系所构成的方程。
它可以分为几个主要的分类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶偏导数的方程，如线性一阶偏微分方程和非线性一阶偏微分方程。
2. 二阶偏微分方程：包含二阶偏导数的方程，如椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程。
3. 高阶偏微分方程：包含更高阶偏导数的方程，如三阶、四阶甚至更高阶的偏微分方程。
二、偏微分方程的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用，下面以几个典型的应用为例进行介绍：1. 热传导方程：描述热传导现象，在工程领域中常用于热传导问题的建模与求解。
2. 波动方程：描述波动现象，如声波、光波等，广泛应用于声学、光学等领域。
3. 扩散方程：描述物质扩散现象，常用于描述化学反应、生物学扩散等问题。
4. 电磁场方程：描述电磁场分布，在电磁学领域中被广泛应用于电磁波传播、电磁感应等问题的研究。
三、偏微分方程的解法对于偏微分方程，求解其解析解往往是非常困难的。
因此，通常采用数值解法对其进行求解。
常见的数值方法包括：1. 有限差分法：将偏微分方程中的导数用差分代替，转化为代数方程组进行求解。
2. 有限元法：将区域分割成有限个小单元，通过对各个单元进行逼近，得到整个区域上的解。
3. 特征线法：通过沿特征线追踪，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
四、总结偏微分方程作为一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域中的问题建模与求解。
通过对偏微分方程的分类和应用进行了简要介绍，并介绍了常见的数值解法。
当然，这仅仅是对偏微分方程的简单概述，实际上，偏微分方程是一个复杂而庞大的研究领域，需要在数学、物理、计算机等多个学科的知识基础上深入研究，才能更好地理解和应用。
偏微分方程 PDE-Ch1
(*)
在适当情况下, 方程中描述空间坐标的自变量数目可以减少. 例如当物体是各向同性的均匀细杆时, 如果它的侧面不产生热交 换(即绝热), 且在同一截面上温度的分布是相同的, 则温度函数u 仅与坐标x及时间t有关, 这时得到的就是一维热传导方程
ut a2uxx 0
21
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9
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《偏微分方程》第一章 绪论 第10页
1.1.4. 线性偏微分方程 如果方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的, 则称 它为线性偏微分方程。 例子：
一阶线性偏微分方程 二阶线性偏微分方程
在线性偏微分方程中, 不含有u及它的偏导数的项称为自由项; 当自由项为零时, 称方程为线性齐次方程。 当自由项不为零时, 称方程为线性非齐次方程。
《偏微分方程》第一章 绪论 第19页
类似地可导出二维波动方程和三维波动方程, 它们 的形式分别为
utt a2 (uxx uyy ) f ( x, y, t ) utt a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t )
二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律, 即在平 面上放置一个框架, 对于固定在该框架上作微小横振动的薄膜上 各点的运动规律. 三维波动方程表示的是声波、电磁波的传播所 满足的规律. 类似地，我们可考虑函数 u u( x1 , x2 ,
Du (ux1 , ux2 ,
, uxn )
则偏微分方程的一般形式为
5
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
偏微分方程
(x, y) (x, y)
非奇异
x y 0 x y
浙江大学数学系
24
(x, y) (x, y)
u(x, y)
复合求导
u u u x x x u u u y y y
u( ,)
2u x 2
2u
2
( )2
x
2 2u
x
x
2u
2
( )2
x
u
2
x 2
u
u
T
g(t),
x x0
u
T
h(t)
x xL
已知端点的位移与所受外 力作用的一个线性组合
浙江大学数学系
23
四. 二阶线性方程的分类 两个自变量情形
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
a
u x
b
u y
cu
0
（1）
主部
目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程 的主部，从而据此分类。
变换
x x at
a u 0
解为： u f (x at)
浙江大学数学系
5
举例（未知函数为二元函数）
2u
3.
0
xt
4.
