北京市朝阳区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷及答案
2015-2016北京朝阳高一(上)期末数学(含解析)
3．函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f (1) 2
f (1.5) 0.625
f (1.25) 0.984
f (1.375) 0.260
f (1.438) 0.165
那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一个近似根（精确度 0.1 ）为（ ）．
所以有 42 2 4 m 0 ． 解得 m 8 ．
此时 B x | 2 x 4 ，符合题意．
所以 m 8 ．
16 ①②③④
18．解:（Ⅰ）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16 天， 所以此次监测结果中空气质量为良的概率为 16 = 8 ． 30 15
（Ⅱ）样本中空气质量级别为三级的有 4 天，设其编号为 a ， b ， c ， d ； 样本中空气质量级别为四级的有 2 天，设其编号为 e ， f ， 则基本事件有： (a, b) ，(a, c) ，(a, d) ，(a, e) ，(a, f ) ，(b, c) ，(b, d) ，(b, e) ，(b, f ) ，(c, d) ，(c, e) ，(c, f ) ，(d, e) ， (d, f ) ， (e, f ) 共15 个． 其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有： (a, e) ， (b, e) ， (c, e) ， (d, e) ， (a, f ) ， (b, f ) ， (c, f ) ， (d, f ) ， (e, f ) 共 9 个． 所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为 9 3 ． 15 5
空气质量级别 一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学(文史类)试卷
北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学（文史类）试卷2015.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B. C. 2D. 2. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图 侧视图 俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m1.73≈1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表 如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . ACD A 1B 1C 1D 1 M N .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ，函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值. 17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： DAPCEFB（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.20. （本小题满分14分）已知离心率为的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ． 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --， 所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f x x π=-，又22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，)42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以cos()4απ-=. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当cos()42απ-=时，sin α=122224⨯+⨯=；当cos()42απ-=时，sin α=1(22224⨯+-⨯=. ………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点， 所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 所以EF //平面PBC ．…………4分 （Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 且CE ⊂平面ABCD ， 所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点， 所以CE BD ⊥． 因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分 （Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点． 说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =． 由2AB =得BD =CE =，所以11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=． 由已知2433x =， 所以2x =． 因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．DAPCEF B则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . 由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即 即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xaf x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点， 所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明： 方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.)所以()e f x ≥. ………13分方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-， 所以e e e ()e x xx f x x x -'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()e f x ≥. ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=> 由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+． 所以2288214A k k x k --=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--． 同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k----+-==+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++ 21614k k =+ 由于12k >，故 216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k <<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t>时，()(4,)f t∈+∞，即S∈()0,4.)所以四边形APBQ面积S的取值范围是()0,4.………14分。
《解析》北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．18．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．22．（4分）函数f（x）=的零点是．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：直接由sinα＜0，cosα＞0可得α为第四象限的角，结合α∈（0，2π）得到选项．解答：解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α为第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故选：D．点评：本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的加减和数乘坐标运算，计算即可得到所求向量．解答：解：向量=（2，8），=（﹣4，2），若=2﹣，则=（4，16）﹣（﹣4，2）=（8，14）．故选B．点评：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的加减和数乘运算，属于基础题．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平行四边形法则、中点的性质即可得出．解答：解：∵D是BC的中点，∴=，故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则，属于基础题．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：化简可得y=1﹣sin2x，由周期公式可得答案．解答：解：化简可得y=（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x，∴由周期公式可得T==π，故选：C点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数的性质即可得到结论．解答：解：若y=cos（x+φ）的一个零点是，则cos（+φ）=0，即+φ=kπ+，k∈Z即φ=kπ+，当k=0时，φ=，故选：A点评：本题主要考查余弦函数的求值，根据函数零点的定义结合余弦函数的性质是解决本题的关键．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件即数量积为0，计算即可得到．解答：解：=（+）•=+=+=0+==2．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的垂直的条件和向量的平方与模的平方的关系，考查运算能力，属于基础题．8．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简解析式可得f（x）=2cos（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]．解答：解：∵f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）∴当x∈[0，π]时，x+∈[，]∴由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]故选：A．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：将y=sinx化为y=cos（x﹣），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．解答：解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．点评：本题考查了三角函数的图象变换，中间用到了诱导公式，属于常考题型．10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，配方整理，再由二次函数的最值求法，即可得到所求最值．解答：解：，为单位向量，且•=m，则|+t|2=+t2+2t=1+t2+2tm=（t+m）2+1﹣m2，当t=﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，则|+t|（t∈R）的最小值为．故选D．点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出λ的值．解答：解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．