高等数学第六版第二章第四节隐函数求导
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高等数学---隐函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
《隐函数有求导法则》课件
隐函数的导数
1 什么是导数？
导数是衡量一个函数在某一点上的变化率。
2 隐函数导数的计算方法
通过隐函数求导法则，我们可以计算隐函数的导数，即求解隐函数中的未知变量在某点 的导数。
3 公式推导过程
隐函数导数的计算涉及隐函数的微分以及求导规则的应用，详细的推导过程可以在参考 资料中找到。
实际应用
等高线与导
《隐函数有求导法则》 PPT课件
隐函数有求导法则是微积分中的重要内容，本课件将介绍什么是隐函数、如 何计算隐函数的导数以及隐函数在实际应用中的意义。
什么是隐函数？
1 定义
隐函数是指在一个方程中定义的函数，其自变量与因变量之间的关系不是显式地表达出 来。
2 例子
一个常见的隐函数是圆的方程x^2 + y^2 = r^2，其中x和y两个变量之间的关系是不显式表 达的。
2 概念的运用
通过学习隐函数有求导法 则，我们可以将其应用于 实际问题的分析和求解。
3 学习建议
深入理解隐函数有求导法 则，并进行大量的练习和 应用，以巩固知识并提升 解决问题的能力。
参考资料书籍微积分教材Fra bibliotek数学分析参考书
网站
数学学习网站、在线课程平台
文献
相关研究论文和期刊
隐函数的导数在等高线的绘制 中起到重要作用，帮助我们理 解曲面在不同方向上的变化。
物理问题求解
隐函数的应用广泛，包括物理 问题的求解，如抛物线运动和 行星轨道。
工程实践中的应用
许多工程问题涉及隐含的关系， 通过求解隐函数并计算导数， 可以得到一些重要的工程参数。
总结
1 隐函数的重要性
隐函数在数学和应用领域 中具有重要性，帮助我们 理解复杂的关系。
《高等数学》第2章导数与微分2-4隐函数
第四节 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
高等数学3-4隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
得 , 此参数方程确定的函数y t 2 ( x )2 ,
即 y y( x) x2 .
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
9/18
对
x
y
x(t ) y(t )
t It ,
若 x x(t) 在上 It单调、可导且x(t) 恒不为零
确定
y
y( x)的求导法:
dy dx
dt dx
y(t ) x(t )
dt
10/18
例6
求摆线
x a(t sint)
y
a(1
cos
t
)
在 t
2
时的切线方程。
解 dy y(t) a sint sint , dx x(t) a a cost 1 cost
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
y x0
y 1
1 4
;
视 y y( x)、y y( x)，将方程 (1) 两边再对 x 求导, 得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0,
代入 x 0、y 1 及
y
x0 y 1
1 4
得
y
x0 y 1
1. 16
5/18
二、对数求导法
——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。 对数求导法：
直角坐标系中
y
r(
)
sin
,
其中
为参数
例 3.4.10
求对数螺旋
)
处的切线方程。
（用极坐标表示）
解
隐函数的求导方法课件
举函数称为显函数。例如，$y = x^2$是一个显函数。
关系
隐函数和显函数可以相互转换，例如，将$x^2 + y^3 - 1 = 0$两边同时对$x$求导，就可以得到一个关于$y$和$x$的导数关系，这个导数关系可以看作是一个显函数。
在许多实际问题中，我们常常需要求隐函数的导数，例如在物理、工程、经济等领域中，常常需要用到隐函数的求导来解决问题。
隐函数的求导方法课件
隐函数求导概述隐函数求导方法隐函数求导的应用隐函数求导的注意事项隐函数求导的常见错误分析隐函数求导的习题与解析
目录
CONTENT
隐函数求导概述
01
如果对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么我们说$y$是$x$的隐函数。
隐函数
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函数，因为对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应。
在求导之前，需要判断所给函数是否在定义域内可导。如果函数不可导，则无法进行求导。
03
考虑定义域的连续性和离散性
对于连续函数和离散函数的求导，需要考虑其定义域的特点。
01
确定函数的定义域
在求导之前，需要确定函数的定义域，以确保求导过程的有效性。
02
注意定义域的边界
在定义域的边界处，函数的导数可能不存在或表现出特殊性质，需要特别注意。
详细描述
总结词
对参数方程确定的曲线理解不准确也是求隐函数导数时常见的错误。
详细描述
参数方程确定的曲线在求导时需要特别注意。如果对参数方程的理解不准确，会导致求导结果错误。例如，在处理参数方程时，没有正确地将其转化为普通方程，或者在处理参数方程的变量替换时出现错误，都会导致求导结果不准确。
关系
隐函数和显函数可以相互转换，例如，将$x^2 + y^3 - 1 = 0$两边同时对$x$求导，就可以得到一个关于$y$和$x$的导数关系，这个导数关系可以看作是一个显函数。
在许多实际问题中，我们常常需要求隐函数的导数，例如在物理、工程、经济等领域中，常常需要用到隐函数的求导来解决问题。
隐函数的求导方法课件
隐函数求导概述隐函数求导方法隐函数求导的应用隐函数求导的注意事项隐函数求导的常见错误分析隐函数求导的习题与解析
目录
CONTENT
隐函数求导概述
01
如果对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么我们说$y$是$x$的隐函数。
