第五章 离散时间信号与系统分析 (2)
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信号与系统第五章习题答案
i = −∞ i= 0
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
第五章 离散时间信号与系统分析 (1)
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （1）单位采样信号（Unit Sample）
1 n 0 (n 0) (n 0)
δ(n)
1 -3 -2 -1 0 1 2 3 n
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （2）单位阶跃序列（Unit Step）
1 u n 0 (n 0) (n 0)
a yn i b f n k
i 0 i k 0 k
N
M
§ 5-2 离散时间系统
i 1.差分方程 i 0 （2）用差分方程描述的离散系统 其中，规定 a0 1 ，使得
a yn i b f n k
k 0 k
N
M
y n － ai y n i bk f n k i 1 k 1
(d)
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （4）因果矩形窗函数
1 (0 n N 1) GN n (其它) 0
GN(n)
u n u n N u n u N 1 n
1 -2 -1 0 1 2
… … N-1 N n
§ 5-1 离散时间信号
'
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。 若用等间隔T对 u C t 采样，其在 t nT各点的采样值 为 uC nT 。由微分的定义知，当T足够小时，微分 可用前向差分近似 u C n 1T u C nT '
m>0
-3
0
2
n
m-3
第五章 离散时间信号与系统的频域分析
❖ CTFT ( the Continuous -Time Fourier Transforms ): 连续时间傅立叶变换
❖ DTFT ( the Discrete -Time Fourier Transforms ): 离散时间傅立叶变换
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
RX (e j ) tg1 a sin 1 a cos
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
A eg
j 2 (k r )n N
k
n N
nN k N
Agk
j 2 (k r )n
eN
k N n N
j2 (kr)n N
Q eN
nN
0
k r
kr
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
g
Ar
1 N
j 2 rn
x(n)e N
nN
x(n)
离散时间周期信号的频谱具有周期性。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
三 . DFS的收敛:
DFS是一个有限项的级数，确定
g
Ak
的关系式也
是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生
Gibbs现象。
DFS表明：周期序列可以而且只能分解成 N 个独立 的复指数谐波分量。
Gibbs现象。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
5.3 非周期信号与离散时间傅立叶变换:
(Aperiodic Signals & Discrete-Time Fourier Transform)
第5章 离散信号与系统的时域分析
但应该指出，既然是两类不同的问题， 离散信号与系统有自己的特殊性，必然存 在一些差别，学习时也应该注意这些差别。 本章讨论离散信号与系统的时域分析。
5.1 离散时间信号
5.1.1 离散时间信号的时域描述
连续时间信号，在数学上可以表示为 连续时间变量t的函数，除个别间断点外， 这些信号的波形是光滑的曲线，如图5.1-1 （a）所示，这一类信号称为模拟信号 （analog signal）。
A r k [cos(0 k ) j sin(0 k )]
虚指数序列的实部和虚部的波形如图 5.1-10所示。
6. Z序列
Z序列可表示为
f (k ) z
k
(5.1-26)
式中，z为复数。通常称之为复序 列。
若取z为极坐标的形式
z ze
j 0
由欧拉公式，可写成
它的图形如图5.1-2所示，为了醒目， 这些离散值画成一条条不同高度的垂线， 其中每条垂线的端点才是实际的函数值。
根据离散变量k的取非零值范围，序列 可分为以下三种情况：
若序列f (k) 对所有的整数)都存在非零 确定值，称这类序列为双边序列。
若 当k k1时，f (k ) 0 ，则f (k) 称 为有始序列或右边序列，反之 若当k k 2时，f (k ) 0 ，则f (k) 称为有 终序列或左边序列。而 k1 0 的有始序 列称为因果序列，k1 0 的有终序列称 为反因果序列。统称为单边序列。
an y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k )
f (k ) f 1 (k ) f 2 (k )
（5.1-1）
2. 序列相乘
序列f1(k) 与f2(k)相乘，是指两个序 列同序号的数值逐项相应相乘，而构成 一个新的序列f(k) ，即
信号与系统(第三版)第五章离散时间系统的时域分析
信号取值
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
第五章离散信号与系统时域分析
解： (1) E2 3E 2 0
E1 1 E2 2
y0 (k) C1(1)k C2 (2)k
(2) 激励为f (k) 2kU (k) yt (k) A(2k )
代入差分方程，可得
yt
(k)
1 3
(2k
)
(3)