点评：解决有关向量共线的问题，应该利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用sin2α+cos2α=1，结合α是第二象限角，即可求得cosα．解答：解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，属于基础题．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是（，）．考点：三角函数线；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正切函数的图象特征求得θ的取值范围．解答：解：若，且tanθ＞1，则θ∈（，），故答案为：（，）．点评：本题主要考查正切函数的图象特征，属于基础题．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的线性运算、向量相等即可得出．解答：解：∵向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量运算性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得其最大值．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinx•cosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=1时函数取最大故答案为：点评：本题考查三角函数的最值，属基础题．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是①②③．．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象和性质进行判断即可．解答：解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式以及三角函数变换是解决本题的关键．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）由tanα的值求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵tanα=﹣2，∴tan（α﹣）===3；（Ⅱ）∵α∈（，π），tanα=﹣2，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）当α=30°时，求得+的坐标，可得|+|的值．（Ⅱ）由条件求得（+）•（﹣）=0，从而证得向量+与﹣垂直．（Ⅲ）若向量与夹角为60°，根据两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得，从而得到角α的值．解答：（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于基础题．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．考点：集合的相等．专题：集合．分析：（Ⅰ）利用集合相等得到f（0）=0，从而求b；（Ⅱ）讨论a与0的关系，在a≠0时，因为A=B，对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，结合正弦函数的有界性得到，求得a的最大值．解答：（Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．设x0∈A，则f（x0）=0．（1分）因为A=B，所以x0∈B，即f（f（x0））=0，所以f（0）=0，（3分）所以b=0．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．（5分）②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）因为A=B，所以对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）所以对于任意x∈R，，所以，（8分）即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．所以|a|＜π，（9分）所以整数a的最大值是3．（10分）点评：本题考查集合相等的运用以及正弦函数的有界性的运用，属于中档题．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是4．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和并集的运算，按照B中元素的个数依次写出满足条件的集合即可．解答：解：因为集合A={a，b}，满足A∪B={a，b，c}，所以B={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}共4个，故答案为：4．点评：本题考查并集及其运算，注意列举时按一定的顺序做到不重不漏，属于基础题．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象过点（4，2），代入幂函数的解析式求得即可．解答：解：∵4α=2，解得，故答案为：点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题．22．（4分）函数f（x）=的零点是﹣2或1．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：转化为或求解即可．解答：解：∵函数f（x）=∴或解得：x=1，或x=﹣2故答案：﹣2，1；点评：本题考查了分段函数的解析式的求解，函数的零点的求解属于中档题．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是（﹣2，2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式f（m）＞f（2），等价为f（|m|）＞f（2），即|m|＜2，解得﹣2＜m＜2，故答案为：（﹣2，2）；点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为2．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g（x）=x，D=[0，1]，代入即可得到答案．解答：解：根据已知中关于函数g（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合g（x）=3x+1在区间[0，1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C==2，故答案为：2．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的对称轴，得到，解出即可；（Ⅱ）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而得到答案．解答：（Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，所以，f（x）的图象的对称轴方程为．由，得a=0．解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以必有f（0）=f（2）成立，所以﹣2a=0，得a=0．（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为．①当，即a≥2时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣2a．②当，即0＜a＜2时，因为f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为．③当，即a≤0时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=﹣（1+a）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题．．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得，再分类讨论求得它的解集．解答：（Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．证明如下：当a＞0，b＞0时，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，则．因为；又，所以△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得．（*）①当a＜0，b＞0时，（*）式化为，解得．②当a＞0，b＜0时，（*）式化为，解得．点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解指数、对数不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过g（x）=f（x）﹣x，利用x+2，x+3分别代替x推出方程，由条件①，②转化，即可推出g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）g（x+2）≥g（x），然后推出g（x+3）≤g（x），说明g（x）是以6为周期的周期函数所然后求解函数值．解答：（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）﹣x，所以g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2，g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3．由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2≥f（x）+2﹣x﹣2=f（x）﹣x=g（x）；【（2分）】③g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3≤f（x）+3﹣x﹣3=f（x）﹣x=g（x）．④【（4分）】所以g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）解：由③得g（x+2）≥g（x），所以g（x+6）≥g（x+4）≥g（x+2）≥g（x）．【（6分）】由④得g（x+3）≤g（x），所以g（x+6）≤g（x+3）≤g（x）．【（7分）】所以必有g（x+6）=g（x），即g（x）是以6为周期的周期函数．【（8分）】所以g=g（335×6+4）=g（4）=f（4）﹣4=1．【（9分）】所以f=g+2014=2015．【（10分）】点评：本题考查抽象函数的应用，函数的周期性以及不等式的证明，难度比较大．。
北京市朝阳区2014_2015学年高二数学上学期期末试卷理(含解析) (1)
北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．26．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．127．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C 在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，利用c2=a2﹣b2可得c，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，∴a=5，c2=a2﹣b2=9，解得c=3．∴椭圆的离心率e==．故选：A．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答．解答：解：对于A，若a⊥b，b⊥α，那么a∥α或者a⊂α，故A错误；对于B，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行、相交或者异面；故B错误；对于C，如果a⊥α，b⊥α，则a∥b，正确；对于D，若a∥b，b∥α，则a∥α或者a⊂α，故D错误；故选C．点评：本题考查了线面垂直、线面平行的性质、直线平行的性质，熟练运用定理是关键．3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．分析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．解答：解：圆到直线的距离为：=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α，cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．故选 D．点评：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是2015届高考考点，本题是基础题．