微积分(导数与微分) 精品课件
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第二章 导数与微分
微积分部分 第二章 导数与微分
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
存在，则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，其极限 值称为函数 y f ( x ) 在点 x0 处的导数，记作
f ( x0 ), y | x x0
y f ( x) M0
3 1 1 2 解 y 2 x x
x 1
o
x
法线
k y
1 2
第二章 导数与微分
微积分部分
因此切线方程为 法线方程为
y 1
x 2y 3 0
2x y 1 0
1 2
x
1
，即
y 1 2 x 1
t 0 , t 0 t 上可近似的看作匀速运动,即速度看作
是不变的(实际上有一些微小的变化,但变化很小很 小).其平均速度为:
微积分部分 第二章 导数与微分
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v t t
显然, t 越小,
S v ( t 0 ) 越接近.为此 与 t
dy , dx
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim 即 x 0 x 如果上述极限不存在,则称该函数在 x如果令 x 0 x x则 y f ( x )在 x 0点的导数又 可以表示为 f ( x ) lim f ( x ) f ( x 0 ) 0
令 t 0 ,对上式取极限得
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v( t 0 ) lim lim t 0 t t 0 t
2.曲线上一点切线的斜率 k 设有一曲线 y f ( x ) , P( x0 , y0 ) 是其上一点,求 过该点的切线斜率 k. 设自变量由 x 0 点变化到了 x0 x ,则过 x0 x
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
存在，则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，其极限 值称为函数 y f ( x ) 在点 x0 处的导数，记作
f ( x0 ), y | x x0
y f ( x) M0
3 1 1 2 解 y 2 x x
x 1
o
x
法线
k y
1 2
第二章 导数与微分
微积分部分
因此切线方程为 法线方程为
y 1
x 2y 3 0
2x y 1 0
1 2
x
1
，即
y 1 2 x 1
t 0 , t 0 t 上可近似的看作匀速运动,即速度看作
是不变的(实际上有一些微小的变化,但变化很小很 小).其平均速度为:
微积分部分 第二章 导数与微分
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v t t
显然, t 越小,
S v ( t 0 ) 越接近.为此 与 t
dy , dx
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim 即 x 0 x 如果上述极限不存在,则称该函数在 x如果令 x 0 x x则 y f ( x )在 x 0点的导数又 可以表示为 f ( x ) lim f ( x ) f ( x 0 ) 0
令 t 0 ,对上式取极限得
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v( t 0 ) lim lim t 0 t t 0 t
2.曲线上一点切线的斜率 k 设有一曲线 y f ( x ) , P( x0 , y0 ) 是其上一点,求 过该点的切线斜率 k. 设自变量由 x 0 点变化到了 x0 x ,则过 x0 x
《导数与微分》ppt课件
求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
9 5
k
1___ k
1 25
切线方程y x ____ y 1 x 25
例：一球在斜面上向上滚动，已知在t(s)时球与 起始位置的距离是s(t) 3t t2, 求初速度、何时 开始下滚？ 解：v(t) s' (t) 3 2t ___ t 0 v(0) 3m / s 当v 0时开始下滚， 3 2t 0 t 1.5s
数
u,对v, 应y 增量 u, v, y
y (u u)(v v) uv uv vu u v
y u v v u u v
x
x x x
y ' (uv)' uv' u 'v
例: 例1、2、3、4 p26
例：求y x sin x cosx 的导数 x cosx sin x
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
导数与微分(经典课件)
导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
§1 导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。
教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。
教学难点：导数的概念。
教学方法：讲授与练习。
学习学时：3学时。
一、导数的定义：1．引入〔背景〕：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马〔Fermat 〕为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿〔Newton 〕在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹〔Leibuiz 〕在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。
这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。
直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，假设0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：00)()(limt t t s t s v t t --=→。
导数与微分PPT优秀课件
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
前页 后页 结束
例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
前页 后页 结束
例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
前页 后页 结束
三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
微积分课件(导数与微分
第一节点导x0必数连的续。概念
19
另一方面，一个函数在某点连续却不一定
在该点可导。
y
y x
yx
例如, f ( x) | x |,
0
x
在 x 0处连续，但不可导.
