优化建模与LINGO课件第10章 排队论模型
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3.2 排队论模型
从上表知方案乙的总费用最省。 例7.2.3 要购置计算机，有两种方案．甲方案是购进 一大型计算机，乙方案是购置n台小型计算机．每台小型 计算机是大型计算机处理能力的1/ n 倍．设要求上机的题 目是参数为 的最简单流，大型计算机与小型计算机计 算题目的时间是负指数分布，大型计算机的参数是 试 从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案． 解 设 按甲方案，购大型计算机． 平均等待时问 平均逗留时间 按乙方案，购n台小型计算机，每台小计算机的题目
两个或
时间区间内1个顾客被服务完的概率为 两个以上顾客被服务完的概率为 且 与系统的 顾客数无关，与微小时问区间的起点无关． 对任意给定的 微小增量 假设 时 先考虑j＝i十1的情况， 当 P{ 时间内恰好到达1个顾客而没 有顾客被服务完或恰好有k个顾客到 达并且k -1个顾客被服务完，
＝p{ 时间内恰好到达1个顾客而没有顾客被服务完} 十{ 时间内到达k个顾客而服务完k -1个顾客，
这两组关系式，可以作这样直观解释：当系统内有顾 客时，平均等待队长Lq应该是平均队长L减1，当系统内 没有顾客时，平均等待队长Lq与平均队长L相等，所以
单位时间内平均进入系统的顾客为 个． 每个顾客在系 统内平均逗留W单位时间．因此系统内平均有 W个顾客 同样理由，系统内平均有 Wq个顾客在等待服务．
表12-9
为病人完成手术时间v（小时） 出现次数fv 0．0—0．2 0．2—0.4 0．4—0.6 0．6—0.8 0．8—1．0 1．0—1.2 1．2以上 合计 38 25 17 9 6 5 0 100
• （1）算出每小时病人平均到达率= ∑n fn =2.1 (人/小时) • 100 • 每次手术平均时间= ∑v fv =0.4 (小时/人) • 100 • • 每小时完成手术人数（平均服务率）= 1/0.4 =2.5 (人/小时)
排队论(Lingo方法)
线性规划
01
Lingo方法是线性规划的一种求解算法，可以用于求解排队论中
的优化问题。
迭代法
02
对于一些复杂的问题，可以使用迭代法结合Lingo方法进行求解，
以逐步逼近最优解。
启发式算法
03
对于一些大规模问题，可以使用启发式算法结合Lingo方法进行
求解，以提高求解效率。
04
Lingo方法在排队论中的 案例分析
Lingo方法在排队论中的优化问题
最小化等待时间
通过Lingo方法，可以优化等待时间，以最小化顾 客或任务的等待时间。
最小化队列长度
通过Lingo方法，可以优化队列长度，以最小化等 待空间的使用。
最大化服务台效率
通过Lingo方法，可以优化服务台效率，以提高服 务台的工作效率。
Lingo方法在排队论中的求解算法
等问题。
计算机科学
排队论用于研究计算机 网络的性能分析、负载 均衡和分布式系统等问
题。
排队论的发展历程
1903年，费尔南多·柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化 体系，为排队论奠定了理论基础。
1950年代，肯德尔提出了肯德尔模型，为多服务台排 队模型奠定了基础。
1930年代，厄兰格和朱伯夫提出了厄兰格模型，为单 服务台排队模型奠定了基础。
Lingo方法的适用范围
Lingo方法适用于各种线性规划问题，包括生产计划、资源分 配、运输问题等。
尤其适用于具有大量约束条件和决策变量的复杂问题，能够 有效地解决这些问题的最优解。
Lingo方法的优势和局限性
Lingo方法的优势在于它能够处理大规模的线性规划问题，并且具有较高的计算效率和精度。此外，Lingo方法还具有灵活性 和通用性，可以应用于各种不同的领域和问题。
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件
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排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
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排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
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排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
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➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
2
无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