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．解答：解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题．5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，可得n+1=3，即可求得点M的纵坐标．解答：解：抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，M到此抛物线的焦点的距离即为M到准线的距离，即有n+1=3，解得n=2．故选C．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及准线方程的运用，属于基础题．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体由两部分组成，左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体的左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；几何体的右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，其直观图如图：∴几何体的体积V=×22×2+××2×2×2=4．故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．7．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可设双曲线的标准方程为，由直线y=﹣x是M 的一条渐近线，可得=．由椭圆+=1的焦点为（±3，0），可得c=3，再利用c2=a2+b2，解出即可．解答：解：由题意可设双曲线的标准方程为，∵直线y=﹣x是M的一条渐近线，∴=．椭圆+=1的焦点为（±3，0），∴c=3，联立，解得a2=3，b2=6．∴M的方程为：．故选：C．点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据复合命题之间的关系进行判断；②根据否命题的定义进行判断”；③根据全称命题的否定是特称命题进行判断；④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故①错误；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；故②正确，③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；故③正确，④若a＜0，则判别式△=1﹣4a＜0，此时ax2+x+1≥0有解，即“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件错误，故④错误，故正确的命题为②③，故选：B点评：本题主要考查命题的真假判断，根据复合命题，四种命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：分两种情况考虑，当直线OP过第一象限与当直线OP过第四象限，画出函数图象，即可得到结果．解答：解：当直线OP过第一象限时，如图：由于AB为直径，故θ=，得到d=f（θ）=2cosθ（0≤θ＜），当直线OP过第四象限时，同理可得到d=f（π﹣θ）=2cos（π﹣θ）=﹣2cosθ（＜θ≤π），函数d=f（θ）的大致图象：故选：D．点评：此题考查了圆的标准方程，利用了数形结合的思想，弄清题意是解本题的关键．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条考点：直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：取BH=BB1，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段OE=D1E，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．解答：解：取BH=BB1，连接FH，则FH∥C1D连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG∥HO，交D1H于G，其中O为线段OE=D1E再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间两点间的距离公式进行求解即可．解答：解：根据两点间的距离公式得点（4，﹣1，2）与原点的距离是==，故答案为：点评：本题主要考查空间两点间的距离公式的计算，比较基础．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，可求得椭圆+y2=1的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案．解答：解：∵椭圆+y2=1的右焦点F（，0），∴以F（，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查椭圆与抛物线的简单性质，属于中档题．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．解答：解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=4，|F1N|+|F2N|=2a=4，∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8．故答案为：8．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的定义．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为8．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．即可得出．解答：解：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．∴该三棱柱的侧视图的面积=8．故答案为：8．点评：本题考查了正三棱柱的三视图及其侧面积，属于基础题．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为2．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），求得向量AF，FB的坐标，运用向量共线的坐标表示，解方程可得m，n，进而得到A，B的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到．解答：解：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），=（﹣，﹣m），=（﹣，n），由=2，则有m=﹣2n，m2+2n2=3，解得m=﹣，n=，或m=，n=﹣，即有A（1，﹣），B（，）或A（1，），B（，﹣）．|TA|==，|TB|==．则的值为2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示和两点的距离公式的运用，属于中档题．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由题意可得，三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，可得AD⊥底面BCD，由三棱锥的体积公式计算即可得到；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．解答：解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，由BD=CD=1，B′C=，则底面是等腰直角三角形，则AD⊥底面BCD，AD=，即有四面体B′﹣ADC的体积为××1×1=；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为，∴球的半径为r==．四面体ABCD外接球体积为：r3=×（）3=π．故答案为：，π．点评：本题考查线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式和球的体积公式的运用，同时考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由线面垂直得DD1⊥BC，由矩形性质得DC⊥BC．由此能证明BC⊥平面DCC1D1，从而得到平面BCD1⊥平面DCC1D1．（Ⅱ）取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由=，利用向量法能求出异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．解答：（本题满分10分）（Ⅰ）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥BC．…（2分）∵底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC．又DD1∩DC=D，∴BC⊥平面DCC1D1．又BC⊂面BCD1，∴平面BCD1⊥平面DCC1D1．…（5分）（Ⅱ）解：取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，∵AD=AA1=1，AB=2，则D（0，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），…（7分）∵=（0，﹣2，1），=（1，0，1），∴===．…（9分）∴异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是．…（10分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）利用向量法，结合线面平行的判定定理进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=AD=AC=PA=1．在△PAB中，PA=AB=1，PB=，所以PB2=PA2+AB2，即PA⊥AB．同理可证PA⊥AD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，取CD中点G，连接AG．由已知条件易知AB⊥AG，如图以A为原点建立空间直角坐标系．…（4分）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，所以平面ABCD⊥平面PAD．平面ABCD∩平面PAD=AD，取AD中点H，连接HC，则HC⊥AD．所以HC⊥平面PAD．所以是平面PAD的法向量，也是平面PAE的法向量．A（0，0，0），D（﹣，，0），H（，，0），C（，，0），E（，，），P（0，0，1），B（1，0，0），=（，，0），=（，，0），=（，，），…（5分）设平面AEC的法向量为=（x，y，z），所以，则，令x=，则=（，﹣1，2），…（6分）所以cos＜，＞===．由图可知，二面角P﹣AE﹣C的平面角为钝角，所以其余弦值为﹣．…（7分）（ III）存在，点F是棱PC的中点．设=λ=λ（，，﹣1），…（8分）则==（﹣1，0，1）+λ（，，﹣1）=（﹣1+λ，λ，1﹣λ），由（ II）知平面AEC的法向量为=（，﹣1，2）．由已题知BF∥平面AEC，等价于，即（﹣1+λ，λ，1﹣λ）•（，﹣1，2）=（﹣1+）λ+2（1﹣λ）=0．解得．…（9分），所以点F是棱PC的中点．…（10分）点评：本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C 在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）联立两直线方程求得圆心C的坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求得k，则直线的方程可得．（Ⅱ）设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．解答：M解：（Ⅰ）由得圆心C为（3，2），因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0．所以=1，解得k=0或﹣．则所求圆C的切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0．（Ⅱ）因为圆C的圆心在直线y=2x﹣4上，所以设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+2=1．又|MA|=2|MO|，设m为（x，y），则=2．整理得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2﹣1|≤≤|2+1|．由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R．由5a2﹣12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，利用点差法，即可得出PM，PN的斜率之积是定值；（Ⅲ）求出点P到直线l：y=kx的距离最大值， |MN|，即可求△PMN面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=．所以椭圆C的方程为．…（3分）（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），n（﹣x1，﹣y1），则M，P的坐标代入椭圆方程，两式作差得=﹣．所以，当PM，PN的斜率都存在时，PM，PN的斜率之积是定值﹣．…（6分）（Ⅲ）过点P作与平行且与椭圆的相切的直线，设切线方程为y=kx+t，代入椭圆方程，得（3k2+4）x2+8ktx+4t2﹣12=0．令△=0，得|t|=．…（8分）这时，直线y=kx+t与直线l：y=kx的距离就是点P到直线l：y=kx的距离最大值．所以，点P到直线l：y=kx的距离最大值d=．又由y=kx与椭圆方程，解得|x1|=．所以|MN|=2|x1|=．所以，△PMN面积的最大值为=2…（10分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