2u t 2
a2
2u x 2
0
变换
x at x at
解为：u g(x) h(t)
解为：
u g(x at) h(x at)
2u 0
浙江大学数学系
8. vxvxx vy2vyy v2
拟线性PDE
9. a(x, y)(vxx vyy) ev (vx vy )
半线性PDE
10. ut ux sin u
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--偏微分方程基本理论的归纳与总结偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象.根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是：（1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法；（2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段；（3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计；（4）双曲型方程,对应于Galerkin方法；（5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法.从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类：（1）稳态方程（非时间演化方程）；（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容；（3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征；（4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制.下面具体来介绍三类经典方程：三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论.关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法.关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论.具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据的连续依赖性问题学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析是研究其它一切的基础.首先有必要解释一下解的适定性.简单地说,一个偏微分方程是适定性的,若它有解（存在性）解唯一（唯一性）且对输入数据的微小改变的响应也是很小的改变（连续依赖性）.前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的,第三个准则是实验观察的基础.考虑适定性时,还应记得对有实际意义的问题通常不可能求得显示解,从而可考虑逼近格式,特别是数值解在应用中就具有特别的重要性.因此,适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系：对一个问题给定一定精度的数据,数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学的重要性,适定性成为偏微分方程理论的核心内容.因此,偏微分方程的学习应以三类线性偏微分方程的适定性问题为主要研究对象.同时,考虑到偏微分方程理论的两个特点：一是与应用、与物理的紧密联系；二是与数学其它分支的联系.以下,我们具体来说一下其两个具有应用价值的特点.针对特点一：首先,数学物理方程是自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程,这些方程给出了所考察的物理量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数的关系.例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴,数学物理方程侧重于模型的建立和定解问题的解题方法,而偏微分方程则侧重于其自身的数学理论,所以偏微分方程理论的研究是能够更好地将其运用于物理当中.针对特点二：偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系.偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想和基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响.鉴于此,对于应用数学而言,掌握和研究偏微分方程的目的主要应该放在以下几个方面：（1）建立模型.在经典物理中,具有普遍意义的自然定律不仅可以用实验手段获得,而且根据这些定律很容易对相应的自然现象建立数学模型.如天体力学,连续介质力学,流体动力学以及经典电磁学中的物理定律就属于这种情况.在近代物理中,情况有一些变化.咋爱量子力学与广义相对论中,一些自然规则与物理定律是隐而不见的,此时数学物理方程是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来的.然而,到了现代数学阶段,大多数面临的问题仅依靠物理或数学的单一学科知识和直觉建立模型已变得非常困难,必须具备多学科交叉能力才行.因此,只有系统全面地掌握偏微分方程的理论与方法,才能训练出从方程解的性质反推出模型的形式的能力,这里方程解的性质是由实验数据与观测资料所提供.这种模型反推能力再结物理直觉就是现在建立数学模型的基本要求;（2）从已知的方程和模型推导出新的发现和预言.这个方面可以说是科学发展最重要的环节之一;（3）从控制自然现象的微分方程中得到问题的机理和解释;（4）最后一个方面就是从数学模型获得与实验和观测相吻合的性质和结论.虽然这类工作不能提供新的科学结果,但能使我们加深对问题的理解,体现自然美与数学美的有机结合.在总结了偏微分方程理论所研究的内容及其特点以后,我们该怎样学习基本理论呢？首先,对于每一类方程,我们要了解它的物理背景及其意义,否则,我们根本不知道它在说什么.事实上,同一个方程有许多不同的来源,这一方面是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一.同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地解释物理过程的某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来的物理过程中应该也具有这个特性.其次,在对数学模型研究之后,需要有意识地讲数学解带回原来的物理意义中,去理解,解释物理现象.这一方面可以验证数学模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理现象,从而更加深刻地了解其在现实中的意义.然后,要善于去思考,总结,归纳.逐步提高分析、解决实际问题的能力.至于与数学其他学科的联系,比如,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念,思想,和定理,解的表达形式也是有积分形式的或级数形式的,解空间的结构则用到许多线性代数的知识.最后,学好泛函分析也是同等重要的,因为偏微分方程解的唯一性和连续依赖性需要许多实变和泛函分析的理论和方法.所以在重视偏微分方程基本理论时（实变函数和泛函分析的许多思想方法都是来源于偏微分程理论研究）,也要同样学好泛函分析.参考文献（1）王明新，偏微分方程基本理论；（2）马天，偏微分方程理论与方法；（3）王明新，数学物理方程.。
ch1偏微分方程第一章
在从事热流动的研究中，1822年发表了《热的解析 理论》，在文章中他提出了三维空间的热传导方程，也 就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展 的影响是很大的。
1.4 偏微分方程的发展
现在偏微分方程相关理论及其方法已经应用到各个 自然科学，工程技术领域和社会科学领域中。
由于其特殊的地位，偏微分方程现在是数学领域中 最活跃，最核心的领域之一。在菲尔兹奖获得者中与 偏微分方程研究相关的，就有十位左右的数学家。
y T 在[ t1, t2 ]内产生的冲量：
∫ ( ) T t2 t1
ux (b,t) − ux (a,t)
dt
y [ a, b ]的动量变化为：
∫b a
ρ
(
ut
(
x
,
t2
)
−
ut
(
x,
t1
))
dx
y 在点 x 处 t 时刻外力密度为F(x, t), 则F(x, t)在微弦段
[ a, b ]上[ t1, t2 ]内产生的冲量
PDE的解
区域内有m阶连续偏导数的函数.