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❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）
排队模型与模拟 ppt课件
pn
与初始状态无关而且满足 pn 1
n0
那么称这个排队模型是稳定的。
概率分布pn : n 0,1,2,称为队长的稳定解。
对于长时间连续不断运行的排队模型，稳定解 比瞬时解有更重要的意义。
PPT课件
20
令
，称为服务强度。
1 即 ，表明服务员有足够的能力完全 接待到来的全体顾客。可以证明排队模型是稳定的。 但这决不是说，每位顾客就不用等待了，因为在 系统运行中随机因素在起作用。
M——到达的过程为泊松过程或负指数分布
D——定长输入
EK——K阶爱尔朗分布 G——一般相互独立的随机分布
②——服务时间分布
③——服务台(员)个数
④——顾客源总数
⑤——系统内顾客的容量
PPT课件
29
四、排队系统的常见分布
1．泊松分布（Poisson distribution）
(1) 平稳性 在时间 t t 内，到达 n 个顾客的概率只与 t 和 n 的大小有关。
有确定的时间间隔，也有随机的时间间隔
PPT课件
12
2．排队规则：指服务台从队列中选取顾客 进行服务的顺序。
(1)损失制 ，这是指如果顾客到达排队系统时, 所有服务台都被先到的顾客占用, 那么他们就自动离开系统。
PPT课件
13
(2)等待制，指当顾客来到系统时，若服务 台没有空闲，则顾客排队等候服务。
， 顾客源无限，容量N，单列，混合制．
2．系统的状态概率和主要运行指标：
1
P0
1
1
N
1
1 N
1 1
n
P0
排队论模型及实例
的 ((32)) M等/待G/制1/ 排∞表队示系输统入. 过程是Poisson流，顾客所需的服务 时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务 台，容量为无穷的等待制系统.
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3. 符号表示
(3) GI/M/1/∞表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 (4) 隔时间服从一船概率分布，服务时间是相互独立、服从
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1. 等待制排队模型的基本参数
(2) 顾客的平均等待时间Wq
Wq
Pwait
S
T load
,
其中T/(S-load)是一个重要指标，可以看成一个“合理的 长度间隔”。注意，当load→S时，此值趋于无穷。也就 是说，系统负荷接近服从器的个数时，顾客平均等待时 间将趋于无穷. 当load> S时, 上式Wq无意义。其直观的解释是：当系统 负荷超过服从器的个数时, 排队系统达不到稳定的状态, 其队将越排越长.
• 系统的忙期与闲期
从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再 次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间，我们称 为系统的忙期，它反映了系统中服务机构的工作强度， 是衡量服务机构利用效率的指标，即
服务机构
用于服务顾客的时间
工作强度
服务设施总的服务时间
1 用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间
例10.４ 设打印室有3名打字员, 平均每个文件的打印时间为10分钟，
而文件的到达率为每小时15件，试求该打印 室的主要数量指标.
解 按照上面分析, 编写LINGO程序, 程名:exam1004.lg4.
计算结果分析：即在打字室内现有的平均文件数为6.011 件，等待打印平均文件数3.511件，每份文件在打字室平 均停留时间为0.400小时（24分钟），排队等待打印的平 均时间0.234小时(14分钟),打印室不空闲的概率0.702.
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3. 符号表示
(3) GI/M/1/∞表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 (4) 隔时间服从一船概率分布，服务时间是相互独立、服从
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1. 等待制排队模型的基本参数
(2) 顾客的平均等待时间Wq
Wq
Pwait
S
T load
,
其中T/(S-load)是一个重要指标，可以看成一个“合理的 长度间隔”。注意，当load→S时，此值趋于无穷。也就 是说，系统负荷接近服从器的个数时，顾客平均等待时 间将趋于无穷. 当load> S时, 上式Wq无意义。其直观的解释是：当系统 负荷超过服从器的个数时, 排队系统达不到稳定的状态, 其队将越排越长.