北京师大附中2013-2014学年上学期高一年级期末考试数学试卷 后有答案
北京师大附中2013-2014学年上学期高一年级期末考试数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。
一、选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 角α的终边上有一点（1，－2），则cos α＝（ ）A.5B.C. 5-D. 2. 已知1sin(),tan 023+=<παα，则sin α的值是（ ）A. 13-B. C.13D.3. 设∈x R ，向量(1,1)=-a x ，(1,3)=+b x ，若a ∥b ，则实数x 等于（ ） A. 2B. －2C. 2或－2D.124. 设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )==-a x x b x x ，函数()=⋅f x a b ，则函数()f x 是（ ） A. 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数5. 已知向量(1(==-a b ，则a 与b 的夹角是（ ） A.6πB.4π C.3π D.2π 6. 下列直线中，是函数5sin(2)2=+y x π的对称轴的是（ ） A. 2=-x πB. 4=-x πC. 8=x πD. 54=x π 7. 函数sin(2)(062=+≤≤y x x ππ）的值域是（ ）A. 1[,1]2B. 1[,1]2-C. 11[,]22-D. [2-8. 已知△ABC 中，D 是BC 边上的中点，则32++AB BC CA 等于（ ） A. ADB. BCC. 0D. 2AD9. 已知函数3sin(2)5=+y x π的图象为C ，为了得到函数3sin(2)5=-y x π的图象，只需把C 上所有的点（ ）A. 向左平行移动5π个单位 B. 向右平行移动5π个单位 C. 向左平行移动25π个单位 D. 向右平行移动25π个单位 10. 设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312=A A A A λ（∈R λ），1412()=∈A A A A R μμ，且112+=λμ，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是（ ）A. C 可能是线段AB 的中点B. D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D. C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题（4＇×5＝20分）：11. 若向量a ，b 满足||||1a b ==，a 与b 的夹角为120°，则()a a b ⋅+＝__________。
2014-2015年北京市西城区高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4 B．2 C．D．18．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1 C．|m| D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．12．（4分）设α是第二象限角，sinα=，则cosα=．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．16．（4分）关于函数f（x）=sin （2x﹣）（x∈R），给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有f（x）=cos （2x﹣）；②对于任意的x∈in R，都有f（x+）=f（x﹣）；③对于任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x）．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．22．（4分）函数f（x）=的零点是．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f（2014）的值．2014-2015学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α为第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故选：D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）【解答】解：向量=（2，8），=（﹣4，2），若=2﹣，则=（4，16）﹣（﹣4，2）=（8，14）．故选：B．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．【解答】解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故选：B．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D是BC的中点，∴=，故选：A．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．【解答】解：化简可得y=（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x，∴由周期公式可得T==π，故选：C．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．【解答】解：若y=cos（x+φ）的一个零点是，则cos（+φ）=0，即+φ=kπ+，k∈Z即φ=kπ+，当k=0时，φ=，故选：A．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4 B．2 C．D．1【解答】解：=（+）•=+=+=0+==2．故选：B．8．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．【解答】解：∵f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），∴当x∈[0，π]时，x+∈[，]，∴由余弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]．故选：A．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选：C．10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1 C．|m| D．【解答】解：，为单位向量，且•=m，则|+t|2=+t2+2t=1+t2+2tm=（t+m）2+1﹣m2，当t=﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，则|+t|（t∈R）的最小值为．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．【解答】解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．12．（4分）设α是第二象限角，sinα=，则cosα=﹣．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是（，）．【解答】解：若，且tanθ＞1，则θ∈（，），故答案为：（，）．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．【解答】解：∵向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解得，∴=．故答案为：．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinx•cosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=1时函数取最大故答案为：16．（4分）关于函数f（x）=sin （2x﹣）（x∈R），给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有f（x）=cos （2x﹣）；②对于任意的x∈in R，都有f（x+）=f（x﹣）；③对于任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x）．其中，全部正确结论的序号是①②③．．【解答】解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x ﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵tanα=﹣2，∴tan（α﹣）===3；（Ⅱ）∵α∈（，π），tanα=﹣2，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．【解答】（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．设x0∈A，则f（x0）=0．（1分）因为A=B，所以x0∈B，即f（f（x0））=0，所以f（0）=0，（3分）所以b=0．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．（5分）②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）因为A=B，所以对于任意x∈A，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）所以对于任意x∈A，，所以，（8分）即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．所以|a|＜π，（9分）所以整数a的最大值是3．（10分）一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是4．【解答】解：因为集合A={a，b}，满足A∪B={a，b，c}，所以B={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}共4个，故答案为：4．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．【解答】解：∵4α=2，解得，故答案为：22．（4分）函数f（x）=的零点是﹣2或1．【解答】解：∵函数f（x）=∴或解得：x=1，或x=﹣2故答案：﹣2，1；23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是（﹣2，2）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式f（m）＞f（2），等价为f（|m|）＞f（2），即|m|＜2，解得﹣2＜m＜2，故答案为：（﹣2，2）；24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为2．【解答】解：根据已知中关于函数g（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合g（x）=3x+1在区间[0，1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C==2，故答案为：2．