广义解 (弱解)
PDE的分类 线性PDE 非线性PDE
半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE
线性PDE： PDE中关于未知函数及其各阶偏导数都 是线性的。例如：
∑ ∑ n aij ( x1 ,
i , j=1
∂2u , xn ) ∂xi∂x j
+
n
bj ( x1,
AB
x1 x2
下面利用 Fourier 热力学定律和能量守恒定律来建 立热传导方程。
由Fourier 热力学定律，单位时间单位面积内通过A 端的热量为
Qx1
第十四章偏微分方程
.§3 二阶偏微分方程一、一、二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程(1) 式中a ij(x)=a ij(x1,x2,…,x n)为x1,x2,…,x n的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,a n是某些参数，且有.如果点x︒=(x1︒,x2︒,…,x n︒)满足特征方程，即则过x︒的平面的法线方向l:(a1,a2,…,a n)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1︒,x2︒,…,x n︒)，根据二次型(a i为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：双曲型：超双曲型：抛物型：式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为(2) a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零.方程a11d y2a12d x d y+a22d x2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类：当Δ>0时，方程为双曲型；当Δ=0时，方程为抛物型；当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i）（i）双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式或（ii）（ii）抛物型:因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式（iii）（iii）椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式二、极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用.[椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒极值原理设D为n维欧氏空间E n的有界区域，S是D的边界，在D内考虑椭圆型方程式中a ij(x),b i(x),c(x),f(x)在上连续，c(x)≤0且二次型正定，即存在常数μ>0，对任意和任意的a i有定理1设u(x)为D内椭圆型方程的解，它在D内二次连续可微，在上连续，且不是常数，如f(x)≤0（或f(x)≥0），则u(x)不能在D的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S上的任一点P都可作一球，使它在P点与S相切且完全包含在区域D内，则有定理2设u(x)为椭圆型方程在D内二次连续可微，在上连续可微的解，且不是常数，并设f(x)≤0（或f(x)≥0）.若u(x)在边界S上某点M处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数在点M存在，则(或)2︒定解问题(i) 第一边值问题（狄利克莱问题）(S)(ii) 第二边值问题（诺伊曼问题）(S)其中N为S的外法线方向.(iii) 第三边值问题（混合问题）(S)a(),b(),()在S上连续，N是S的外法线方向，a()≥0,b()≤0，且a2()+b2()≠0.3︒解的惟一性问题设c(x)及b()不同时恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则是惟一的，设c(x)及b()都恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则除相差一个常数外，解是惟一的.[抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理]设为柱体，在柱体内部考虑抛物型方程式中a ij(x,t),b i(x,t),c(x,t),f(x,t)在上连续，且正定.1︒强极值原理设u(x,t)为抛物型方程Lu=f(x,t)在D×(0,T)内连续可微在上连续的解.