全 响 应 为y(k )
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
(2k
)
(4) 全响应为y(k) 2 (1)k 2 (2)k 1 (2k ) k 0
y(k) 2(1 k)(2)k
k 0
19
二、非齐次差分方程时域解
(En an1En1 a0 ) y(k) (bmEm b0 ) f (k)
传输算子 特征方程
H(E)
E n
bmE m b0 an1E n1 a0
En an1En1 a0 0 （自然频率）
时域解为
y(k ) y0 (k ) yt (k )
k 0 : f (k) 0 k 0 : y(k) 0
12
三、离散时间系统模型 1、差分方程描述： 例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡
率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的人口总数 y(k+1)为多少？
y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k) 所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k)
3.倒相: y(k)=-f(k)
4.展缩: y(k)=f(ak) (横坐标k只能取整数)
5
四、常用离散信号 1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）
离散系统时域分析_OK
例：设 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2k (k)，y(0)=0， y(1)=2，求y(k)。
f(k)=ak(k)
|a| >
1
f(k)=ak(k)
|a| <
11
1
-2 -1 0 1 2 3
k
-2 -1 0 1 2 3
k
3
发散
收敛
5．正弦序列
f (k) Acos(kω0 )
0序列依次重复出现的频率。
2
ω 0
为有理数，正弦序列为周期序列。
f (k N ) A cosω[ 0(k N ) ] A cosω[ 0k ω0 N ]
any(k)+an-1y(k-1)+…+a1y(k-n+1)+a0y(k-n)=0(后向)
any(k+n)+an-1y(k+n-1)+…+a1y(k+1)+a0y(k)=0(前向)
对应的特征方程为：ann+an-1n-1+ + …+a1 + a0=0
1．特征根均为单根： 则齐次通解为：
1≠2≠…≠n
10
§5–2 离散时间系统的数学模型
一、线性时不变离散时间系统
1．离散系统：激励和响应都是离散信号的系统
f(k)
y(k)
离散时间系统
2．分类：亦可分为线性与非线性；时不变与时变；因果与非 因果等。
时不变： f(k) → y(k) f(k-m) → y(k-m)
因果系统：响应总是出现在激励之后。即： 当k < k0 ，f(k)
(2) 初始条件y(0), y(1),…, y(n-1)(与外施激励有关)代入完全解，可确 定待定常数Ci 。
(优选)离散时间信号与系统
1 RN (n) 0
0 n N 1 其它n
式中的 N 称为矩形序列的长度。符号 RN (n) 的下标 N 表示矩形序列的长度，
如 R4 (n) 表示长度 N 4矩形序列，如下图所示。
R4 (n)
1
n
-1 0 1 2 3 矩形序列
1.2 离散时间信号
1.2.1 常用典型序列
单位采样序列δ(n)，单位阶跃序列 u(n) 和矩形序列 RN (n) 之间的关系如
式中ω0 为数字域频率。
1.2 离散时间信号
1.2.1 常用典型序列
7. 周期序列 如果对所有的 n ，关系式 x(n) x(n N) 均成立，且 N 为满足关系式的最小
正整数，则定义 x(n) 为周期序列(Periodic Sequence)，其周期为 N 。 例如对于正弦序列：
设
x(n) Asin(0n )
z 变换
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1.2 离散时间信号
1、离散时间信号和序列的定义 离散时间信号定义：离散时间信号(discrete-time signal)是指在时间上
取离散值，幅度取连续值的一类信号，可以用序列(sequence)来表示。 序列是指按一定次序排列的数值 x(n) 的集合，表示为 {x(),.x(2), x(1), x(0), x(1), x(2),x()} 或 x(n) ， n
T 上式具有普遍意义，它表明由连续信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与
数字域频率ω成线性关系。再由采样频率 fs 与采样间隔 T 互为倒数，上式也可
以写成下列形式：
fs
上式表示数字域频率ω可以看作模拟角频率Ω对采样频率 fs 的归一化频率。
1.2 离散时间信号
1.2.1 常用典型序列
离散信号与系统的时域分析
5.1.1 离散时间信号
连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函 数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续 点外， 对任一给定时刻都对应有确定的信号值。 离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量 tk(k=0,±1, ±2, …)的函数。信号仅在规定的离散时间点上 有意义，而在其它时间则没有定义。
1
(k－k 0 )
1
o
k 0 －1 k 0 k 0 ＋1 (a )
k
－k 0 － 1 －k 0 －k 0 ＋ 1 (b )
o
k
2. 正弦序列 正弦序列的一般形式为 由于
f (k ) A cos(0k )
f ( k ) A cos(0k ) A cos(0k 2m ) 2 m A cos0 k 0
5.2.2 卷积和的性质
性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和 分配律，即