第一节 导数的概念
20
第二节 函数和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f ( x0 )和右 导数 f ( x0 )都存在且相等.
第一节 导数的概念
14
如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a) 及
f(b)都存在，就说 f ( x)在闭区间a, b上可导.
第一节 导数的概念
5
f
(
x0
)或
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
f ( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
法线方程为
y
y0
f
1 (x ( x0 )
x0 ).
第一节 导数的概念
16
(2) 当f ( x0 ) 0时，
切线方程为 y y0
法线方程为 x x0
导数与微分课件
导数和微分都与函数的局部性质 有关，它们都可以用来研究函数 的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变 化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计 算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步 判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表 示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示 自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率， 表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使 用二项式定理进行近似计 算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数， 可以用来近似计算函数的 值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值 的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以 估计函数在某区间的变化 量。
误差传播
在误差传播过程中，可以 利用微分知识来估计误差 的大小。
导数与微分ppt
导数与微分ppt
数导数与微分ppt
一、数导数
1、什么是数导数
数导数是一个函数在某一点处的切线上斜率的数字值，也就是某一点在函数上变动最快的速率。
它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
2、数导数的意义
数导数可用来描述某点处函数变化的快慢程度。
它反映出函数变化对自变量变化的敏感度，利用它们还可以判断函数的极值，求解函数的最值问题。
3、数导数的概念
把一个函数表示为f(x)在x点处的导数，就是用f'(x)来表示了。
可以看成f'(x)是函数f(x)在x 点处的变化速率，也就是它与x的变化之间的关系。
4、数导数的用途
数导数有很多应用，可以用它来解决诸如求两个函数的最小点、求两个函数的最大点等函数最值问题，也可以求得函数图像上弧长、判断函数的性质等等问题。
二、微分
1、什么是微分
微分是我们研究函数的变化时使用的一种数学手段，它可以简化函数
的变化，从而计算函数的变化情况。
2、微分的意义
微分可以求出一个函数的泰勒斯级数展开式，从而可以应用于复杂的
函数计算，同时也是求极限和极小值的必要条件。
3、微分的概念
微分概念很简单，求函数在相邻点处的变化，就可以用微分进行表示，有时也可以用它来表示函数的增长、减少程度等，或者判断函数的变
化趋势。
4、微分的用途
微分可以用来求解各种代数、几何以及曲线图形的微分，还可以确定
函数在某点上的角度，求函数的泰勒斯展开式，判断函数的性质等。
微积分教学课件第2章导数与微分
原式 h l12 if0m f(x(t0)22h 12h)f(fx(0t))hlf i(m 0x0f)(t)f(x0)
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
第2章：导数与微分-PPT课件
n f ( x ) x ( n N ) 在 x a处的导数 . 例2. 求函数
解:
xn an f (x) f (a) lim f (a) lim xa x a x a xa
2 n 3 a x lim ( x n 1 a xn2 an1)
二、导数的定义
) 在点 x 0 的某邻域内有定义 , 定义1 设函数 y f (x
若
x x0
y lim f (x) f (x0) lim
x x0
x 0 x
y f( x ) f( x ) 0 xxx 0
存在,则称函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导,并称此极限为 y f (x ) 在点 x 0 的导数. 记作: dy d f (x) ; y xx0 ; f (x x x 0); dx x x0 dx 0
时) (当
切线 MT 的斜率
C M
T
lim tan k tan
o x 0
x x