• 系统的忙期与闲期
从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再 次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间，我们称 为系统的忙期，它反映了系统中服务机构的工作强度， 是衡量服务机构利用效率的指标，即
服务机构
用于服务顾客的时间
工作强度
服务设施总的服务时间
1 用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间
例10.４ 设打印室有3名打字员, 平均每个文件的打印时间为10分钟，
而文件的到达率为每小时15件，试求该打印 室的主要数量指标.
解 按照上面分析, 编写LINGO程序, 程名:exam1004.lg4.
计算结果分析：即在打字室内现有的平均文件数为6.011 件，等待打印平均文件数3.511件，每份文件在打字室平 均停留时间为0.400小时（24分钟），排队等待打印的平 均时间0.234小时(14分钟),打印室不空闲的概率0.702.
Lingo软件求解排队模型
❖ 顾客到达就能理发的概率为0.3654135，系统中的 平均顾客数为1.422556人，
❖ 等待的平均顾客数为0.7879699，顾客在理发店内 逗留时间的期望值为0.7472354小时，等待时间的 期望值为0.4139021小时.在可能到达的顾客中因客 满而离开的概率就是系统中有5个顾客的概率，即 ：0.0481203.
3.953271
由运行结果可知，在单队多服务台情况下，该服务机构的有关运行指标如
下：
顾客到达需等待的概率为 0.5677570， 系统中的平均顾客数为 3.953271
人， 等 待的 平均 顾 客数 为 1.703271 人 ， 顾客 在 系统 中 的平 均逗 留 时间 为 4.392523 分钟，平均等待时间为 1.892523 分钟.
W Wq 1 Wq T ,L W ,Lq Wq
例 7.4.1 用 Lingo 软件求解例 7.2.1.
编写 Lingo 程序如下：
S=1;lambda=3;mu=4;load=lambda/mu; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait/mu/(S-load); L_q=lambda*W_q; W=W_q+1/mu; L=lambda*W; P0=1- load;
);
应用 Lingo 软件求解，运行结果如下：
Variable
Value
LAMBDA
0.9000000
MU
0.4000000
LOAD
2.250000
S( 3)
3.000000
PWAIT( 3)
0.5677570
W_Q( 3)
1.892523
L_Q( 3)
1.703271
W( 3)
❖ 等待的平均顾客数为0.7879699，顾客在理发店内 逗留时间的期望值为0.7472354小时，等待时间的 期望值为0.4139021小时.在可能到达的顾客中因客 满而离开的概率就是系统中有5个顾客的概率，即 ：0.0481203.
3.953271
由运行结果可知，在单队多服务台情况下，该服务机构的有关运行指标如
下：
顾客到达需等待的概率为 0.5677570， 系统中的平均顾客数为 3.953271
人， 等 待的 平均 顾 客数 为 1.703271 人 ， 顾客 在 系统 中 的平 均逗 留 时间 为 4.392523 分钟，平均等待时间为 1.892523 分钟.
W Wq 1 Wq T ,L W ,Lq Wq
例 7.4.1 用 Lingo 软件求解例 7.2.1.