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，所以，f（x）的图象的对称轴方程为．由，得a=0．解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以必有f（0）=f（2）成立，所以﹣2a=0，得a=0．（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为．①当，即a≥2时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣2a．②当，即0＜a＜2时，因为f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为．③当，即a≤0时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=﹣（1+a）．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．【解答】（Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．证明如下：当a＞0，b＞0时，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，则．因为；又，所以△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得．（*）①当a＜0，b＞0时，（*）式化为，解得．②当a＞0，b＜0时，（*）式化为，解得．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f（2014）的值．【解答】（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）﹣x，所以g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2，g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3．由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2≥f（x）+2﹣x﹣2=f（x）﹣x=g（x）；【（2分）】③g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3≤f（x）+3﹣x﹣3=f（x）﹣x=g（x）．④【（4分）】所以g （x +3）≤g （x ）≤g （x +2）． （Ⅱ）解：由③得 g （x +2）≥g （x ），所以g （x +6）≥g （x +4）≥g （x +2）≥g （x ）．【（6分）】 由④得 g （x +3）≤g （x ），所以g （x +6）≤g （x +3）≤g （x ）．【（7分）】 所以必有g （x +6）=g （x ），即g （x ）是以6为周期的周期函数．【（8分）】所以g （2014）=g （335×6+4）=g （4）=f （4）﹣4=1．【（9分）】赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函．．数．．x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．所以f（2014）=g（2014）+2014=2015．【（10分）】。
【历年高一数学期末试题】北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
高一数学
试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟
2015.1
A 卷 [必修 模块 4] 本卷满分： 100 分
三
题号
一
二
本卷总分
17
18
19
分数
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的 .
（ A） 1 m2
（ B） 1
（ C） | m |
（ D） 1 m2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .
11．若向量 a (1,2) 与向量 b ( , 1) 共线，则实数
_____．
12．已知 是第二象限的角，且 sin
5 ，则 cos
13
_____．
（Ⅰ）若 ab 0 ，判断 f (x) 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若 ab 0 ，解不等式： f ( x 1) f ( x) ．
（ B） (8,14)
（ C） (12,12)
（ D） ( 4,20)
3．已知角 的终边经过点 P(3, 4) ，那么 sin （ ）
（ A） 3 5
4
（ B）
5
3
（ C）
4
4．在△ ABC 中， D 是 BC 的中点，则 AD （ ）
（ A） 1 ( AB 2 1
（ C） ( AB 2
AC ) BC )
13．若
( , ) ，且 tan 1，则 的取值范围是 _____． 22
14．已知向量 a (1,3) ， b (2, 1) ， c (1,1)．若 c a + b ( , R ) ，则
北京市2013-2014朝阳高三上续期期末理科数学含答案-含答案
北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2014.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．函数1()1f x x =+- A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．[0,1)(1,)+∞ D ．[0,1)2．如果点()02,P y 在以点F 为焦点的抛物线24y x =上，则PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝4．在△ABC 中，︒=∠30A，AB =1BC =， 则△ABC 的面积等于A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或435．执行如图所示的程序框图，输出结果是4． 若{}01,2,3a ∈，则0a 所有可能的取值为A ．1,2,3B ．1C ．2D ．1,26．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，点,D E 分别在线段,OC AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是A ．(1)(01)y x x x =-≤≤B ．(1)(01)x y y y =-≤≤C ．2(01)y x x =≤≤ D ．21(01)y x x =-≤≤7．已知平面向量a ，b 的夹角为120，且1⋅=-a b ，则||-a b 的最小值为 A ．BCD ． 18．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1k k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a ⋅= ． 11．直线y kx =与圆22(2)4x y -+=相交于O ,A两点，若OA k 的值0.040.05 0.12是_____．12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．13．实数,x y 满足3,20,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩若(2)y k x ≥+恒成立，则实数k 的最大值是 ．14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n-是质数，则12(21)n n --是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，496的所有正约数之和可表示为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若5()16f α=，求cos2α的值．俯视图 侧视图正视图16．（本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）设,O D 分别为,AC AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足13OG OA OB =+（）， 求证：DG ∥面PBC ；（Ⅲ）若==2AB AC ，=4PA ， 求二面角A PB C --的余弦值．18．（本题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．PDOACG19.已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(F ,2F ，且经过点1)2P ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于两点,M N ．若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知,,a b c 是正数， 1lg a a =，2lg a b =，3lg a c =． （Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，比较12a a -与23a a -的大小；（Ⅱ）若122331a a a a a a ->->-，则,,a b c 三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若a t =，2b t =，3c t =（t *∈N ），且1a ，2a ，3a 的整数部分分别是,m 21,m +221,m +求所有t 的值．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2014.1三、解答题15．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===， 14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===， 随机变量X 的分布列是：160122525255EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，且PA AB=A ，所以AC ⊥平面PAB ． 又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB ． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，8 7 5 6 9826 甲 乙5 57 2 58 5所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ， 则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ．又因为13OG OA OB =+（）， 所以(,,0)33a b G ． 于是(,,)33a b DG c =-，(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．设平面PBC 的一个法向量000(,,)x y z =n ，则有0,0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．即000020,20.ax by by cz -=⎧⎨-=⎩不妨设01z =，则有002,c c y x b a ==，所以2(,,1)c ca b=n ． 因为22(,,1)(,,)1()03333c c a b c a c bDG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ，所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC ． ……………… 9分解法2：取AB 中点E ，连OE ，则1()2OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）可得23OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .因为,O E 分别为,AC AB 的中点， 所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点， 所以DG ∥PF .又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分CPDOAGEF（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,,1)(2,2,1)c ca b==n ． 