f( x ) f( x ) 0 割线 M N 的斜率 tan x x0 f( x ) f( x ) 0 k lim x x0 x x 0
f( t ) f( t ) 0 瞬时速度 v lim t t0 t t0
若上述极限不存在,就说函数f (x)在点x0不可导。 y , 也称 f ( x) 在 x 的导数为无穷大 . 若 lim 0 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导,就称函数在I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作:
y ;
注意:
f ( x) ;
dy ; dx
f( x 5x )f( x ) f( x h )f( x ) =5 f ( x ) f (x0 h) f (x0 ) 0 0 0 0 ( 1 )l i m lim 5 l i m 0 h 0 h0 h x 0 h x
《导数与微分§》课件
《导数与微分§》PPT课件
本课程介绍导数与微分的基本概念、计算方法以及几何和物理意义，深入而 生动地带你领略微积分的奥妙。
导数的定义与计算
1
导数公式的推导
2
通过推导，揭示导数计算的原理和方
法。
3
导数的几何意义与物理意义
4
深入理解导数在几何和物理问题中的 应用。
导数的概念与定义
探索导数的本质与含义，为后续学习 打下基础。
导数计算的基本方法
掌握导数计算的常用技巧和规则。
常见函数的导数公式
幂Hale Waihona Puke 数的导数公式掌握幂函数的导数计算规则，用于解决相关 问题。
对数函数的导数公式
理解对数函数的导数特性，解决涉及对数的 导数问题。
指数函数的导数公式
学习指数函数的导数性质和计算方法，应用 于实际情境。
三角函数的导数公式
探索三角函数的导数规律，应用于各种题型 中。
1
微分的几何意义与物理意义
2
深入探讨微分在几何和物理中的应用
与解释。
3
高阶微分的概念及其应用
4
理解高阶微分的定义和应用，拓展微 分的深度应用。
微分的定义与计算
学习微分的含义和计算方法，以及与 导数的关系。
微分的应用：求函数的极值与 最值
应用微分求解函数的极值和最值问题， 解决实际应用难题。
高阶导数与导函数
高阶导数的概念
了解高阶导数的定义及其在求解复杂函数中的 作用。
高阶导数的计算方法
掌握高阶导数计算的技巧与步骤，提升问题解 决能力。
导函数的概念与计算方法
深入研究导函数的定义和求解思路，加深理解。
导函数与原函数的关系
探索导函数与原函数之间的联系与性质，为进 阶探索打下基础。
本课程介绍导数与微分的基本概念、计算方法以及几何和物理意义，深入而 生动地带你领略微积分的奥妙。
导数的定义与计算
1
导数公式的推导
2
通过推导，揭示导数计算的原理和方
法。
3
导数的几何意义与物理意义
4
深入理解导数在几何和物理问题中的 应用。
导数的概念与定义
探索导数的本质与含义，为后续学习 打下基础。
导数计算的基本方法
掌握导数计算的常用技巧和规则。
常见函数的导数公式
幂Hale Waihona Puke 数的导数公式掌握幂函数的导数计算规则，用于解决相关 问题。
对数函数的导数公式
理解对数函数的导数特性，解决涉及对数的 导数问题。
指数函数的导数公式
学习指数函数的导数性质和计算方法，应用 于实际情境。
三角函数的导数公式
探索三角函数的导数规律，应用于各种题型 中。
1
微分的几何意义与物理意义
2
深入探讨微分在几何和物理中的应用
与解释。
3
高阶微分的概念及其应用
4
理解高阶微分的定义和应用，拓展微 分的深度应用。
微分的定义与计算
学习微分的含义和计算方法，以及与 导数的关系。
微分的应用：求函数的极值与 最值
应用微分求解函数的极值和最值问题， 解决实际应用难题。
高阶导数与导函数
高阶导数的概念
了解高阶导数的定义及其在求解复杂函数中的 作用。
高阶导数的计算方法
掌握高阶导数计算的技巧与步骤，提升问题解 决能力。
导函数的概念与计算方法
深入研究导函数的定义和求解思路，加深理解。
导函数与原函数的关系
探索导函数与原函数之间的联系与性质，为进 阶探索打下基础。
导数与微分的定义通用课件
导数与微分的定义通用课件
目录
• 导数定义与性质 • 微分定义与性质 • 导数与微分的关系 • 导数与微分在各领域的应用 • 导数与微分常见问题解析
01
导数定义与性质
导数的定义
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数 值随自变量变化的速率。
符号表示
用 f'(x) 表示函数 f 在 x 处的导数。
单调性与极值综合问题
掌握如何结合单调性和极值解决综合问题的方法。
THANK YOU
感谢各位观看
导数的性质
线性性质
若 c 是常数，f 和 g 是可导函数，则 (c * f)' = c * f' 和 (f + g)' = f' + g'。
链式法则
若 u = g(x) 是可导函数，y = f(u) 是可导函数，则 (f ∘ g)' = f'(g(x)) * g'(x)。
乘积法则
若 f 和 g 是可导函数，则 (fg)' = f'g + fg'。
03
导数与微分的关系
导数是微分的商
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在这一点上切线的斜率，用微 分除以自变量的增量得到。
导数表示函数在某一点附近的小范围 内变化的速度或趋势，是微分的一种 数学表达。
导数与微分的应用
01