编写 Lingo 程序如下：
S=1;lambda=3;mu=4;load=lambda/mu; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait/mu/(S-load); L_q=lambda*W_q; W=W_q+1/mu; L=lambda*W; P0=1- load;
);
应用 Lingo 软件求解，运行结果如下：
Variable
Value
LAMBDA
0.9000000
MU
0.4000000
LOAD
2.250000
S( 3)
3.000000
PWAIT( 3)
0.5677570
W_Q( 3)
1.892523
L_Q( 3)
1.703271
W( 3)
数学建模讲座 排队论模型
(2)
μ—— 排队系统的输出率
C自动扶梯——自动扶梯的 通过能力
d自动扶梯——自动扶梯的 净宽度
C楼梯——楼梯的通过能力
d楼梯——楼梯的净宽度
输出时间 t1表达式为：
t1
w
n
(3)
通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动 扶梯所组成的服务系统是一个定长输入、定 长输出的单通道排队系统，由n组楼梯和自动 扶梯布置在站台形成的乘客排队系统则是一 个定长输入、定长输出、多通道的排队系统 即：d/d/n排队系统。
load);L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; End
例2： Model: S=3;R=15;T=10/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; END
q w n
l
输入的时间 t0 2 n v
其输入率λ的具体表达式为：
2wv
(1)
l
λ——排队系统的输入率 W——列车到站后下车或换乘的人数 v——下车乘客在站台上的行走速度 l——站台的有效长度 n——站台上楼梯和自动扶梯的组数
排队规则：乘客到达楼梯和自动扶梯口处， 若楼梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使 用楼梯和自动扶梯，若楼梯和自动扶梯被占 用，不能为乘客提供服务时，乘客就会在此 等候楼梯和自动扶梯的服务，而且服务次序 为先到先服务。
3.@pfs(load,S,K)
该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台 数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的 期望值
排队论模型PPT课件
0 0 0
顾客离去
10%
(
调试 0 检验
)
90
%
第8页/共40页
(5)匹配排队模型
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有
(6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
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（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互
时解，一般这种瞬时解是难以求得的
第14页/共40页
3.统计平衡下的极限解
实际应用中，关心的是t 时，方程的解称
为
生
灭
lim t
过程微
pn(t) pn
分由p差n' (t)分 0方
程
组
的
极
限
解
。
令
及(9.1)(9.2)式得当S
为有n1限pn状1 态(n集 时n )，pn (9.n11)p式n1 变 0为
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达
排队
00…00
服务台
(2)多服务台的平衡系统
顾客离去
顾客到达 排队 服务台
00…00
顾客离去
顾客离去 服务台
服务机构
第7页/共40页
(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00
0
0
顾客离去
M1
M2
…
Mn
0
(4)排队网络模型
顾客到达 排队 00…00
第2页/共40页
输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
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主要指标 Ls Lq Ws Wq Pwait M/M/1/ ∞ 4 3.2 1 0.8 0.8 M/M/2/ ∞ 4.444 2.844 0.556 0.356 0.711
例10.5 比较分析
从上表中所列的计算结果可以看出,在服务台的各种性能指 标不变的情况下,采用不同的排队方式,其结果是不同的. 从 表得到,采用多队列排队系统的队长为4,而采用单排队系统 总队长为4.444, 也就是说每一个子队的队长为2.222,几乎是 多列队排队系统的1/2, 效率几乎提高了一倍.
4. 描述排队系统的主要数量指标
• 系统的忙期与闲期 从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再 次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间，我们称 为系统的忙期，它反映了系统中服务机构的工作强度， 是衡量服务机构利用效率的指标，即
服务机构 工作强度
用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间
1
例10.3
在商业中心处设置一台ATM机，假设来取钱的顾客平均每 分钟0.6个，而每个顾客的平均取钱的时间为1.25分钟，试 求该ATM机的主要数量指标.
解 只需将上例LINGO程序作如下改动：R=0.6,T=1.25 即 可得到结果.程序名:exam1003.lg4.计算结果见运行． 即平均队长为3人，平均等待队长为2.25人，顾客平均逗留 时间5分钟，顾客平均等待时间为3.75分钟，系统繁忙概率 为0.75.
10. 2 等待制排队模型
等待制排队模型中最常见的模型是
M / M / S / ,
即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且服从参数 为λ的负指数分布(即输入过程为Poisson过程), 服务台 的服务时间也独立同分布, 且服从参数为μ的负指数分 布，而且系统空间无限，允许永远排队.
1. 等待制排队模型的基本参数
服务设施总的空闲时间 服务设施总的服务时间
与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时 间长度.