f1 (k ) f 2 (k ) f 2 (k ) f1 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] [ f1 (k ) f 2 (k )] f 3 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] f1 (k ) f 2 (k ) f1 (k ) f 3 (k )
第五章 离散信号与系统 的时域分析
引 言
连续时间系统：这类系统用于传输和处理连续时间信号
离散系统：用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系
统，数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通
信系统的核心组成部分也都是离散系统。
混合系统：连续系统与离散系统组合起来使用。
5.1 离散时间基本信号
连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函 数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续 点外， 对任一给定时刻都对应有确定的信号值。 离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量 tk(k=0,±1, ±2, …)的函数。信号仅在规定的离散时间点上 有意义，而在其它时间则没有定义。
1
(k－k 0 )
1
o
k 0 －1 k 0 k 0 ＋1 (a )
k
－k 0 － 1 －k 0 －k 0 ＋ 1 (b )
o
k
2. 正弦序列 正弦序列的一般形式为 由于
f (k ) A cos(0k )
f ( k ) A cos(0k ) A cos(0k 2m ) 2 m A cos0 k 0
5.2.2 卷积和的性质
性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和 分配律，即
f1 (k ) f 2 (k ) f 2 (k ) f1 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] [ f1 (k ) f 2 (k )] f 3 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] f1 (k ) f 2 (k ) f1 (k ) f 3 (k )
第五章 离散信号与系统 的时域分析
引 言
连续时间系统：这类系统用于传输和处理连续时间信号
离散系统：用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系
统，数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通
信系统的核心组成部分也都是离散系统。
混合系统：连续系统与离散系统组合起来使用。
5.1 离散时间基本信号
《信号与系统》第五章
1 l = −∞ − 2π
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理，得 y(k 2) 3y(k 1)＋2y(k)＝0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解：第 k＋1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和，即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第5章
第5章 离散信号与系统的时域分析 以上三种序列之间有如下关系：
(5-7) (5-8) (5-9)
第5章 离散信号与系统的时域分析
4. 单边指数序列anU(n)
f(n)=anU(n)
(5-10)
anU(n)的波形如图5-5所示。
此外，还有因果斜升序列nU(n), 正弦(余弦)序列
sinω0n或cosω0h等。
5.1.2 1. 单位样值(Unit Sample)信号δ(n)
δ(n)的波形如图5-2(a)所示。
(5-1)
第5章 离散信号与系统的时域分析 图 5-2 δ(n)、δ(n-m)和δ(n+m)的波形
第5章 离散信号与系统的时域分析
此序列只在n=0处取单位值1, 其余样点上都为零。 δ(n)也称为“单位取样”、“单位函数”、“单位脉冲” 或“单位冲激”。δ(n)对于离散系统分析的重要性，类 似于δ(t)对于连续系统分析的重要性，但δ(t)是一种 广义函数，可理解为在t=0处脉宽趋于零，幅度为无限大 的信号；而δ(n)则在n=0处具有确定值，其值等于1
第5章 离散信号与系统的时域分析
【例5-1】 绘制单位阶跃序列U(n) 解 MATLAB
%program ch5-1 n=［-2:10］; un=［zeros(1, 2)ones(1, 11)］; stem(n, un); xlabel(′n′); ylabel(′u(n)′); grid on; axis(［-2 10 -0.2 1.2］) 运行结果如图5-6所示。
第5章 离散信号与系统的时域分析 图 5-9 斜变序列
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.2 离散信号的基本运算及MATLAB实现
像连续信号一样，离散信号也可以进行相应的变换和运算， 这里只介绍利用
离散信号与系统
序列f(k)的二阶前向差分
2 f( k ) f( k ) f( k 1 ) f( k ) f( k 1 ) f( k )
f( k 2 ) 2 f( k 1 ) f( k )
序列f(k)的二阶后向差分
2 f( k ) f( k ) f( k ) f( k 1 ) f( k ) f( k 1 )
5.1.1 离散时间信号的时域描述(1)
离散时间信号（P242）
离散时间信号仅在一系列离散的时刻才有定义，因此它是离散
时间变量tk的函数。 用f(tk)表示离散时间信号，其中tk表示离散的时刻，通常离散