隐函数
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函数，因为对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应。
在求导之前，需要判断所给函数是否在定义域内可导。如果函数不可导，则无法进行求导。
03
考虑定义域的连续性和离散性
对于连续函数和离散函数的求导，需要考虑其定义域的特点。
01
确定函数的定义域
在求导之前，需要确定函数的定义域，以确保求导过程的有效性。
02
注意定义域的边界
在定义域的边界处，函数的导数可能不存在或表现出特殊性质，需要特别注意。
详细描述
总结词
对参数方程确定的曲线理解不准确也是求隐函数导数时常见的错误。
详细描述
参数方程确定的曲线在求导时需要特别注意。如果对参数方程的理解不准确，会导致求导结果错误。例如，在处理参数方程时，没有正确地将其转化为普通方程，或者在处理参数方程的变量替换时出现错误，都会导致求导结果不准确。
《隐函数的求导法则》课件
相关例题
例题1
已知x^2+y^2=1，y=sin(x)，求dy/dx
例题2
已知3x^2+3y^2-x^2y^2=36，求 dy/dx
例题3
已知y^2-x^2=2arctan(y/x)，求dy/dx
常见应用场景
1
物理学
利用隐函数求导法则，可以计算物理学中的运动问题。
Hale Waihona Puke 2金融学在金融学中，隐函数可以描述价格和利率等变量之间的关系。
隐函数可以将多元函数的关 系用单变量关系表示出来， 通常用方程形式表示。
隐函数定义
什么是隐函数？
隐函数是指将多元函数的关系用单变量关系表示的函 数。
举个例子
比如y = f(x, z)，可以表示为z = g(x, y)的形式，这样z就 是y和x的隐函数。
求导法则
链式法则
利用链式法则可以求复合函数的导数，对应到隐函数，就是将自变量视为复合函数的内函数 和外函数。
2
定理2
如果隐函数函数在点（a,b）处连续，具有连续偏导数且f'
3
定理3
如果y是由方程F(x, y) = 0定义的隐函数，其中F在(x0, y0)为零,F及Fx、Fy在点(x0, y0) 连续且Fy(x0, y0)≠0，则此点处的隐函数对x求导可用以下公式：dx/dy = Fx(x0,y0)/Fy(x0,y0)
隐函数的求导法则
隐函数是数学中的一个重要概念，通过隐函数可以用一元函数的形式来描述 多元函数的关系。求导是解析几何中常用的重要工具，因此隐函数的求导法 则十分重要。
数学背景
1 多元函数
2 导数
3 隐函数
多元函数是指因变量有两个 或两个以上的函数，如二元 函数、三元函数等。
高等数学 第二章 第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数
例4
设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y ′在点 (0,1)处的值 .
解 方程两边对 x求导得
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
0 − 1 − 0 + 4 y′ = 0
y′
x=0 y =1
1 = ; 4
二、对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
课堂练习
1. 设x − 2 x y + 5 xy − 5 y + 1 = 0确定 函数y = y( x )，求 y′ (1,1)
3 2 2
2. 设 y =
x + 2( 3 − x ) ，求 y ′ 5 ( x + 1)
4
x = e t cos t dy 3. 设 ，求 t dx y = e sin t
2
600
dV dh 上式两边对 t求导得 dt = 8000 3h ⋅ dt dV Q = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, 米时 dt dh 水面上升之速率 ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 对数求导法: 对方程两边取对数 按隐函数的求 导法则求导; 导法则求导 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
解 (1) 在 t 0时刻的运动方向即
y
v0
vy
v vx
轨迹在 t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映 .
隐函数求导学习课件
隐函数求导是微积分中的重要内容。对于单个方程确定的隐函数，我们可以通过定理1来确定其存在性求导方法。该定理要求函数具有连续的偏导数，并在某邻域内可唯一确定一个单值连续函数。求导时，我们对方程两边同时对自变量求导，利用链式法则得到隐函数的导数。若二阶偏导数也连续，还可进一步求二阶导数。对于方程组确定的隐函数组，我们利用定理3，该定理要求方程组中的函数在某邻域内具有连续的偏导数，且雅可比行列式不为零。求导时，我们对方程组两边同时对自变量求导，通过解线性方程组得到隐函数组的偏导数。文档中还给出了多个示例，详细展示了隐函数求导的过程，包括利用复合函数求导法则、微分形式不变性和代公式等方法。此外，还介绍了德国数学家雅可比在行列式理论和偏微分方程研究中的贡献，特别是他引进的“雅可比行列式”在微积分中的应用。
高等数学I(电子)高等数学课件D2_4隐函数524 24隐函数
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
d t d 1 1 140
( rad/ min )
d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
t,
d2 y d x2
1
f (t)
练习: P111 题8(1)
解:
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
隐函数的求导公式
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu xv x2 y2 ,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yx2
yv y2
.