5. Little（利特尔）公式
用 λ 表示单位时间内顾客到达的平均数,μ表示单位时间内 被服务完毕离去的平均顾客数，因此1/ λ表示相邻两顾客到 达的平均时间，1/ μ表示对每个顾客的平均服务时间. J. D. C. Little给出了如下公式：
排队论(Queueing Theory)又称随机服务系统, 是通过研究 各种服务系统等待现象中的概率特征，从而解决服务系 统最优设计与最优控制的一种理论.
例10.1 排队的例子
某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务。新来 维修的顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要排队 等待。若排队的人数过多，势必会造成顾客抱怨，会影响到 公司产品的销售；若维修人员多，会增加维修中心的支出， 如何调整两者的关系，使得系统达到最优. 它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如： 上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形 成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售票处购票形成的排 队等; 另一种排队是物的排队，例如文件等待打印或发送; 路 口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.
排队现象是由两个方面构成，一方要求得到服务，另一方设 法给予服务。我们把要求得到服务的人或物（设备）统称为 顾客, 给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员或服务 台。顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系 统。 显然缺少顾客或服务台任何一方都不会形成排队系统.
对于任何一个排队服务系统，每一名顾客通过排队服务系统 总要经过如下过程：顾客到达、排队等待、接受服务和离 去，其过程如下图所示: 顾客总体 输入 队 伍 服务台 输出 服务系统
2. 排队服务系统的基本概念
服务 机构
服务台的数目: 在多个服务台的情形下，是串 联或是并联；
顾客所需的服务时间服从什么样的概率分布， 每个顾客所需的服务时间是否相互独立，是成 批服务或是单个服务等。常见顾客的服务时间 分布有：定长分布、负指数分布、超指数分 布、k阶Erlang分布、几何分布、一般分布等.
2. 等待制排队模型的计算实例
由此得到：
(1) (2) (3) (4) (5) 系统平均队长 系统平均等待队长 顾客平均逗留时间 顾客平均等待时间 系统繁忙概率 Ls=0.6666667, Lq=0.2666667, Ws=0.1666667(小时)=10(分钟) Wq=0.06666667(小时)=4(分钟) P wait=0.4
1. 等待制排队模型的基本参数
(2) 顾客的平均等待时间Wq
T Wq Pwait , S load
其中T/(S-load)是一个重要指标，可以看成一个“合理的 长度间隔”。注意，当load→S时，此值趋于无穷。也就 是说，系统负荷接近服从器的个数时，顾客平均等待时 间将趋于无穷. 当load> S时, 上式Wq无意义。其直观的解释是：当系统 负荷超过服从器的个数时, 排队系统达不到稳定的状态, 其队将越排越长.
例10.5
某售票点有两个售票窗口，顾客按参数λ=8人/分钟的 Poisson流到达，每个窗口的售票时间均服从参数μ=5人/分 钟的负指数分布，试比较以下两种排队方案的运行指标. (1) 顾客到达后,以1/2 的概率站成两个队 列，如右图所示：
(2) 顾客到达后排成一个队列, 顾客发现哪个窗口空时, 他就 接受该窗口的服务，如下图所示:
3. 符号表示
(3) GI/M/1/∞表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 隔时间服从一船概率分布，服务时间是相互独立、服从负指 数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统 (4) Ek/G/1/K表示相继到达的间隔时间独立、服从k阶Erlang 分布，服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一 个服务台，容量为K的混合制系统. (5) D/M/S/K表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布、 服务时间相互独立、服从负指数分布，系统中有S个服务台 平行服务，容量为K的混合制系统.
