微积分(导数与微分) 精品课件

其中 ( x)在 x=1处连续，则 (1) 0 是f (x)在 x=1处可导的 （A）充分必要条件。 （B）必要但非充分条件。 （C）充分但非必要条件。 （D）既非充分也非必要条件。 答案:A
解： Δy=f(x0 +Δx)-f(x0) ＝ (x0 +Δx)2 -x02
＝ 2x0Δx＋(Δx)2
y 2 x0 x (x) 2 lim f ( x0 ) lim x0 x0 x x
lim(2 x0 x) 2 x0
x0
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关于导数的说明： ★
（A） f (0) =0且 f (0) 存在。 （B） f (0) =0且 f (0) 存在。 （C） f (0) =1且 f (0) 存在。 （D） f (0) =1且 f (0) 存在。
答案: B
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考研题
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f ( x) x 1 ( x) ，
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（2003年4）设函数
第三章
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导数与微分
罗捍东
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信息学院 §3.1
3.1.1
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导数的概念
引例
1.变速直线运动的瞬时速度问题 设某物体作变速直线运动,路程函数为s=s(t)。
求t0时刻的瞬时速度v(t0 ) ,
从时刻t0到时刻t0 +t , 物体所通过的路程为:
s=s(t0 +t ) s (t0 ),
注意:
f ( x0 ) f ( x)
x x0
.
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★ 单侧导数
罗捍东
1.左导数:
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) lim ; x 0 x x0 x
2.右导数:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x0 x x0 x
定理： f
( x0 ) A f ( x0 ) f ( x0 ) A
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y
x, x 0 例2: f ( x) | x | , x, x 0
f ( x)在x 0处连续但不可导.
y x
x, x 0 证: y | x | , x, x 0
x x0
,
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dy df ( x) f ( x0 ), |x x0 , |x x0 dx dx
即 y
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x0 ) lim . h0 h
罗捍东
f ( x)在x0点的导数是因变量在x0处的变化率, 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★ 如果函数y f ( x)在开区间(a,b) 内的每点
处都可导, 就称函数f ( x)在开区间(a,b) 内可导.
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Байду номын сангаас
罗捍东
★ 对于任一x (a, b), 都对应着f ( x) 的一个确定的
f (0) f (0), f ( x)在x 0处不可导.
★ 若函数y=f(x)在(a，b )内可导，并在左端点a处 右可导，在右端点b处左可导，则称f(x)在闭区 间［a,b］上可导。
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考研题
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（2006年3，4）设函数f (x) 在 x=0处连续，且
f (h ) lim 2 1 ，则 h 0 h
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y
y f ( x)
M
C
M0
N
o

x0
x0 x x
MN y tan tan 于是当x 0时 M 0 N x
f ( x0 x) f ( x0 ) y tan lim lim x0 x x0 x
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3.1.2 导数的定义
其它形式
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若设 x x0 x,
x 0 就是 x x0 ,
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f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
如果上述极限不存在，则称f(x)在x0不可导。
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例1: 求函数y=f(x)＝x2在 x0 处的导数。
导数值f ( x).这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导 dy df ( x) 函数.记作 y, f ( x), 或 . dx dx f ( x x) f ( x) 即 f ( x) lim x0 x
f ( x h) f ( x ) 或 f ( x) lim . h0 h
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定义: 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x ( 点
x0 x 仍在该邻域内 )时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y
o
x
lim y lim | x | 0 显然有 x0 x0
函数f ( x)在x 0处连续.
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y | x | 1, x 0 , x x 1, x 0
y y f (0) lim 1 , f (0) lim 1 x0 x x0 x
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s s(t0 +t ) s(t0 ) 平均速度 v t t
当t很小时, v(t0 ) v
于是当t 0时
s(t0 +t ) s (t0 ) s v(t0 ) lim lim t 0 t t 0 t
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2.平面曲线的切线问题 如图,曲线y=f(x)在M0 有切线，斜率为tanα ， 如果割线M0 M的斜率 为tan ，当Δ x很小 时，