又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =． 又42cos ,323AC AC AC⋅===⨯⋅n n n ， 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --的余弦值为23． ……………… 14分 18． 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1ex =． 当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立． 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤． 因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21ex =． 当21(0,)ex ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当21(,)ex ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e -∞-…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意1224a PF PF =+==，所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=． 因为2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000224,4141km mx y kx m k k =-=+=++． 因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥． （1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，0011y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………② 因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++22222448(1)(1)()2104141m kmk k m m m k k -=+++-+++=++，整理得25230m m +-=，解得35m =或1m =-． 当1m =-时，由②不合题意舍去. 由①②知，35m =时，k =．（2）当00x =时，（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±.设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或35m =.1m =-不合题意舍去， 即此时直线l 的方程为35y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.综上，直线l 的方程为35y =530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b acb c b-=．因为,,a b c 成等差数列，所以2a cb +=，则1223()()a a a a ---=24lg()aca c +， 因为222a c ac +≥，所以2()4a c ac +≥，即241()aca c ≤+， 则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当abc ==时等号成立．……………… 4分（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>． 故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >． 所以a b >且a c >． 故,,a b c 三个数中，a 最大． 解法2：依题意lglg lg a b c b c a >>，即a b c b c a>>． 因为0,0,0a b c >>>，所以2ac b >，2a bc >，2ab c >． 于是，3abc b >，3a abc >，3abc c >， 所以33a b >，33a c >．因为3y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分（Ⅲ）依题意，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是,m 21,m +221m +，则l g 1m t m ≤<+， 所以22lg 22m t m ≤<+．又2lg 2lg t t =，则2lg t 的整数部分是2m 或21m +．当212m m +=时，1m =；当2121m m +=+时，0,2m =．（1） 当0m =时，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是0,1,1，所以0lg 1t ≤<，21lg 2t ≤<，31lg 2t ≤<．所以12lg 23t ≤<，解得21321010t ≤<． 又因为()12103,4∈，()23104,5∈，所以此时4t =．（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，22lg 3t ≤<，33lg 4t ≤<． 所以41lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()431021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =． （3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，39lg 10t ≤<，同时满足条件的t 不存在．综上所述4,10,11,12,...20,21t =． ……………… 13分。
2014北京朝阳区高一(上)期末数学
2014北京朝阳区高一（上）期末数学一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设集合A={1，3}，B={1，2，4，5}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4，5}C．{1，3}D．{1}2．（4分）下列各组数据中方差最大的是（）A．2，6，7 B．2，5，8 C．1，6，8 D．1，5，93．（4分）已知集合M={x|﹣1＜x≤1}，N={x|1≤2x＜4}，则M∩N（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|﹣1＜x＜2}4．（4分）设函数f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求得方程f（x）=0在x∈（1，2）内的根所在的区间可以是（）（参考数据：f（1.25）≈﹣0.30，f（1.5）≈1.70，f（1.75）≈4.09）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，1.75）D．（1.75，2）5．（4分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．6 B．12 C．20 D．306．（4分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．＜B．a2＜b2C．log2a＜log2b D．（）a＞（）b7．（4分）在边长为3的正方形ABCD内随机取一点，取到的点到顶点A的距离大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣8．（4分）已知函数f（x）=2x+（x＞0，a＞0）在x=2处取得最小值，则a的值为（）A．8 B．4 C．D．19．（4分）在如图所示的等边三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则此矩形面积的最大值为（）A．100m2B．100m2C．200m2D．200m210．（4分）设函数f（x）=[x]﹣1，x∈（0，+∞）（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[]=1，[2]=2），则方程f（x）﹣log2x=0的根的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．无数个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）计算：log28+=．12．（4分）某高中校共有学生1800人，其中高一学生540人，高二学生600人，高三学生660人，要从中抽取一个容量为60的样本，若按年级进行分层抽样，则在60人的样本中高三学生的人数为．13．（4分）函数f（x）=x2+2x+3，x∈[﹣1，1]的值域是．14．（4分）某中学组织全校340名学生参加消防知识竞赛，成绩如图所示，其中得分在区间[90，100]内的人数为．15．（4分）定义在R上的函数y=f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，且y=f（x+2）为偶函数，若f（a）≥f（4），则实数a的取值范围是．16．（4分）已知函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）有两个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（共36分）17．（9分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m=4，全集U=A∪B，求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．18．（9分）一个盒子中装有大小完全相同且分别标有字母a，b的2个黄球和分别标有字母c，d的2个红球．（Ⅰ）如果每次任取1个球，取出后不放回，连续取两次，求取出的两个球中恰有一个是黄球的概率；（Ⅱ）如果每次任取1个球，取出后放回，连续取两次，求取出的两个球中至多有一个是黄球的概率．19．（9分）已知函数f（x）=﹣（x≠0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1]上为减函数，求a的取值范围．20．（9分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）满足：若对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|成立，则称f（x）为“M函数”．（Ⅰ）已知函数g（x）=，x∈[0，1]．判断g（x）是否为“M函数”，并说明理由；（Ⅱ）若h（x）为“M函数”，且h（0）=h（1），求证：对任意x1，x2∈[0，1]，有|h（x1）﹣h（x2）|＜．（提示：|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈R）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】∵A={1，3}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．故选：A．2．【解答】=，=[（2﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=；=，=[（2﹣5）2+（5﹣5）2+（8﹣5）2]=6；==5，=[（1﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=；==5，=[（1﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]=．故选：D．3．【解答】∵集合M={x|﹣1＜x≤1}，N={x|1≤2x＜4}={x|0≤x＜2}，∴M∩N={x|0≤x≤1}．故选：C．4．【解答】由题意可得f（x）是R上的连续函数，f（1.25）≈﹣0.30，f（1.5）≈1.70，且f（1.25）•f（1.5）＜0，故函数f（x）的零点所在的区间为（1.25，1.5），故选：B．5．【解答】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+6+8=20故选：C．6．【解答】∵a＞b＞0，∴，a2＞b2，log2a＞log2b，（）a＜（）b，故A正确，BCD错误．故选：A．7．【解答】在正方形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆的外部，面积为32﹣=9﹣，∵正方形的面积为3×3=9，∴点P到点O的距离大于1的概率为=1﹣．故选：B．8．【解答】∵x＞0，a＞0，∴f（x）=2x+，当且仅当2x=，即x2=时取“=”此时函数f（x）取得最小值，∵函数f（x）在x=2处取得最小值，∴x2==4，即a=8．