优化建模与LINDO/LINGO软件
第 10 章 排队论模型
内容提要
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 排队服务系统的基本概念 等待制排队模型 损失制排队模型 混合制排队模型 闭合式排队模型 排队系统的最优化模型
10. 1 排队服务系统的基本概念
1. 排队的例子及基本概念
例10.5
解 (1) 实质上是两个独立的M/M/1/∞系统,其参数S=1, R=λ1=λ2=4, T=1/μ=1/5=0.2, 编写其LINGO程序，程序 名: exam1005a.lg4. 计算结果见运行． (2) 是两个并联系统, 其参数S=2,R=λ=8, T=1/μ=1/5=0.2, 编写其LINGO程序, 程序名: exam1005b.lg4. 计算结果见 运行． 两种系统的计算结果
(1) 顾客等待的概率Pwait
Pwait @ peb(load, S ),
其中S是服务台或服务员的个数，load是系统到达负荷， 即 load=λ/μ=R*T, 式中R表示λ, T表示1/μ, R表示λ, 在下面的程序中，因此，R或λ是顾客的平均到达率， μ是顾客的平均被服务数，T 就是平均服务时间.
2. 排队服务系统的基本概念
排队规则是指服务允许不允许排队，顾客是否愿意排队
排队 规则
损失制排队系统：顾客到达时,若有服务台均被占,服务机构 又不允许顾客等待, 此时该顾客就自动辞去 等待制排队系统：顾客到达时．若所有服务台均被占，他们 就排队等待服务。在等待制系统中,服务 顺序又分为：先到先服务,即顾客按到达 的先后顺序接受服务；后到先服务 . 混合制排队系统：损失制与等待制的混合，分为队长(容量) 有限的混合制系统，等待时间有限的混 合制系统，以及逗留时间有限制的混
,
Lq Wq或Wq
Lq
,
Ws Wq
1
,
Ls Lq ,
6. 与排队论模型有关的LINGO函数
(1) @ peb (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且允许排队时系统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率. (2) @ pel (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且不允许排队时系统损失概率, 也就是顾客得不到服务离 开的概率. (3) @ pfs (load, S, K) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 顾客数为K,平行服务 器数量为S时, 有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数 的期望值.
2. 排队服务系统的基本概念
输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统
输入 过程
顾客源总体：顾客的来源可能是有限的，也可 能是无限的 到达的类型：顾客是单个到达，或是成批到达 相继顾客到达的间隔时间：通常假定是相互独 立、同分布的，有的是等距间隔时间，有的是 服从Poisson分布，有的是服从k阶Erlang分布
4. 描述排队系统的主要数量指标
• 队长与等待队长
队长(通常记为LS)是指在系统中的顾客的平均数(包括 正在接受服务的顾客),而等待队长(通常记为Lq)是指 系统中排队等待的顾客的平均数，它们是顾客和服务 机构双方都十分关心的数量指标。显然队长等于等待 队长加上正在被服务的顾客数.
• 顾客的平均等待时间与平均逗留时间 顾客的平均等待时间(通常记为Wq)是指从顾客进入系 统的时刻起直到开始接受服务止的平均时间。平均逗 留时间(通常记为Ws)是指顾客在系统中的平均等待时 间与平均服务时间之和。平均等待时间与平均服务时 间是顾客最关心的数量指标.
10. 3 损失制排队模型
损失制排队模型通常记为
M / M / S / S,
1.损失制排队模型的基本参数
当S个服务器被占用后，顾客自动离去。其模型的基本 参数与等待制排队模型有些不同, 我们关心如下指标： (1) 系统损失的概率
例10.5 比较分析
从上表中所列的计算结果可以看出,在服务台的各种性能指 标不变的情况下,采用不同的排队方式,其结果是不同的. 从 表得到,采用多队列排队系统的队长为4,而采用单排队系统 总队长为4.444, 也就是说每一个子队的队长为2.222,几乎是 多列队排队系统的1/2, 效率几乎提高了一倍.
4. 描述排队系统的主要数量指标
• 系统的忙期与闲期 从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再 次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间，我们称 为系统的忙期，它反映了系统中服务机构的工作强度， 是衡量服务机构利用效率的指标，即
服务机构 工作强度
用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间
1
例10.3
在商业中心处设置一台ATM机，假设来取钱的顾客平均每 分钟0.6个，而每个顾客的平均取钱的时间为1.25分钟，试 求该ATM机的主要数量指标.