时刻之间的间隔T是均匀的，即Ttk1tk为常量，故可以用f(kT) 来表示离散时间信号，简写为f(k)。也就是说，离散时间信号抽样 为离散变量k的函数，这里k的取值为整数。
(k)
1 0
k 0 k 0
(kn)
1 0
k n k n
(k ) 1
01 2
k
(k n)
1
01 2
nk
筛选特性：f(k)(kn)f(n) k
加权特性：f(k)(kn)f(n)(kn)
5.1.3 常用的离散信号(2)
❖ 2、单位阶跃序列ε(k) （P246）
(k)
1 0
k 0 k 0
(k n)
1 0
(k) (k n) n0
例：(k2)(k1)
解： ( k 2 ) ( k 1 ) ( k 2 ) ( k 1 ) ( k )
f( k ) 2 f( k 1 ) f( k 2 )
f(k) f(k1 ) f(k) f(k1 )
2f(k) 2f(k2) 2f(k) 2f(k2)
5.1.2 离散时间信号的基本运算(6)
_第五章离散时间信号与系统的时域分析习题解答
— P3-1 —第五章 离散系统的时域分析习题解答5-1. 画出下列各序列的图形：。
)2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f kk-==+=⎩⎨⎧<+=++=+=-/εε5-2 写出图示各序列的表达式。
解： )6()3(2)()( )d ( )1()1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41321---+-=--=---=----=-k kk k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周期。
)(sin )( )3( )()2( )873cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f kj εωπππ==-=-解：; 14 , , 14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ (a)(b)— 2 —. , )( )3(;, 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ5-4.解：)]1()1()([1)(1100---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。
5-5. 列写图示系统的差分方程，指出其阶次。
解：)1()()2()1()(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。
5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为α，每月利息不取出，试用差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k )510元，α50.0018，y (0)520元，求y (k )，若k 512，则y (12)为多少。
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1 z Y z Yzi z Yzs z , 其中， 0.9 Yzi z 1 0.9 z 1 1 0.05 0.45 0.5 Y z zs 1 1 1 1 0.9 z 1 z 1 0.9 z 1 z 1
k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m m
f k z k
位移性质可用于求解系统的各个响应。
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 例 5-9 求输入为 un的一阶LTI离散系统 yn 0.9 yn 1 0.05un 在初始条件y 1 1 下的系统响应。 0.05 1 Y z 0.9 1 z Y z 1
n F z f n z n f n F z n 1 f n 1 F z z dz 2 j C
§ 5-3 z变换
1.z变换定义 n F z f n z F z 使z变换式 收敛的 z 值范围是 n 的收敛域，即使其绝对可和的z值范围：
z
1
,
z 1
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （1）线性性质： a1 f1 n a2 f 2 n a1 F1 z a2 F2 z （2）位移性质（延迟性质） 单边z变换： m m k f n m u n z F z f k z
n 0
f n m z n z m f n m z n m z m
n 0 1
m k k m k z f k z f k z z F z f k z k m k 1 k 0
e
jn0
u n
1 1 e
j0
sin 0 z 1 sin n0 u n 1 2 z 1 cos 0 z 2 1 z 1 cos 0 cos n0 u n 1 2 z 1 cos 0 z 2
§ 5-3 z变换
1.z变换定义 采样信号及其双边拉氏变换为
采样信号及其双边拉氏变换为： fs t
n
f nT t nT Fs s
n
f nT e nsT
使得复变量替换：z e sT , 并用f n 替换f nT 后有：
§ 5-3 z变换
2.z变换的收敛域 有限长序列的z变换的收敛域至少为除原点 0 z ， 和无穷远点之外的全平面： 当它是因果序列时，的收敛域还应包括无 0 z ，而当它是反因果序列时， 穷远点： 的收敛域还应包括原点：z 。 同一个z变换在具有不同的收敛域时，会对 应不同的序列，因此，在计算一个序列的z 变换时，必须同时给出其收敛域。
k 1 f n 1 z 1 F z f 1 f n 2 z 2 F z z 1 f 1 f 2
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （2）位移性质（延迟性质） m 因果序列右移：f n mun z F z 双边z变换： f n m z m F z
