2018-2019数学苏教版必修2 第2章2.3.1-3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离 作业

[学业水平训练]
1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为________．
解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3,1,5)．
答案：(－3,1,5)
2．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为________．
解析：由题意知，点Q就是点P在平面xOy上的射影，所以横坐标、纵坐标不变，竖坐标为0，故点Q的坐标为(1，2，0)
答案：(1，2，0)
3．点M(4，－3,5)到原点的距离d1＝________，到z轴的距离d2＝________.
解析：利用两点间距离公式可得d1＝42＋(－3)2＋52＝5 2.
过M作MN⊥平面xOy于N，则N(4，－3,0)，故d2＝ON＝42＋(－3)2＝5.
答案：52 5
4．设球心C(0，－1,0)，球面经过一点M(－1,3,1)，则球的半径为________．
解析：r＝CM＝(－1－0)2＋(3＋1)2＋(1－0)2＝3 2.
答案：3 2
5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB＝26，则实数x的值是________．
解析：∵AB＝(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2
＝(x－2)2＋8＝26，
∴x＝6或－2.
答案：6或－2
6．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．
解析：分别以x轴、y轴、z轴上的单位长度为正方体的相邻的棱作正方体，则点P在正方体与O相对的顶点上，所以OP＝ 3.
答案： 3
7．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为a，侧棱长为l，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解：设正四棱锥底面中心点为O，
∵OA⊥OB，点P在平面ABCD上的射影为O，
∴以O为坐标原点，以直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则OA＝2
2a，PA＝PB＝PC＝PD＝l，
∴PO＝PA2－OA2＝l2－1
2.
2a
故各顶点坐标依次为A(2
2a,0,0)．
B(0，
2
2a,0)，C(－
2
2a,0,0)，D(0，－
2
2a,0)，
P(0,0, l2－1
2a 2)．
8.三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB＝BC＝22，又PA＝PB＝PC＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中：
(1)求点A，B，C，P的坐标；
(2)求AB，PC的中点之间的距离．
解：(1)取AC的中点O，连结OB，OP.
∵△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2 2.
∴AC＝4，OB＝2.
∵PA＝PB＝PC，∴点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O. 故PO⊥平面ABC.
∵PA＝3，
∴PO＝PA2－AO2＝32－22＝ 5.
以O为坐标原点OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0，5)．A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．
(2)AB的中点坐标为(1，－1,0)，PC的中点坐标为(0,1，
5 2)．
这两个中点之间的距离为
d＝12＋22＋(
5
2)
2＝52.
[高考水平训练]
1．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
解析：点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz 的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
答案：(2，－3,1)
2．对于任意实数x、y、z，则x2＋y2＋z2＋
(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2的最小值为________．
解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)则x2＋y2＋z2＋(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＝PO＋PM，由于x、y、z是任意实数，即点P是空间任意一点，则PO＋PM≥OM＝1＋4＋1＝6，则所求的最小值为 6.
答案： 6
3.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O
－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
(1)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究PQ的最
小值；
(2)当点P 在对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动时，探究PQ 的最小值． 解：设正方体的棱长为a ，连结OA ，在平面AOB 内，作PH ⊥OA 于H . ∵OB ⊥平面xOy ，∴PH ⊥平面xOy . 设P (x ，x ，z )，则z a ＝2a －2x 2a
， ∴z ＝a －x .故P (x ，x ，a －x )．
(1)由题意知Q (0，a ，a 2
)，P (x ，x ，a －x )， PQ ＝x 2＋(x －a )2＋(x －a 2
)2 ＝3x 2－3ax ＋54
a 2 ＝3(x －a 2)2＋a 22
. 故当x ＝a 2，即P 为AB 中点时，PQ min ＝2a 2
. (2)由题意知P (x ，x ，a －x )，设Q (0，a ，t )．
则PQ ＝
x 2＋(x －a )2＋(x －a ＋t )2 ＝3(x －2a －t 3)2＋23(t －a 2)2＋a 22
. 故当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a －t 3，t ＝a 2，即⎩⎨⎧ x ＝a 2，t ＝a 2，时，PQ min ＝2a 2
. 此时，P 、Q 分别为AB ，CD 的中点．
4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．
解：如图，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，
∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．
∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1.
M 是A 1C 1的三等分点且靠近点A 1，∴M (1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212
.。