并设f(x)=0，若u(x,t)在D×(0,T]的某点(x0,t0)取非负的最大值，即则对任意满足下列条件的点P(x,t)，都有u(x,t)=m：点P(x,t)满足t<t0,且可用完全在D×(0,T] 内的连续曲线x=x(t)与点(x0,t0)相连.如在的侧边界Γ:S×[0,T]上（S是D的边界）任一点P都可作一球，使它在P点与Γ相切且完全在D×(0,T)内，则有定理设u(x,t)在上连续，在D×(0,T]内满足抛物型方程Lu=f，且不是常数，设f≤0，若u(x,t)在Γ上某点M处取非正最小值，只要外法向导数在点M存在，则2︒柯西问题与混合问题柯西问题的初值条件是混合问题按下列的定解条件分别称为(i) 第一边值问题：,;(ii) 线性边值问题：,,其中N为Γ的外法线方向为已知函数，a≥0，b≤0，a2+b2≠03︒解的惟一性定理如果抛物型方程Lu=f的混合问题的解存在,那末它是惟一的.如果柯西问题存在有界的解，那末在有界函数类中，解是惟一的.[波动方程的能量积分与解的惟一性定理]1︒波动方程的柯西问题与混合问题设波动方程为柯西问题的初值条件是如果在有界区域Q:D×(0,T]中考虑波动方程，记的侧边界为Γ，则混合问题的定解条件是(i) (i) 第一边值问题(ii) (ii) 第二边值问题(iii) (iii) 第三边值问题式中N为Γ的外法线方向，φ(x),ψ(x)为D上的已知函数，为定义在Γ上的已知函数，.2︒解的惟一性定理波动方程的混合问题与柯西问题的解如果存在必定惟一.惟一性定理可用下面能量积分证明.3︒能量积分积分*称为波动方程的能量积分.满足齐次波动方程及u|Γ=0（或）的函数u(x,t)成立：能量守恒原理E(t)=E(0).能量不等式式中满足齐次波动方程及的函数，在上面能量不等式E(t)中增加一项，上面关系仍成立.对于柯西问题,在特征锥（R为大于零的常数）中考虑齐次波动方程的解u,记特征锥与t=t0的截面为，关于能量积分成立下面的能量不等式式中πt是t=常数的超平面与以为上底所作的柱体（母线平行于Ot轴）的交截面.*是的简写,下同.三、三种典型方程1. 波动方程研究下面形式的波动方程式中f(x,y,z,t)为已知函数.许多物体的运动规律可用波动方程来描述.如弦振动可用一维波动方程描述；膜的振动可用二维波动方程描述；声波和电磁波的振荡可用三维波动方程描述.[齐次方程柯西问题的解]设齐次波动方程的柯西问题满足下面初始条件：并设三次连续可微，二次连续可微，那末解u的表达式分别为1︒三维（克希霍夫公式）式中S at表示球面：，d S表示球面的面积元素.2︒二维（泊松公式）式中K at表示圆：.3︒一维（达兰贝尔公式）利用降维法可从高维的解推得低维的解.[非齐次方程柯西问题的解]非齐次波动方程柯西问题的解等于上面齐次方程柯西问题的解添加一项所谓推迟势.1︒三维式中积分区域是以(x,y,z)为中心，at为半径的球体,2︒二维式中.一维[解的物理意义]波动方程解的表达式具有明确的物理意义.1︒波的传播以弦振动为例，在达兰贝尔公式中，形如(x-at)的解描写了弦振动以常速度a向右传播，称(x-at)为右传播波，(x+at)为左传播波，a为波速.2︒依赖区间过点P(x,t)作两条特征线x=c1，x+at=c2交x轴于x1，x2，则区间[x1,x2]称为点P的依赖区间，由达兰贝尔公式可见解在P点的值只与[x1,x2]上初始条件有关，而与区间外(x)，(x)的值无关.3︒决定区域过x轴上两点x1，x2(x1<x2)分别作特征线x=x1+at，x=x2则三角形区域x1+at≤x≤x2(t>0)称为[x1,x2]的决定区域(图14.4(a))，在区域中解的数值由[x1,x2]上的初始条件完全决定.任意改变初始条件在[x1,x2]外的数值，解在此区域中不会发生任何变化.图14.44︒影响区域过x轴上两点分别作特征线x=x1，x=x2+at称区域x1-at≤x≤x2(t>0)为[x1,x2]的影响区域(图14.4(b)).在此区域中，解的数值受到[x1,x2]上初始条件的影响，而在此区域外，解的值不受[x1,x2]上的初始条件影响，当区域[x1,x2]缩为一点x0时，点x0的影响区域为x轴上区间(图14.4(c))x0≤x≤x0+at (t>0)对二维波动方程，点(x0,y0,t0)的依赖区域为t=0上的圆.(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t02在t=0上圆(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t02的决定区域是以(x0,y0,t0)为顶点的圆锥体区域(图14.5(a)).(x－x0)2+(y－y0)2≤a2(t－t0)2 (t≤t0)初始平面t=0上一点(x0,y0,0)的影响区域为圆锥体(图14.5(b)).