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （3）z域尺度变换（序列指数加权）
z a f n F a
n
a f n a f nz
n n n 0
n
z f n a n 0
n
f n z n
当z变换式中的求和下限取作0时，定义为单 边z变换 F z f n z n
n 0
§ 5-3 z变换
2.z变换的收敛域
双边无限长序列的双边z变换的收敛域为圆 环 Rf z Rf ； 右边序列的z变换的收敛域为一圆的外部（除了无 R f z ，当它是因果序 穷远点z 之外）： 列时，收敛域还应包括无穷远点： ； Rf z 左边序列的z变换的收敛域为一圆的内部（除了原 0 z Rf ，当它是反因果序列时， 点 z 0 之外）： z R 的收敛域还应包括原点： ； f
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 例 5-9 求输入为 un的一阶LTI离散系统 yn 0.9 yn 1 0.05un 在初始条件y 1 1 下的系统响应。 0.9
Yzi z 1 0.9 z 1 1 0.05 0.45 0.5 Y z zs 1 1 1 1 0.9 z 1 z 1 0.9 z 1 z 1 yzi n 0.9n 1 u n yzs n 0.5 1 0.9n 1 u n y n 0.5 1 0.9n 1 u n 0.9n 1 u n
§ 5-3 z变换
3.典型序列的z变换 （1）单位采样序列 n 1 （2）阶跃序列 un z n
n0
1 , 1 1 z
z 1
（3）指数序列
a un
n n0
a
n
z
n
1 , 1 1 az
z a
§ 5-3 z变换
3.典型序列的z变换 （3）指数序列
k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m m
f k z k
位移性质可用于求解系统的各个响应。
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 例 5-9 求输入为 un的一阶LTI离散系统 yn 0.9 yn 1 0.05un 在初始条件y 1 1 下的系统响应。 0.05 1 Y z 0.9 1 z Y z 1
n F z f n z n f n F z n 1 f n 1 F z z dz 2 j C
§ 5-3 z变换
1.z变换定义 n F z f n z F z 使z变换式 收敛的 z 值范围是 n 的收敛域，即使其绝对可和的z值范围：
z
1
,
z 1
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （1）线性性质： a1 f1 n a2 f 2 n a1 F1 z a2 F2 z （2）位移性质（延迟性质） 单边z变换： m m k f n m u n z F z f k z
n 0
f n m z n z m f n m z n m z m
n 0 1
m k k m k z f k z f k z z F z f k z k m k 1 k 0
e
jn0
u n
1 1 e
j0
sin 0 z 1 sin n0 u n 1 2 z 1 cos 0 z 2 1 z 1 cos 0 cos n0 u n 1 2 z 1 cos 0 z 2
§ 5-3 z变换
1.z变换定义 采样信号及其双边拉氏变换为
采样信号及其双边拉氏变换为： fs t
n
f nT t nT Fs s
n
f nT e nsT
使得复变量替换：z e sT , 并用f n 替换f nT 后有：
§ 5-3 z变换
2.z变换的收敛域 有限长序列的z变换的收敛域至少为除原点 0 z ， 和无穷远点之外的全平面： 当它是因果序列时，的收敛域还应包括无 0 z ，而当它是反因果序列时， 穷远点： 的收敛域还应包括原点：z 。 同一个z变换在具有不同的收敛域时，会对 应不同的序列，因此，在计算一个序列的z 变换时，必须同时给出其收敛域。
k 1 f n 1 z 1 F z f 1 f n 2 z 2 F z z 1 f 1 f 2
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （2）位移性质（延迟性质） m 因果序列右移：f n mun z F z 双边z变换： f n m z m F z
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 （3）z域尺度变换（序列指数加权）
z a f n F a
n
a f n a f nz
n n n 0
n
z f n a n 0
n
f n z n
当z变换式中的求和下限取作0时，定义为单 边z变换 F z f n z n
n 0
§ 5-3 z变换
2.z变换的收敛域
双边无限长序列的双边z变换的收敛域为圆 环 Rf z Rf ； 右边序列的z变换的收敛域为一圆的外部（除了无 R f z ，当它是因果序 穷远点z 之外）： 列时，收敛域还应包括无穷远点： ； Rf z 左边序列的z变换的收敛域为一圆的内部（除了原 0 z Rf ，当它是反因果序列时， 点 z 0 之外）： z R 的收敛域还应包括原点： ； f
§ 5-3 z变换
4.z变换的性质 例 5-9 求输入为 un的一阶LTI离散系统 yn 0.9 yn 1 0.05un 在初始条件y 1 1 下的系统响应。 0.9
Yzi z 1 0.9 z 1 1 0.05 0.45 0.5 Y z zs 1 1 1 1 0.9 z 1 z 1 0.9 z 1 z 1 yzi n 0.9n 1 u n yzs n 0.5 1 0.9n 1 u n y n 0.5 1 0.9n 1 u n 0.9n 1 u n
§ 5-3 z变换
3.典型序列的z变换 （1）单位采样序列 n 1 （2）阶跃序列 un z n
n0
1 , 1 1 z
z 1
（3）指数序列
a un
n n0
a
n
z
n
1 , 1 1 az
z a
§ 5-3 z变换
3.典型序列的z变换 （3）指数序列