(完整版)基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

1．ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .

3．算术平均数与几何平均数

(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2，几何平均数为ab .

(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2

4； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .

选择题：

设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )

A ．80

B ．77

C ．81

D ．82

解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y

2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81

若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54

解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2

若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )

A ．[0,2]

B ．[－2,0]

C ．[－2，＋∞)

D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤1

4，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2

若实数x ，y 满足xy >0，则

x x ＋y ＋2y

x ＋2y

的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析

x x ＋y

＋

2y x ＋2y

＝

x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )

＝

x 2＋4xy ＋2y 2

x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2

＝1＋

1

x y ＋3＋2y x

≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2y

x ，即x 2＝2y 2时取等号

若函数()f x ＝x ＋

1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋

1x －2

＋2≥2

(x －2)×

1x －2

＋2＝4，当且仅当x －2＝

1x －2

(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3

已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m

y (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4

解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥1

3(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴1

3(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4

已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1

c 的最小值是( )

A ．9

B ．8

C ．4

D ．2

解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋b

c ≥2

4c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．

由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1

c 取得最小值9

已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4

n 的最小值为( )

A.32

B.53

C.94

D.256

解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)

a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32

当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于3

2

在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36

解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9

若实数a ，b 满足1a ＋2

b ＝ab ，则ab 的最小值为( )

A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2

b ≥2

2ab ＝22ab

，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．