(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t2 (t>0) (1) 初始平面t=0上某一区域的影响区域，就是由此区域上每一点所作的圆锥体(1)的包络面所围成的区域.图14.5对三维波动方程，点(x0,y0,z0,t0)的依赖区域为t=0上的球面(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=a2t02初始平面t=0上的球体(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2≤a2t02的决定区域是以它为底，以(x0,y0,z0,t0)为顶点的圆锥体区域(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2≤a2(t－t0)2 (t≤t0)在初始平面t=0上点(x0,y0,z0,0)的影响区域为锥面(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=a2t2 (t>0) (2) 初始平面上某一区域的影响区域就是它上面的每一点所作的锥面(2)的包络面围成的区域.二维与三维波的传播存在着下述本质区别.5︒惠更斯原理对三维波动方程，点(x0,y0,z0,0)的影响区域为(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2≤a2t2 (t>0)若在某一有界区域Ω有一个初始扰动，在时刻t受到此初始扰动的影响区域就是所有以点为中心，以at为半径的球面全体，当t足够大时，这种球面族有内外包络面，称外包络面为传播波的前阵面，内包络面为后阵面.前阵面以外的部分表示扰动尚未传到的区域，后阵面以内的部分是波已传过并恢复了原来状态的区域，前后阵面之间的区域就是受到扰动影响的部分，在三维，波的传播有清晰的前阵面与后阵面，称为惠更斯原理或称无后效现象.6︒波的弥散对二维波动方程，点(x0,y0)的影响区域为(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t2若在有界区域Ω内有一个初始扰动，则波的传播只有前阵面而无后阵面，所以当Ω的初始扰动传到某点后，扰动对此点的影响不会消失，不过随时间的增加而逐渐减弱.这种现象称为波的弥散，或说波具有后效现象.2. 热传导方程热传导方程的一般形式为式中f(x,t)为连续有界函数.热传导方程是描述热的传导过程，分子的扩散过程等物理规律的.对于n维热传导方程的柯西问题的初值条件为式中为连续有界函数，方程的解的表达式为3. 拉普拉斯方程研究重力场、静力场、磁场以及一些物理现象（如振动、热传导、扩散）的平衡或稳定过程，通常得到椭圆型方程，最典型的方程为拉普拉斯方程Δu=0及泊松方程Δu=ρ式中ρ为已知函数，Δ为拉普拉斯算子，[圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分] 当区域为圆或球时，分别采用极坐标(r,)或球坐标(r,θ,)较为方便.Δu=0的极坐标形式为Δu=0的球坐标形式为狄利克莱问题解的泊松积分为1︒区域是圆时，Δu=0, u|r=a=，解为泊松积分式中为已知连续函数,.2︒区域是球时，Δu=0, u|r=a=，解为泊松积分式中为已知连续函数，[调和函数的性质] 二维拉普拉斯方程的连续解称为调和函数，它具有以下重要性质：1︒设函数u(x,y)在以S为边界的有界区域D内调和，在上有连续一阶偏导数，则式中为外法向导数.2︒算术平均值定理设函数u(x,y)在圆的内部调和，在闭圆上连续，则u(x,y)在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值.3︒每一个调和函数u(x,y)对x,y无穷次可微.4︒哈拉克第一定理（一致收敛定理）设{u k(x,y)}, (k=1,2)在有界区域D内调和，在上连续，如果u k(x,y)在D的边界上一致收敛，则在D内也一致收敛，并且极限函数在D内调和.5︒哈拉克第二定理（单调性定理）设调和函数列{u k(x,y)}, (k=1,2,…)在D的某一内点收敛，且对于任意k，u k+1(x,y)≥u k(x,y)则u k(x,y)在D内处处收敛于某调和函数，同时在D的每一有界闭子区域上一致收敛.6︒刘维尔定理如函数u(x,y)在全平面上调和且不是常数，则它不可能有上界和下界.7︒可去奇点定理设u(x,y)在A点的一个邻域（除A点外）调和且有界，但在A点没有定义，则可定义函数u(x,y)在A点的值，使u在整个A点的邻域（包括A点）内是调和函数.[李雅普诺夫闭曲面与内、外边值问题] 设S为E n的有限闭曲面，如果满足下列条件，那末S称为李雅普诺夫闭曲面：(i) 曲面到处有切面.(ii) 存在常数d>0，对曲面上每一点P，可作一个以P为中心、d为半径的球，使曲面在此球内的部分和任意一条与P点法线平行的直线相交不多于一点(iii) 曲面上任意二点P1及P2的法线的夹角γ(P1,P2)满足式中A,δ为正常数，0<δ≤1，是点P1与P2之间的距离.