解 只需将上例LINGO程序作如下改动：R=0.6,T=1.25 即 可得到结果.程序名:exam1003.lg4.计算结果见运行． 即平均队长为3人，平均等待队长为2.25人，顾客平均逗留 时间5分钟，顾客平均等待时间为3.75分钟，系统繁忙概率 为0.75.
10. 2 等待制排队模型
等待制排队模型中最常见的模型是
M / M / S / ,
即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且服从参数 为λ的负指数分布(即输入过程为Poisson过程), 服务台 的服务时间也独立同分布, 且服从参数为μ的负指数分 布，而且系统空间无限，允许永远排队.
1. 等待制排队模型的基本参数
服务设施总的空闲时间 服务设施总的服务时间
与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时 间长度.
5. Little（利特尔）公式
用 λ 表示单位时间内顾客到达的平均数,μ表示单位时间内 被服务完毕离去的平均顾客数，因此1/ λ表示相邻两顾客到 达的平均时间，1/ μ表示对每个顾客的平均服务时间. J. D. C. Little给出了如下公式：
排队论(Queueing Theory)又称随机服务系统, 是通过研究 各种服务系统等待现象中的概率特征，从而解决服务系 统最优设计与最优控制的一种理论.
例10.1 排队的例子
某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务。新来 维修的顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要排队 等待。若排队的人数过多，势必会造成顾客抱怨，会影响到 公司产品的销售；若维修人员多，会增加维修中心的支出， 如何调整两者的关系，使得系统达到最优. 它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如： 上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形 成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售票处购票形成的排 队等; 另一种排队是物的排队，例如文件等待打印或发送; 路 口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.
排队现象是由两个方面构成，一方要求得到服务，另一方设 法给予服务。我们把要求得到服务的人或物（设备）统称为 顾客, 给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员或服务 台。顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系 统。 显然缺少顾客或服务台任何一方都不会形成排队系统.
对于任何一个排队服务系统，每一名顾客通过排队服务系统 总要经过如下过程：顾客到达、排队等待、接受服务和离 去，其过程如下图所示: 顾客总体 输入 队 伍 服务台 输出 服务系统
2. 排队服务系统的基本概念
服务 机构
服务台的数目: 在多个服务台的情形下，是串 联或是并联；
顾客所需的服务时间服从什么样的概率分布， 每个顾客所需的服务时间是否相互独立，是成 批服务或是单个服务等。常见顾客的服务时间 分布有：定长分布、负指数分布、超指数分 布、k阶Erlang分布、几何分布、一般分布等.
2. 等待制排队模型的计算实例
由此得到：
(1) (2) (3) (4) (5) 系统平均队长 系统平均等待队长 顾客平均逗留时间 顾客平均等待时间 系统繁忙概率 Ls=0.6666667, Lq=0.2666667, Ws=0.1666667(小时)=10(分钟) Wq=0.06666667(小时)=4(分钟) P wait=0.4
1. 等待制排队模型的基本参数
(2) 顾客的平均等待时间Wq
T Wq Pwait , S load
其中T/(S-load)是一个重要指标，可以看成一个“合理的 长度间隔”。注意，当load→S时，此值趋于无穷。也就 是说，系统负荷接近服从器的个数时，顾客平均等待时 间将趋于无穷. 当load> S时, 上式Wq无意义。其直观的解释是：当系统 负荷超过服从器的个数时, 排队系统达不到稳定的状态, 其队将越排越长.
例10.5
某售票点有两个售票窗口，顾客按参数λ=8人/分钟的 Poisson流到达，每个窗口的售票时间均服从参数μ=5人/分 钟的负指数分布，试比较以下两种排队方案的运行指标. (1) 顾客到达后,以1/2 的概率站成两个队 列，如右图所示：
(2) 顾客到达后排成一个队列, 顾客发现哪个窗口空时, 他就 接受该窗口的服务，如下图所示:
3. 符号表示
(3) GI/M/1/∞表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 隔时间服从一船概率分布，服务时间是相互独立、服从负指 数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统 (4) Ek/G/1/K表示相继到达的间隔时间独立、服从k阶Erlang 分布，服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一 个服务台，容量为K的混合制系统. (5) D/M/S/K表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布、 服务时间相互独立、服从负指数分布，系统中有S个服务台 平行服务，容量为K的混合制系统.