故选：A．9．【解答】设矩形的长为x，则宽为（40﹣x），∴矩形面积S=x（40﹣x）≤•（）2=200（m2），当且仅当x=20时等号成立，故矩形面积最大值为200m2．故选：D10．【解答】由方程f（x）﹣log2x=0，得程f（x）=log2x，当0＜x＜1，[x]=0，则f（x）=[x]﹣1=﹣1，此时log2x＜0，由f（x）=log2x=﹣1，解得x=，当1≤x＜2，[x]=1，则f（x）=[x]﹣1=1﹣1=0，由f（x）=log2x=0，解得x=1，满足条件，当2≤x＜3，[x]=2，则f（x）=[x]﹣1=2﹣1=1，由f（x）=log2x=1，解得x=2，满足条件，当3≤x＜4，[x]=3，则f（x）=[x]﹣1=3﹣1=2，由f（x）=log2x=2，解得x=4，不满足条件，当4≤x＜5，[x]=4，则f（x）=[x]﹣1=4﹣1=3，此时log2x＜3，此时方程无解，不满足条件，…当n≤x＜n+1，（n≥5），[x]=，n，则f（x）=[x]﹣1=n﹣1=3，此时方程无解，不满足条件，故方程f（x）﹣log2x=0的根的个数是3个．故选：C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．【解答】log28+=3+32=12．故答案为：12．12．【解答】由题意知：在60人的样本中高三学生的人数为：660×=22（人）．故答案为：22．13．【解答】函数f（x）的对称轴为x=﹣1，开口向上，在区间[﹣1，1]但单调增，∴f（x）max=f（1）=6，f（x）min=f（﹣1）=2，∴函数的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．14．【解答】由频率分布图知：得分在区间[90，100]内的频率为：0.010×10=0.1，∴得分在区间[90，100]内的人数为：340×0.1=34（人）．故答案为：34．15．【解答】∵f（x+2）为偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），即函数f（x）关于x=2对称，∵f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，∴f（x）在（2，+∞）上单调递减，当a≥2时，由f（a）≥f（4），得则2≤a≤4，当a＜2时，由f（a）≥f（4）=f（0），此时0≤a＜2，综上0≤a≤4，则故a取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]16．【解答】对于函数f（x）=，当x=2时，函数有最小值为﹣2，但没有最大值．由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k有2个交点，如图所示：数形结合求得k的范围为{k|k=2，或﹣2＜k≤1}．故答案为：{k|k=2，或﹣2＜k≤1}．三、解答题（共36分）17．【解答】（Ⅰ）若m=4，则集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|m﹣2＜x＜m}={x|2＜x＜4}，∴全集U=A∪B={x|﹣2＜x＜4}，∁U B={x|﹣2＜x≤2}，A∩（∁U B）={x|﹣2＜x≤2}．（Ⅱ）∵A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|m﹣2＜x＜m}，若A∩B=∅，则有m≤﹣2，或m﹣2≥3，解得m≤﹣2，或m≥5，即m的范围为{m|m≤﹣2，或m≥5 }．18．【解答】（Ⅰ）第一次、第二次取到黄球的事件的个数都是：2×2=4（个）取出的两个球中恰有一个是黄球的事件的个数为4+4=8（个），连续取两次，所有可能的情况的个数为4×3=12（个），所有取出的两个球中恰有一个是黄球的概率是．（Ⅱ）取出的两个球都是黄球的概率：，所以取出的两个球中至多有一个是黄球的概率：1﹣．19．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=﹣，∴f（﹣x）=+，若a=0，则f（﹣x）=f（x）此时函数f（x）为偶函数，若a≠0，f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=2a≠0，即f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），此时函数f（x）为非奇非偶函数；（Ⅱ）设0＜x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）===，要使函数f（x）在（0，1]上为减函数，则f（x1）﹣f（x2）＞0．∵x2﹣x1＞0，∴﹣a＞0，即a＜，∵0＜x1＜x2≤1，∴＞2，即a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2]．20．【解答】（Ⅰ）g（x）是“M函数”，理由如下：设x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，==||，∵x1，x2∈[0，1]，2≤2+x1≤3，2≤2+x2≤3，∴＜1，则|g（x1）﹣g（x2）|＜|x1﹣x2|成立．（Ⅱ）由h（x）为“M函数”，则|h（x1）﹣h（x2）|＜|x1﹣x2|成立，不妨设0≤x2≤x1≤1，当x2=x1时，|h（x1）﹣h（x2）|=0＜，当0＜x1﹣x2＜1时，由h（0）=h（1），则|h（x1）﹣h（x2）|=|h（x1）﹣h（1）+h（0）﹣h（x2）|≤|h（x1）﹣h（1）|+|h（0）﹣h（x2）|≤|x1﹣1|+|0﹣x2|=1﹣（x1﹣x2）＜1﹣=，综上所述|h（x1）﹣h（x2）|＜成立．Word下载地址。
北京市朝阳区2013-2014学年高一下学期期末考试 数学试题 Word版含答案
北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一考试数学学科试卷 2014.7（考试时间100分钟 满分100分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．与角80-︒终边相同的角是A ．80︒B ．100︒C ．240︒D ．280︒ 2. 若角a 的终边经过点(1,2)P -，则sin a 等于A. 5-B.5C. 5D. 5-3. 设x ∈R ，平面向量(1,1)x =-a ，(,2)x =b ，若a //b ，则x 的值为A.2或1-B. 2-或1C. 2D.234．若直线经过点A (1,0)，B ，则直线AB 的倾斜角的大小为A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 5．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于A ．9- B ．6- C ．3- D ．27 6．如图，M 是△ABC 的边AB 的中点，若CM a =，CA b =， 则CB =A ．2a +bB ．2a b - （第6题图）C ．2a +bD ．2a b - 7. 已知α为锐角，且4cos()65απ+=，则cos α等于A.B.C.D.8. 函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)22ωϕππ>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是A.2,3π-B. 4,3πC. 4,6π-D. 2,6π- （第8题图）9.已知O 是ABC ∆内部一点，且3OA OB OC 0++=uu r uu u r uu u r ，6AB AC?uu u r uu u r，60BAC ?o ，则OBC ∆的面积为 ABCD10. 已知数列{}n a 和{}n b ，满足1k k k a a b +=+， 1,2,3,k =.若存在正整数N ，使得1N a a =成立，则称数列{}n a 为N 阶“还原”数列.下列条件：①||1k b =；②||k b k =；③||2k k b =，可能．．使数列{}n a 为8阶“还原”数列的是 A ．① B ．①② C ． ② D ．②③二、填空题：本大题共6小题,每小题4分，共24分，答案写在答题卡上.11．如果1cos 2α=，且α为第四象限角，那么tan α= ． 12. 已知点P 在直线0x y +=上，且点P 到原点与到直线20x y +-=的距离相等，则点P 的坐标为_____.13. 已知平面向量a ，b 满足|a | = 3，|b | = 2，且a 与b 的夹角为60︒，则2+a b = . 14.已知数列}{n a 的前n 项和42()33n n S a n *=-∈N ，则1a = ，n a = .15.如图，在坡角为15︒(15CAD ∠=︒ )的山坡顶上有一个高度为50米的中国移 动信号塔BC ，在坡底A 处测得塔顶B 的仰角为45︒（45BAD ∠=︒），则 塔顶到水平面AD 的距离（BD ）约为________米.（结果保留整数，1.732≈)(第15题图)16. 设关于,x y 的不等式组2100y x a y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,,x 表示的平面区域为D .若在平面区域D 内存在点),(00y x P ，满足00345x y -=，则实数a 的取值范围是 __.三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分9分）设函数22()2sin sin cos cos f x x x x x =++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值． 18. （本小题满分9分）已知点(2,3)A ，(2,1)B --，直线MN 过原点，其中点M 在第一象限，MN ∥AB ，且MN =AM 和直线BN 的交点C 在y 轴上.（I ）求直线MN 的方程；（II ）求点C 的坐标.19. （本小题满分9分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，.cos cos )2(C b B c a =- （I ）求角B 的大小；（II ）若b =a c +的最大值.20.（本小题满分9分）已知数列{}n a 满足1212a a ==，当2n ≥时，1114n n n a a a +-=-. （I ）设112n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设5n n n c a n-=，数列{}n c 的前n 项和为n S .是否存在整数M ，使得n S M ≤恒成立?若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一考试数学学科试卷参考答案及评分标准 2014.7一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12.(1,1)-或(1,1)- 13.14.2， 212,n n -*∈N 15.68 16.5[,)7+∞ 三.解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分9分） 解：（I ）22()2sin sin cos cos f x x x x x =++2sin sin cos +1x x x =+ 113sin 2cos 2222x x =-+π32).242x =-+（ 函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………………5分 （II ）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤．当242x ππ-=，即8x 3π=时，()f x 有最大值，最大值为32+； 当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 有最小值，最小值为1．……………………9分 18.（本小题满分9分）解：（I ）由点(2,3)A ，(2,1)B --的坐标可求得直线AB 的斜率31122AB k +==+. 又因为MN ∥AB ，所以直线MN 的斜率1k =.则直线MN 的方程为y x =. ………………………………………………………4分 （II ）设(,)M a a （0a >），(,)N b b ，由已知直线AM 和直线BN 的交点C 在y 轴上，则2,2a b ≠≠-.由MN ==2a b -=.直线AM 的方程为33(2)2a y x a --=--，令0x =，得(0,)2aC a -.直线BN 的方程为11(2)2b y x b ++=++，令0x =，得(0,)2bC b +. 所以22a ba b =-+，化简得a b =-. 将其代入2a b -=，并且0a >，得1a =，1b =-.则C 点坐标为(0,1)-. ………………………………………………………9分 19.