(iv) 从空间任意一点P0看曲面的任一部分σ的立体角有界，即||≤k （k为常数）（从点P0看曲面S的立体角为式中表示矢量，N P表示S在点P的外法线矢量，d S P表示点P的面积元素.）设D为E n的有界区域，其边界S为李雅普诺夫闭曲面.求在D内满足Δu=0而在S上满足给定边界条件的解称为内边值问题；求在D外满足Δu=0而在S上满足给定边界条件的解称为外边值问题.[狄利克莱问题与诺伊曼问题的解]狄利克莱问题Δu=0，诺伊曼问题Δu=0，式中M S∈S，为S上的已知连续函数，为外法向导数.1︒狄利克莱问题的解可表示为面积分.式中v(P)称为面密度，面积分u(M)称为双层位势，r PM为点M与变点P之间的距离，r PM为矢量，N P为S在点P的外法线矢量，v(M)满足第二类弗雷德霍姆积分方程(第十五章§1)：(i) 内边值问题(ii) 外边值问题2︒诺伊曼问题的解可表示为面积分式中(P)称为面密度，面积分u(M)称为单层位势，(P)满足第二类弗雷德霍姆积分方程：(i) 内边值问题(ii) 外边值问题定理：狄利克莱的内外边值问题及诺伊曼的外边值问题有惟一解，而诺伊曼的内边值问题解存在的充分必要条件是：[泊松方程] 在区域D内，泊松方程Δu=ρ（ρ为已知连续函数）有特解：三维：体势位二维：对数势位式中r PM为点M与变点P之间的距离.如果已知泊松方程的一个特解U(M)，则=u－U满足Δ=0，从而泊松方程的边值问题可化为拉普拉斯方程相应的边值问题.四、基本解与广义解[共轭微分算子与自共轭微分算子]算子称为二阶线性微分算子，式中a ij,b i,c为x1,x2,…,x n的二次连续可微函数.由公式决定的算子L*称为L的共轭微分算子.如果L=L*，则称L为自共轭微分算子.[格林公式]1︒算子L的格林公式是式中S为区域D的边界，N为S的外法线矢量，e i为x i的轴的矢量(0,…,0,,0,…,0),cos(N,e i)表示矢量N与e i的夹角的余弦，2︒三维拉普拉斯算子的格林公式其中是外法向导数.3︒算子的格林公式式中L*为L的共轭微分算子，N为外法线矢量，i,j分别为x轴，y轴上的单位矢量.[基本解]1︒方程Lu=f的基本解：设M,M0为E n中的点，满足方程的解U(M,M0)称为方程Lu=f的基本解，有时也称为方程Lu=0的基本解，式中(M-M0)称为n维狄拉克函数（-函数）.基本解U(M,M0)满足(i) LU(M,M0)=0，当M≠M0，(ii) 对任意充分光滑的函数f(M)，于是U(M,M0)满足Lu=f(M) .所以有时也就把满足条件(i)、(ii)的函数U(M,M0)定义为方程Lu=f(M)的基本解.(a) Δu=0的基本解二维：三维：n维：式中表示点M与M0之间的距离.(b) n维空间的多重调和方程m u=0的基本解(c) 热传导方程的基本解(d) 波动方程的基本解一维：二维：三维：2︒柯西问题的基本解(i) 称满足的解为波动方程柯西问题的基本解，它的形式为一维：二维：三维：(ii) 称满足的解为热传导方程柯西问题的基本解，它的形式是同样方法可以定义其他定解问题的基本解.由定义可见，基本解表示由集中量（如点热源，点电荷等）所产生的解，下段介绍的格林函数，黎曼函数也具有这种特点，统称它们为点源函数，或影响函数.[广义解]在区域D中给定二阶线性方程式中f在D上连续.1︒设u n(x)为D上充分光滑（如二阶连续可微）的函数序列，当n→∞时，u n(x)一致（或在适当意义下）收敛于函数u(x)，同时Lu n也一致（或在适当意义下）收敛于f(x)，则称u(x)为Lu=f的广义解.2︒设函数u(x)在区域D内连续，如果对于任意二次连续可微且在与D的边界距离小于某一正数的点上恒等于零的函数（与无关，称为D的试验函数）有那末称u(x)为方程Lu=f的广义解.有时为了区别广义解，称以前定义的解为古典解，古典解一定是广义解.但因广义解不一定光滑，甚至不可微，所以不一定是古典解.例如，当(x)，(x)只是x的连续函数时，函数u(x,t)=(x+t)－(x－t)为波动方程的广义解，但不是古典解.五、二阶偏微分方程的常用解法1.分离变量法它是解线性微分方程常用的一种方法，特别当区域是矩形、柱体、球体时使用更为普遍.这种方法是先求满足边界条件的特解，利用迭加原理，作这些特解的线性组合，得到定解问题的解.求特解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值和特征函数.以下对不同类型方程说明分离变量法的具体解法.[弦振动方程]1︒两端固定的弦振动齐次方程混合问题设u(x,t)=X(x)T(t)，具体解法如下：(1) X(x)，T(t)满足的常微分方程：(2) 用此二常微分方程的解的乘积表示弦振动方程的特解u n(x,t).