导数在经济学中用于研究边际 成本、边际收益和边际利润等 概念，帮助理解经济行为的变 化趋势和最优决策。
详细描述
在物理学中，导数和微分被用于描述物体的速度、加速度、温度变化、电磁场等物理量随时间或空间 的变化规律。例如，在经典力学中，物体的速度和加速度可以通过导数和微分来计算；在热力学中， 温度的变化率可以用导数来描述。
目录
• 导数定义与性质 • 微分定义与性质 • 导数与微分的关系 • 导数与微分在各领域的应用 • 导数与微分常见问题解析
01
导数定义与性质
导数的定义
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数 值随自变量变化的速率。
符号表示
用 f'(x) 表示函数 f 在 x 处的导数。
单调性与极值综合问题
掌握如何结合单调性和极值解决综合问题的方法。
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导数的性质
线性性质
若 c 是常数，f 和 g 是可导函数，则 (c * f)' = c * f' 和 (f + g)' = f' + g'。
链式法则
若 u = g(x) 是可导函数，y = f(u) 是可导函数，则 (f ∘ g)' = f'(g(x)) * g'(x)。
乘积法则
若 f 和 g 是可导函数，则 (fg)' = f'g + fg'。
03
导数与微分的关系
导数是微分的商
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在这一点上切线的斜率，用微 分除以自变量的增量得到。
导数表示函数在某一点附近的小范围 内变化的速度或趋势，是微分的一种 数学表达。
导数与微分的应用
01
导数在经济学中用于研究边际 成本、边际收益和边际利润等 概念，帮助理解经济行为的变 化趋势和最优决策。
详细描述
在物理学中，导数和微分被用于描述物体的速度、加速度、温度变化、电磁场等物理量随时间或空间 的变化规律。例如，在经典力学中，物体的速度和加速度可以通过导数和微分来计算；在热力学中， 温度的变化率可以用导数来描述。
第2章导数与微分11PPT精品文档168页
t 0 时，若 v 趋于确定值，该值就是质点 M 在时刻 t0 的瞬时速度 v ，
即： v lim v lim s lim s(t0 t) s(t0 ) （式 1）
t 0
t0 t t0
t
瞬时速度 v 反映了路程函数 s(t) 相对于时间 t 变化的快慢程度。
称瞬时速度 v 为函数 s(t) 相对于自变量 t 的变化率。
形式上只需要将以上定义中的 x0 换成 x 即可，
如： y lim f (x x) f (x) 或 y lim f (x h) f (x)
x0
x
h0
h
有时也简称导数．
④左右导数
在导数定义 lim x x0
f ( x) f ( x0 ) 中，若将 x x x0
x0 改为 x x0
x0 x x0
x
存在，则称函数 y f (x) 在点 x0 处可导，此极限值称为函数 y f (x)
在点 x0 处的导数．记为：
f (x0 ) 、 y
x x0
、 dy dx
、 df (x)
x x0
dx
x x0
★说明
①领域的概念 自变量的变化范围不一定为无穷区间，当自变量的变化
范围限定为某个有限区间时，就需要研究自变量 x 任意 地接近某个定值 x0 时的情况。通常将包含 x0 的开区间
且极限存在，则称此极限为右导数，记为： f(x0 ) ，若改为
x x0 且极限存在，则称此极限为左导数，记为： f(x0 ) ．
因为 x 0 x x0; x 0 x x0 ．
所以可类似得到其它的定义形式。 函数在某点可导当且仅当函数在该点的左右导数存在且相等．
⑤实际意义 由引例，导数的物理意义为：速度为位移函数对时间的导数， 加速度可以表示为速度对时间的导数．
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导数值f ( x).这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导 dy df ( x) 函数.记作 y, f ( x), 或 . dx dx f ( x x) f ( x) 即 f ( x) lim x0 x
f ( x h) f ( x ) 或 f ( x) lim . h0 h
解： Δy=f(x0 +Δx)-f(x0) ＝ (x0 +Δx)2 -x02
＝ 2x0Δx＋(Δx)2
y 2 x0 x (x) 2 lim f ( x0 ) lim x0 x0 x x
lim(2 x0 x) 2 x0
x0
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关于导数的说明： ★
（A） f (0) =0且 f (0) 存在。 （B） f (0) =0且 f (0) 存在。 （C） f (0) =1且 f (0) 存在。 （D） f (0) =1且 f (0) 存在。
答案: B
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2
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考研题
罗捍东
f ( x) x 1 ( x) ，
3
（2003年4）设函数
注意:
f ( x0 ) f ( x)
x x0
.