优化建模与LINDO/LINGO软件
第 10 章 排队论模型
内容提要
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 排队服务系统的基本概念 等待制排队模型 损失制排队模型 混合制排队模型 闭合式排队模型 排队系统的最优化模型
10. 1 排队服务系统的基本概念
1. 排队的例子及基本概念
例10.5
解 (1) 实质上是两个独立的M/M/1/∞系统,其参数S=1, R=λ1=λ2=4, T=1/μ=1/5=0.2, 编写其LINGO程序，程序 名: exam1005a.lg4. 计算结果见运行． (2) 是两个并联系统, 其参数S=2,R=λ=8, T=1/μ=1/5=0.2, 编写其LINGO程序, 程序名: exam1005b.lg4. 计算结果见 运行． 两种系统的计算结果
(1) 顾客等待的概率Pwait
Pwait @ peb(load, S ),
其中S是服务台或服务员的个数，load是系统到达负荷， 即 load=λ/μ=R*T, 式中R表示λ, T表示1/μ, R表示λ, 在下面的程序中，因此，R或λ是顾客的平均到达率， μ是顾客的平均被服务数，T 就是平均服务时间.
2. 排队服务系统的基本概念
排队规则是指服务允许不允许排队，顾客是否愿意排队
排队 规则
损失制排队系统：顾客到达时,若有服务台均被占,服务机构 又不允许顾客等待, 此时该顾客就自动辞去 等待制排队系统：顾客到达时．若所有服务台均被占，他们 就排队等待服务。在等待制系统中,服务 顺序又分为：先到先服务,即顾客按到达 的先后顺序接受服务；后到先服务 . 混合制排队系统：损失制与等待制的混合，分为队长(容量) 有限的混合制系统，等待时间有限的混 合制系统，以及逗留时间有限制的混
,
Lq Wq或Wq
Lq
,
Ws Wq
1
,
Ls Lq ,
6. 与排队论模型有关的LINGO函数
(1) @ peb (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且允许排队时系统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率. (2) @ pel (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且不允许排队时系统损失概率, 也就是顾客得不到服务离 开的概率. (3) @ pfs (load, S, K) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 顾客数为K,平行服务 器数量为S时, 有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数 的期望值.
2. 排队服务系统的基本概念
输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统
输入 过程
顾客源总体：顾客的来源可能是有限的，也可 能是无限的 到达的类型：顾客是单个到达，或是成批到达 相继顾客到达的间隔时间：通常假定是相互独 立、同分布的，有的是等距间隔时间，有的是 服从Poisson分布，有的是服从k阶Erlang分布
4. 描述排队系统的主要数量指标
• 队长与等待队长
队长(通常记为LS)是指在系统中的顾客的平均数(包括 正在接受服务的顾客),而等待队长(通常记为Lq)是指 系统中排队等待的顾客的平均数，它们是顾客和服务 机构双方都十分关心的数量指标。显然队长等于等待 队长加上正在被服务的顾客数.
• 顾客的平均等待时间与平均逗留时间 顾客的平均等待时间(通常记为Wq)是指从顾客进入系 统的时刻起直到开始接受服务止的平均时间。平均逗 留时间(通常记为Ws)是指顾客在系统中的平均等待时 间与平均服务时间之和。平均等待时间与平均服务时 间是顾客最关心的数量指标.
10. 3 损失制排队模型
损失制排队模型通常记为
M / M / S / S,
1.损失制排队模型的基本参数
当S个服务器被占用后，顾客自动离去。其模型的基本 参数与等待制排队模型有些不同, 我们关心如下指标： (1) 系统损失的概率