5.3 诱导公式(2)--新人教版高中数学第一册

[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1ห้องสมุดไป่ตู้若 sin52π＋α＝15，则 cos α＝
A．－25
B．－15
()
C．15
D．25
解析：sin52π＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cos α＝15.
答案：C
2．已知 tan θ＝2，则ssiinnπ2π2＋＋θθ－－csionsππ－－θθ等于
2．[变结论]本例(1)条件不变，求 cos56π－α的值． 解：cos56π－α＝cosπ2＋π3－α ＝－sinπ3－α＝－12.
3．已知 sinθ－32π＋cos32π＋θ＝35，求 sin3π2＋θ－cos332π－θ的值．
解：∵sinθ－32π＋cos32π＋θ＝－sin32π－θ－cosπ2＋θ＝ sinπ2－θ＋sin θ＝cos θ＋sin θ＝35， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12×295－1＝－285. ∴sin3π2＋θ－cos332π－θ＝cos3θ＋cos3π2－θ＝cos3θ＋sin3θ＝ (sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝35×1－－285＝19295.
＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ＝ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ2
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
[方法技巧]
三角恒等式证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右 边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少． (3)函数名称：对于 kπ±α 和π2±α 这两套诱导公式，切记前一 套公式不变名，后一套公式变名．
[对点练清] 1．[变条件]本例(1)中条件变为 sin43π－α＝12，问题不变．
解：∵43π－α＋π6＋α＝32π， ∴cosπ6＋α＝cos32π－43π－α ＝－sin43π－α＝－12.
α＝－cos
α.
②因为 cosα－32π＝15，所以 sin α＝－15，又 α 是第三象限角，
所以 cos α＝－
1－－152＝－2 5 6.
所以
f(α)＝－cos
α＝2
5
6 .
[方法技巧] 用诱导公式化简求值的三个角度
(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱 导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
A．23
B．－23
()
C．
5 3
D．－
5 3
解析：由条件知，cos α＝23，所以 sin－α－32π＝ －sin32π＋α＝sinπ2＋α＝cos α＝23.故选 A.
答案：A
3．sin 95°＋cos 175°的值为
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175° ＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5° ＝0. 答案：C 4．计算：sin211°＋sin279°＝________.
[对点练清] 1．[变结论]本例条件不变，求 f(α)＝
sin5－π－taαnc－os1972ππ－－ααstiann－－απ＋α的值．
解：f(α)＝sinπ－αtacnosπ＋32πα－α－[s－intaαn π－α] ＝sintaαn·－α·s－insαintαan α＝sin α＝－35.
2．已知 f(α)＝sinπc－osαπc＋osα－siαns－inαπ2 ＋α. (1)化简 f(α)； (2)若角 A 是△ABC 的内角，且 f(A)＝35，求 tan A－sin A 的值． 解：(1)f(α)＝－sincoαscαos－αcsions αα＝cos α. (2)因为 f(A)＝cos A＝35，又 A 为△ABC 的内角， 所以由平方关系，得 sin A＝ 1－cos2A＝45， 所以 tan A＝csions AA＝43，所以 tan A－sin A＝43－45＝185.
5.3诱导公式 第二课时
一、复习提问 默写诱导公式
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
题型二 利用诱导公式证明恒等式
[典例 2] 求证：
[学透用活]
sin sin
θ＋cos θ－cos
θθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1.
[证明] 右边＝－2sin32π1－－θ2s·in－2θsin θ－1
＝2sinπ＋1－π2－2siθn2sθin θ－1＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
1－－452＝－35.
(2)f(α)＝－tan－α·csoins
α·cos α
α＝tan
αsin
α
＝csoins
α α·sin
α＝－ －3545×－35＝－290.
[方法技巧] 诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相 加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分 式可对分子分母同乘一个式子变形．
解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 答案：1
()
题型一 利用诱导公式化简求值 [学透用活]
[典例 1] (1)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α＝________. [解析] cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α ＝sinπ3－α＝12. 答案：12
A．2
B．－2
()
C．0
D．23
解
析
：
sinπ2＋θ－cosπ－θ sinπ2＋θ－sinπ－θ
＝
cos cos
θ＋cos θ－sin
θ θ
＝
2 1－tan
θ
＝
1－2 2＝－2.
答案：B
3．化简：sin(π－α)sin(π＋α)－sinπ2－αsinπ2＋α＝________.
解析：sin(π－α)sin(π＋α)－sinπ2－αsinπ2＋α＝－sin2α－ cos2α＝－1. 答案：－1 4．已知 sinα－π4＝13，则 cosπ4＋α的值为________． 解析：∵π4＋α－α－π4＝π2，∴cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝ sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13. 答案：－13
(2)已知 α 是第三象限角，且 f(α)＝sinπ－siαnc－osπ2－πα－sαinsiπ2n－－αα ＋32π.
①化简 [解析]
f(①α)f；(α②)＝若sicnosπ－αs－iαn32c－πo＝sπ－215π，α－求sαinfs(iπ2αn－)．－αα ＋32π
＝sin
αcos α－cos sin αcos α
二、创新应用题
5．已知 sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求s2insinπ－32πα－＋α5－cossin2π－－αα 的值． 解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，
∴sin α＝－2cos α，且 cos α≠0.
∴
原
式
＝
sin α＋5cos α －2cos α＋sin α
＝
－2cos －2cos
α＋5cos α－2cos
α α
＝
3cos α －4cos α
＝－34.
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(三十六)” (单击进入电子文档)
谢谢 观 看
THANK YOU FOR WATCHING
题型三 诱导公式的综合应用
[学透用活]
[典例 3] 已知 cos α＝－45，且 α 为第三象限角． (1)求 sin α 的值；
(2)求 f(α)＝tanπ－α·csoinsππ＋－αα·sinπ2－α的值． [解] (1)因为 cos α＝－45，且 α 为第三象限角，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 α 为第二象限角，则 sinα－π2＝－cos α. (2)sin32π－α＝cos α. (3)cos(270°＋100°)＝sin 100°.
答案：(1)√ (2)× (3)×
() () ()
2．若 cos(α＋π)＝－23，则 sin－α－32π＝
(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式 变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选 择巧妙简捷的方法．
[对点练清] 求证：cos6π＋coθs3s2iπn＋－θ2sπin－32θπ＋tanθ2π－θ＝－tan θ.
证明：左边＝cocsosθsπ2in＋－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ ＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
思考：诱导公式可统一为 k ,(k Z) 的三角函数与α
2
的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公 式？
(一)教材梳理填空 (1)诱导公式五、六
(2)诱导公式五、六可用语言概括 ①函数值：π2±α 的正弦(余弦)值，分别等于 α 的 余弦(正弦) 函数值． ②符号：函数值前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号.