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★ 单侧导数
罗捍东
1.左导数:
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) lim ; x 0 x x0 x
2.右导数:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x0 x x0 x
f (0) f (0), f ( x)在x 0处不可导.
★ 若函数y=f(x)在(a，b )内可导，并在左端点a处 右可导，在右端点b处左可导，则称f(x)在闭区 间［a,b］上可导。
13
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考研题
罗捍东
（2006年3，4）设函数f (x) 在 x=0处连续，且
f (h ) lim 2 1 ，则 h 0 h
其它形式
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若设 x x0 x,
x 0 就是 x x0 ,
罗捍东
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
如果上述极限不存在，则称f(x)在x0不可导。
7
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罗捍东
例1: 求函数y=f(x)＝x2在 x0 处的导数。
o
x
lim y lim | x | 0 显然有 x0 x0
函数f ( x)在x 0处连续.
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罗捍东
y | x | 1, x 0 , x x 1, x 0
y y f (0) lim 1 , f (0) lim 1 x0 x x0 x
罗捍东
定义: 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x ( 点
x0 x 仍在该邻域内 )时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y
其中 ( x)在 x=1处连续，则 (1) 0 是f (x)在 x=1处可导的 （A）充分必要条件。 （B）必要但非充分条件。 （C）充分但非必要条件。 （D）既非充分也非必要条件。 答案:A
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s s(t0 +t ) s(t0 ) 平均速度 v t t
当t很小时, v(t0 ) v
于是当t 0时
s(t0 +t ) s (t0 ) s v(t0 ) lim lim t 0 t t 0 t
3
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2.平面曲线的切线问题 如图,曲线y=f(x)在M0 有切线，斜率为tanα ， 如果割线M0 M的斜率 为tan ，当Δ x很小 时，
罗捍东
y
y f ( x)
M
C
M0
N
o
x0
x0 x x
MN y tan tan 于是当x 0时 M 0 N x
f ( x0 x) f ( x0 ) y tan lim lim x0 x x0 x
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3.1.2 导数的定义
第三章
信息学院
导数与微分
罗捍东
1
信息学院 §3.1
3.1.1
罗捍东
导数的概念
引例
1.变速直线运动的瞬时速度问题 设某物体作变速直线运动,路程函数为s=s(t)。
求t0时刻的瞬时速度v(t0 ) ,
从时刻t0到时刻t0 +t , 物体所通过的路程为:
s=s(t0 +t ) s (t0 ),
定理： f
( x0 ) A f ( x0 ) f ( x0 ) A
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y
x, x 0 例2: f ( x) | x | , x, x 0
f ( x)在x 0处连续但不可导.
y x
x, x 0 证: y | x | , x, x 0
x x0
,
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罗捍东
dy df ( x) f ( x0 ), |x x0 , |x x0 dx dx
即 y
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x0 ) lim . h0 h
罗捍东
f ( x)在x0点的导数是因变量在x0处的变化率, 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★ 如果函数y f ( x)在开区间(a,b) 内的每点
处都可导, 就称函数f ( x)在开区间(a,b) 内可导.
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★ 对于任一x (a, b), 都对应着f ( x) 的一个确定的