解边值问题当时，有非零解称λn为边值问题的特征值，X n(x)为特征函数.把λn代入T(t)的方程，得式中A n,B n为任意常数，这样就得到弦振动方程的特解：(3) 把u n(x,t)迭加，形式上作级数(4) 利用特征函数的正交性，确定系数A n,B n.把(x)及(x)展开成傅立叶级数式中利用初始条件可得于是混合问题的形式解为若(i) (x)具有一阶和二阶连续导数，三阶导数逐段连续，且(0)=(l)，"(0)="(l)=0;(ii)(x)连续可微，二阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，那末形式解右端的级数一致收敛，形式解就是混合问题的正规解.2︒解的物理意义弦的这种形式的振动称为驻波，点(m=0,1n) 为不动的点，称为节点；点(m=0,1,2n－1)处振幅最大，称为腹点；称为弦振动的固有频率；弦线发出的最低音的频率为（τ为张力，ρ为弦的线密度）称为该弦的基音，其他频率都是它的整数倍，称为泛音.3︒非齐次方程的混合问题将u(x,t)和f(x,t)展开成傅立叶级数：那末根据定解条件再利用1︒中(x)与(x)的傅立叶展开式，有所以形式解为若(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(x)和f(x,t)连续可微，二阶导数逐段连续，同时(0)=(l)="(0)="(l)=0(0)=(l)=f(0,t)=f(l,t)=0则级数一致收敛，形式解就是非齐次方程混合问题的正规解.4 遇到非齐次边界条件作变换可化为关于v(x,t)的齐次边界条件求解.[热传导方程]热传导方程的第一边值问题设u(x,t)=X(x)T(t)，得X"(x)+2X(x)=0T'(t)+a22T(t)=0特征值，对应的特征函数为，而作形式解式中c n等于(x)的傅立叶系数即.当(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，则上述级数一致收敛，形式解就是正规解了.[拉普拉斯方程]球内定常温度分布的狄利克莱问题—拉普拉斯方程的狄利克莱问题.选用球坐标令u(r,,)=v(r,)().代入方程，分离变量得"()+k2()=0 (1)(2) 利用对于变量的周期性，u(r, ,)=u(r, ,+2)，可知方程(1)中的k只能取m(m=0,1)，那末()取{cos m,sin m}.再将方程(2)分离变量，令v=R(r)H()，得(3)(4) 方程(4)的解可用勒让德多项式表示，为了使解有界，λ只能取λn2=n(n+1) (n=0,1,2,…)对应的解H()=P n(m)(cos)，，P n(x)为勒让德多项式方程(3)可写成这是欧拉方程，其有界解为R(r)=c1r n.最后将u的特解迭加，利用边界条件和球函数的正交性得式中P n(m)(cos)为一般勒让德函数.如果二次连续可微，则表示的级数一致收敛，它就是狄利克莱问题的解.[高阶方程]梁的横向振动方程为（a为常数） (1) 定解条件为设y (x,t )=X (x )T (t )，那末方程(2)满足X"(0)=X"(l )=0的特征值，特征函数(n =1,2)，方程(3)的解为所以方程(1)的形式解为由y (x,0)=x (l －x )得最后得到方程(1)的解.2. 双曲型方程的黎曼方法 考虑拉普拉斯双曲型方程[古沙问题的特征线法] 古沙问题是设a (x,y ),b (x,y ),c (x,y ),f (x,y )为连续函数；连续可微且，令则古沙问题化为下面积分方程组的求解问题它可用逐次逼近法求解，显然x=x 0,y=y 0为拉普拉斯双曲型方程的特征线，所以此法也称为特征线法. [广义柯西问题的黎曼方法] 广义柯西问题是设a (x,y ),b (x,y ),c (x,y ), 1(x )及(x )为连续可微函数，且'(x )≠0，而f (x,y )及2(x )为连续函数.设M (x 0,y 0)不是y=(x )上的点，过点M 作特征线x=x 0,y=y 0交y=(x )于P 及Q ，记曲边三角形PMQ 为D （图14.6），在D 上用格林公式（本节，四）得设v (x,y ;x 0,y 0)为下面古沙问题的解：那末广义柯西问题解的黎曼公式为式中v (x,y ;x 0,y 0)称为黎曼函数，这个方法称为黎曼方法.一般可用特征线法求黎曼函数.但对常系数偏微分方程（c 为常数）也可用下法求黎曼函数.设v=v (z )，，则方程化为贝塞耳方程图14.6黎曼函数就是满足此贝塞耳方程及条件v(0)=1的零阶贝塞耳函数，对常系数的拉普拉斯双曲型方程通过变换可化为的形式，它的黎曼函数就是上式.3.椭圆型方程的格林方法在区域D考虑椭圆型方程式中a ij,b i,c,f为x1,…,x n的连续可微函数，a ij=a ji，二次型是正定的.