第五章 离散时间信号与系统分析 (2)

z
1
,
z 1
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （1）线性性质： a1 f1 n a2 f 2 n a1 F1 z a2 F2 z （2）位移性质（延迟性质） 单边z变换： m m k f n m u n z F z f k z
§ 5-3 z变换
1.z变换定义 采样信号及其双边拉氏变换为
采样信号及其双边拉氏变换为： fs t
n


f nT t nT Fs s
n


f nT e nsT
使得复变量替换：z e sT , 并用f n 替换f nT 后有：
1 z Y z Yzi z Yzs z , 其中， 0.9 Yzi z 1 0.9 z 1 1 0.05 0.45 0.5 Y z zs 1 1 1 1 0.9 z 1 z 1 0.9 z 1 z 1

n 0

f n m z n z m f n m z n m z m
n 0 1

m k k m k z f k z f k z z F z f k z k m k 1 k 0
§ 5-3 z变换
3.典型序列的z变换 （1）单位采样序列 n 1 （2）阶跃序列 un z n
n0
1 , 1 1 z
z 1
（3）指数序列
a un
n n0
a

n
z
n
1 , 1 1 az
z a
§ 5-3 z变换
3.典型序列的z变换 （3）指数序列
n


f n z n
当z变换式中的求和下限取作0时，定义为单 边z变换 F z f n z n
n 0
§ 5-3 z变换
2.z变换的收敛域


பைடு நூலகம்
双边无限长序列的双边z变换的收敛域为圆 环 Rf z Rf ； 右边序列的z变换的收敛域为一圆的外部（除了无 R f z ，当它是因果序 穷远点z 之外）： 列时，收敛域还应包括无穷远点： ； Rf z 左边序列的z变换的收敛域为一圆的内部（除了原 0 z Rf ，当它是反因果序列时， 点 z 0 之外）： z R 的收敛域还应包括原点： ； f
e
jn0
u n
1 1 e
j0
sin 0 z 1 sin n0 u n 1 2 z 1 cos 0 z 2 1 z 1 cos 0 cos n0 u n 1 2 z 1 cos 0 z 2
k 1 f n 1 z 1 F z f 1 f n 2 z 2 F z z 1 f 1 f 2
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （2）位移性质（延迟性质） m 因果序列右移：f n mun z F z 双边z变换： f n m z m F z
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 例 5-9 求输入为 un的一阶LTI离散系统 yn 0.9 yn 1 0.05un 在初始条件y 1 1 下的系统响应。 0.9
Yzi z 1 0.9 z 1 1 0.05 0.45 0.5 Y z zs 1 1 1 1 0.9 z 1 z 1 0.9 z 1 z 1 yzi n 0.9n 1 u n yzs n 0.5 1 0.9n 1 u n y n 0.5 1 0.9n 1 u n 0.9n 1 u n
n F z f n z n f n F z n 1 f n 1 F z z dz 2 j C
§ 5-3 z变换
1.z变换定义 n F z f n z F z 使z变换式 收敛的 z 值范围是 n 的收敛域，即使其绝对可和的z值范围：
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （3）z域尺度变换（序列指数加权）
z a f n F a
n
a f n a f nz
n n n 0

n
z f n a n 0
§ 5-3 z变换
2.z变换的收敛域 有限长序列的z变换的收敛域至少为除原点 0 z ， 和无穷远点之外的全平面： 当它是因果序列时，的收敛域还应包括无 0 z ，而当它是反因果序列时， 穷远点： 的收敛域还应包括原点：z 。 同一个z变换在具有不同的收敛域时，会对 应不同的序列，因此，在计算一个序列的z 变换时，必须同时给出其收敛域。
k m m


f k z k
位移性质可用于求解系统的各个响应。
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 例 5-9 求输入为 un的一阶LTI离散系统 yn 0.9 yn 1 0.05un 在初始条件y 1 1 下的系统响应。 0.05 1 Y z 0.9 1 z Y z 1