（本小题满分9分）解：（I ）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅.整理得A C B B C C B B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=⋅+=. 因为(0,)A ∈π， 所以sin 0A ≠. 则1cos 2B =. 由(0,)B ∈π， 所以3B π=. ……………………………………………………………………4分 （II ）由余弦定理得： 2222cos b a c ac B =+-.将已知代入可得：2232cos3a c ac π=+-. 因为2222()()3()3()24a c a c a c ac a c +++-≥+-⋅=， 所以2()34a c +≥.则a c +≤a c ==a c +取得最大值为 ………………9分20.（本小题满分9分） 解：（I ）因为1114n n n a a a +-=-，所以 11111()222n n n n a a a a +--=- 即 11(2,)2n n b b n n -=≥∈N 且1211124b a a =-=，2321128b a a =-=.故数列{}n b 是以14为首项，12为公比的等比数列. ………………………………3分（II ）由（Ⅰ）知，11111()()422n n n b -+=⨯=， 则1111()22n n n n b a a ++=-=.即 11221n n n n a a ++-=.故数列{}2nn a 是以121a =为首项，1为公差的等差数列；21(1)1n n a n n =+-⨯=，所以2n nna =. ………………………………………………………………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得 552n n n n n c a n --== 2343252222n n n S ----=++++，23411432522222n n n S +----=++++， 两式相减，有23411111152222222n n n n S +-=-+++++-，1111(1())1542212212n n n n S -+--=-+--， 即 332n n n S -=--.令32n n n d -=，则1231104d d d =-<=-<=，45116d d ==，当6n ≥时，1133214282n n n n n d n n d n ----==<--恒成立，即当6n ≥时，数列{}n d 是单调递减数列.所以 56780n d d d d d >>>>>> ，故有 1n d ≥-.也即 2n S ≤-.又因为n S M ≤恒成立 所以2M ≥-.故存在最小整数2M =-，使得n S M ≤恒成立. …………………………………9分。
北京市朝阳区2014-2015学年度高三(上)期末数学试卷(理工类)
北京市朝阳区2014-2015学年度高三（上）期末数学试卷（理工类）2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1i iz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin AC ⋅的最大值是A B ．34C D7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ． 72B ． 3C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xx f x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --F 在边BC 上的位置，并说明理由.D P C B F A E0.02若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分） 设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．。
【历年高一数学期末试题】辽宁省朝阳市重点中学2014-2015学年高一上学期期末联考 数学 Word版含答案
绝密★启封并使用完毕前朝阳市重点中学2014-2015学年度高一上学期期末联考数 学 试 卷（考试时间：120分钟 考试分数：150分）注意事项:1. 本试卷分第I 卷(阅读题)和第II 卷(表达题)两部分.2. 答题前,考生务必将自己的姓名和班级考号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题纸上完成,答在本试题上无效.4. 考试结束后,将答题纸交回.参考公式：椎体的体积公式：Sh V 31=，其中S 为底面积，h 为高 球体的表面积公式：24R S π=，其中R 为球的半径第Ⅰ卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合}4,3,2{},3,2,1{},2,1{===C B A ,则A B C =（） （A ）}3,2,1{（B ）}4,2,1{（C ）}4,3,2{（D ）}4,3,2,1{2. 在空间内, 可以确定一个平面的条件是 （A ）三条直线, 它们两两相交, 但不交于同一点（B ）三条直线, 其中的一条与另外两条直线分别相交（C ）三个点 （D ）两两相交的三条直线3. 已知集合=A {正方体}，=B {长方体}，=C {正四棱柱}，=D {直平行六面体}，则 （A ）D C B A ⊆⊆⊆ （B ）D B A C ⊆⊆⊆ （C ）D B C A ⊆⊆⊆ （D ）它们之间不都存在包含关系4.已知直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -，则该直线的倾斜角为 （A ）150（B ）135（C ）75（D ）455.函数5log (23)x y x -=-的定义域为（A ）3(,5)2（B ）3(,4)2（C ）(4,5) （D ）3(,4)2(4,5)6.已知三点)5,4(),3,(),1,1(C a B A -在同一直线上，则实数a 的值是 （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）不确定7.已知32)121(+=-x x f ，且6)(=m f ，则m 等于（A ）41- （B ）41 （C ）23 （D ）23-8.直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件（A ）0,0C AB =< （B ）0,0AC BC << （C ）,,A B C 同号 （D ）0,0A BC =< 9.函数()y f x =与()y g x =的图象如下左图,则函数()()y f x g x =⋅的图象可能是10.下列说法正确的是（A ）经过定点00(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示 （B ）经过任意两个不同的点112222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示（C ）不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 （D ）经过点(0,)Bb 的直线都可以用方程y kx b =+表示11.已知正三棱锥ABC P -中，1===PC PB PA ，且PC PB PA ,,两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（A ）π43 （B ）π23（C ）π3（D ）π1212. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，D 是棱1AA 的中点,平面1BDC 分此棱柱为上下两部分，则这上下两部分体积的比为（A ）3:2 （B ）1:1 （C ）2:3（D ）4:3第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.比较大小：0.251()3- 0.271()3-（在空格处填上“<”或“>”号）.14. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.给出下列四个命题： ①若//,//m n αβ,//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥,αβ⊥，则m n ⊥； ③若m //α,m //n ，则n //α； ④若βαβα//,,//n m ⊥,则n m ⊥． 则正确的命题为 ．（填写命题的序号） 15. 无论实数,a b （0ab ≠）取何值，直线230ax by a b ++-=恒过定点 .16. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长为 .三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）求函数522)2(2+⨯-=xx y ，]2,1[-∈x 的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)若非空．．集合}0|{2=++=b ax x x A ，集合{}1,2B =，且A B ⊆， 求实数a .b 的取值．19.（本小题满分12分）如图，ABC ∆中，F E D ,,分别为AB AC BC ,,的中点， 用坐标法证明：222222||||||)|||||(|43CF BE AD AC BC AB ++=++20.（本小题满分12分）如图所示，已知空间四边形ABCD ，,E H 分别是边,AB AD 的中点，,F G 分别是边,BC CD 上的点，且32==CD CG CB CF ， 求证：（Ⅰ）四边形EFGH 为梯形； （Ⅱ）直线,,EF GH AC 交于一点．（第20题图）DB（第19题图）21.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，CB CD,AD⊥BD，且,E F 分别是,AB BD的中点，求证：（Ⅰ）直线EF∥面ACD；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD．（第21题图）22. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点. （Ⅰ）证明：1//BC 平面CD A 1；（Ⅱ）设12AA AC CB ===，AB =CD A E 1-的体积.A 1（第22题图）高一数学参考答案一．选择题 DACBD BACAB CB 二．填空题13.< 14.②④ 15.(2,3)- 16.6 三．解答题 17.解：设2x t =，因为]2,1[-∈x ，所以12[,4]2x t =∈则225y t t =-+，当1t =时，y 取最小值4，当4t =时，y 取最大值13. 18． 解：（1）当 {1}A =时，有11,11a b +=-⨯=，即2,1a b =-=； （2）当 {2}A =时，有22,22a b +=-⨯=，即4,4a b =-=； （3）当 {1,2}A =时，有12,12a b +=-⨯=，即3,2a b =-=. 19.解：以B 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示：设(,0),(,)C a A b c ，则(,0),(,),(,)22222a b c a b cD FE +，于是 22222222233(||||||)(2)44AB BC AC b c a a ab b c ++=+++-++ 2223()2a b c ab =++- 222222222()||||||()()24424a abc b c AD BE CF b c a +++=-++++-+2223()2a b c ab =++- 所以222222||||||)|||||(|43CF BE AD AC BC AB ++=++（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,EF GH 相交于一点P ，因为EF ⊂面ABC ，GH ⊂面ACD ，面ABC 面ACD AC =，所以P AC ∈，所以直线,,EF GH AC 交于一点．21.证明：（Ⅰ）,E F 分别是,AB BD 的中点，所以//EF AD ，又AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，所以直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）AD ⊥BD ，所以EF ⊥，又CB CD =，所以CF ⊥BD ，且CF EF F =，所以BD ⊥面EFC ，又BD ⊂面BCD ，所以面EFC ⊥面BCD ．22. 证明：（Ⅰ）连接1AC 交1AC 于O ，可得1//OD BC ，又OD ⊂面CD A 1，1BC ⊄面CD A 1，所以1//BC 平面CD A 1；。