例：设 u x2 y2z2,其中 z f (x, y)由方程
x3 y3 z3 -3xyz 0确定，求
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则是指当被求导的函数中含有一个隐函数时，求函数和隐函数的导数。
这种情况下，不能像求常见函数的导数那样，使用常见的微积分中的微分法则来直接求解，而是要使用高等数学隐函数求导法则，使用更加复杂的求解方法。
高等数学隐函数求导法则的基本原理是：若函数f(x,y)
含有隐函数y=φ(x)，则y的导数可表示为
dy/dx=dy/dx+φ'(x)dx/dx，这里φ'(x)表示隐函数y=φ(x)
的导数。
这就是求解隐函数求导时， x 不变，只考虑 y 求导的原理，也是微积分中隐函数求解中常用到的法则，成为高等数学隐函数求导法则。
高等数学隐函数求导法则在求解函数和隐函数的导数时，都要求解隐函数的导数，这就需要考虑隐函数的定义域，即显函数的定义域这个问题，要严格遵守求解隐函数求导的基本原理。
例1.若f(x,y)=x+y，其中y=φ(x)=sin(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=x+cos(x)dx/dx=1+cos(x).
例2.若f(x,y)=2x+y，其中y=φ(x)=ln(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=2+1/x dx/dx = 2+1/x.
从上面几个例子来看，使用高等数学隐函数求导法则是一种既有系统又有效的方法，解决涉及到隐函数求导的问题。
最重要的是，要避免求导出现不对称或错误结果，就必须牢记求解隐函数求导的基本原理，严格按照高等数学隐函数求导法则进行求解。
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) (cos x) ( n) cos( x n π 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
(4) 利用莱布尼茨公式
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2.补充题 π x2 则 2 n 1) (填空题)（1）设 f ( x) ( x 3x 2) cos 16 ,
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2.参数方程求导法则
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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x (t ) 例3.求参数方程 所表示的函数y f ( x) 的
速度的水平分量为
故抛射体速度大小
垂直分量为
v1 (v2 gt )
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则
2
2
y O
目录 上页
dy d t dx dx dt
dy
x
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抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y O
v2 t g 2v2 t g
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2
对 x 求导
u ( ln u ) u
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
切线方程：
2
1
y a x a 1 2
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x t 2 2 t (0 1) 例2. 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
t f (t ) d y t, dx f (t )
x f (t ) y t
d y t 2 dx f t
2
1 f (t )
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例7. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
u( x ) [v( x )ln u( x ) v ( x ) ] u( x )
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3) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
a a b y ln b x x y
(t ) (t ) (t ) (t )
2 (t )
(t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
dt
也可使用一阶导数
x (t ) y (t )
d 2 y d y (t ) 2 dx dx (t )
n2时 f
提示:
(n)
n 1 n ! [ f ( x )] ( x)
f ( x) 2 f ( x) f ( x) 2 ! [ f ( x)]3 f ( x) 2 ! 3[ f ( x)]2 f ( x) 3 ! [ f ( x)]4
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dy 0 dt
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 v2 达到最高点的时刻 t , 高度 g
落地时刻 抛射最远距离
x
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三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数是与显函数不同的函数表达形式.
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在隐函数存在且可导的前提下: 隐函数求导方法
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
(含导数 y 的方程)
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
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注意 :
例4. 设
已知
d2 y . 求 2 dx
?
1 t 1 dy dx 1 2 t t
1 1 d2 y t t 2 2 1 dx 2 t 2
则有
2
t
1 3 t
得相关变化率之间的关系式 利用已知变化率求出未知的相关变化率
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例1. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 2 2 sec 1 tan sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
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按指数函数求导公式
2)对幂指函数还可以用复合求导法：
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②
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例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y u v , 其中u u ( x), v v( x), 可用对数 求导法求导 :
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例5. 设
2 x t 2t y ln(t 1)
d y 求 dx
d2y . 2 dx
解： d y [ ln(t 1) ] 2 dx (t 2t ) 1 1 t 1 2(t 1) 2(t 1) 2 1 2t 12 2 1 d y 4 2 2 t 1 dx 2t 1
f ( x) u ( x)
v( x)
(u( x) 0)
v( x )
f ( x ) u( x ) f ( x ) (e
e
u( x )
v( x)
e
v ( x ) ln u( x )
,
v ( x ) ln u( x )
)
v ( x ) ln u( x )
[v( x ) ln u( x )]
1 2 (t 1)
2(t 1) (t 1) 4
x t 2 2t 1 y 2 2(t 1)
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例6. 求
解:
已知
d2 y . 2 dx
x f (t ) ,且 f (t ) 0 , y t f (t ) f (t )
x a cos t 2 2 2 2) y a sin t 表示半径为 a 的圆： x y a
3) 炮弹以初速度 v0 与水平方向角 t 射出， x v0 cos at 其运动轨迹方程用： 表示。 1 2 y v0 sin at gt 2
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2） 试从
导出
3 d x 同样可求 3 dy
2 d 解： x d d x d ( 1 ) d y 2 d y d y d y y
d 1 dx d x y d y
1 y
(见 P103 题4 )
第四节 目录
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3） 设 解:
求
其中 f 二阶可导.Biblioteka 目录上页下页