[格林函数及其性质] 若Lu=0的共轭方程L*u=0的基本解G(x,)在D的边界S上满足G(x,)=0, x∈S则称G(x,)为方程Lu=0的格林函数，式中x=(x1,…,x n)，ξ为参变点，=(1,…,n)，即G(x,)=G(x1,…,x n;1,…,n).格林函数具有对称性质：设G(x,),V(x,)分别为方程Lu=0及其共轭方程的格林函数，则成立对称关系G(x,)=V(x,)特别如果Lu为自共轭微分算子，则有G(x,)=G(,x)[利用格林函数解边值问题]1︒一般公式在区域D上应用格林公式（本节，四），并取v=G(x,)，则方程Lu=f的狄利克莱问题u|s=的解为式中（N是S的外法线方向）2︒对于球体（球心为O，半径为a），u=0的基本解为，r为P(x,y,z)与参变点的距离，作M关于球面的反演点M1，记r1为M1与P的距离，则格林函数为.狄利克莱问题u|s=的解为式中S为球面.引用球坐标时，解为泊松积分(本节，三，3).3︒在圆上（半径为a），u=0的格林函数为式中r为P(x,y)与参变点的距离，r1为P与M点关于圆的反演点M1的距离，圆上狄利克莱问题的解为泊松积分.4.积分变换法积分变换法是解线性微分方程，特别是常系数方程的一种有效方法，它是把方程的某一独立变量看成参变量，作未知函数的积分变换，这样可减少原方程独立变量的个数而将方程化为简单形式（最简单的情况是常微分方程，甚至是代数方程）.解此简化方程的对应定解问题并通过逆积分变换就得到原定解问题的解.下面举例说明傅立叶变换和拉普拉斯变换方法.例1 用傅立叶变换法解弦振动方程的柯西问题解把t作为参变量，作u(x,t)关于x的傅立叶变换F原来的柯西问题化为下面的定解问题把p看作参数，其解为由傅立叶变换的反演公式得到原问题的解例2 用拉普拉斯变换法解热传导方程的定解问题解 把x 当作参变量，作u (x,t )关于t 的拉普拉斯变换L原问题化为通解为要求解有界.c 2必须为零，所以，查拉普拉斯变换表（第十一章）得式中erfc(y )为余误差函数.§4 偏微分方程的数值解法一、 一、 差分法差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值. 1. 网格与差商在平面 (x , y )上的一以S 为边界的有界区域D 上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x 轴和y 轴的直线族.(i , j =0,1,2,…,n )作成一个正方形网格，这里h 为事先指定的正数，称为步长；网格的交点称为节点，简记为(i , j ).取一些与边界S 接近的网格节点，用它们连成折线，所围成的区域记作.称内的节点为内节点，位于上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数：注意， 1︒ 式中的差商称为向后差商，而称为向前差商，称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数.2︒ x 轴与y 轴也可分别采用不同的步长h , l ，即用直线族(i ,j =0, ±1, ±2)作一个矩形网格.2. 椭圆型方程的差分方法[五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题式中为定义在D 的边界S 上的已知函数.采用正方形网格，记，在节点(i , j )上分别用差商代替，对应的差分方程为（1）或即任一节点(i , j )上的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均，这种形式的差分方程称为五点格式，在边界节点上取(2)图14.7。
偏微分方程ppt课件
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1.1 基本概念
偏微分方程的一般形式
注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是， 必须含有未知函数的某个偏导数。 涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组。 注：除非特别说明，一般假设函数u及其在 方程中的各阶偏导数连续。
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
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第三章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第一标准形式
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第二标准形式 双曲型方程的第一标准形式和第二标准形式统称为双曲型方程的标准形式
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型